ΜΑΘΗΤΕΣ: ΣΚΑΝΔΑΛΟΥ ΣΤΕΦΑΝΙΑ ΧΑΡΙΣΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΗ ΧΑΤΖΗ ΜΑΡΙΑ

Παρουσίαση με θέμα: "ΜΑΘΗΤΕΣ: ΣΚΑΝΔΑΛΟΥ ΣΤΕΦΑΝΙΑ ΧΑΡΙΣΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΗ ΧΑΤΖΗ ΜΑΡΙΑ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΜΑΘΗΤΕΣ: ΣΚΑΝΔΑΛΟΥ ΣΤΕΦΑΝΙΑ ΧΑΡΙΣΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΗ ΧΑΤΖΗ ΜΑΡΙΑ
ΜΑΘΗΤΕΣ: ΣΚΑΝΔΑΛΟΥ ΣΤΕΦΑΝΙΑ ΧΑΡΙΣΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΗ ΧΑΤΖΗ ΜΑΡΙΑ

2 Πολυμαθέστατος μαθηματικός και λόγιος της Αλεξάνδρειας
Πολυμαθέστατος μαθηματικός και λόγιος της Αλεξάνδρειας. Γεννήθηκε στην αποικία του νησιού Θήρα, την Κυρήνη, στη Βόρεια Αφρική. Μορφώθηκε στην Αλεξάνδρεια, όπου είχε δάσκαλο τον Καλλίμαχο και τον Λυσανία. Στην Αθήνα παρακολούθησε μαθήματα στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Εκεί άκουσε το στωικό Ζήνωνα, τον Αρίστωνα το Χίο και τον Αρκεσίλαο. Μετά την επάνοδό του στην Αλεξάνδρεια, διορίστηκε διευθυντής της Βιβλιοθήκης και δάσκαλος του γιου του βασιλιά Πτολεμαίου του Ευεργέτη. Θεωρείται ο ιδρυτής της «μαθηματικής γεωγραφίας», αφού χαρτογράφησε τη διαδρομή του Νείλου, δίνοντας επιστημονική εξήγηση για τις ξαφνικές πλημμύρες του. Επίσης, περιέγραψε τις τέσσερις φυλές που κατοικούσαν τότε στην «ευδαίμονα Αραβία», τη σημερινή Υεμένη. Εργάστηκε πάνω στη γεωμετρία (επινόησε ένα μηχανικό τρόπο για τη λύση του Δήλιου προβλήματος) και τη Θεωρία των Αριθμών (ιδιαίτερα πάνω στους πρώτους). Κατασκεύασε ημερολόγιο συμπεριλαμβάνοντας τα δίσεκτα έτη, έθεσε τις βάσεις επιστημονικής χρονολόγησης των γεγονότων ξεκινώντας από την πτώση της Τροίας και έγραψε εκτενή κατάλογο με 675 αστέρες. Κυρίως, όμως, άφησε εποχή στον τομέα της γεωδαισίας, όταν υπολόγισε, με τα ελάχιστα μέσα που τότε μπορούσε κανείς να διαθέτει, την ακτίνα της Γης.

3 Στα 250 π. Χ περίπου, ο Ερατοσθένης ανακάλυψε πως υπήρχε ένα ετήσιο φεστιβάλ στην πόλη Συήνη (σημερινή Ασουάν) στις 20 Ιουνίου. Εκείνη και μόνο εκείνη την ημέρα ήταν δυνατόν να κοιτάξεις μέσα σε ένα πηγάδι και να δεις τον ήλιο. Αυτό το αξιοσημείωτο φαινόμενο συνέβαινε επειδή στις 20 Ιουνίου ο ήλιος ήταν ακριβώς κατακόρυφα, οι φωτεινές ακτίνες του έπεφταν μέσα στο πηγάδι και αντανακλώνταν πίσω στους παρατηρητές. Ο Ερατοσθένης επίσης παρατήρησε πως εκείνη την ημέρα στην Αλεξάνδρεια ένας οβελίσκος έφερε προς τη Συήνη μία «φωτεινή» σκιά, παρόλο που ο ήλιος δεν ήταν ευθεία πάνω από την Αλεξάνδρεια. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι η Γη είναι σφαίρα. Έτσι, από τη γωνία που σχημάτιζαν οι φωτεινές ακτίνες, από την κάθετη και την απόσταση από την Αλεξάνδρεια μέχρι τη Συήνη, ο Ερατοσθένης κατάφερε να υπολογίσει τη περιφέρεια της Γης.

4 Απεικόνιση του Ερατοσθένη Υπολογισμός περιφέρειας της Γης

5 Η χαρτογράφηση του τότε γνωστού «κόσμου» από τον Ερατοσθένη.

