ΥΠΕΥΘΥΝΕΣ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ: Καραολή Ανδριανή Κουτσαφτή Άννα Χατζή Μαρία

Παρουσίαση με θέμα: "ΥΠΕΥΘΥΝΕΣ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ: Καραολή Ανδριανή Κουτσαφτή Άννα Χατζή Μαρία"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΥΠΕΥΘΥΝΕΣ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ: Καραολή Ανδριανή Κουτσαφτή Άννα Χατζή Μαρία
LOGICOMIX ΥΠΕΥΘΥΝΕΣ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ: Καραολή Ανδριανή Κουτσαφτή Άννα Χατζή Μαρία

2 Αρχικά, λίγα λόγια για τον τίτλο…
Wanderjahre: Η τέταρτη νουβέλα του Γερμανού συγγραφέα Johann Wolfgang von Göethe και το επακόλουθο του έργου του Wilhelm Meisters Lehrjahre. Λόγω έκτακτης διανοητικής σύλληψης κατά τη διάρκεια του έτους 1790, η πρώτη έκδοση δεν εμφανίστηκε μέχρι το 1821 και η δεύτερη έκδοση, που διέφερε ουσιαστικά από τη δεύτερη, το Στα τρία βιβλία που απαρτίζουν το αριστοτεχνικό σύγγραμμα ο Göethe παρουσιάζει με εξαιρετική και λεπτομερειακή περιγραφή το εξής κεντροετρωπαϊκό έθιμο: Άνθρωποι της γερμανικής χώρας που εργάζονταν σε συντεχνίες εκμάθησης κατασκευής οικοδομημάτων (σπιτιών, εκκλησιών κ. ά) αφού κατείχαν πλήρως την «τέχνη της κατασκευής» ταξίδευαν ανά τον κόσμο και εφάρμοζαν τα όσα έμαθαν. Οι συγγραφείς τώρα, επέλεξαν αυτό τον συγκεκριμένο τίτλο γιατί προσπάθησαν να συνδέσουν το έργο με τους διανοούμενους, πως δηλαδή εκείνοι καταφέρνουν με επαφή τους με άλλους ομοϊδεάτες τους να διευρύνουν τη μελέτη τους, να εμπλουτίσουν τις γνώσεις τους και να εξελιχθούν ανάλογα με την εξέλιξη της κοινωνίας και των ιδεών.

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ… Ο Μπέρναρντ Ράσελ, αναζητώντας ιδέες, ξεκινά ένα ταξίδι στην Ευρώπη μαζί με τη γυναίκα του Άλις. Πρώτος προορισμός του η πόλη Ιένα της Γερμανίας. Εκεί συναντά τον Γκότλομπ Φρέγκε, συγγραφέα του Begriffsschrift το οποίο ο Ράσελ είχε διαβάσει. Συζητά μαζί του για την ανάγκη δημιουργίας μιας «απολύτως λογικής γλώσσας με την οποία θα χτιστούν τα θεμέλια των μαθηματικών», για τα οποία είχε έρθει σε μία σχετική ρήξη με έναν καθηγητή του πανεπιστημίου του όντας ακόμη φοιτητής

4 Έπειτα αναχωρεί για το Χάλε με σκοπό να συναντήσει τον Γκέοργκ Κάντορ, πατέρα της θεωρίας των συνόλων. Ωστόσο, όταν τον αντικρίζει, διαπιστώνει πως ο «Άρχοντας του Απείρου» είχε τρελαθεί. Η τρέλα όμως ήταν ο χειρότερος εχθρός για τον Ράσελ. Έτσι, το ίδιο κιόλας βράδυ βλέπει έναν εφιάλτη: Ο Γκάους τον κατηγορεί ότι πλησίασε το άπειρο και κατέστρεψε τα θεμέλια των μαθηματικών….

