Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A αβ ζ η ε γ θ Το γράφημα.

Παρουσίαση με θέμα: "Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A αβ ζ η ε γ θ Το γράφημα."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A αβ ζ η ε γ θ Το γράφημα εισόδου δίνεται ως ακολουθία ακμών: π.χ. (α,β), (β,γ), (α,ε), (β,η), (θ,ζ), (η,ε), (ζ,α), (γ,θ), (θ,β), (ε,ζ), (η,θ), (ζ,η)

2 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Για κάθε κορυφή δίνουμε μια κυκλική διάταξη των γειτονικών της ακμών, π.χ. δεξιόστροφα (κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού). αβ ζ η ε γ θ α : (α,β), (α,ε), (α,ζ) β : (β,α), (β,γ), (β,θ), (β,η) γ : (γ,β), (γ,θ) ε : (ε,α), (ε,η), (ε,ζ) ζ : (ζ,α), (ζ,ε), (ζ,η) η : (η,ζ), (η,ε), (η,β), (η,θ) θ : (θ,η), (θ,β), (θ,γ), (θ,ζ) Συνδυαστική αναπαράσταση επίπεδου γραφήματος

3 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμοι ελέγχου επιπεδότητας Μέθοδος των Auslander και Parter (1961), και Goldstein (1963) Γραμμικός αλγόριθμος των Hopcroft και Tarjan (1974) Μέθοδος Lempel, Even και Cederbaum (1967) Μπορεί να υλοποιηθεί σε γραμμικό χρόνο με τη βοήθεια των παρακάτω αποτελεσμάτων : Γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού δισυνεκτικών συνιστωσών [Tarjan 1972], γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού st-αρίθμησης [Even και Tarjan 1975], PQ-δένδρα [Booth και Lueker 1975]. Άλλοι αλγόριθμοι ελέγχου που βασίζονται στον LEC : Shih και Hsu (1993), Boyer και Myrvold (1999).

4 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Θα εξετάσουμε τη μέθοδο των Lempel, Even και Cederbaum (1967) Δίνει αλγόριθμο γραμμικού χρόνου με τη βοήθεια των παρακάτω αποτελεσμάτων : Γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού δισυνεκτικών συνιστωσών [Tarjan 1972]. Γραμμικός αλγόριθμος υπολογισμού st-αρίθμησης [Even και Tarjan 1975]. PQ-δένδρα [Booth και Lueker 1975].

5 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : Είναι απλό (δεν έχει βρόχους και παράλληλες ακμές). Έχει τουλάχιστον 5 κόμβους. Έχει το πολύ 3n-6 ακμές. Είναι συνεκτικό. Είναι δισυνεκτικό.

6 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : Είναι απλό (δεν έχει βρόχους και παράλληλες ακμές). Ένας βρόχος (v,v) μπορεί να σχεδιαστεί πολύ κοντά στον κόμβο v. Οι παράλληλες ακμές μπορούν να σχεδιαστούν πολύ κοντά μεταξύ τους.

7 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : Έχει τουλάχιστον 5 κόμβους. 12 3 4 Το πλήρες γράφημα με 4 κόμβους είναι επίπεδο.

8 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : Έχει το πολύ 3n-6 ακμές. Αν και δεν υπάρχουν βρόχοι και παράλληλες ακμές τότε

9 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : Είναι συνεκτικό. Κάθε συνεκτική συνιστώσα πρέπει να ορίζει επίπεδο γράφημα.

10 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ένα γράφημα εισόδου G με n κόμβους το οποίο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : Είναι δισυνεκτικό. Ισχύει η ακόλουθη πρόταση : Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα.

11 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Δισυνεκτική συνιστώσα : Μείζον δισυνεκτικό υπογράφημα. Άρθρωση : κόμβος v του G, η διαγραφή του οποίου αποσυνδέει το G, δηλαδή το γράφημα G-v δεν είναι συνεκτικό. Γέφυρα : ακμή e του G, η διαγραφή της οποίας αποσυνδέει το G, δηλαδή το γράφημα G-e δεν είναι συνεκτικό. Δισυνεκτικό γράφημα : Γράφημα χωρίς αρθρώσεις.