6 Μαθηματικός τρόπος που επινόησε ο Ερατοσθένης για αν βρίσκονται εύκολα οι πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι ανήκουν σε ένα ορισμένο υποσύνολο του συνόλου των φυσικών. Είναι γνωστό από το έργο «Εισαγωγή στην Αριθμητική» του Νικομήδη. Αρχικά διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του 2, μετά του 3, μετά του 5 κτλ., ώστε να κάνουμε όλες τις δυνατές διαγραφές. Οι διαγραφές σταματούν όταν φτάσουμε στο μέγιστο πρώτο, του οποίου το τετράγωνο είναι μικρότερο ή ίσο με το μέγιστο στοιχείο αυτού που θεωρήθηκε υποσύνολο των φυσικών.

7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

8 Τομέας των μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες των διανυσματικών χώρων. Σκοπός της είναι η εφαρμογή αυτών των ιδιοτήτων στην αναλυτική γεωμετρία, στην επίλυση γραμμικών συστημάτων με πολλές εξισώσεις και πολλούς αγνώστους, καθώς και προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού και βελτιστοποίησης, έτσι ώστε να απλοποιηθούν κατά πολύ οι διαδικασίες που ακολουθούνται σε κάθε περίπτωση.

9

10 Κλάδος των μαθηματικών που μελετά γεωμετρικά προβλήματα με αλγεβρικές μεθόδους. Πρωταρχικό ρόλο στην Αναλυτική Γεωμετρία παίζει ο ορισμός ενός συστήματος αναφοράς ευθείας, επιπέδου ή χώρου, σύμφωνα με το οποίο στην περίπτωση χώρου μίας διάστασης (ευθεία) σε κάθε σημείο αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός (τετμημένη ), στην περίπτωση χώρου δύο διαστάσεων (επίπεδο) σε κάθε σημείο αντιστοιχεί ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών (τετμημένη- τεταγμένη) και στην περίπτωση χώρου τριών διαστάσεων (χώρος) σε κάθε σημείο αντιστοιχεί μία διατεταγμένη τριάδα πραγματικών αριθμών (τετμημένη- τεταγμένη- κατηγμένη). Με αυτόν τον τρόπο οι γραμμές πάνω στο επίπεδο και οι επιφάνειες μέσα στο χώρο παριστάνονται με αλγεβρικές εξισώσεις που περιέχουν τις μεταβλητές x, y και x, y, z αντίστοιχα. Η ουσία της Αναλυτικής Γεωμετρίας είναι ο προσδιορισμός μίας αμφιμονοσήμαντης και επί αντιστοιχίας ανάμεσα στα διατεταγμένα ζεύγη των πραγματικών αριθμών και στα σημεία του επιπέδου. Αυτή η απεικόνιση οδηγεί στη δυνατότητα αντιστοίχισης μεταξύ των διαφόρων γραμμών του επιπέδου και των εξισώσεων με δύο μεταβλητές, έτσι ώστε για κάθε καμπύλη να υπάρχει μοναδική αλγεβρική εξίσωση της μορφής f (x, y) = 0. Ο σκοπός της Αναλυτικής Γεωμετρίας είναι ο εξής: α) να μελετήσει τις γεωμετρικές ιδιότητες μίας καμπύλης, όταν είναι γνωστή η εξίσωσή της και β) να βρει την εξίσωση μιας καμπύλης, όταν είναι γνωστές κατάλληλες γεωμετρικές της ιδιότητες. Η Αναλυτική Γεωμετρία πήρε τη σημερινή της μορφή χάρη στο έργο δύο Γάλλων μαθηματικών του 17ου αιώνα, του René Descartes (Καρτέσιος, ) και του Pierre de Fermat (Φερμά, ).

11 Κλάδος των μαθηματικών που στηρίζεται στην έννοια του ορίου και της συνάρτησης. Περιλαμβάνει τη μελέτη των ακολουθιών και των σειρών, τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό, τη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων (συνήθης και με μερικές παραγώγους), τον λογισμό των μεταβολών, τη θεωρία συναρτήσεως πραγματικής και μιγαδικής μεταβλητής, τη θεωρία των ολοκληρωτικών εξισώσεων, την αριθμητική και τη συναρτησιακή ανάλυση και την τοπολογία. Ο Απειροστικός Λογισμός γεννήθηκε από γεωμετρικά προβλήματα, όπως το μήκος του τόξου μίας καμπύλης, το εμβαδόν επιφανειών, ο καθορισμός της εφαπτομένης μιας καμπύλης σε ένα σημείο της, ο καθορισμός του μεγίστου και του ελαχίστου κ.ά., καθώς και από προβλήματα της μηχανικής. Πρόδρομος του Απειροστικού Λογισμού θεωρείται ο Αρχιμήδης, ο οποίος είχε χρησιμοποιήσει τις μεθόδους του Απειροστικού Λογισμού στην απόδειξη των τύπων των εμβαδών και των όγκων που είχε υπολογίσει, χωρίς όμως να το κάνει με πλήρη ικανοποίηση, καθώς η έννοια του απειροστού ήταν κάτι που δεν είχε αποδεχτεί. Ο αιώνας στον οποίο αναπτύχθηκε πραγματικά ο Απειροστικός Λογισμός ως ξεχωριστός κλάδος των μαθηματικών ήταν ο 17ος χάρη στο έργο πολλών μαθηματικών σε όλη την Ευρώπη όπως:

