Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης.

Παρουσίαση με θέμα: "Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης περίπτωσης Τυχαιοκρατικός αλγόριθμος Μελέτα τη συμπεριφορά ενός αλγορίθμου σε μια «μέση» είσοδο (ως προς κάποια κατανομή) Λαμβάνει τυχαίες αποφάσεις καθώς επεξεργάζεται την είσοδο έτσι ώστε β) υπολογίζει πάντα τη σωστή απάντηση αλλά εκτελείται αποδοτικά κατά μέσο όρο α) υπολογίζει τη σωστή απάντηση με μεγάλη πιθανότητα, ή

2 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Η συμπεριφορά ενός τυχαιοκρατικού αλγόριθμου εξαρτάται όχι μόνο από την είσοδο αλλά και από τιμές που παράγονται από μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών Γεννήτρια τυχαίων αριθμών Έστω ακέραιοι a,b με a≤b. τυχαία(a,b) : επιστρέφει ακέραιο x τέτοιον ώστε a ≤ x ≤ b με ίση πιθανότητα επιλογής 1/(b-a+1). TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA

3 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Επίλυση ανταγωνισμού Διεργασίες ενός κατανεμημένου συστήματος προσπαθούν να αποκτήσουν πρόσβαση σε μια βάση δεδομένων Η μπορεί να εξυπηρετεί μόνο μία διεργασία σε κάθε διακριτή χρονική στιγμή (γύρο). Αν δύο ή περισσότερες διεργασίες προσπαθήσουν να προσπελάσουν τη στον ίδιο γύρο τότε μένουν μπλοκαρισμένες σε όλη τη διάρκεια του γύρου Θέλουμε να σχεδιάσουμε έναν αλγόριθμο πρόσβασης στη όταν οι διεργασίες δεν μπορούν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους

4 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η προσπαθεί να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή η δεν προσπαθεί να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Έχουμε και η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, επομένως

5 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, επομένως Η πιθανότητα να συμβεί το μεγιστοποιείται για

6 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Η πιθανότητα να συμβεί το μεγιστοποιείται για οπότε έχουμε

7 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Η πιθανότητα να συμβεί το μεγιστοποιείται για οπότε έχουμε η δεν καταφέρνει να προσπελάσει τη τις χρονικές στιγμές Επίσης θέλουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος

8 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα η δεν καταφέρνει να προσπελάσει τη τις χρονικές στιγμές Επίσης θέλουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος όπου άρα

9 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα η δεν καταφέρνει να προσπελάσει τη τις χρονικές στιγμές Επίσης θέλουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος Για έχουμε

10 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα το πρωτόκολλο αποτυγχάνει μετά από γύρους (υπάρχουν διεργασίες που δεν κατάφεραν να προσπελάσουν τη βάση δεδομένων) Τέλος, θα υπολογίσουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος Από το όριο ένωσης (union bound) έχουμε Για έχουμε

11 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Συνάρτηση βάρους ακμών Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) 26 17 12 14 7 9 20 4 10 Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής

12 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Συνάρτηση βάρους ακμών Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) 26 17 12 14 7 9 20 4 10 Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής

13 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Συνάρτηση βάρους ακμών Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) 26 17 12 14 7 9 20 4 10 Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής

14 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Συνάρτηση βάρους ακμών Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) 26 17 12 14 7 9 20 4 10 Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής

15 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Συνάρτηση βάρους ακμών Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής Θα εξετάσουμε ένα απλό αλγόριθμο «συρρίκνωσης» για την περίπτωση όπου για κάθε ακμή

16 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

17 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

18 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές Μετά τη συρρίκνωση μιας ακμής μπορεί να εμφανιστούν παράλληλες ακμές

19 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

20 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

21 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

22 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

23 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές Μετά τη συρρίκνωση μιας ακμής εξαφανίζονται όλες οι παράλληλες ακμές

24 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές Μετά τη συρρίκνωση μιας ακμής εξαφανίζονται όλες οι παράλληλες ακμές

25 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

26 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

27 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

28 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και.

29 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιστρέψει την τομή δηλαδή να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του. Εξετάζουμε την πρώτη συρρίκνωση: Το γράφημα πρέπει να έχει ακμές αφού η ελάχιστη τομή έχει μέγεθος (κάθε κορυφή έχει βαθμό και το άθροισμα των βαθμών όλων των κορυφών είναι διπλάσιο του αριθμού των ακμών) Άρα η πρώτη ακμή που συρρικνώνεται ανήκει στο με πιθανότητα το πολύ

30 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιστρέψει την τομή δηλαδή να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του. Εξετάζουμε την j-οστή συρρίκνωση: Το γράφημα πρέπει να έχει ακμές αφού η ελάχιστη τομή έχει μέγεθος και υπάρχουν κορυφές Άρα η j-οστή ακμή που συρρικνώνεται ανήκει στο με πιθανότητα το πολύ

