Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται.

Παρουσίαση με θέμα: "Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος είναι πολυωνυμικού χρόνου εάν ο χρόνος εκτέλεσης είναι πολυωνυμικός ως προς το

2 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σύνολο ακεραίων Σύνολο φυσικών Έστω ακέραιοι. Συμβολισμός: - ο διαιρεί τον Πρώτος αριθμός : μοναδικοί διαιρέτες του: π.χ. Θεώρημα της διαίρεσης Έστω ακέραιοι και. Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι και τέτοιοι ώστε και

3 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Θεώρημα της διαίρεσης Έστω ακέραιοι και. Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι και τέτοιοι ώστε και πηλίκο υπόλοιπο Κλάση ισοδυναμίας modulo n κλάση ισοδυναμίας του π.χ. Για απλότητα γράφουμε όπου υπονοείται

4 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κοινοί διαιρέτες Έστω και. Τότε για οποιαδήποτε μέγιστος κοινός διαιρέτης των Θεώρημα Έστω το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών δύο ακεραίων όπου τουλάχιστον ένας είναι. Τότε Απόδειξη Έστω και έστω Έχουμε Αφού, πρέπει Ομοίως, πρέπει. Επομένως

5 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κοινοί διαιρέτες Έστω και. Τότε για οποιαδήποτε μέγιστος κοινός διαιρέτης των Θεώρημα Έστω το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών δύο ακεραίων όπου τουλάχιστον ένας είναι. Τότε Απόδειξη Όμως και Επομένως Προηγουμένως δείξαμε ότι, άρα συνεπάγεται

6 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ιδιότητες και για οποιοδήποτε μη αρνητικό και

7 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αμοιβαία Πρώτοι Ακέραιοι π.χ. για κάποιους Θεώρημα Αν και τότε Θεώρημα Έστω πρώτος αριθμός. Αν τότε ή (ή και τα δύο).

8 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Θεώρημα Μοναδικής Παραγοντοποίησης Οποιοσδήποτε σύνθετος ακέραιος μπορεί να γραφτεί με έναν και μόνο τρόπο ως γινόμενο της μορφής όπου τα είναι πρώτοι αριθμοί,, και τα θετικοί ακέραιοι. Η παραγοντοποίηση σύνθετων ακέραιων είναι δύσκολο πρόβλημα, (ειδικά για αριθμούς της μορφής όπου μεγάλοι πρώτοι αριθμοί)

9 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Έστω θετικοί ακέραιοι με παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς και Τότε

10 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα Ευκλείδης (300 πΧ) int Euclid(int a, int b) { if b==0 return a; return Euclid(b, a%b); } Euclid (128,40)= Euclid (40,8)= Euclid (8,0)= 8 Παράδειγμα όπου είναι θετικοί ακέραιοι

11 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα Ευκλείδης (300 πΧ) όπου είναι θετικοί ακέραιοι Απόδειξη Έστω και Έχουμε

12 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα Ευκλείδης (300 πΧ) όπου είναι θετικοί ακέραιοι Απόδειξη Έστω και Έχουμε

13 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα Ευκλείδης (300 πΧ) όπου είναι θετικοί ακέραιοι Ιδιότητα: Αν τότε a mod b a a/2b a mod b aa/2b 0 0 Απόδειξη:

14 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα Ευκλείδης (300 πΧ) όπου είναι θετικοί ακέραιοι Ιδιότητα: Αν τότε a mod b a a/2b a mod b aa/2b 0 0 χρειάζονται αναδρομικές κλήσεις κλήσεις για αριθμούς των bits

15 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα Ευκλείδης (300 πΧ) όπου είναι θετικοί ακέραιοι Λήμμα: Αν και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις, τότε και, όπου οι αριθμοί Fibonacci ΑπόδειξηΜε επαγωγή ως προς. Βάση Τότε

16 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα Ευκλείδης (300 πΧ) όπου είναι θετικοί ακέραιοι Λήμμα: Αν και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις, τότε και, όπου οι αριθμοί Fibonacci ΑπόδειξηΕπαγωγικό βήμα.. Επιπλέον

17 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα Ευκλείδης (300 πΧ) όπου είναι θετικοί ακέραιοι Λήμμα: Αν και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις, τότε και, όπου οι αριθμοί Fibonacci ΑπόδειξηΕπαγωγικό βήμα.. Επιπλέον Άρα