12 α) οι Ιταλοί: Bonaventura Cavalieri και Toricelli β) οι Γάλλοι: Pierre de Fermat, Roberval, Blaise Pascal, René Descartes γ) ο Ολλανδός Christian Huygens δ) οι Ελβετοί: Christopher Wren, Brook Taylor, Colin Mac Laurin, John Wallis, James Gregory και φυσικά οι «πατέρες» του Απειροστικού Λογισμού sir Isaac Newton και Gotfried Wihlelm Leibniz, οι οποίοι δούλεψαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο περίπου την ίδια εποχή και δημοσίευσαν σχεδόν ταυτόχρονα τις εργασίες τους, διεκδικώντας ο καθένας για λογαριασμό του την πατρότητα του νέου οικοδομήματος της ανθρώπινης σκέψης. Όμως, ο Απειροστικός Λογισμός πήρε τη μορφή με την οποία τον γνωρίζουμε σήμερα χάρη στο έργο των: Auguste Louis Cauchy, Joseph Fourier, Joseph Louis Lagrange, Karl Weierstrass, Henri Lebesgue, Leonhard Euler, Bernhard Riemann, David Hilbert και άλλων.

13 Ο Ευκλείδης ήταν μεγάλος Έλληνας μαθηματικός της Αρχαιότητας
Ο Ευκλείδης ήταν μεγάλος Έλληνας μαθηματικός της Αρχαιότητας. Για τον τόπο και τον χρόνο της γέννησης και του θανάτου του δεν είναι τίποτα γνωστό. Άκμασε περί το 300 π. Χ. Είναι γνωστό ότι ίδρυσε σχολή και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια την εποχή του Πτολεμαίου Α΄, που βασίλευσε από το 323 μέχρι το 285 π. Χ. Συχνά, διάφοροι μεσαιωνικοί μεταφραστές και εκδότες τον συνέχεαν με τον φιλόσοφο Ευκλείδη τον Μεγαρέα, έναν σύγχρονο του Πλάτωνος, που έζησε έναν περίπου αιώνα πριν. Στο χρονικό διάστημα από το θάνατο του Πλάτωνος (374 π. Χ.) μέχρι το πρώτο έτος της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄(323 π. Χ.), ο Ευκλείδης πρέπει να είχε αποκτήσει φήμη διαπρεπούς μαθηματικού. Αυτό συμπεραίνεται από το γεγονός ότι ο Πτολεμαίος τον κάλεσε να αναλάβει τη διεύθυνση του νέου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας. Η μεγάλη φήμη που απέκτησε ο Ευκλείδης οφείλεται στο σύγγραμμά του που φέρει τον τίτλο Στοιχεία. Η λέξη υποδηλώνει εδώ τα στοιχεία των μαθηματικών, δηλαδή τα στοιχεία της γεωμετρίας και της θεωρίας των αριθμών.

14 Η πραγματεία αυτή από την εποχή που γράφηκε μέχρι σχεδόν σήμερα άσκησε μια βασική και συνεχή επίδραση στην ανθρώπινη σκέψη. Υπήρξε η βασική πηγή γεωμετρικής σκέψης, θεωρημάτων και μεθόδων τουλάχιστον μέχρι την εμφάνιση των μη ευκλείδιων γεωμετριών κατά τον 19ο αιώνα. Από παιδαγωγική και μεθοδολογική άποψη τα Στοιχεία θεωρούνται το ως το πληρέστερο πνευματικό δημιούργημα της ανθρώπινης διάνοιας. Λέγεται ότι, μετά τη Βίβλο, τα Στοιχεία, είναι πιθανώς το βιβλίο που έχει μεταφραστεί, εκδοθεί και μελετηθεί περισσότερο από όλα τα βιβλία του δυτικού κόσμου. Ο Ευκλείδης συνέγραψε πολλά άλλα έργα, ορισμένα από τα οποία έχουν χαθεί. Πριν από τον Ευκλείδη είχαν γράψει Στοιχεία των μαθηματικών ο Αναξίμανδρος, ο Ιπποκράτης ο Χίος, ο Λέων και ο Θεόδιος ο Μαγνήσιος (από τη Μαγνησία της Μικράς Ασίας).