12 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. δισυνεκτική συνιστώσα γέφυρα άρθρωση

13 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Απόδειξη Αν το G είναι επίπεδο τότε προφανώς και οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε το αντίστροφο: Aν οι δισυνεκτικές συνιστώσες του G είναι επίπεδα γραφήματα τότε και το G είναι επίπεδο. Η απόδειξη είναι με επαγωγή ως προς τον αριθμό α των αρθρώσεων του G. Βάση α=0 : Η πρόταση προφανώς ισχύει αφού το G είναι δισυνεκτικό. Επαγωγική Υπόθεση : Η πρόταση ισχύει για κάθε γράφημα με ≤α αρθρώσεις.

14 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Απόδειξη Επαγωγικό Βήμα : Υποθέτουμε ότι το G έχει α+1 αρθρώσεις. Έστω v μία άρθρωση του G. Το G-v έχει συνεκτικές συνιστώσες G 1, G 2, …, G k. Κάθε συνεκτική συνιστώσα G i έχει το πολύ α αρθρώσεις. Συνεπάγεται από την επαγωγική υπόθεση ότι κάθε G i είναι επίπεδο γράφημα. Θεωρούμε ένα αυθαίρετο σχέδιο του G i στο επίπεδο. Επιλέγουμε μια όψη που περιέχει τον κόμβο v και την κάνουμε εξωτερική (βλ. προηγούμενη διάλεξη). Με αυτόν τον τρόπο αποκτούμε σχέδια των G 1, G 2, …, G k όπου ο κόμβος v είναι στην εξωτερική όψη όλων των συνιστωσών.

15 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Απόδειξη vv β γ δ ε ζ v δ γ ζ β ε δ γ ζ β ε

16 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω απλό γράφημα G. Το G είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν οι δισυνεκτικές του συνιστώσες είναι επίπεδα γραφήματα. Απόδειξη Με αυτόν τον τρόπο αποκτούμε σχέδια των G 1, G 2, …, G k όπου ο κόμβος v είναι στην εξωτερική όψη όλων των συνιστωσών. Μπορούμε να συγχωνεύσουμε όλα αυτά τα σχέδια μέσω του v και να λάβουμε ένα σχέδιο στο επίπεδο του αρχικού γραφήματος G. G2 G2 Gk Gk G1 G1 Συνεπάγεται ότι το G είναι επίπεδο.

17 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A st-αρίθμηση Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) E. Μια st-αρίθμηση του G είναι μια αρίθμηση των κόμβων π : V → {1,…,n}, τέτοια ώστε π(s)=1, π(t)=n, και κάθε κόμβος v V-{s,t} έχει ένα γειτονικό κόμβο με μικρότερη αρίθμηση και ένα γειτονικό κόμβο με μεγαλύτερη αρίθμηση, δηλαδή υπάρχουν ακμές (u,v) E και (w,v) E τέτοιες ώστε π(u)<π(v)<π(w). 2 t s 5 4 3 6 1

18 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A st-αρίθμηση Θα αποδείξουμε πρώτα την ύπαρξη μιας st-αρίθμησης χρησιμοποιώντας έναν απλό αλγόριθμο. Στη συνέχεια θα δώσουμε ένα γραμμικό αλγόριθμο με χρήση καθοδικής διερεύνησης. Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολογιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m≥n).

19 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A st-αρίθμηση Η st-αρίθμηση ορίζει μια γραμμική διάταξη των κόμβων, με πρώτο τον s και τελευταίο τον t. 2 t s 5 4 3 6 1 125436 Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολογιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m≥n).

20 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A st-αρίθμηση Η st-αρίθμηση ορίζει μια γραμμική διάταξη των κόμβων, με πρώτο τον s και τελευταίο τον t. st Ιδέα: Ξεκινάμε με μια διάταξη που περιλαμβάνει μόνο τους s και t την οποία επεκτείνουμε σε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα βρίσκουμε ένα μονοπάτι που συνδέει δύο κόμβους που βρίσκονται ήδη σε διάταξη και τοποθετούμε στη διάταξη τους κόμβους του μονοπατιού. Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολογιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m≥n).