18 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα Ευκλείδης (300 πΧ) όπου είναι θετικοί ακέραιοι Θεώρημα του Lame Για οποιοδήποτε ακέραιο, αν και, τότε ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις

19 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα Ευκλείδης (300 πΧ) όπου είναι θετικοί ακέραιοι Θεώρημα του Lame Για οποιοδήποτε ακέραιο, αν και, τότε ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις Χειρότερη περίπτωση:

20 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη - Επέκταση Υπολογίζει τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού Ευκλείδης (300 πΧ)

21 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη - Επέκταση Υπολογίζει τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού Ευκλείδης (300 πΧ) Άρα

22 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Πρόσθεση modulo n

23 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ομάδα σύνολο στοιχείων διμελής πράξη επί του Ιδιότητες 1.Κλειστότητα: Για όλα τα ισχύει 2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει τέτοιο ώστε 3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα, ισχύει ότι 4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε

24 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ομάδα σύνολο στοιχείων διμελής πράξη επί του Ιδιότητες 1.Κλειστότητα: Για όλα τα ισχύει 2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει τέτοιο ώστε 3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα, ισχύει ότι 4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε Αβελιανή Ομάδα: Ικανοποιεί επιπλέον 5. Αντιμεταθετικότητα: Για όλα τα ισχύει

25 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ομάδα σύνολο στοιχείων διμελής πράξη επί του Ιδιότητες 1.Κλειστότητα: Για όλα τα ισχύει 2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει τέτοιο ώστε 3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα, ισχύει ότι 4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε Αβελιανή Ομάδα: Ικανοποιεί επιπλέον 5. Αντιμεταθετικότητα: Για όλα τα ισχύει Πεπερασμένη Ομάδα:

26 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ομάδες επί του Έστω και Έχουμε Πρόσθεση modulo n : προσθετική ομάδα modulo n Είναι πεπερασμένη ομάδα με Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα

27 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Ιδιότητες 1.Κλειστότητα: 2. Ουδέτερο στοιχείο: 3. Προσεταιριστικότητα: 4. Αντίστροφο στοιχείο: 5. Αντιμεταθετικότητα:

28 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ομάδες επί του Έστω και Έχουμε Πολλαπλασιασμός modulo n : πολλαπλασιαστική ομάδα modulo n όπου Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα

29 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Ιδιότητες 1.Κλειστότητα: 2. Ουδέτερο στοιχείο: 3. Προσεταιριστικότητα: 4. Αντίστροφο στοιχείο: 5. Αντιμεταθετικότητα:

30 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Ιδιότητες 4. Αντίστροφο στοιχείο: π.χ. έχουμε άρα πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του Διαίρεση στο : π.χ.

31 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα π.χ. Για πρώτο αριθμό : Για σύνθετο αριθμό : Συνάρτηση φ του Euler

32 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ομάδες επί του Απλοποιημένες αναπαραστάσεις

33 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποομάδες ΟμάδαΣύστημα Αν το είναι ομάδα τότε λέμε ότι το είναι υποομάδα του Θεώρημα Αν το είναι πεπερασμένη ομάδα και τέτοιο ώστε για όλα τα, τότε το είναι υποομάδα του π.χ. και

34 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποομάδες ΟμάδαΣύστημα Αν το είναι ομάδα τότε λέμε ότι το είναι υποομάδα του Θεώρημα Αν το είναι πεπερασμένη ομάδα και τέτοιο ώστε για όλα τα, τότε το είναι υποομάδα του Θεώρημα του Lagrange Αν είναι πεπερασμένη ομάδα και είναι υποομάδα της τότε το είναι διαιρέτης του

35 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποομάδες ΟμάδαΣύστημα Αν το είναι ομάδα τότε λέμε ότι το είναι υποομάδα του Θεώρημα Αν το είναι πεπερασμένη ομάδα και τέτοιο ώστε για όλα τα, τότε το είναι υποομάδα του Θεώρημα του Lagrange Αν είναι πεπερασμένη ομάδα και είναι υποομάδα της τότε το είναι διαιρέτης του Γνήσια υποομάδα ΠόρισμαΑν είναι πεπερασμένη ομάδα και είναι γνήσια υποομάδα της τότε

36 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης από ένα που έχουμε επιλέξει Ομάδα π.χ. τότε για έχουμε την ακολουθία

37 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης από ένα που έχουμε επιλέξει Ομάδα Υποομάδα που γεννάται από το : Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε π.χ. στο

38 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης από ένα που έχουμε επιλέξει Ομάδα Υποομάδα που γεννάται από το : Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε π.χ. στο

39 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης από ένα που έχουμε επιλέξει Ομάδα Υποομάδα που γεννάται από το : Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε Τάξη του : δηλαδή ο μικρότερος θετικός ακέραιος που δίνει το ουδέτερο στοιχείο ΘεώρημαΈστω πεπερασμένη ομάδα και. Τότε

40 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία ΘεώρημαΈστω πεπερασμένη ομάδα και. Τότε Απόδειξη Έστω άρα Συνεπάγεται ότι για κάθε υπάρχει τέτοιο ώστε Επομένως Απομένει να δείξουμε ότι τα στοιχεία είναι όλα διαφορετικά Έστω όπου. Τότε ισχύει οπότε για έχουμε Όμως άρα πρέπει, δηλαδή καταλήγουμε σε άτοπο

41 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία ΘεώρημαΈστω πεπερασμένη ομάδα και. Τότε Πόρισμα Η ακολουθία είναι περιοδική με περίοδο Δηλαδή Ορίζουμε ΠόρισμαΈστω πεπερασμένη ομάδα και. Τότε

42 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Δίνονται ακέραιοι όπου Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης

43 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Δίνονται ακέραιοι όπου Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Υπό ποιες προϋποθέσεις υπάρχει λύση; Έστω η υποομάδα της που γεννάται από το Παρατηρούμε ότι επομένως για να υπάρχει λύση πρέπει

44 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Δίνονται ακέραιοι όπου Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Έστω η υποομάδα της που γεννάται από το. Πρέπει Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως

45 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως Απόδειξη Έστω η τριάδα που επιστρέφει η κλήση Άρα

46 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως Απόδειξη Έστω η τριάδα που επιστρέφει η κλήση Άρα Απομένει να δείξουμε Έστω. Τότε υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε και. Όμως και άρα

47 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως Πόρισμα Η εξίσωση είναι επιλύσιμη ως προς το εάν και μόνο εάν Πόρισμα Η εξίσωση είτε έχει διαφορετικές λύσεις modulo n είτε καμία

48 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, και ακέραιοι τέτοιοι ώστε Εάν τότε μια από τις λύσεις της εξίσωσης είναι η Θεώρημα Έστω, και μια λύση της εξίσωσης Τότε αυτή η εξίσωση έχει ακριβώς λύσεις, modulo n, οι οποίες δίνονται από τη σχέση

49 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Πόρισμα Για οποιοδήποτε, εάν, τότε η εξίσωση Πόρισμα έχει μοναδική λύση, modulo n. Για οποιοδήποτε, εάν, τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση, modulo n. Σε αντίθετη περίπτωση δεν έχει καμία λύση. Εάν η εξίσωση έχει λύση τότε η μοναδική λύση της είναι ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του Έστω Τότε

50 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνιση όπου και είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του μπορούν να μεταφερθούν στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. Δηλαδή, εάν και τότε

51 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνιση όπου και είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του μπορούν να μεταφερθούν στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. Μετασχηματισμός : Πραγματοποιείται εύκολα με διαιρέσεις

52 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνιση όπου και είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του μπορούν να μεταφερθούν στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. Μετασχηματισμός : Θέτουμε για : Για έχουμε: ενώ άρα

53 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνιση όπου και είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του μπορούν να μεταφερθούν στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. Πόρισμα Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Τότε για οποιουσδήποτε ακέραιους το σύνολο των εξισώσεων έχει μοναδική λύση modulo n για τον άγνωστο

54 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνιση όπου και είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του μπορούν να μεταφερθούν στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. Πόρισμα Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Τότε για οποιουσδήποτε ακέραιους εάν και μόνο εάν

55 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Δυνάμεις ενός στοιχείου Ακολουθία δυνάμεων Π.χ. υποομάδα της που γεννάται από το με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό τάξη του στο

56 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Δυνάμεις ενός στοιχείου Ακολουθία δυνάμεων Π.χ. υποομάδα της που γεννάται από το με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό τάξη του στο Εάν τότε το είναι γεννήτορας (ή αρχική ρίζα) του Εάν το έχει γεννήτορα τότε ονομάζεται κυκλική ομάδα

