Απαντήσεις Θεωρίας - Ασκήσεων

Παρουσίαση με θέμα: "Απαντήσεις Θεωρίας - Ασκήσεων"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Απαντήσεις Θεωρίας - Ασκήσεων
ΘΕΜΑΤΑ α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θεωρία – Ορισμοί Κεφάλαιο 1ο Απαντήσεις Θεωρίας - Ασκήσεων 1. Να δώσετε τον ορισμό της Ευκλείδειας Διαίρεσης και της Τέλειας Διαίρεσης δύο Φυσικών Αριθμών. 2. Ποιοι αριθμοί λέγονται σύνθετοι – πρώτοι; 3.Πότε δύο αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους; 4. Πότε ένας αριθμός διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και με το 5; 5. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2; Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5; Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9; 6 Κριτήρια διαιρετότητας . 7. Ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού . 8. Να διατυπώσετε την επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση και ως προς την αφαίρεση φυσικών αριθμών Η Διαίρεση που έχει την μορφή Δ = δ.π+υ , υ≤0 λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση , όπου Δ = διαιρεταίος , δ= διαιρέτης , υ : υπόλοιπο . Τέλεια είναι η ευκλείδεια διαίρεση με υ=0 2. ΟΙ αριθμοί που έχουν διαιρέτες το 1 και τον εαυτό τους λέγονται πρώτοι , διαφορετικά σύνθετοι ( περισ-σότεροι διαιρέτες .) 3. Πρώτοι μεταξύ τους λέγονται όταν έχουν Μ.Κ.Δ. το 1 4. Αν το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι μηδέν (0 ) 5. Αν είναι ζυγός ( άρτιος ) δηλ. 2,4,6,8, και 0 Αν το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι 0 ή 5 Αν το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών διαι- ρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα . 6. Σελίδα 28 σχολικού βιβλίου . 7. α+β = β+α α.β+β.α αντιμεταθετική α+(β+γ) = (α+β) + γ α.(β.γ)=(α.β).γ προσεταιριστική α+0 = 0+α =α α=α.1=α το 0 , 1 ουδέ- τερα στοιχεία της πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. 8. α.(β + γ) = α.β + α.γ και α.(β –γ) = α.β – α.γ

2 Ασκήσεις Πιθανά υπόλοιπα είναι το 0 (τέλεια διαίρεση ) ,1,2,3,4 διότι το υπόλοιπο υ < δ (διαιρέτης ) . α) Το υπόλοιπο 15 είναι μεγαλύτερο του διαιρέτη 11ή 13 , άρα δεν είναι ευκλείδεια διαίρεση . β) ομοίως το 20 μεγαλύτερο από το 9 και 17 ,άρα δεν είναι ευκλείδεια διαίρεση . γ) Είναι ευκλείδεια διαίρεση με διαιρέτη το 7 ή το 9 και υπόλοιπο 0 . δ) Είναι ευκλείδεια διαίρεση με διαιρέτη το 16 ή το 12 και υπόλοιπο 0 . 3. Η εβδομάδα έχει 7 ημέρες , άρα κάθε 7 ημέρες θα είναι Κυριακή . Επομένως διαιρούμε το 134:7 που αφήνει υπόλοιπο 1 , άρα θα είναι Δευτέρα . 4. Ζητάμε τον Διαιρετέο της διαίρεσης με διαιρέτη 17 , πηλίκο 23 και υπόλοιπο 5 , άρα από ισότητα ευκλείδειας διαίρεσης Δ = δ.π + υ ,έχουμε : χ = =391+5 = 396 . 1. Αν ο α φυσικός αριθμός , να βρεθούν τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης α:5 2. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι ευκλείδειες διαιρέσεις: α) 158 = β) 173 = γ) 65 = δ) 192 = 16.12 3. Να υπολογίσετε ποια μέρα θα έχουμε μετά από ημέρες , αν σήμερα έχουμε Κυριακή . 4. Να βρεθεί αριθμός χ , ο οποίος διαιρούμενος από το 17 , δίνει πηλίκο 23 και υπόλοιπο 5 .