21 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A st-αρίθμηση Έστω δισυνεκτικό γράφημα G=(V,E) με n=|V| κόμβους και m=|E| ακμές και έστω ακμή (s,t) E. Το G έχει st-αρίθμηση η οποία μπορεί να υπολογιστεί σε Ο(m+n)=Ο(m) χρόνο (m≥n). st Έστω ένας κόμβος v που ανήκει στην τρέχουσα διάταξη αλλά έχει γειτονικό κόμβο w εκτός της διάταξης. Βρίσκουμε ένα μονοπάτι P από το w προς κάποιο κόμβο u≠v που ανήκει στην τρέχουσα διάταξη. (Το P υπάρχει γιατί το G-v είναι συνεκτικό.) Αν ο v προηγείται του u στη διάταξη τότε εισάγουμε τους κόμβους του P αμέσως μετά τον v. Διαφορετικά εισάγουμε τους κόμβους του P αμέσως πριν τον v. vu w υπογράφημα του G εκτός της τρέχουσας διάταξης stvuw

22 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο sα t δ γ β ε ζ γα δ α s tαε ζδ εδ s t s α β γ δ ε ζ t t γδ ζ εβ ε s αβ

23 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο sα t γ β ε ζ t s Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T 1 2 δ

24 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο sα t γ β ε ζ t s γ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T 1 2 3 δ

25 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο sα t γ β ε ζ t s γ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T α 1 2 3 4 δ

26 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο sα t γ β ε ζ t s γ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T α δ 1 2 3 4 5 δ

27 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο sα t γ β ε ζ t s γ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T α δ ε 1 2 3 4 5 6 δ

28 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο sα t γ β ε ζ t s γ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T α δ ε ζ 1 2 3 4 5 6 7 δ

29 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο sα t γ β ε ζ t s γ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T α δ ε βζ 1 2 3 4 8 5 6 7 δ

30 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο sα t γ β ε ζ t s γ Δένδρο καθοδικής διερεύνησης T α δ ε βζ 1 2 3 4 8 5 6 7 δ δενδρική ακμή ανιούσα ακμή

31 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Κατά την καθοδική διερεύνηση αποθηκεύουμε δύο αριθμούς για κάθε κόμβο v : s(v) = σειρά (χρόνος) ανακάλυψης του v. L(v) = ελάχιστο s(u) τέτοιο ώστε υπάρχει ανιούσα ακμή (w,u) για κάποιο απόγονο w του v· L(v)=s(v) αν δεν υπάρχει τέτοιος απόγονος w του v. t s γα δ ε βζ 1 2 3 4 5 6 7 8 s(ε)=6, L(ε)=4 s(α)=4, L(α)=1 p(v) = γονέας του v στο Τ.

32 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Κατά την καθοδική διερεύνηση αποθηκεύουμε δύο αριθμούς για κάθε κόμβο v : s(v) = σειρά (χρόνος) ανακάλυψης του v. L(v) = ελάχιστο s(u) τέτοιο ώστε υπάρχει ανιούσα ακμή (w,u) για κάποιο απόγονο w του v· L(v)=s(v) αν δεν υπάρχει τέτοιος απόγονος w του v. p(v) = γονέας του v στο Τ. Ιδιότητα: Αν το G είναι δισυνεκτικό τότε L(v)<s(p(v)) για κάθε κόμβο v τέτοιον ώστε s(p(v))≠1. Αν s(p(v))=1 τότε L(v)=s(p(v))=1.

33 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Μετά την ολοκλήρωση της καθοδικής διερεύνησης και τον υπολογισμό των p(v), s(v) και L(v), ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί μια βοηθητική ρουτίνα PathFinder η οποία ανακαλύπτει μονοπάτια και σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές τους ως εξής: Αρχικά μόνο οι κόμβοι s,t και η ακμή (s,t) είναι σημειωμένοι. Η πρώτη κλήση PathFinder(s) βρίσκει ένα απλό μονοπάτι από τον s στον t που δεν περιέχει την ακμή (s,t). Σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές του μονοπατιού. Κάθε επόμενη κλήση PathFinder(v) βρίσκει ένα απλό μονοπάτι με νέες (=μη σημειωμένες) ακμές, από σημειωμένο κόμβο v σε σημειωμένο κόμβο w≠v. Σημειώνει τους κόμβους και τις ακμές του μονοπατιού.