57 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Δυνάμεις ενός στοιχείου Ακολουθία δυνάμεων υποομάδα της που γεννάται από το με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό τάξη του στο Εάν τότε το είναι γεννήτορας (ή αρχική ρίζα) του Εάν το έχει γεννήτορα τότε ονομάζεται κυκλική ομάδα Θεώρημα Οι τιμές του για τις οποίες η ομάδα είναι κυκλική είναι οι και για κάθε πρώτο αριθμό και κάθε θετικό ακέραιο

58 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Δυνάμεις ενός στοιχείου Ακολουθία δυνάμεων υποομάδα της που γεννάται από το με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό τάξη του στο Θεώρημα του Euler Για οποιοδήποτε ακέραιο για κάθε Θεώρημα του Fermat (Fermat’s little theorem) Εάν ο είναι πρώτος αριθμός, τότε για κάθε

59 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm) Έστω ένας γεννήτορας του. Ο διακριτός λογάριθμος ή δείκτης του είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση διακριτός λογάριθμος του στη βάση Θεώρημα του διακριτού λογαρίθμου Έστω ένας γεννήτορας του. Τότε η ισότητα ισχύει εάν και μόνο εάν Απόδειξη Έχουμε

60 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm) Έστω ένας γεννήτορας του. Ο διακριτός λογάριθμος ή δείκτης του είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση διακριτός λογάριθμος του στη βάση Θεώρημα του διακριτού λογαρίθμου Έστω ένας γεννήτορας του. Τότε η ισότητα ισχύει εάν και μόνο εάν Απόδειξη Έχουμε άρα η ακολουθία δυνάμεων του έχει περίοδο. Επομένως

61 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm) Έστω ένας γεννήτορας του. Ο διακριτός λογάριθμος ή δείκτης του είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση διακριτός λογάριθμος του στη βάση Θεώρημα Αν ο είναι περιττός πρώτος αριθμός και τότε οι μοναδικές λύσεις της εξίσωσης είναι ΑπόδειξηΈστω γεννήτορας του Τότε Έχουμε άρα υπάρχουν 2 λύσεις

62 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm) Αν και ικανοποιεί την εξίσωση τότε ο είναι μη τετριμμένη τετραγωνική ρίζα του Πόρισμα Εάν υπάρχει μη τετριμμένη τετραγωνική ρίζα του τότε ο αριθμός είναι σύνθετος Το παραπάνω πόρισμα χρησιμοποιείται για τον έλεγχο αν ο είναι πρώτος

63 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπολογισμός δύναμης με επαναληπτικό τετραγωνισμό Γρήγορος υπολογισμός του Έστω η δυαδική αναπαράσταση του Πριν την κάθε επανάληψη του βρόχου

64 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κρυπτογράφηση BobAlice Eavesdropper κρυπτογράφησηαποκρυπτογράφηση

65 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κρυπτοσύστημα Δημόσιου Κλειδιού BobAlice Eavesdropper κρυπτογράφησηαποκρυπτογράφηση Κάθε συμμετέχων έχει ένα δημόσιο κλειδί και ένα κρυφό κλειδί

66 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κρυπτοσύστημα Δημόσιου Κλειδιού Bob Προμηθεύεται το δημόσιο κλειδί της Alice Υπολογίζει το κρυπτογράφημα Στέλνει το στην Alice Alice Λαμβάνει το Εφαρμόζει το κρυφό της κλειδί Υπολογίζει το αρχικό μήνυμα

67 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ψηφιακή Υπογραφή υπογραφή επαλήθευση αποδοχή Bob Alice Κάθε συμμετέχων έχει ένα δημόσιο κλειδί και ένα κρυφό κλειδί

68 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Bob Προμηθεύεται το δημόσιο κλειδί της Alice Υπολογίζει τo Εάν τότε αποδέχεται το μήνυμα Alice Θέλει να στείλει ένα ψηφιακά υπογεγραμμένο μήνυμα Υπολογίζει την ψηφιακή της υπογραφή Στέλνει το ζεύγος μήνυμα/υπογραφή Ψηφιακή Υπογραφή

69 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman) Διαδικασία υπολογισμού δημόσιου κλειδιού και κρυφού κλειδιού 1.Επιλέγει τυχαία δύο μεγάλους πρώτους αριθμούς 2.Υπολογίζει το γινόμενο 3.Επιλέγει μικρό περιττό ακέραιο αμοιβαία πρώτο με το 4.Υπολογίζει το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του 5.Δημοσιοποιεί ως προσωπικό δημόσιο κλειδί το ζεύγος 6.Κρατάει μυστικό ως προσωπικό κρυφό κλειδί το ζεύγος Κρυπτογράφηση : Αποκρυπτογράφηση :

70 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman) Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA) Οι εξισώσεις και ορίζουν αντίστροφους μετασχηματισμούς στο :

71 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman) Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA) Οι εξισώσεις και ορίζουν αντίστροφους μετασχηματισμούς στο : Απόδειξη Έχουμε όπου για κάποιον ακέραιο. Έστω. Τότε Όμως, άρα

72 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman) Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA) Οι εξισώσεις και ορίζουν αντίστροφους μετασχηματισμούς στο : Απόδειξη Έχουμε όπου για κάποιον ακέραιο. Έστω. Τότε Όμως, άρα Έστω. Τότε και πάλι

73 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman) Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA) Οι εξισώσεις και ορίζουν αντίστροφους μετασχηματισμούς στο : Απόδειξη Έχουμε όπου για κάποιον ακέραιο. Άρα δείξαμε ότι για κάθε Ομοίως έχουμε, για κάθε Από το κινέζικο θεώρημα υπολοίπου συνεπάγεται

74 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έλεγχος Πρώτευσης Πως μπορούμε να ελέγξουμε αποδοτικά εάν ένας ακέραιος είναι πρώτος; πλήθος πρώτων αριθμώνΣυνάρτηση κατανομής πρώτων αριθμών Θεώρημα των πρώτων αριθμών Ένας τυχαία επιλεγμένος αριθμός έχει πιθανότητα να είναι πρώτος Απλοϊκός έλεγχος πρώτευσης : Επιχειρούμε να διαιρέσουμε το με κάθε ακέραιο

75 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έλεγχος Ψευδοπρώτευσης Εάν ο είναι πρώτος τότε τότε ονομάζεται ψευδοπρώτος ως προς βάση Εάν ο είναι σύνθετος αλλά ικανοποιεί την σχέση Εάν για κάθε είναι πρώτος Γρήγορος έλεγχος : Επιλέγουμε και ελέγχουμε αν Αν δεν ισχύει δηλώνουμε ότι σύνθετος Διαφορετικά δηλώνουμε ότι πρώτος

76 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έλεγχος Ψευδοπρώτευσης Εάν ο είναι πρώτος τότε τότε ονομάζεται ψευδοπρώτος ως προς βάση Εάν ο είναι σύνθετος αλλά ικανοποιεί την σχέση Εάν για κάθε είναι πρώτος Γρήγορος έλεγχος : Επιλέγουμε και ελέγχουμε αν Αν δεν ισχύει δηλώνουμε ότι σύνθετος Διαφορετικά δηλώνουμε ότι πρώτος υπάρχει (μικρή) πιθανότητα σφάλματος

77 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έλεγχος Ψευδοπρώτευσης Εάν ο είναι πρώτος τότε τότε ονομάζεται ψευδοπρώτος ως προς βάση Εάν ο είναι σύνθετος αλλά ικανοποιεί την σχέση Εάν για κάθε είναι πρώτος Αριθμοί Carmichael : Σύνθετοι αριθμοί που ικανοποιούν για κάθε

78 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έλεγχος Πρώτευσης Miller-Rabin όπου και περιττός ακέραιος Η παραπάνω ρουτίνα ελέγχει αν ο αποδεικνύει ότι ο είναι σύνθετος Εκτελεί την ακόλουθη ρουτίνα για τυχαίες τιμές του

79 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έλεγχος Πρώτευσης Miller-Rabin όπου και περιττός ακέραιος Εκτελεί την ακόλουθη ρουτίνα για τυχαίες τιμές του Η παραπάνω ρουτίνα ελέγχει αν ο αποδεικνύει ότι ο είναι σύνθετος Αν καμία κλήση δεν επιστρέψει τότε ο είναι πρώτος με μεγάλη πιθανότητα

80 Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έλεγχος Πρώτευσης Miller-Rabin Αν μια τιμή του δεν αποτελεί τεκμήριο ότι ο είναι σύνθετος τότε Επιπλέον μπορεί να δειχθεί ότι όπου υποομάδα της Άρα από το θεώρημα του Lagrange Επομένως, η πιθανότητα ο να μην αποτελεί τεκμήριο ότι ο είναι σύνθετος είναι, άρα μετά από δοκιμές τυχαίων τιμών του