3 Συνέχεια Για την δεδομένη διαίρεση ισχύει : χ = 42.9 +35 . Όταν
Για την δεδομένη διαίρεση ισχύει : χ = Όταν ο αριθμός 9 γίνει διαιρέτης πρέπει να δίνει υπόλοιπο μικρότερο του 9 , άρα θα πρέπει να διαιρέσουμε το 35:9 δηλ. 35= Η αρχική ισότητα γίνεται : χ = = (42+3).9+8 = ΄Αρα η διαίρεση χ :9 δίνει πηλίκο 45 και υπόλοιπο 8 . 6. Α = και άρα Α =-2+(19-3) –[2-(2-1)] = (2-1) = = 16 – 3=13 5. Ο αριθμός χ διαιρούμενος με το 42 δίνει πηλίκο 9 και υπόλοιπο Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης χ : 9 . 6. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α = 7. Αν και , να υπολογίσετε την παράσταση : Α = −2 +(α − 3) −[2 − (β −1)]

4 Συνέχεια 8.α) Α = = β) Ο αριθμός 505 διαιρείται με το 5 ( λήγει σε 5 ) , όχι όμως με το 3 γιατί : =10 που δεν διαιρείται με το 3 . γ) 9 . Α = και Β= 10. Α = −2 +(x − 3) −[2 + (y −1)] = -2+ (11-3)-[2+(5-1)]= = -2+8-(2+4 ) = = = 8 – 8 = 0 8 . α) Να υπολογίσετε την τιμή της παρά-στασης: Α= β) Διαιρείται η τιμή του αριθμού Α που βρήκατε δια 5 ; διαιρείται δια 3; γιατί; γ) Να βρείτε τα του Α . 9. Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις: Α = και Β = Υπολογίστε τις τιμές των παραστάσεων Α, Β και 10. Αν x = 5+ (12 − 3) − (−5 + 8) −1 και y = −1+[2 + (7 −10)] Να υπολογίσετε την τιμή της παρά-στασης : Α = −2 +(x − 3) −[2 + (y −1)]

5 Ασκήσεις Για την λύση των ασκήσεων 11,12,13,14, εκτελούμε τα εξής βήματα : 1ο Πρώτα οι πράξεις με τις δυνάμεις . 2ο Μετά οι πράξεις στις παρενθέσεις . 3ο Από τις πράξεις προηγούνται οι πολλα- πλασιασμοί και οι διαιρέσεις και τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις . 4ο Θέτουμε πρώτα τους αριθμούς με + και μετά με - 5ο Κάνουμε τις προσθέσεις και μετά τις αφαιρέσεις . 11. 12. Αν και να υπολογισθούν : το Α , Β και το Α.(Α+Β) . 13. Να υπολογισθούν οι τιμές των παρακάτω παραστάσεων : 14. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) β) Κατόπιν να βρείτε το ΕΚΠ και τον ΜΚΔ των φυσικών αριθμών Α και Β που θα υπολογίσετε από τις παραστάσεις. γ) Είναι οι Α και Β πρώτοι μεταξύ τους ;

6 Ερωτήσεις κατανόησης Α. Αν Δ ο διαιρετέος, δ ο διαιρέτης, π το πηλίκο και υ το υπόλοιπο, να γράψετε με τα σύμβολα αυτά τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πότε μια διαίρεση είναι τέλεια; Β. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Γράψτε από ένα παράδειγμα. Γ. Αν α και β είναι σύνθετοι αριθμοί είναι δυνατόν να ισχύει Μ. Κ. Δ. (α, β) = 1ή όχι; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας δίνοντας ένα παράδειγμα. Δ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 9 ; Ε. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος αριθμός ; ΣΤ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2 και το 5 ταυτόχρονα ; Ζ . Ένας φυσικός αριθμός έχει τελευταίο ψηφίο το 0. Με ποιους φυσικούς αριθμούς διαιρείται;