34 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (1) αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον w πρόγονο του v τότε σημείωσε την (v,w) επιστροφή μονοπατιού P = (v,w) (2) διαφορετικά αν υπάρχει νέα δενδρική ακμή (v,w) όπου v=p(w) τότε σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w δεν είναι σημειωμένος βρες (νέα) ακμή (w,x) με s(x)=L(w) ή L(x)=L(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P (w,x) w = x w v v w x

35 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (3) διαφορετικά αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον v πρόγονο του w τότε σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w δεν είναι σημειωμένος βρες (νέα) ακμή (w,x) με x=p(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P (w,x) w = x (4) διαφορετικά P =  v x w

36 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο PathFinder(v) (3) διαφορετικά αν υπάρχει νέα ανιούσα ακμή (v,w) με τον v πρόγονο του w τότε σημείωσε την (v,w) και αρχικοποίησε P = (v,w) ενόσω ο κόμβος w δεν είναι σημειωμένος βρες (νέα) ακμή (w,x) με x=p(w) σημείωσε τον w και την (w,x) P = P (w,x) w = x (4) διαφορετικά P =  v x w Παρατήρηση: Στην περίπτωση (3) όλα τα παιδιά του v είναι σημειωμένα. Επομένως, το P τερματίζει σε απόγονο του w του v όπου w≠v.

37 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ο αλγόριθμος υπολογίζει μια st-αρίθμηση χρησιμοποιώντας τη βοηθητική ρουτίνα PathFinder μαζί με μία στοίβα Σ: Η στοίβα Σ περιέχει σημειωμένους κόμβους. Αρχικά τοποθετούνται στην Σ οι κόμβοι t και s, με τον s στην κορυφή. Κάθε φορά διαγράφεται ο κόμβος v στην κορυφή της Σ και καλείται η PathFinder(v) η οποία επιστρέφει ένα μονοπάτι P. Αν P=  τότε ο v λαμβάνει τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό και δεν τοποθετείται ξανά στη στοίβα. Αν P = (v 1,v 2 ) (v 2,v 3 )... (v k-1,v k ), όπου v 1 =v, τότε οι κόμβοι v k-1, v k-2, …, v 2 και v 1 τοποθετούνται στην κορυφή της στοίβας.

38 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο stNumber σημείωσε τους κόμβους s,t και την ακμή (s,t) Σ.ώθηση(t), Σ.ώθηση(s), i=0 ενόσω η Σ δεν είναι κενή v = Σ.απώθηση() P = (v 1,v 2 ) (v 2,v 3 )... (v k-1,v k ) = PathFinder(v) αν P≠  τότε για j=k-1 έως 1 Σ.ώθηση(v j ) διαφορετικά αρίθμηση(v)=i+1

39 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ t s Σ

40 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ t γ Σ P = (s,γ), (γ,t) s

41 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ t γ Σ P = (s,α), (α,δ), (δ,t) δ α s

42 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ t γ Σ δ α αρίθμηση(s)=1

43 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ t γ Σ δ ε αρίθμηση(s)=1 P = (α,ε), (ε,δ) α

44 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ t γ Σ δ ε αρίθμηση(s)=1 P = (α,β), (β,ε) β α

45 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ t γ Σ δ ε αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 β

46 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ t γ Σ δ ε αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3

47 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ t γ Σ δ ζ αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 P = (ε,ζ), (ζ,δ) ε

48 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ t γ Σ δ ζ αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 αρίθμηση(ε)=4

49 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο t s γα δ ε βζ Σ αρίθμηση(s)=1 αρίθμηση(α)=2 αρίθμηση(β)=3 αρίθμηση(ε)=4 αρίθμηση(ζ)=5 αρίθμηση(δ)=6 αρίθμηση(γ)=7 αρίθμηση(t)=8

50 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο sα t δ γ β ε ζ 8 1 7 2 3 6 4 5

51 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ιδιότητες: Από τη στιγμή που ένας κόμβος v τοποθετείται στη στοίβα Σ, κανένας κόμβος που βρίσκεται κάτω από τον v στη Σ δε λαμβάνει αρίθμηση πριν τον v. Ένας κόμβος διαγράφεται μόνιμα από την Σ μόνο εφόσον όλες οι ακμές που προσπίπτουν σε αυτών έχουν σημειωθεί.

52 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ιδιότητες: Κάθε κόμβος u ≠ s,t τοποθετείται στην Σ προτού διαγραφεί ο t. Απόδειξη Αφού το G είναι δισυνεκτικό, υπάρχει μονοπάτι s=w 1,...,w k =u το οποίο δεν περιέχει τον t. Έστω w j ο κόμβος του μονοπατιού με μέγιστο δείκτη j που τοποθετείται στην Σ προτού διαγραφεί ο t. Θα δείξουμε ότι η υπόθεση w j ≠ w k οδηγεί σε άτοπο. Τότε ο w j διαγράφεται μόνιμα πριν διαγραφεί ο t. Για να συμβεί αυτό πρέπει η ακμή (w j,w j+1 ) να σημειωθεί, δηλαδή να τοποθετηθεί ο w j+1 στην Σ, το οποίο όμως αντιβαίνει τον ορισμό του w j.