5 Χαρακτηρισμοί προσώπων
Γκότλομπ Φρέγκε: Αρχικά, ο μεγάλος αυτός μαθηματικός παρουσιάζεται ως ένας απλός άνθρωπος που ασχολείται με… την κηπουρική. Όταν τον συναντά για πρώτη φορά ο Ράσελ δεν τον αναγνωρίζει, αλλά θεωρεί πως είναι κάποιος βοηθός του σπιτιού. Έτσι αποκαλύπτεται το λιτό παρουσιαστικό του. Από την πρώτη στιγμή γίνεται φανερή η άποψή του για τις γυναίκες τις οποίες και θεωρεί υποδεέστερες, ότι δεν έχουν θέση σε συζητήσεις μεταξύ ανδρών, ότι είναι όντα τελείως παράλογα (ο Φρέγκε διώχνει την Άλις για να μιλήσει με τον Ράσελ και αγνοεί την παρατήρηση της γυναίκας του όσον αφορά τα τριαντάφυλλα). Είναι ιδιαίτερα φιλικός στην πρώτη του επαφή με τον Μπέρναρντ και αμέσως ανακαλύπτουν ότι είναι της ίδιας ‘φύσης’: είναι και οι δύο κένταυροι, μισοί μαθηματικοί και μισοί φιλόσοφοι. Ακόμη βλέπουμε τη σχέση του Φρέγκε με την ακρίβεια και τη συνέπεια. Τέλος, η γυναίκα του κάνει και μία διαπίστωση για τη ζωή τους: σπάνια δέχονται επισκέψεις άρα δεν είναι ιδιαίτερα κοινωνικοί.

6 Ράσελ: Στο συγκεκριμένο απόσπασμα ο πρωταγωνιστής μας παρουσιάζεται ιδιαίτερα προβληματισμένος. Ανυπομονεί να συναντήσει τον Γκότλομπ Φρέγκε για να συζητήσει μαζί του σχετικά με τις ανησυχίες του για τον κόσμο των Θεμελίων και της Λογικής. Θαυμάζει όχι και πολύ ξεκάθαρα την ακραία συμπεριφορά συνέπειας που διακρίνει το μεγάλο μαθηματικό, ενώ στη διαδρομή του για τη συνάντηση με τον Κάντορ αναζητά την απόρροια των «παραξενιών» του Φρέγκε χωρίς να καταλήξει βέβαια σε κάποιο συμπέρασμα. Όταν αντικρίζει όμως τον πλέον τρελαμένο Κάντορ, τον οποίο είχε συνδυάσει με τον μυθικό ήρωα που πλησίασε το άπειρο, ξύπνησαν μέσα του οι φοβίες της τρέλας από το παρελθόν. Όλος ο ενθουσιασμός που τον διακατείχε πριν τη συνάντηση μετατράπηκε σε τρόμο και επίμονη σκέψη…

7 Άλις: Η γυναίκα του Ράσελ, στο χωρίο που παρατίθεται, εμφανίζεται κάπως αποστασιοποιημένη από την ιστορία. Δεν συμβάλλει στην εξέλιξη των πραγμάτων, αντιμετωπίζεται με ακραίο τρόπο από τον Φρέγκε, συζητά με το σύζυγό της για τα θέματα που τον απασχολούν και με τις δικές της μεθόδους τον καθησυχάζει όταν βλέπει πως κάτι βασανίζει τη σκέψη του. Γκέοργκ Κάντορ: Ο μεγάλος μαθηματικός παρουσιάζεται στο απόγειο της παράνοιας και της ψυχολογικής κατάπτωσης. Η συνάντησή του με τον Ράσελ τον οδηγεί στην εξωτερίκευση μερικών τρελών πεποιθήσεών του καθώς και σε μία ψυχοπαθολογική κρίση.

8 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

9 ΓΚΟΤΛΟΜΠ ΦΡΕΓΚΕ Ο Γκότλομπ Φρέγκε γεννήθηκε το 1848 στο Wismar της Γερμανίας. Πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του ως καθηγητής στο πανεπιστήμιο της Ιένα και θεωρείται ο θεμελιωτής της σύγχρονης λογικής, της οποίας τις έννοιες διατύπωσε για πρώτη φορά στο βιβλίο του Εννοιολογική Γραφή (Begriffsschrift) που εκδόθηκε το Εκεί, ο Φρέγκε διαχωρίζει τη θέση του από τους προγενέστερους μελετητές της λογικής, που ακολουθούσαν την παράδοση του Αριστοτέλη και εισάγει με σαφήνεια την έννοια της μεταβλητής. Εισήγαγε παράλληλα τη χρήση των δύο ποσοδεικτών, του καθολικού που κάνει μία πρόταση αληθή για κάθε x και του υπαρκτικού που λέει ότι υπάρχει κάποιο x για το οποίο μία πρόταση είναι αληθής. Με το βιβλίο του Θεμελιώδεις Νόμοι της Αριθμητικής (Grundgesetze der Arithmetik) ιδρύει τη σχολή του λογικισμού, η βασική θεωρία της οποίας είναι ότι τα μαθηματικά είναι κλάδος της λογικής.