31 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιστρέψει την τομή δηλαδή να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του. Συνολικά η πιθανότητα να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του στις επαναλήψεις του αλγόριθμου είναι τουλάχιστον

32 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Ενίσχυση της πιθανότητας επιτυχίας Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω ότι εκτελούμε τον αλγόριθμο φορές και κρατάμε την ελάχιστη τιμή που επιστρέφει. Η πιθανότητα αποτυχίας είναι το πολύ

33 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Καθολική ελάχιστη τομή Ενίσχυση της πιθανότητας επιτυχίας Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω ότι εκτελούμε τον αλγόριθμο φορές και κρατάμε την ελάχιστη τιμή που επιστρέφει. Η πιθανότητα αποτυχίας είναι το πολύ

34 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης Εξετάζουμε υποψήφιους 1,2, …,n διαδοχικά μέχρι να βρούμε τον πιο κατάλληλο βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Σε κάθε είσοδο κάνουμε n συγκρίσεις, αλλά πόσες είναι οι προσλήψεις; Έστω ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τον αριθμό τον προσλήψεων.

35 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης Εξετάζουμε υποψήφιους 1,2, …,n διαδοχικά μέχρι να βρούμε τον πιο κατάλληλο βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Σε κάθε είσοδο κάνουμε n συγκρίσεις, αλλά πόσες είναι οι προσλήψεις; Έστω ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τον αριθμό τον προσλήψεων. n προσλήψεις στη χειρότερη περίπτωση αναμενόμενη περίπτωση;

36 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ

37 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε

38 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε

39 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Ιδιότητα: Γραμμικότητα αναμενόμενης τιμής Έστω τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ. Ισχύει

40 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Ιδιότητα: Γραμμικότητα αναμενόμενης τιμής Έστω τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ. Ισχύει

41 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε

42 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε Επιπλέον

43 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε Επιπλέον

44 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά

45 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά 12345 προσλαμβάνεται αν είναι καταλληλότερος από τους 1,2,3 και 4

46 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά 12345 προσλαμβάνεται αν είναι καταλληλότερος από τους 1,2,3 και 4

47 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε

48 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε n-οστός αρμονικός αριθμός

49 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε

50 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα

51 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα

52 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα

53 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα: μονότονα φθίνουσα:

54 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα: μονότονα φθίνουσα: Έχουμε

55 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Κάθε κουτί ενός προϊόντος περιέχει ένα δώρο από n διαφορετικά δώρα.

56 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Κάθε κουτί ενός προϊόντος περιέχει ένα δώρο από n διαφορετικά δώρα. Το είδος του δώρου μας γίνεται γνωστό μόνο εφόσον ανοίξουμε το κουτί.

57 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Κάθε κουτί ενός προϊόντος περιέχει ένα δώρο από n διαφορετικά δώρα. Το είδος του δώρου μας γίνεται γνωστό μόνο εφόσον ανοίξουμε το κουτί. Πόσα κουτιά πρέπει να αγοράσουμε μέχρι να βρούμε όλα τα n δώρα; Χειρότερη περίπτωση; Αναμενόμενη περίπτωση;

58 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1

59 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1

60 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2

61 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3

62 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3 4

63 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3 4 5

64 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3 4 5 6

65 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3 4 5 6 7

66 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3 4 5 6 7 8 : συνολικός αριθμός κουτιών

67 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί.

68 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

69 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

70 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

71 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Άρα

72 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

73 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών

74 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών

75 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. ΑΒΓΔ Έστω η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή

76 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. Έστω η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη

77 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. Έστω η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη

78 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. Έστω η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη

79 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. Έστω η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη

80 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. Έστω η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη Ο υπολογισμός με τη βοήθεια δεικτριών τυχαίων μεταβλητών είναι πολύ πιο απλός!

81 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. Έστω η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη η i-οστη σφαίρα δεν πάει στο συγκεκριμένο κουτί η i-οστη σφαίρα πάει στο συγκεκριμένο κουτί Έχουμε

82 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά Τι γίνεται όταν η αυτή η υπόθεση δεν ισχύει;

83 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά Τι γίνεται όταν η αυτή η υπόθεση δεν ισχύει; Εκτελούμε μία τυχαία μετάθεση των υποψηφίων!

84 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος ← 0 για i ← 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος ← i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά Τι γίνεται όταν η αυτή η υπόθεση δεν ισχύει; Εκτελούμε μία τυχαία μετάθεση των υποψηφίων!