53 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός μιας st-αρίθμησης σε Ο(m) χρόνο Ιδιότητες: Ο αλγόριθμος stNumber παράγει έγκυρη st-αρίθμηση. Απόδειξη Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει ότι όλοι κόμβοι λαμβάνουν αρίθμηση και επιπλέον αρίθμηση(s)=1 και αρίθμηση(t)=n. Έστω αυθαίρετος κόμβος u ≠ s,t. Για να τοποθετηθεί ο u στην Σ για πρώτη φορά, πρέπει μια κλήση PathFinder(v) να επιστρέψει ένα απλό μονοπάτι P που περιέχει τον u. Έστω x ό κόμβος που προηγείται του u στο P και έστω y ό κόμβος που έπεται του u στο P. Τότε ο u τοποθετείται πάνω από τον y και κάτω από τον x στην Σ. Άρα θα έχουμε αρίθμηση(x)<αρίθμηση(u)<αρίθμηση(y).

54 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Δομή δεδομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συγκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Παράδειγμα Έστω σύνολο U={α,β,γ,δ} και υποσύνολα S 1 ={α,β,γ}, S 2 ={α,δ}. Οι έγκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: β,γ,α,δ γ,β,α,δ δ,α,β,γ δ,α,γ,β

55 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Δομή δεδομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συγκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Παράδειγμα Έστω σύνολο U={α,β,γ,δ} και υποσύνολα S 1 ={α,β,γ}, S 2 ={α,δ}. Οι έγκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: β,γ,α,δ γ,β,α,δ δ,α,β,γ δ,α,γ,β Αν είχαμε επιπλέον το υποσύνολο S 3 ={β,δ} τότε δεν υπάρχει καμία έγκυρη μετάθεση του U.

56 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Ένα PQ-δένδρο για το σύνολο στοιχείων U είναι ένα διατεταγμένο δένδρο όπου : Στα φύλλα του δένδρου βρίσκονται στοιχεία του U. Οι εσωτερικοί κόμβοι διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: στους P-κόμβους και στους Q-κόμβους.

57 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Ένα PQ-δένδρο ορίζεται αναδρομικά ως εξής : 2.Έστω PQ-δένδρα T 1, T 2,..., T k. Ένας P-κόμβος v με παιδιά τα Τ i είναι ένα PQ- δένδρο με ρίζα v. Αναπαριστά όλες τις μεταθέσεις των T 1, T 2,..., T k. 1.Ένα φύλλο v που περιέχει ένα στοιχείο του U είναι ένα PQ-δένδρο με ρίζα v. T1T1 T2T2 TkTk... 3.Έστω PQ-δένδρα T 1, T 2,..., T k. Ένας Q-κόμβος v με παιδιά τα Τ i είναι ένα PQ- δένδρο με ρίζα v. Αναπαριστά τη διάταξη T 1, T 2,..., T k ή τη διάταξη T k, T k-1,..., T 1. T1T1 TkTk... T2T2

58 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Ένα PQ-δένδρο είναι έγκυρο όταν : Κάθε στοιχείο του U εμφανίζεται σε ακριβώς ένα φύλλο. Κάθε P-κόμβος έχει τουλάχιστον 2 παιδιά. Κάθε Q-κόμβος έχει τουλάχιστον 3 παιδιά.

59 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Παράδειγμα Έστω σύνολο U={α,β,γ,δ} και υποσύνολα S 1 ={α,β,γ}, S 2 ={α,δ}. Οι έγκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: β,γ,α,δ γ,β,α,δ δ,α,β,γ δ,α,γ,β βγ αδ PQ-δένδρο

60 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Παρατήρηση : Οι Q-κόμβοι είναι απαραίτητοι. Π.χ. οι μεταθέσεις του συνόλου U={α,β,γ} με υποσύνολα S 1 ={α,β} και S 2 ={β,γ} δεν μπορούν να αναπαρασταθούν από δένδρο με μόνο φύλλα και P-κόμβους.