10 . Αν και δεν αναγνωρίστηκε από τους συγχρόνους του οι έννοιες και οι μέθοδοι που καθιέρωσε αποτελούν ακόμη σε μεγάλο βαθμό τη βάση της σύγχρονης λογικής. Τα τελευταία χρόνια της ζωής του εκδήλωσε σοβαρή παρανοϊκή συμπτωματολογία και τελικά απεβίωσε το 1925.

11 ΓΚΕΟΡΓΚ ΦΕΡΝΤΙΝΑΝΤ ΛΟΥΝΤΒΙΧ
ΦΙΛΙΠ ΚΑΝΤΟΡ Γεννήθηκε το 1845 στη Ρωσία. Σπούδασε με καθηγητές κάποιους από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς της εποχής του , ανάμεσα τους τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ και τον Καρλ Βάιερστρας. Πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της καριέρας του ως καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Χάλε. Είναι ο πατέρας της θεωρίας συνόλων. Τα δύο διασημότερα θεωρήματά του είναι α)ότι το σύνολο των ρητών αριθμών μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών, ιδιότητα που το καθιστά όπως λέγεται αριθμήσιμο , και β)ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν μπορεί να μπει σε τέτοια αντιστοιχία, άρα είναι μη αριθμήσιμο. Οι δύο πιο επιφανείς εχθροί της θεωρίας ήταν ο μαθηματικός Λέοπολντ Κρόνεκερ και ο Ανρί Πουανκαρέ ενώ ο πιο σημαντικός υποστηρικτής της ήταν ο Ντάβιντ Χίλμπερτ . Ο εντοπισμός δύο διαφορετικών ειδών απείρου στο χώρο των πραγματικών αριθμών οδήγησε στο ερώτημα αν υπάρχει και κάποιο τρίτο είδος. Ο Κάντορ έκανε την υπόθεση , που έκτοτε ονομάζεται «Υπόθεση του Συνεχούς »-ως συνεχές ορίζεται η ευθεία των πραγματικών αριθμών – ότι δεν υπάρχει τρίτο είδος απείρου και πέρασε την υπόλοιπη μαθηματική ζωή του προσπαθώντας να την αποδείξει- χωρίς όμως να τα καταφέρει. Ο Κάντορ υπέφερε από σοβαρά ψυχικά νοσήματα .Πέθανε το 1918 , στο ψυχιατρικό άσυλο όπου βρισκόταν.

12 ΚΑΡΛ ΦΡΙΝΤΡΙΧ ΓΚΑΟΥΣ Ο Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους (Johann Carl Friedrich Gauss, (30 Απριλίου 1777 – 23 Φεβρουαρίου 1855) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σε πολλά ερευνητικά πεδία της επιστήμης του, όπως η θεωρία αριθμών, η στατιστική, η μαθηματική ανάλυση, η διαφορική γεωμετρία, αλλά και συναφών επιστημών, όπως η γεωδαισία, η αστρονομία και η φυσική (ηλεκτροστατική, οπτική, γεωμαγνητισμός). Αποκλήθηκε «ο πρίγκηψ των μαθηματικών» και ο «μεγαλύτερος μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη». Πέρα από υπερβολές, ο Γκάους υπήρξε αντικειμενικά ο σημαντικότερος Γερμανός μαθηματικός όλων των εποχών και ένας από τους δύο ή τρεις σπουδαιότερους των νεότερων χρόνων (μετά την αρχαιότητα)

13 των μαθηματικών και τη σημάδεψε μέχρι τις μέρες μας.
Ο Γκάους ήταν αυτό που αποκαλείται «παιδί-θαύμα» και υπάρχουν αρκετές ιστορίες για τις εκπληκτικές του ικανότητες ως νηπίου, ενώ οι πρώτες μεγάλες μαθηματικές ανακαλύψεις του χρονολογούνται από την εφηβεία του. Η γνωστότερη ίσως ιστορία αφορά την απόπειρα του δασκάλου του στο δημοτικό, του J.G. Büttner, να απασχολήσει τους μαθητές του σε μια κενή ώρα βάζοντάς τους να προσθέσουν όλους τους ακεραίους από το 1 ως το 100. Ο μικρός Γκάους βρήκε το σωστό άθροισμα σε λιγότερο από 1 λεπτό, εκπλήσσοντας τόσο τον δάσκαλο όσο και τον βοηθό του Martin Bartels. Ο Γκάους αντιλήφθηκε ότι η πρόσθεση κατά ζεύγη από τις δύο άκρες αυτής της σειράς των αριθμών έδινε πάντα το ίδιο άθροισμα: = 101, = 101, = 101, κ.ο.κ., οπότε για ένα ολικό άθροισμα 50 × 101 = Σε ηλικία 21 ετών είχε ολοκληρώσει το κύριο έργο του στα καθαρά μαθηματικά, το Disquisitiones Arithmeticae, (= «Αριθμητικές Έρευνες», 1798, εκδόθηκε το 1801). Αυτό το έργο διαδραμάτισε θεμελιώδη ρόλο στην εδραίωση της θεωρίας αριθμών ως αυτοδύναμου κλάδου των μαθηματικών και τη σημάδεψε μέχρι τις μέρες μας.

14 ΓΚΕΟΡΓΚ ΦΡΙΝΤΡΙΧ ΧΕΝΤΕΛ
Γεννήθηκε στις 23 Φεβρουαρίου 1865 στο Χάλε της Γερμανίας, την ίδια χρονιά με τον Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ. Από νεαρή ηλικία έδειξε ιδιαίτερη κλίση στη μουσική, αν και ο πατέρας του, δεν επιθυμούσε να εξελιχθεί ο γιος του σε μουσικό. Με παρέμβαση του δούκα της Σαξονίας, που εκτίμησε τα μουσικά χαρίσματα του οκτάχρονου Χέντελ, ξεκίνησε μαθήματα εκκλησιαστικού οργάνου υπό την εποπτεία του συνθέτη Friedrich W. Zachow. Ο πατέρας του πέθανε όταν ήταν στην ηλικία των έντεκα ετών και το 1702, από σεβασμό στην επιθυμία του, γράφτηκε στη νομική σχολή του Πανεπιστημίου του Χάλε, ενώ εργαζόταν παράλληλα και ως οργανίστας στον καθεδρικό ναό της πόλης. Τον επόμενο χρόνο μετακόμισε στο Αμβούργο, όπου εργάστηκε ως βιολονίστας στην ορχήστρα της τοπικής όπερας, θέση που εγκατέλειψε όμως προκειμένου να περιοδεύσει στην Ιταλία κατά την περίοδο , ενώ την ίδια περίοδο ο Χέντελ άρχισε να γνωρίζει διεθνή αναγνώριση. Στα τέλη του 1710 ταξίδεψε για πρώτη φορά στην Αγγλία, ενώ τον επόμενο χρόνο παρουσίασε την όπερα Rinaldo στο Λονδίνο γνωρίζοντας μεγάλη επιτυχία. Εκεί άλλαξε και το όνομά του και το προσάρμοσε, χρησιμοποιώντας το από κει και πέρα επίσημα στην αγγλική γραφή. Το 1712 εγκαταστάθηκε μόνιμα στην Αγγλία, όπου συνέχισε τη σταδιοδρομία του ως θεατρικός επιχειρηματίας, αντιμετωπίζοντας ισχυρό ανταγωνισμό. Το 1737 ξεκίνησε να συνθέτει το δημοφιλέστερο ορατόριο του, τον Μεσσία. Από το 1751 άρχισε να αντιμετωπίζει προβλήματα όρασης που οδηγούσαν σταδιακά στην τύφλωσή του. Πέθανε το Πάσχα του 1759.

15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΧΩΡΙΩΝ

16 Κοινωνική θέση της γυναίκας
Μέσα από το συγκεκριμένο χωρίο διακρίνουμε την αντιμετώπιση των γυναικών, από τους άνδρες κυρίως, στον αντίποδα της θεωρητικά ισχυρότερης προσωπικότητας των τελευταίων. Ο Φρέγκε αντιπροσωπεύει την άποψη απόρριψης των γυναικών όλων των μελών της κοινωνίας στην οποία ζει. Έτσι βλέπουμε πως οι γυναίκες θεωρούνταν κατώτερα και παράλογα όντα, ανίκανα να συμμετέχουν σε συζητήσεις μεταξύ ανδρών και γενικά ότι είχαν μικρότερη «διανοητική συγκέντρωση». Δεν είναι αυθυπόστατες ως προσωπικότητες, αλλά εξαρτώνται από το σύζυγό τους. Ωστόσο, αυτό το φαινόμενο δεν παρατηρείται μόνο κατά την εποχή του Ράσελ, αλλά μεταβαίνει από αιώνα σε αιώνα και εξελίσσεται ανάλογα με τις αλλαγές στη νοοτροπία σκέψης των ανθρώπων. Οπότε, ακόμη και σήμερα, παρόλο που έχει καθιερωθεί πλέον η ισότητα των δύο φύλων υπάρχουν κοινωνικές ανισότητες που αφορούν κυρίως την εργασία. Οι γυναίκες μπορεί να εργάζονται ισάξια με τους άνδρες, η αμοιβή τους όμως υστερεί. Συμπεραίνουμε λοιπόν πως η διαφοροποίηση των δύο φύλων είναι ένα διαχρονικό φαινόμενο που έχει αντίκρισμα στους ιδιαιτέρως απελευθερωμένους και υπερασπιστές του ίσου και του δίκαιου, σε αυτούς που θεωρούν τη γυναίκα πρότυπο της απελευθέρωσης και της απολύτρωσης από τα δεσμά που της επέβαλλαν οι ανθρώπινες αντιλήψεις και οι κοινωνικοί θεσμοί.

17 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ
Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΝ Ο πρώτος που έκανε μια συστηματική μελέτη της λογικής ήταν ο Αριστοτέλης ( π.Χ.) από τα Στάγειρα, δάσκαλος του Μεγάλου Αλεξάνδρου και διάδοχος του Πλάτωνα. Η αριστοτελική συστηματοποίηση της παραγωγικής λογικής(~340π.Χ.) Ένα μαθηματικό σύστημα, είναι η συνισταμένη δύο συνιστωσών, ενός συνόλου αξιωμάτων και μιας λογικής. Δηλαδή τα θεωρήματα ενός μαθηματικού συστήματος προκύπτουν από την αλληλεπίδραση του αρχικού συνόλου προτάσεων, που ονομάζονται αξιώματα και ενός άλλου αρχικού συνόλου προτάσεων, που ονομάζονται «η λογική» ή οι κανόνες της διαδικασίας εξαγωγής συμπερασμάτων από τις υποθέσεις.

18 LEIBNIZ Λάιμπνιτς, Γκότφριντ Λίλχελμ (1646-1716)
Γερμανός φιλόσοφος, ο οποίος ασχολήθηκε με πολλούς τομείς της Επιστήμης και γενικότερα του πολιτισμού. Από τους σύγχρονους του θεωρήθηκε ως ο πολυμαθέστερος άνθρωπος μετά τον Αριστοτέλη. Όσον αφορά τη φιλοσοφική δράση του, το όνομά του συνδέθηκε με τη διδασκαλία της «μοναδολογίας», το ζήτημα της θεοδικίας, την εκδοχή των δυνατών κόσμων, την αρχή του αποχρώντος λόγου, το ιδεώδες της καθολικής γλώσσας, την ερμηνεία της προαπεκατεστημένης αρμονίας.

19 ΜΠΟΛΖΑΝΟ Μπέρναρντ Μπολζάνο (1781-1848)
Τσέχος φιλόσοφος, θεολόγος και μαθηματικός, ο οποίος σπούδασε στο πανεπιστήμιο της Πράγας, όπου, αφού εν τω μεταξύ εντάχτηκε στον κλήρο της καθολικής εκκλησίας, κατέλαβε την έδρα του καθηγητή της επιστήμης της θρησκείας, από το οποίο απομακρύνθηκε κατηγορηθείς για τις θρησκευτικές και πολιτικές απόψεις του ως αιρετικός. Σημαντική ήταν η επιρροή που άσκηση με τις απόψεις του για τη λογική, τη μεθοδολογία και την επιστημολογία σε φιλοσόφους του 20ου αιώνα, όπως οι εκπρόσωποι της σχολής της Βαρσοβίας Λουκαζιεβιτς, Τάρσκι κ.α. Στο έργο του Paradoxes of the Infinite (Παράδοξα του απείρου), που δημοσιεύτηκε το 1851, τρία χρόνια μετά τον θάνατό του, ήταν ο πρώτος που έκανε θετικά βήματα προς την παραδοχή ότι πραγματικά υπάρχουν απειροσύνολα.

20 ΤΖΟΡΤΖ ΜΠΟΥΛ Ιρλανδός μαθηματικός και φιλόσοφος της λογικής, αυτοδίδακτος ως επί το πλείστον, ο οποίος διετέλεσε καθηγητής των μαθηματικών στο Queen’s College, στο Κορκ. Πέθανε αναπάντεχα την ώρα που δίδασκε, επειδή είχε την απερισκεψία να κάνει μάθημα με βρεγμένα ρούχα. Ο Μπουλ είναι από τους πρωτοπόρους της μαθηματικής λογικής, από το όνομα του οποίου έλαβε την ονομασία της και «η άλγεβρα του Μπουλ» Εισηγήθηκε την αναλογία μεταξύ των λειτουργιών της άλγεβρας και των λειτουργιών της λογικής θεωρώντας ότι υπάγονται σε μια «ανώτερη λογική», την οποία ταύτισε με τους νόμους της νόησης, με τον τρόπο αυτό «μαθηματικοποίησε» τη λογική του Αριστοτέλη.

21 ΟΙ ΗΡΩΕΣ ΣΤΗΝ ΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΝ
ΚΑΝΤΟΡ: Με την εργασία του εκτέθηκε μια εντελώς νέα άποψη και επιτεύχθηκε μια νέα κλίμακα και μια αριθμητική των απείρων. Ο Κάντορ ξεκίνησε με την παρατήρηση πως ένα σύνολο που μπορεί να τεθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία με κάποιο σύνολο φυσικών αριθμών είναι αριθμήσιμο. Αυτό είναι προφανές για τα πεπερασμένα σύνολα, αλλά ο Κάντορ επέκτεινε την έννοια της αριθμησιμότητας στα άπειρα, δημιουργώντας μια νέα μαθηματική οντότητα, τους υπερπεπερασμένους αριθμούς.

22 ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ Η μελέτη συλλογών αντικειμένων που τις ορίζει κάποια κοινή ιδιότητα - σε κάποιες περιπτώσεις, η ιδιότητα αυτή μπορεί να μην είναι άλλη από το ότι ανήκουν στο ίδιο σύνολο, όπως π.χ. στο αυθαίρετα ορισμένο σύνολο (ξ, χ, ½, 8, 134). Οι οντότητες αυτές μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον Τσέχο μαθηματικό Μπέρναρντ Μπολτσάνο ( ), που εισήγαγε τη χρήση του όρου Menge--τη γερμανική λέξη για το σύνολο, η οποία υιοθετήθηκε στη συνέχεια και από τον Κάντορ--και όρισε την έννοια του πληθαρίθμου, ή «μεγέθους» ενός συνόλου. Όμως, ο φόβος κάποιων παραδόξων, που προέκυπτε από παρατηρήσεις όπως ότι το σύνολο των ακεραίων μπορεί να μπει σε ένα προς ένα αντιστοιχία με το «μισό του», δηλαδή το σύνολο των ζυγών (απλώς πολλαπλασιάζοντας κάθε ακέραιο επί 2, ή διαιρώντας κάθε ζυγό διά 2), οπότε ένα σύνολο να έχει «ίδιο αριθμό στοιχείων» με ένα υποσύνολό του, απέτρεψαν τον Μπολτσάνο από το να ασχοληθεί περισσότερο με το θέμα. Ο Κάντορ όμως προχώρησε, και η γέννηση της θεωρίας ως σημαντικού κλάδου των μαθηματικών σημαίνεται από τις δικές του ιδιοφυείς αποδείξεις. Τοποθετείται, συγκεκριμένα, στις 7 Δεκεμβρίου του 1873, όταν ο Κάντορ έγραψε στον δάσκαλό του, Ρίχαρντ Ντέντεκιντ, περιγράφοντάς του την απόδειξη της μη αριθμησιμότητας των πραγματικών αριθμών, σε αντίθεση με την αριθμησιμότητα των ρητών - όπου αριθμησιμότητα ενός συνόλου είναι, ακριβώς, η ιδιότητα να μπορούν να μπουν τα στοιχεία του σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή το 1, 2, 3, ... κ.ο.κ.

23 Τα δύο αυτά θεωρήματα οδήγησαν τον Κάντορ στην απορία για την πιθανή ύπαρξη ενός τρίτου είδους απείρου, σε κάποια υποσύνολα των πραγματικών μεταξύ ρητών και πραγματικών, και στη λεγόμενη «Υπόθεση του Συνεχούς» που εικάζει ότι τέτοιο, τρίτο είδος δεν υπάρχει. Η θεωρία συνόλων θεωρήθηκε (και θεωρείται ακόμη) από πολλούς ο πιο θεμελιώδης κλάδος των μαθηματικών, έχοντας εξορίζει από αυτή τη θέση τον παραδοσιακό κάτοχο του τίτλου, την αριθμητική.Μάλιστα, ένα από τα πιο φιλόδοξα μαθηματικά εγχειρήματα του 20ού αιώνα, της ομάδας σπουδαίων γάλλων μαθηματικών που δημοσίευσε με το όνομα «Νικολά Μπουρμπακί», ήταν η προσπάθεια για τη θεμελίωση των μαθηματικών πάνω στα σύνολα. Η έννοια του συνόλου είναι τόσο διαισθητικά απλή που είναι δύσκολο να ορισθεί χωρίς τη χρήση κάποιου συνωνύμου της. Και ίσως, ακριβώς γι' αυτό το λόγο, η μη αυστηρή (που πάει να πει: μη αξιωματικά θεμελιωμένη) υιοθέτησή της από τον Μπολτσάνο και τον Κάντορ οδήγησε τόσο σύντομα σε προβλήματα, με σημαντικότερο το Παράδοξο του Ράσελ. Για να ξεπεραστεί το παράδοξο αυτό, καθώς και η μη επιτρεπτή -στη σύγχρονη θεωρία συνόλων- έννοια του «συνόλου όλων των συνόλων», χρειάσθηκε να θεμελιωθεί η θεωρία με αυστηρά αξιωματικό τρόπο, απόπειρα που έγινε αρχικά στα Principia Mathematika. Το, μεταγενέστερο αξιωματικό σύστημα που επικρατεί μέχρι σήμερα είναι γνωστό με το ακρωνύμιο ZFC, από τα αρχικά των δύο επινοητών του, του Ζερμέλο (Zermelo) και του Φράνκελ (Frankel), και το C που δηλώνει το πρόσθετο «αξίωμα της επιλογής» (Axiom of Choice), που είναι απαραίτητο για τα απειροσύνολα.

24 ΥΠΟΘΕΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ Η υπόθεση του συνεχούς , που αρχικά προτάθηκε ως εικασία από τον Καντόρ, τέθηκε από τον Χίλμπερτ ως ένα από τα 23 του προβλήματα το Ο Γκέντελ έδειξε ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να διαψευσθεί από τα αξιώματα της θεωρίας ZF (με ή χωρίς το αξίωμα επιλογής C ), αναπτύσσοντας το κατασκευάσιμο σύμπαν της θεωρίας συνόλων, στο οποίο η υπόθεση του συνεχούς πρέπει να ισχύει. Το 1963, ο Πωλ Κοέν έδειξε ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ (Cohen 1966).

25 Ύστερα ο Πεάνο… Γεννήθηκε στο Cuneo και πέθανε στο Τορίνο. Το 1870 εγκαταστάθηκε στο Τορίνο για να φοιτήσει στο Γυμνάσιο/Λύκειο και στη συνέχεια σπούδασε Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο της πόλης. Το 1880 ανακηρύχθηκε ο Πεάνο Διδάκτωρ των Μαθηματικών.  Ως μαθηματικός με ειδίκευση στη Λογική ανέπτυξε ο Πεάνο, στη συνέχεια εργασιών των Boole, Jevons, Schroeder, Porezki κ.ά. Ο Πεάνο καθιέρωσε τους συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων και εισήγαγε το 1889 το σύστημα αξιωμάτων, με το οποίο εισάγονται οι φυσικοί αριθμοί.

26 ΚΑΙ ΕΠΕΤΑΙ Ο ΧΙΛΜΠΕΡΤ… Άσκησε τη μεγαλύτερη επίδραση στη βελτίωση της αξιωματικής μεθόδου. Ο Χίλμπερτ αναζήτησε μια μέθοδο τέτοια, ώστε με δεδομένα τα αξιώματα μιας μαθηματικής θεωρίας να μπορεί κανείς πάντα να αποφασίζει σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων για το αν μια δεδομένη πρόταση είναι αληθής(το περίφημο πρόβλημα γνωστό ως Entscheidungsproblem). Πίστευε πως ένα αξιωματικό σύστημα δεν είναι διόλου αναγκαίο να ανταποκρίνεται στην οποιαδήποτε εξωμαθηματική πραγματικότητα, ορίζοντας τα μαθηματικά ως ένα παιχνίδι συμβόλων με μόνη απαίτηση την εσωτερική συνέπεια. Τέλος, η φράση που αποδίδει ο Χίλμπερτ στη μαθηματική διαδικασία είναι: «Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε».

27 Τέλος ακολουθούν οι Ράσελ και Ουάιτχεντ οι οποίοι συνέγραψαν τους τρεις τόμους του Principia Mathematika θέλοντας να δείξουν πως τα μαθηματικά είναι δυνατό να παραχθούν από αρχές της τυπικής λογικής.

28 Η ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ ΤΟΥ ΟΙΚΟΔΟΜΗΜΑΤΟΣ
Το μαθηματικό κτίσμα αρχίζει να καταστρέφεται με την εμφάνιση του Kurt Gödel.Γεννήθηκε στις 28 Απριλίου 1906 στο Μπρνο της Τσεχίας από γονείς με γερμανική καταγωγή. Σπούδασε αρχικά Φυσική στο Πανεπιστήμιο της κοντά στον αδελφό του Ρούντολφ, αλλά τελικά στράφηκε στα μαθηματικά και ιδιαιτέρως στη μαθηματική λογική μυημένος στη μαγεία του Πλατωνισμού. Υπήρξε στενός φίλος και συνεργάτης του Αϊνστάιν παρά τη σημαντική διαφορά ηλικίας που είχαν και χαρακτηρίστηκε από τον Τζον φον Νόυμαν ως “ο μεγαλύτερος μαθηματικός της λογικής (λογικολόγος)” μετά τον Αριστοτέλη. Το θεώρημα μη πληρότητας (ουσιαστικά πρόκειται για δύο λογικά συνδεδεμένα θεωρήματα) το απέδειξε σε ηλικία 23 ετών τη δεκαετία του 1930.

29 Τέλος, ο Άλαν Τιούρινγκ…
Άλαν Τιούρινγκ (1912 – 1954) Έλυσε το περίφημο πρόβλημα της μαθηματικής λογικής που είχε διατυπώσει ο Hilbert το (Entscheidungsproblem), για το κατά πόσο υπάρχει μια διαδικασία βάσει της οποίας αποφασίζεται η αποδειξιμότητα μιας τυχαίας μαθηματικής πρότασης. Επινόησε μια μηχανική διαδικασία τη «μηχανή Turing» η οποία συνέβαλε αργότερα στην κατασκευή των πρώτων ηλεκτρονικών υπολογιστών. "Έσπασε" τη γερμανική μηχανή Aίνιγμα, αποκρυπτογραφώντας τα κωδικοποιημένα σήματα επικοινωνίας των ναζί.

30 Δημιουργός της Θεωρίας Συνόλων.
Georg Cantor ( ) Δημιουργός της Θεωρίας Συνόλων. Συγκρίνοντας το πλήθος των φυσικών, των ακεραίων, των ρητών, των υπερβατικών και πραγματικών αριθμών διαβάθμισε το άπειρο και θεμελίωσε λογισμό με το άπειρο.

31 Το μέρος μπορεί να ισούται με το όλον
Χαρακτηριστική ιδιότητα του απείρου Το μέρος μπορεί να ισούται με το όλον

32 N

33

34 Η ευθεία έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με ένα ευθύγραμμο τμήμα

35

36 Οι πραγματικοί περισσότεροι από τους φυσικούς αριθμούς Διαγώνια Μέθοδος
Β. Υπάρχει στο διάστημα (0, 1) πραγματικός αριθμός 0,αβγ…. με α ≠ α1 β ≠ β2 γ ≠ γ3 που δεν είναι της μορφής Α. Α. Οι αριθμοί του διαστήματος (0, 1) γράφονται στη μορφή: 0,α1α2α3…αν… 0,β1β2β3…βν… 0,γ1γ2γ3…γν… ……………………. …

37 Είδη Απείρου Το πλήθος των υπερβατικών αριθμών
Το πλήθος των πραγματικών αριθμών Το πλήθος των φυσικών αριθμών Το πλήθος των ρητών αριθμών Το πλήθος των αλγεβρικών αριθμών