85 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θέλουμε μία μέθοδο που να μας δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση n αντικειμένων Κάθε δυνατή μετάθεση πρέπει να εμφανίζεται με πιθανότητα

86 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θέλουμε μία μέθοδο που να μας δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση n αντικειμένων Κάθε δυνατή μετάθεση πρέπει να εμφανίζεται με πιθανότητα Ταξινομική Μετάθεση για i ← 1 έως n p[i] = τυχαία(1,N) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i]

87 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i ← 1 έως n p[i] = τυχαία(1,N) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Ιδιότητα : Η ταξινομική μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση με την προϋπόθεση ότι όλα τα p[i] είναι διαφορετικά

88 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i ← 1 έως n p[i] = τυχαία(1,N) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Ιδιότητα : Η ταξινομική μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση με την προϋπόθεση ότι όλα τα p[i] είναι διαφορετικά Απόδειξη Αρκεί να δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. Παρόμοια απόδειξη ισχύει για οποιαδήποτε άλλη μετάθεση.

89 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i ← 1 έως n p[i] = τυχαία(1,N) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι

90 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 12345678 Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό

91 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 12345678 Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό 10 301 8 56 128 62 5 240 Ποια είναι η πιθανότητα το αντικείμενο 1 να λάβει τον μικρότερο αριθμό αντικείμενο i αριθμός p[i]

92 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 12345678 Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό 10 301 8 56 128 62 5 240 Ποια είναι η πιθανότητα το αντικείμενο 1 να λάβει τον μικρότερο αριθμό 3 8 2 4 6 5 1 7 αντικείμενο i αριθμός p[i] τάξη π[i]

93 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 12345678 Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό 10 301 8 56 128 62 5 240 Ποια είναι η πιθανότητα το αντικείμενο 1 να λάβει τον μικρότερο αριθμό 3 8 2 4 6 5 1 7 αντικείμενο i αριθμός p[i] τάξη π[i]

94 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Έχουμε …

95 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Έχουμε … Άρα

96 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i ← 1 έως n p[i] = τυχαία(1,N) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Χρόνος :(για την ταξινόμηση n αριθμών) Ιδιότητα : Η ταξινομική μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση με την προϋπόθεση ότι όλα τα p[i] είναι διαφορετικά Πόσο πιθανό είναι αυτό;

97 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i ← 1 έως n p[i] = τυχαία(1,N) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Έχουμε για κάθε ζεύγος Άρα η πιθανότητα να υπάρχει ζεύγος αντικειμένων με τον ίδιο αριθμό είναι

98 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i ← 1 έως n p[i] = τυχαία(1,N) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Έχουμε για κάθε ζεύγος Άρα η πιθανότητα να υπάρχει ζεύγος αντικειμένων με τον ίδιο αριθμό είναι Αν επιλέξουμε τότε η πιθανότητα να έχουν όλα τα αντικείμενα διαφορετικό αριθμό είναι τουλάχιστον

99 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ιδιότητα : Η επιτόπια μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση k-μετάθεση : ακολουθία k στοιχείων από ένα σύνολο n στοιχείων Αναλλοίωτη συνθήκη (loop invariant): Ακριβώς πριν την (k+1)-οστη επανάληψη τα πρώτα k αντικείμενα που έχουμε διατάξει σχηματίζουν μία δεδομένη k-μετάθεση με πιθανότητα Επιτόπια Μετάθεση για i ← 1 έως n εναλλαγή του i-oστού αντικειμένου με αυτό της θέσης τυχαία(i,n)

100 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης δυνατές k-μεταθέσεις Διατάσσουμε τα αντικείμενα με τρόπους Η σειρά για τα τελευταία αντικείμενα δεν επηρεάζει τη σειρά για τα πρώτα k-μετάθεση = διάταξη k αντικειμένων από n Υπάρχουν

101 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Επιτόπια Μετάθεση για i ← 1 έως n εναλλαγή του i-oστού αντικειμένου με αυτό της θέσης τυχαία(i,n) Ιδιότητα : Η επιτόπια μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση k-μετάθεση : ακολουθία k στοιχείων από ένα σύνολο n στοιχείων

102 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Αναλλοίωτη συνθήκη (loop invariant): Ακριβώς πριν την (k+1)-οστη επανάληψη τα πρώτα k αντικείμενα που έχουμε διατάξει σχηματίζουν μία δεδομένη k-μετάθεση με πιθανότητα Απόδειξη με επαγωγή Έστω Ε 1 το ενδεχόμενο οι πρώτες (k-1) επαναλήψεις να έχουν σχηματίσει μία δεδομένη (k-1) μετάθεση. Έστω Ε 2 το ενδεχόμενο οι η k-οστή επανάληψη να επιλέξει ένα δεδομένο στοιχείο.

103 Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Όρια Chernoff Τυχαία μεταβλητή όπου είναι ανεξάρτητες δείκτριες τυχαίες μεταβλητές Αν τότε για κάθε