61 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Παρατήρηση : Οι Q-κόμβοι είναι απαραίτητοι. Π.χ. οι μεταθέσεις του συνόλου U={α,β,γ} με υποσύνολα S 1 ={α,β} και S 2 ={β,γ} δεν μπορούν να αναπαρασταθούν από δένδρο με μόνο φύλλα και P-κόμβους. Οι έγκυρες μεταθέσεις του U είναι οι ακόλουθες: α,β,γ γ,β,α αβγ PQ-δένδρο

62 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Δύο PQ-δένδρα είναι ισοδύναμα όταν το ένα μπορεί να μετατραπεί στο άλλο με χρήση 0 ή παραπάνω μετασχηματισμούς ισοδυναμίας. Τύποι μετασχηματισμών ισοδυναμίας : 1.Αυθαίρετη μετάθεση των παιδιών ενός P-κόμβου. T1T1 T2T2 T4T4 T3T3 T2T2 T3T3 T1T1 T4T4 2.Αντιστροφή των παιδιών ενός Q-κόμβου T1T1 T3T3 T2T2 T4T4 T4T4 T2T2 T3T3 T1T1

63 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα βγα δ ιεζ ηθκλ β ι θηκλ εζ δ γα ισοδύναμο με

64 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Δομή δεδομένων που αναπαριστά τις μεταθέσεις ενός συνόλου U στις οποίες συγκεκριμένα υποσύνολα του U εμφανίζονται ως συνεχόμενες υποακολουθίες. Αλγόριθμος Έστω U={a 1,a 2,...,a m } και έστω S={S 1, S 2,..., S n }. Ξεκινάμε με ένα αρχικό PQ-δένδρο με ρίζα ένα P-κόμβο που έχει ως παιδιά m φύλλα με τα στοιχεία του U. a1a1 a2a2 amam... Επεξεργαζόμαστε ένα-ένα τα υποσύνολα S j S. Για κάθε τέτοιο υποσύνολο S j τροποποιούμε κατάλληλα το PQ-δένδρο ώστε τα στοιχεία του S j να εμφανίζονται συνεχόμενα. Η επεξεργασία του PQ-δένδρου για το υποσύνολο S j γίνεται από κάτω προς τα πάνω και επηρεάζει τους κόμβους που είναι πρόγονοι φύλλων που αντιστοιχούν στα στοιχεία του S j.

65 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Παράδειγμα Έστω σύνολο U={α,β,γ,δ} και υποσύνολα S 1 ={α,β,γ}, S 2 ={α,δ}. αβδγ αρχικό PQ-δένδρο

66 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Παράδειγμα Έστω σύνολο U={α,β,γ,δ} και υποσύνολα S 1 ={α,β,γ}, S 2 ={α,δ}. αβδγ αρχικό PQ-δένδρο προσθήκη συνόλου S 1 αγβ δ

67 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Παράδειγμα Έστω σύνολο U={α,β,γ,δ} και υποσύνολα S 1 ={α,β,γ}, S 2 ={α,δ}. προσθήκη συνόλου S 2 αγβ δ βαγ δ β α γ δ

68 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Η επεξεργασία του PQ-δένδρου για το υποσύνολο S j γίνεται από κάτω προς τα πάνω και επηρεάζει τους κόμβους που είναι πρόγονοι φύλλων που αντιστοιχούν στα στοιχεία του S j. PQ-δένδρα Έστω U(v) το σύνολο των στοιχείων του U που είναι αποθηκευμένα στα φύλλα του υποδένδρου με ρίζα v. Ο κόμβος v είναι : Πλήρης (για το S j ), όταν U(v)  S j. Κενός (για το S j ), όταν U(v) ∩ S j = . Μερικός (για το S j ), όταν U(v) ∩ S j ≠ . Ένας πλήρης ή μερικός κόμβος v λέμε ότι είναι σχετικός (για το S j ).

69 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα Αν ο κόμβος v είναι πλήρης ή κενός τότε δεν πραγματοποιείται καμία αλλαγή.

70 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα Αν ο κόμβος v είναι μερικός P-κόμβος τότε διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με το αν (1) ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και (2) αν έχει (1 ή 2) παιδιά που είναι μερικά. βγα δ ιεζ ηθκλ vS j ={β,ι}

71 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα Αν ο κόμβος v είναι μερικός P-κόμβος τότε διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με το αν (1) ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και (2) αν έχει (1 ή 2) παιδιά που είναι μερικά. Αν δεν μπορεί να εφαρμοστεί κανένας μετασχηματισμός για τον κόμβο v τότε δεν υπάρχει μετάθεση του U που να ικανοποιεί τους περιορισμούς του S.