15 Το περιεχόμενο των Στοιχείων κατανέμεται σε 13 βιβλία
Το περιεχόμενο των Στοιχείων κατανέμεται σε 13 βιβλία. Από αυτά, τα 10 αφορούν τη γεωμετρία και τα υπόλοιπα 3 τη θεωρία των αριθμών. Στο πρώτο βιβλίο περιέχονται 23 ορισμοί, τα περίφημα αξιώματα [ με τους τίτλους αιτήματα και κοινές αξίες] καθώς και η θεωρία των τριγώνων που περιέχει 48 θεωρήματα. Το τεσσαρακοστό έβδομο από αυτά είναι το πυθαγόρειο θεώρημα που λέει πως: Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

16 Απεικονίσεις του Ευκλείδη

17 β α Δηλαδή: α² = β²+ γ² Από αυτή τη σχέση προκύπτουν γ ακόμη δύο σχέσεις με τις οποίες υπολογίζονται οι δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου εφόσον βέβαια είναι γνωστή η υποτείνουσα. Οι σχέσεις αυτές είναι οι εξής: β²= α² - γ² και γ²= α²- β²

18 Στο δεύτερο βιβλίο προτάσσονται δύο ορισμοί και ακολουθούν 14 θεωρήματα από τα οποία τα 10 πρώτα αφορούν την άλγεβρα. Στο τρίτο βιβλίο, στο οποίο περιέχονται 11 ορισμοί και 37 θεωρήματα, εξετάζεται ο κύκλος. Στο τέταρτο βιβλίο περιλαμβάνονται 7 ορισμοί και 16 προβλήματα που αφορούν κατασκευές τριγώνων και εγγραφή και περιγραφή κανονικών πολυγώνων σε κύκλο. Στο πέμπτο βιβλίο περιέχονται 25 θεωρήματα και 18 ορισμοί από τους οποίους ο τέταρτος είναι το περίφημο αξίωμα της συνέχειας των σύγχρονων μαθηματικών. Στο έκτο βιβλίο προτάσσονται 5 ορισμοί και 33 θεωρήματα, στα οποία εξετάζονται οι ιδιότητες της ομοιότητας των σχημάτων. Μεταξύ αυτών και δύο θεωρήματα που αφορούν την έλλειψη και την υπερβολή. Στα βιβλία 7, 8 , 9 εκτείθενται τα στοιχεία της θεωρίας των αριθμών. Το δέκατο βιβλίο είναι και το εκτενέστερο αφού περιλαμβάνει 115 θεωρήματα. Τα τρία τελευταία βιβλία των Στοιχείων αφορούν τη στερεομετρία και συγκεκριμένα το δέκατο τρίτο (18 θεωρήματα), μελετά την εγγραφή των πέντε πλατωνικών ή κανονικών πολυέδρων (τετράεδρο, οκτάεδρο, κύβος, εικοσάεδρο και δωδεκάεδρο) σε σφαίρα. Τέλος, στα Στοιχεία του Ευκλείδη χρησιμοποιούνται και οι τέσσερεις αποδεικτικές μέθοδοι των μαθηματικών: η συνθετική, η εις άτοπον απαγωγή, η αναλυτική και η τέλεια απαγωγή. Άλλα βιβλία που αποδίδονται στον Ευκλείδη είναι: τα Δεδομένα και το Περί Διαιρέσεων που αφορούν τη στοιχειώδη γεωμετρία.

19 Για να αποδείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί θα χρησιμοποιήσουμε την εις άτοπο απαγωγή απόδειξη και θα υποθέσουμε αρχικά το αντίθετο, ότι δηλαδή δεν είναι άπειροι. Σε αυτή όμως την περίπτωση μπορούμε να προσδιορίσουμε τον μεγαλύτερο από αυτούς. Ας τον ονομάσουμε ν. Εξετάζουμε τώρα τον αριθμό (1,2,3,4,…ν) +1, ο οποίος είναι σίγουρα μεγαλύτερος από τον ν. Αν είναι πρώτος, τότε έχουμε καταλήξει σε αντίφαση, αφού είχαμε υποθέσει ότι ο ν είναι ο μεγαλύτερος. Αν όμως δεν είναι πρώτος, τότε θα έχει κάποιον πρώτο διαιρέτη, ο οποίος σύμφωνα με την υπόθεσή μας θα πρέπει να είναι μικρότερος από τον ν. Όμως, κανένας από τους αριθμούς που είναι μικρότεροι από τον ν δεν μπορεί να διαιρεί ακριβώς τον (1,2,3,4…ν) +1. Η υπόθεση ότι οι πρώτοι αριθμοί δεν είναι άπειροι οδηγεί σε αντίφαση. Επομένως οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι.