Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση χωρητικότητας Κατευθυνόμενο γράφημα.

Παρουσίαση με θέμα: "Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση χωρητικότητας Κατευθυνόμενο γράφημα."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση χωρητικότητας Κατευθυνόμενο γράφημα 1616 13 12 14 7 9 20 4 410 αφετηρίακός κόμβος τερματικός κόμβος Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα ζεύγηΠεριορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγηΑντισυμμετρία: για κάθεΔιατήρηση ροής:

2 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση χωρητικότητας Κατευθυνόμενο γράφημα 10/16 7/13 10/12 7/14 3/7 9 13/20 4/4 410 Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα ζεύγηΠεριορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγηΑντισυμμετρία: για κάθεΔιατήρηση ροής: Π.χ.

3 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση χωρητικότητας Κατευθυνόμενο γράφημα 10/16 7/13 10/12 7/14 3/7 9 13/20 4/4 410 Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα ζεύγηΠεριορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγηΑντισυμμετρία: για κάθεΔιατήρηση ροής: Π.χ.

4 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση χωρητικότητας Κατευθυνόμενο γράφημα 10/16 7/13 10/12 7/14 3/7 9 13/20 4/4 410 Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα ζεύγηΠεριορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγηΑντισυμμετρία: για κάθεΔιατήρηση ροής: Π.χ. Τιμή ροής:

5 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Συνάρτηση χωρητικότητας Κατευθυνόμενο γράφημα 10/16 7/13 10/12 7/14 3/7 9 13/20 4/4 410 Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα ζεύγηΠεριορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγηΑντισυμμετρία: για κάθεΔιατήρηση ροής: Π.χ. Τιμή ροής:Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή

6 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Σημαντικό πεδίο έρευνας, πολλές εφαρμογές…

7 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα ζεύγηΠεριορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγηΑντισυμμετρία: για κάθεΔιατήρηση ροής: Τιμή ροής:Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Ολική θετική εισροή: Ολική θετική εκροή: Ολική καθαρή ροή:

8 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα ζεύγηΠεριορισμός χωρητικότητας: για όλα τα ζεύγηΑντισυμμετρία: για κάθεΔιατήρηση ροής: Τιμή ροής:Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Ολική θετική εισροή: Ολική θετική εκροή: Ολική καθαρή ροή: λόγω διατήρησης της ροής

9 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Παρατήρηση Το μοντέλο της ροής δικτύου που χρησιμοποιούμε δεν επιτρέπει την καταστάσεις σαν την ακόλουθη Παραβιάζει την αντισυμμετρία

10 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Πολλαπλοί αφετηριακοί και τερματικοί κόμβοι

11 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω σύνολα και Ορίζουμε Άρα Λήμμα Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες 1. Για κάθε 2. Για κάθε 3. Για κάθε τέτοια ώστε και

12 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Λήμμα Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες 1. Για κάθε 2. Για κάθε 3. Για κάθε τέτοια ώστε και Πόρισμα (από την 3, ) (από την 1, ) (από την 2) (από την 3) (από διατήρηση ροής )

13 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέθοδος Ford-Fulkerson 10/16 7/13 10/12 7/14 3/7 9 13/20 4/4 410 Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή 1. θέτουμε τη ροή ίση με 0 2. ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή 3.αυξάνουμε τη ροή κατά μήκος της

14 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα 5/83 5 Υπολειπόμενο δίκτυο 5/83 11 6 όπου

15 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 12/16 7/13 12/12 9/14 5/75/7 2/9 15/20 4/4 410 12 7 1212 9 57 5 4 410 4 65 2 15 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα 5/83 5 Υπολειπόμενο δίκτυο 5/83 11 6 όπου 2

16 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 12/16 7/13 12/12 9/14 5/75/7 2/9 15/20 4/4 410 12 7 1212 9 57 5 4 410 4 65 2 1515 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυοόπου 2 Έστω οι ακμές του με ανεστραμμένη φορά Τότε

17 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 12/16 7/13 12/12 9/14 5/75/7 2/9 15/20 4/4 410 12 7 1212 9 57 5 4 410 4 65 2 1515 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυοόπου 2 Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή

18 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυοόπου Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Άθροισμα ροών Αντισυμμετρία Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο

19 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυοόπου Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Άθροισμα ροών Χωρητικότητα Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Ισχύει άρα

20 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυοόπου Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Άθροισμα ροών Διατήρηση ροής Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Για κάθε κόμβο έχουμε Επειδή και είναι ροές και έχουμε

21 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυοόπου Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Άθροισμα ροών Τιμή της ροής Απόδειξη

22 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 12/16 7/13 12/12 9/14 5/75/7 2/9 15/20 4/4 410 12 7 1212 9 57 5 4 410 4 65 2 1515 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυοόπου 2 Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή Υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής : Π.χ. και

23 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A 12/16 7/13 12/12 9/14 5/75/7 2/9 15/20 4/4 410 12 7 1212 9 57 5 4 410 4 65 2 1515 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυοόπου 2 Υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής Η συνάρτηση όπου αποτελεί ροή στο Επομένως η συνάρτηση αποτελεί ροή στο και

24 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Τομές δικτύων ροής Δίκτυο ροής Τομή διαμέριση του συνόλου των κόμβων και έτσι ώστε και 12/16 7/13 12/12 9/14 5/75/7 2/9 15/20 4/4 410 Καθαρή ροή δια μέσου της τομής Χωρητικότητα της τομής Π.χ. Ισχύει

25 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Τομές δικτύων ροής Δίκτυο ροής Τομή διαμέριση του συνόλου των κόμβων και έτσι ώστε και Καθαρή ροή δια μέσου της τομής : Χωρητικότητα της τομής : Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του. Τότε

26 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Τομές δικτύων ροής Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του. Τότε 12/16 7/13 12/12 9/14 5/75/7 2/9 15/20 4/4 410 Απόδειξη Όμως Άρα Έχουμε

27 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Τομές δικτύων ροής Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του. Τότε 12/16 7/13 12/12 9/14 5/75/7 2/9 15/20 4/4 410 Απόδειξη Όμως Άρα Έχουμε Επιπλέον

28 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες 1. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο 3. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε 12/16 11/13 12/12 11/14 7/7 9 19/20 4/4 410 12 11 1212 79 1 4 410 4 23 1919 11

29 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες 1. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο 3. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε Απόδειξη Έστω ότι η είναι μέγιστη ροή αλλά το περιλαμβάνει αυξητική διαδρομή. Επομένως υπάρχει στο ροή και όπως έχουμε δείξει το άθροισμα αποτελεί ροή στο με τιμή Αυτό όμως αντιβαίνει το γεγονός ότι η είναι μέγιστη ροή.

30 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες 1. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο 3. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε Απόδειξη Υποθέτουμε τώρα πως δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο Θέτουμε το ως το σύνολο των κόμβων που είναι προσβάσιμοι από το στο. Προφανώς άρα το είναι μία τομή του και Έστω οποιοιδήποτε κόμβοι και. Πρέπει να ισχύει έτσι ώστε γιατί διαφορετικά το περιέχει μονοπάτι από το στο Άρα

31 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή

32 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 0/16 0/13 0/12 0/14 0/70/7 0/9 0/20 0/4 0/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1616 13 12 14 7 9 20 4 410

33 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 0/16 0/13 0/12 0/14 0/70/7 0/9 0/20 0/4 0/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1616 13 12 14 7 9 20 4 410 υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 4

34 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 4/16 0/13 4/12 4/14 0/70/7 4/9 0/20 4/4 0/40/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1616 13 12 14 7 9 20 4 410 υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 4

35 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 4/16 0/13 4/12 4/14 0/70/7 4/9 0/20 4/4 0/40/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1212 13 8 4 7 5 20 4 410 4 4 4 1010

36 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 4/16 0/13 4/12 4/14 0/70/7 4/9 0/20 4/4 0/40/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1212 13 8 4 7 5 20 4 410 4 4 4 1010 υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 7

37 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 11/16 0/13 4/12 11/14 7/77/7 4/9 7/20 4/4 0/47/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1212 13 8 4 7 5 20 4 410 4 4 4 1010 υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 7

38 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 11/16 0/13 4/12 11/14 7/77/7 4/9 7/20 4/4 0/47/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 5 13 8 11 7 5 7 4 3 4 4 3 13

39 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 11/16 0/13 4/12 11/14 7/77/7 4/9 7/20 4/4 0/47/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 5 13 8 11 7 5 7 4 3 4 4 3 13 υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 8

40 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 11/16 8/13 12/12 11/14 7/77/7 4/9 15/20 4/4 1/40/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 5 13 8 11 7 5 7 4 3 4 4 3 13 υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 8

41 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 11/16 8/13 12/12 11/14 7/77/7 4/9 15/20 4/4 1/40/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 5 5 12 11 7 5 15 4 311 4 3 5 8

42 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 11/16 8/13 12/12 11/14 7/77/7 4/9 15/20 4/4 1/40/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 5 5 12 11 7 5 15 4 311 4 3 5 8 υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 4

43 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 11/16 12/13 12/12 11/14 7/77/7 0/9 19/20 4/4 1/40/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 5 5 12 11 7 5 15 4 311 4 3 5 8 υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 4

44 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 11/16 12/13 12/12 11/14 7/77/7 0/9 19/20 4/4 1/40/10 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 5 1 12 11 7 19 4 311 9 3 1 1212 δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή

45 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής.

46 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή χρόνος για την εύρεση και επεξεργασία της αυξητικής διαδρομής Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής.

47 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή χρόνος για την εύρεση και επεξεργασία της αυξητικής διαδρομής αύξηση της ροής κατά 1 μονάδα Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής.

48 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 0/1000 0/1 0/1000 1000 1 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο Μια κακή περίπτωση

49 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 0/1000 0/1 0/1000 1000 1 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο Μια κακή περίπτωση υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1

50 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 1/1000 0/1000 1/1 1/1000 0/10001000 1 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο Μια κακή περίπτωση υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1

51 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 1/1000 0/1000 1/1 1/1000 0/1000999 1 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1000 1 1 999 Μια κακή περίπτωση

52 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 1/1000 0/1000 1/1 1/1000 0/1000999 1 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1000 1 1 999 Μια κακή περίπτωση υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1

53 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 1/1000 0/1 1/1000 999 1 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1000 1 1 999 Μια κακή περίπτωση υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1

54 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 1/1000 0/1 1/1000 999 1 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1 1 999 Μια κακή περίπτωση 999 1 1

55 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 1/1000 0/1 1/1000 999 1 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1 1 999 Μια κακή περίπτωση 999 1 1 υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1

56 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/1000 1/1000 1/1 2/1000 1/1000999 1 δίκτυουπολειπόμενο δίκτυο 1 1 999 Μια κακή περίπτωση 999 1 1 υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 1 κ.ο.κ.

57 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή βραχύτατη αυξητική διαδρομή Με αυτήν την τροποποίηση ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται

58 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή βραχύτατη αυξητική διαδρομή Με αυτήν την τροποποίηση ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται μήκος βραχύτατης διαδρομής από το μέχρι το στο Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής.

59 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι για κάποιο το μήκος μειώνεται μετά από μία πράξη αύξησης ροής. Έστω η ροή πριν την πράξη αύξησης και η ροή μετά την πράξη αύξησης Επιλέγουμε ως τον κόμβο με την ελάχιστη τιμή τέτοιον ώστε Έστω μια βραχύτατη διαδρομή στο από το στο Έχουμε και Αν τότε Αντιβαίνει την υπόθεση

60 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι για κάποιο το μήκος μειώνεται μετά από μία πράξη αύξησης ροής. Έστω η ροή πριν την πράξη αύξησης και η ροή μετά την πράξη αύξησης Επιλέγουμε ως τον κόμβο με την ελάχιστη τιμή τέτοιον ώστε Έστω μια βραχύτατη διαδρομή στο από το στο Έχουμε και Άρα και η ροή από το στο αυξήθηκε η βραχύτατη διαδρομή από μέχρι το στο να ήταν επομένωςΑΤΟΠΟ

61 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι. Απόδειξη 5 5 12 11 7 5 15 4 311 4 3 5 8 κρίσιμη ακμή αυξητικής διαδρομής

62 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι. Απόδειξη 5 5 12 11 7 5 15 4 311 4 3 5 8 κρίσιμη ακμή αυξητικής διαδρομής 5 1 12 11 7 19 4 311 9 3 1 1212 οι κρίσιμες ακμές εξαλείφονται από το υπολειπόμενο δίκτυο μετά την αύξηση ροής

63 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι μια ακμή μπορεί να καταστεί κρίσιμη φορές Όταν η γίνει κρίσιμη τότε Μετά την πράξη αύξησης η εξαλείφεται.Για να γίνει ξανά κρίσιμη πρέπει να αυξηθεί η ροή από το στο Επειδή έχουμε Ο ισχυρισμός μας συνεπάγεται από το ότι αν η γίνει κρίσιμη.

64 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή 33 3 1 3 2/33/3 2/3 1/1 3/3

65 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή 33 3 1 3 2/33/3 2/3 1/1 3/3 Η ροή δεν μπορεί να αυξηθεί μέσω μονοπατιών του (αν δεν είναι μέγιστη τότε μπορεί να αυξηθεί μέσω μονοπατιών του )

66 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή 34 3 3 2 1 4 3 μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο 34 3 3 2 4 3 Γράφημα επιπέδων Επίπεδο Περιέχει τις ακμές για τις οποίες ισχύει (0) (1) (2) (3)

67 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή 34 3 3 2 1 4 3 μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο 3/31/4 1/3 2/2 1/4 3/3 Γράφημα επιπέδων Επίπεδο Περιέχει τις ακμές για τις οποίες ισχύει (0) (1) (2) (3) ροή εμποδισμού του Παρατήρηση: Το είναι άκυκλο

68 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο Γράφημα επιπέδων Επίπεδο Περιέχει τις ακμέςγια τις οποίες ισχύει ροή εμποδισμού του Αλγόριθμος Αρχικά. Επαναλαμβάνει το παρακάτω βήμα μέχρι ο να μην ανήκει στο : Βρες ροή εμποδισμού στο. Η ροή του γίνεται Βήμα εμποδισμού: Παρατήρηση: Το είναι άκυκλο

69 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic 34 3 3 2 1 4 3 3/31/4 1/3 2/2 1/4 3/3 (0) (1) (2) (3) 34 3 3 2 1 4 3

70 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic 3 3 2 3 2 1 33 3 23 3 (0) (1) (2)(2) (2) (4)(4) 3/31/4 1/3 2/2 1 1/4 3/3 1 1 1 (3)(3) 1

71 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic 3 3 2 3 2 1 33 1/3 1/23 1/3 (0) (1) (2)(2) (2) (4)(4) 3/31/4 1/3 2/2 1 1/4 3/3 1 1 1 (3)(3) 1/1

72 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic 3 2 1 1 2 1 23 2 12 2 (0) (1) (3)(3) (2)(2) (5)(5) 3/32/4 2/3 1/3 2/2 1/1 2/4 3/3 2 2 2 (4)(4) 2 2

73 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic 3 1 2 1 1 13 1 1 1 (0) (1) (3)(3) (2)(2) 3/33/4 3/3 2/3 1/2 1/1 3/4 3/3 3 3 3 ( ) 1 1 1

74 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Δείχνουμε ότι το επίπεδο του αυξάνει σε κάθε βήμα. Αφού για όλους του κόμβους τότε μπορούμε να έχουμε το πολύ βήματα Έστω και η συνάρτηση και το γράφημα επιπέδων αντίστοιχα μετά από ένα βήμα εμποδισμού. Έστω το υπολειπόμενο δίκτυο μετά το βήμα. Για κάθε ακμή ισχύει Για κάθε ακμή ισχύει ή άρα Αυτό συνεπάγεται ότι ΛήμμαΟ αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού

75 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic ΛήμμαΟ αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Έστω οποιαδήποτε συντομότερη διαδρομή του από το στο Για κάθε έχουμε άρα Όμως η είναι ροή εμποδισμού άρα τουλάχιστον μια ακμή είναι κορεσμένη και επομένως Άρα Δείχνουμε ότι το επίπεδο του αυξάνει σε κάθε βήμα. Αφού για όλους του κόμβους τότε μπορούμε να έχουμε το πολύ βήματα

76 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο 34 3 3 2 4 3 (0) (1) (2) (3) Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί.

77 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο 34 3 3 2 4 3 (0) (1) (2) (3) Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί.

78 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο 2/34 3 3 2/2 4 2/3 (0) (1) (2) (3) Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί.

79 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο 2/34 3 3 2/2 4 2/3 (0) (1) (2) (3) Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί.

80 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο 3/34 1/3 3 2/2 1/4 2/3 (0) (1) (2) (3) Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί.

81 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο 3/34 1/3 3 2/2 1/4 2/3 (0) (1) (2) (3) Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί.

82 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο 3/34 1/3 3 2/2 1/4 2/3 (0) (1) (2) (3) Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί.

83 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο 3/31/4 1/3 2/2 1/4 3/3 (0) (1) (2) (3) Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί.

84 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο 3/31/4 1/3 2/2 1/4 3/3 (0) (1) (2) (3) Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί.

85 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Η εύρεση του μονοπατιού μπορεί να γίνει με καθοδική διερεύνηση, που υλοποιείται από τις παρακάτω ρουτίνες: αρχικοποίηση:. Πήγαινε στη ρουτίνα πρόοδος. πρόοδος: Aν δεν υπάρχει εξερχόμενη ακμή πήγαινε στη ρουτίνα υποχώρηση. επαύξηση:.. Πρόσθεσε μονάδες ροής σε κάθε ακμή υποχώρηση: Αν τερμάτισε. Διαφορετικά έστω η τελευταία ακμή του. Διαφορετικά.. Αν επανάλαβε τη ρουτίνα πρόοδος. Αν πήγαινε στη ρουτίνα επαύξηση. του, σβήσε τις κορεσμένες ακμές και πήγαινε στη ρουτίνα αρχικοποίηση. Σβήσε τη από το και το από το. Κάνε και πήγαινε στη ρουτίνα πρόοδος.

86 Μέγιστη ροή TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ο αλγόριθμος του Dinic Η προηγούμενη ρουτίνα βρίσκει μια ροή εμποδισμού σε χρόνο Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Επομένως ο χρόνος εκτέλεσης είναι Με δυναμικά δένδρα ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται

87 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Επίσης έχουν σχεδιαστεί αλγόριθμοι που επιτυγχάνουν χρόνο [G. Borradaile and P. Klein, J. ACM 56(2), 2009], [J. Erickson, SODA 2010]

88 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Θα περιγράψουμε τον αλγόριθμο των Hassin και Itai-Shiloach για την εύρεση της μέγιστης ροής σε ένα st-επίπεδο γράφημα G, όπου ο αφετηριακός κόμβος s και ο τερματικός κόμβος t βρίσκονται στην εξωτερική όψη. s t 4 5 3 7 2 1 3 1 4 6 3 5 7 Για απλότητα θα θεωρήσουμε ότι το G είναι μη κατευθυνόμενο. (Ο αλγόριθμος μπορεί να εφαρμοστεί και σε κατευθυνόμενα γραφήματα με κατάλληλο ορισμό του δυϊκού γραφήματος.)

89 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A e Έστω e μια ακμή ενός κατευθυνόμενου επίπεδου γραφήματος, η οποία βρίσκεται μεταξύ των όψεων f α και f δ, όπου η f α βρίσκεται στα αριστερά της e ως προς την κατεύθυνση της e και η f δ βρίσκεται στα δεξιά της e. Τότε η αντίστοιχη δυική ακμή έχει κατεύθυνση από τον κόμβο που αντιστοιχεί στην όψη f δ προς τον κόμβο που αντιστοιχεί στην όψη f α. e* e fαfα fδfδ fδfδ fαfα

90 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A c Ο αλγόριθμος βασίζεται στην παρατήρηση ότι ο υπολογισμός της μέγιστης ροής σε ένα st-επίπεδο γράφημα G αντιστοιχεί στην εύρεση συντομότερων μονοπατιών στο δυϊκό γράφημα G*. Αναθέτουμε στη δυϊκή ακμή e* που αντιστοιχεί στην ακμή e, μήκος, όπου c(e) η χωρητικότητα της e. Οι συντομότερες διαδρομές από έναν αφετηριακό κόμβο προς όλους τους άλλους κόμβους σε ένα επίπεδο γράφημα μπορούν να υπολογιστούν σε O(n) χρόνο [M. Henzinger, P. Klein, S. Rao, and S. Subramanian, JCSS 55(1), 1997].

91 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών Ξεκινάμε με το st-επίπεδο γράφημα G και εκτελούμε τα παρακάτω βήματα: Εισαγάγουμε μια ψεύτικη ακμή (s,t) πάνω από το G. Κατασκευάζουμε το δυϊκό γράφημα G*, το οποίο περιλαμβάνει δύο κόμβους s* και t*, όπου ο s* βρίσκεται πάνω από το αρχικό γράφημα και κάτω από την ακμή (s,t), ενώ ο t* βρίσκεται κάτω από το G. Τέλος, διαγράφουμε την ακμή (s*,t*) από το G*. Υπολογίζουμε τις συντομότερες διαδρομές στο G* από τον s* προς τον t*. Έστω d(t*) το μήκος αυτής της διαδρομής. Τότε η μέγιστη ροή στο G έχει τιμή d(t*).

92 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A s t 4 5 3 7 2 1 3 1 4 6 3 5 7

93 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A s t 4 5 3 7 2 1 3 1 4 6 3 5 7

94 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A s t 4 5 3 7 2 1 3 1 4 6 3 5 7 s* t*

95 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A s t 4 5 3 7 2 1 3 1 4 6 3 5 7 s* t*

96 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A s t 4 5 3 7 2 1 3 1 4 6 3 5 7 s* t*

97 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω d(j*) το μήκος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον s* στον v* για κάθε κόμβο v* του G*. Έστω (u*, v*) μια ακμή του G*που αντιστοιχεί στην (u,v) του G, όπου. Αναθέτουμε στην (u,v) ροή από τον u στον v. Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών

98 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A s t 4/4 3/5 2/3 0/7 1/1 3/3 1/1 3/4 6/6 3/3 2/2 5/7 s* t* (2) (4) (7) (9) (3) (4) (6) 2/2

99 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω d(j*) το μήκος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον s* στον v* για κάθε κόμβο v* του G*. Έστω (u*, v*) μια ακμή του G*που αντιστοιχεί στην (u,v) του G, όπου. Αναθέτουμε στην (u,v) ροή από τον u στον v. Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών Επιπλέον αν η (u*,v*) είναι ακμή συντομότερης διαδρομής από τον s* στον v* τότε η (u,v) είναι κορεσμένη αφού θα έχουμε Για κάθε ακμή (u*,v*) ισχύει : Άρα ικανοποιείται ο περιορισμός χωρητικότητας. Απομένει να δείξουμε ότι ικανοποιείται η διατήρηση ροής. (Η αντισυμμετρία ικανοποιείται εξ ορισμού.)

100 Μέγιστη ροή σε επίπεδα γραφήματα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω d(j*) το μήκος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον s* στον v* για κάθε κόμβο v* του G*. Έστω (u*, v*) μια ακμή του G*που αντιστοιχεί στην (u,v) του G, όπου. Αναθέτουμε στην (u,v) ροή από τον u στον v. Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών 2/3 0/7 1/1 (2) (4) (3) (4) Θεωρούμε ένα κόμβο v και τις ακμές που προσπίπτουν σε αυτόν. Οι δυικές ακμές ορίζουν ένα κύκλο γύρω από τον v όπου v Άρα ικανοποιείται και η διατήρηση ροής.