72 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα α) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και δεν έχει κανένα μερικό παιδί.... κενοίπλήρεις...

73 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα β) Ο v δεν είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και δεν έχει κανένα μερικό παιδί.... κενοίπλήρεις...

74 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα γ) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ένα μερικό παιδί....

75 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα δ) Ο v δεν είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς ένα μερικό παιδί....

76 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα ε) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς δύο μερικά παιδιά....

77 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα Ανάλογοι μετασχηματισμοί ορίζονται και για τους Q-κόμβους.

78 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα γ’) Ο v έχει ακριβώς ένα μερικό παιδί....

79 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σε κάθε κόμβο v που επεξεργαζόμαστε εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο μετασχηματισμό ανάλογα με την κατάσταση των παιδιών του. PQ-δένδρα δ’) Ο v είναι ο κοντινότερος κοινός πρόγονος όλων των σχετικών φύλλων και έχει ακριβώς δύο μερικά παιδιά....

80 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα βγα δ ιεζ ηθκλ Παράδειγμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-δένδρο.

81 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα βγα δ ιεζ ηθκλ Παράδειγμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-δένδρο. (β)

82 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα βγα δ ιεζ ηθκλ Παράδειγμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-δένδρο.

83 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα βγα δ ζε ι θηλκ Παράδειγμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-δένδρο.

84 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα βγα δ ζε ι θηλκ Παράδειγμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-δένδρο. (δ’)

85 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα βγα δζε ι θηλκ Παράδειγμα Έστω ότι προσθέτουμε τον περιορισμό (υποσύνολο) S={ε,ι,κ,λ} στο παρακάτω PQ-δένδρο.

86 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A PQ-δένδρα Η αποδοτική υλοποίηση των μετασχηματισμών του PQ-δένδρου απαιτεί προσοχή! Ένα PQ-δένδρο μπορεί να υπολογίσει τις μεταθέσεις ενός συνόλου U με m στοιχεία έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι περιορισμοί n υποσυνόλων S 1, S 2,..., S n σε συνολικό χρόνο

87 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Έστω G ένα απλό, δισυνεκτικό γράφημα με n≥5 κόμβους και m≤3n-6 ακμές. Υπολογίζουμε μια st-αρίθμηση του G. Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους του G σε αύξουσα st-αρίθμηση ως εξής : Έστω G i το υπογράφημα του G που περιλαμβάνει τους κόμβους 1, 2, …,i και τις μεταξύ τους ακμές. 2 t s 5 4 3 6 1

88 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Έστω G ένα απλό, δισυνεκτικό γράφημα με n≥5 κόμβους και m≤3n-6 ακμές. Υπολογίζουμε μια st-αρίθμηση του G. Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους του G σε αύξουσα st-αρίθμηση ως εξής : Έστω G i το υπογράφημα του G που περιλαμβάνει τους κόμβους 1, 2, …,i και τις μεταξύ τους ακμές. 2 t s 5 4 3 6 1 G3G3

89 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Έστω G ένα απλό, δισυνεκτικό γράφημα με n≥5 κόμβους και m≤3n-6 ακμές. Υπολογίζουμε μια st-αρίθμηση του G. Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους του G σε αύξουσα st-αρίθμηση ως εξής : Έστω G i το υπογράφημα του G που περιλαμβάνει τους κόμβους 1, 2, …,i και τις μεταξύ τους ακμές. Για i=2,…,n-1, έχουμε μια (έμμεση) αναπαράσταση του G i στο επίπεδο την οποία επεκτείνουμε με την προσθήκη του κόμβου i+1.

90 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Θεωρούμε ένα σχέδιο του G στο επίπεδο όπου η ακμή (1,n) βρίσκεται στην εξωτερική όψη. GiGi n Στο αντίστοιχο σχέδιο του G i, ο κόμβος n βρίσκεται στην εξωτερική όψη.

91 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Θεωρούμε ένα σχέδιο του G στο επίπεδο όπου η ακμή (1,n) βρίσκεται στην εξωτερική όψη. GiGi j n Στο αντίστοιχο σχέδιο του G i, ο κόμβος n βρίσκεται στην εξωτερική όψη. Επιπλέον, για κάθε κόμβο j>i, υπάρχει μονοπάτι από τον j στον n το οποίο δεν περιέχει κόμβους του G i (συνεπάγεται από την st-αρίθμηση). Άρα όλοι οι κόμβοι j>i πρέπει να βρίσκονται στην εξωτερική όψη του G i.