7 Θεωρία – Ορισμοί Κεφάλαιο 2ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Θεωρία – Ορισμοί Κεφάλαιο 2ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Κάθε αριθμός της μορφής    , όπου α και β είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί (β ≠ 0) είναι ένας κλασματικός αριθμός ή ένα κλάσμα. Ομώνυμα όταν έχουν τον ίδιο παρονομαστή και ετερώνυμα όταν έχουν διαφορετικό παρονομαστή . 3. Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους ή ίσων μεγεθών . Αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα δηλ. τότε : α.δ=β.γ Όταν πολλαπλασιαστούν οι όροι του κλάσματος (αριθμητής και παρονομαστής ) με τν ίδιο αριθμό ή όταν διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό . Ονομάζονται τα κλάσματα που δεν μπορούν να απλοποιηθούν άλλο . 6. Τα κάνουμε ομώνυμα – προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές και παρονομαστή βάζουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. 7. Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή . 8. Αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος και κάνουμε πολλαπλασιασμό . 9. ΄Ενα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή λέγετα ι καταχρηστικό. Τι ονομάζουμε κλάσμα 2. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ομώνυμα και τότε ετερώνυμα ; Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ; Όταν έχουμε ένα κλάσμα πως μπορούμε να βρούμε κλάσματα ισοδύναμα με αυτό; Ποια κλάσματα λέγονται ανάγωγα ; Πρόσθεση – Αφαίρεση κλασμάτων . 7. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων . 8. Διαίρεση δύο κλασμάτων . 9. Ποια κλάσματα λέγονται καταχρηστικά ;

8 Συνέχεια 9 . Ονομάζουμε το κλάσμα που οι όροι του είναι κλάσματα π.χ.
9 . Ονομάζουμε το κλάσμα που οι όροι του είναι κλάσματα π.χ. Η διαδικασία με την οποία διαιρώντας τους όρους ενός κλάσματος με έναν κοινό διαιρέτη τους, βρίσκουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα, λέγεται απλοποίηση. 11. Κάθε κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, είναι μικρότερο από τη μονάδα. Κάθε κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα. 12. Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο ένα ( 1 ) ονομάζονται αντίστροφοι π.χ και διότι : 13. α.δ = β.γ 14. Θα προκύψει ισοδύναμο κλάσμα με το αρχικό . Ποιο κλάσμα ονομάζουμε σύνθετο κλάσμα . 10. Τι ονομάζουμε απλοποίηση ενός κλάσματος ; 11. Σύγκριση ενός κλάσματος με τη μονάδα . 12. Ποια κλάσματα λέγονται αντίστροφα (παράδειγμα ) 13. Αν ισχύει να γράψετε τη σχέση με την οποία συνδέονται οι όροι α, β, γ, δ. 14 . Τι κλάσμα θα προκύψει αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τους όρους του με τον ίδιο φυσικό αριθμό (≠ 0) ;

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σχολικό βιβλίο σελ < < (γιατί ;) Αφού το κοστίζει 3 ευρώ τα κοστίζουν : € δηλ 1 λίτρο κοστίζει 12 € . Τα κοστίζουν : € . ( γιατί ; ) α) Αφού το κλάσμα είναι ίσο με 0 , πρέπει ο αριθμητής να είναι 0 , δηλ. χ-5=0 , άρα χ=5 . β) Αφού το κλάσμα είναι ίσο με 1 , θα πρέπει αριθμητής και παρονομαστής να είναι ίσοι , δηλ. χ+7=13 άρα χ=13-7=6 γ) χ+1=3.5 , άρα χ+1 = 15 , άρα χ=15-1 , άρα χ=14 1. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες αν α, β, λ μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί: 2. Να γράψετε στη σειρά από το μικρό- τερο στο μεγαλύτερο τα κλάσματα: 3. Το   του λίτρου κρασί κοστίζει 3 ευρώ. Να υπολογίσετε πόσο κοστίζει: α) το ένα λίτρο, β) τα   του λίτρου. 4. Να γραφούν στη σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τα κλάσματα:   5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α)  , β) , γ)  .

10 Συνέχεια 6. Aν και 7. Α = 8. Τα των μαθητών ενός σχολείου είναι 6. Α =
6. Α = Β = άρα : 4 Α-Β = 4.2-7=8-7=1 7. Α = 8. Α. Τα των μαθητών είναι: ( αγόρια ) το των μαθητών είναι : : 3 = 36 τα είναι = 180 μαθητές ( σύνολο ) Β. Γαλλικά μιλούν: μαθητές 6. Aν και Β = να υπολογισθεί η παράσταση : 4 Α-Β 7. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 8. Τα των μαθητών ενός σχολείου είναι αγόρια. Αν γνωρίζουμε ότι τα αγόρια του σχολείου είναι 108 , να βρείτε: Α. Πόσους μαθητές έχει το σχολείο συνολικά; Β. Αν τα των μαθητών του σχολείου μαθαίνουν Γαλλικά , να βρείτε πόσοι μαθητές μαθαίνουν Γαλλικά .