92 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Αρκεί να ελέγξουμε αν το G i μπορεί να σχεδιαστεί έτσι ώστε οι κόμβοι i+1,…,n να βρίσκονται στην εξωτερική του όψη. 2 t s 5 4 3 6 1 G3G3 2 3 1 B3B3 6 5 54 Ορίζουμε ένα βοηθητικό γράφημα B i το οποίο προκύπτει από το G i με την προσθήκη κόμβων και ακμών ως εξής: Για κάθε ακμή (k,j) του G με k≤i και j>i προσθέτουμε ένα νέο αντίγραφο του κόμβου j μαζί με την ακμή (k,j).

93 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Αρκεί να ελέγξουμε αν το G i μπορεί να σχεδιαστεί έτσι ώστε οι κόμβοι i+1,…,n να βρίσκονται στην εξωτερική του όψη. Ορίζουμε ένα βοηθητικό γράφημα B i το οποίο προκύπτει από το G i με την προσθήκη κόμβων και ακμών ως εξής: Για κάθε ακμή (k,j) του G με k≤i και j>i προσθέτουμε ένα νέο αντίγραφο του κόμβου j μαζί με την ακμή (k,j). Τώρα πρέπει να ελέγξουμε αν οι νέοι κόμβοι μπορούν να τοποθετηθούν στην εξωτερική όψη : Για το B 1 προφανώς ισχύει. Έστω ότι ισχύει για το B i-1. Αρκεί να εξετάσουμε αν υπάρχει αναπαράσταση του B i όπου οι νέοι γειτονικοί κόμβοι του i μπορούν να τοποθετηθούν σε συνεχόμενες θέσεις. i i

94 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. 54 1 2 3 Παράδειγμα

95 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum 5 1 2 3 Παράδειγμα (1,2)(1,3)(1,5) B1B1 Εισάγουμε P-κόμβο για τις ακμές (1,j) με j>1. Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i.

96 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum 5 1 2 3 Παράδειγμα (1,2)(1,3)(1,5) Ομαδοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 2. Υπάρχει μόνο η (1,2) οπότε δεν αλλάζει κάτι. Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i.

97 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Παράδειγμα (1,3)(1,5) B2B2 54 1 2 3 3 5 (2,3)(2,4)(2,5) Εισάγουμε στη θέση της ακμής (1,2) ένα P-κόμβο για τις ακμές (2,j) με j>2. Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i.

98 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Παράδειγμα (1,3)(1,5) 54 1 2 5 (2,3)(2,4)(2,5) Ομαδοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 3. 3 Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i.

99 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Παράδειγμα (1,5) 54 1 2 5 (2,4) (2,3) (2,5) (1,3)(1,3) Ομαδοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 3. 3 Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i.

100 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Παράδειγμα B3B3 54 1 2 3 5 54 (1,5) (2,4) (2,3) (2,5) (1,3)(1,3) Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i.

101 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Παράδειγμα B3B3 54 1 2 3 5 54 (1,5) (2,4)(2,5)(3,4)(3,4)(3,5) Εισάγουμε στη θέση των ακμών(1,3) και (2,3) ένα P-κόμβο για τις ακμές (3,j) με j>3. Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i.

102 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Παράδειγμα 5 1 2 3 5 5 (1,5) (2,4)(2,5)(3,4)(3,4)(3,5) 4 Ομαδοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 4. Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i.

103 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Παράδειγμα 5 4 1 2 3 5 5 (1,5) (2,5)(2,4)(3,4)(3,5)(3,5) Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i.

104 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Παράδειγμα B4B4 5 4 1 2 3 5 5 (1,5) (2,5)(4,5)(3,5)(3,5) 5 Εισάγουμε στη θέση των ακμών(3,4) και (3,5) ένα φύλλο για την ακμή (4,5). Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i.

105 Επίπεδα Γραφήματα: Έλεγχος Επιπεδότητας TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Γραμμικός αλγόριθμος βασισμένος στην μέθοδο Lempel, Even και Cederbaum Παράδειγμα 5 1 2 3 (1,5) (2,5)(4,5)(3,5)(3,5) Οι έγκυρες αναπαραστάσεις κάθε B i μπορούν να διατηρηθούν με ένα PQ-δένδρο, όπου U=υποσύνολο των ακμών του B i. Ομαδοποιούμε τις ακμές που προσπίπτουν στον 5. Είναι ήδη σε συνεχόμενη διάταξη.