11 Συνέχεια 9. α) Κάνουμε πράξεις σε κάθε παράσταση .
α) Κάνουμε πράξεις σε κάθε παράσταση . Ε.Κ.Π. 12 β) 10. π = 11. α) χ - 5 = 0 , άρα χ = 5 β) χ + 5 = 6 , άρα χ = 6-5=1 γ) χ - 2 = 5 , άρα χ = =7 9. α) Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις: , και β) να υπολογισθεί το 2. Α + Β – Γ 10. Δίνονται τα κλάσματα , και . Να δείξετε ότι η παράσταση π = α+β γ ισούται με 2. 11. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) β) γ)

12 Ερωτήσεις κατανόησης - Συμπλήρωσης - Σωστού - Λάθους
Ερωτήσεις κατανόησης Συμπλήρωσης Σωστού - Λάθους 1. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις με τον κατάλληλο αριθμό. Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι ίσος με τον παρανομαστή του τότε αυτό είναι ίσο με τον αριθμό ….. Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι διπλάσιος από τον παρανομαστή τότε αυτό το κλάσμα είναι ίσο με τον αριθμό ….. Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι τριπλάσιος από τον παρανομαστή τότε αυτό το κλάσμα είναι ίσο με τον αριθμό ….. Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι δεκαπλάσιος από τον παρανομαστή τότε αυτό το κλάσμα είναι ίσο με τον αριθμό………… 2. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση (τα κλάσματα έχουν όρους φυσικούς αριθμούς). Στο κλάσμα η μεταβλητή x δεν μπορεί να πάρει σαν τιμή τον αριθμό Α: Β: Γ: Δ: 4 • Στο κλάσμα η μεταβλητή x δεν μπορεί να πάρει σαν τιμές τους αριθμούς: Α: Β: Γ: Δ: 2 , 3 Στο κλάσμα η μεταβλητή x μπορεί να είναι ο αριθμός: Α: Β: Γ: Δ: 0 Το κλάσμα είναι ίσο με το 1 : Α: Πάντα Β: Μόνο αν x φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1

13 Συνέχεια 3. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις:
Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: • Ένα κλάσμα είναι μικρότερο του 1 όταν ο αριθμητής του είναι ……………από τον παρανομαστή του. • Ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο του 1 όταν ο αριθμητής του είναι ………………. από τον παρανομαστή του. • Μεταξύ κλασμάτων με τον ίδιο παρανομαστή (ομώνυμα), μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει ……………….. αριθμητή. • Μεταξύ κλασμάτων με τον ίδιο αριθμητή μικρότερο είναι αυτό που έχει ……………….. παρανομαστή. 4. Στο τέλος της πρότασης γράψτε Σ αν αυτή είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος. • Μεταξύ των κλασμάτων και δεν υπάρχει άλλο κλάσμα. • Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο του 2. • Το κλάσμα είναι μικρότερο του 1. • Μεταξύ των κλασμάτων και υπάρχουν άπειρα κλάσματα. 5. Αν α, β, γ διαδοχικοί αριθμοί με 1 < α < β < γ να συγκρίνετε με το 1 τα παρακάτω κλάσματα:

14 Συνέχεια 6. α) Να βρείτε ένα κλάσμα πιο μεγάλο από το 1/3 που να έχει τον αριθμητή του β.Να βρείτε ένα κλάσμα πιο μικρό από το 1 που να έχει παρονομαστή του το γ. Να συγκρίνετε τα δύο κλάσματα που βρήκατε στα προηγούμενα ερωτήματα δ. Ποιο ποσοστό εκφράζουν τα δύο κλάσματα που βρήκατε στα ερωτήματα  α και β; ε) Να βρείτε ένα κλάσμα που να είναι μικρότερο του 3/5 και μεγαλύτερο του 2/5 7.  Να χαρακτηρίσετε Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις  α ) Το κλάσμα 3/5 είναι ίσο με τον αριθμό 0, β) Το πηλίκο της διαίρεσης 1:3 είναι το κλάσμα 1/ γ) Το 30% είναι το κλάσμα 1/ δ) Αν ο αριθμός χ αυξηθεί κατά 20% θα γίνει 1,2. χ   Δίνονται τα κλάσματα α = 3/5 , β = 5/4 , γ = 6/5 , δ = 3/4  α) Να συγκρίνετε το κάθε κλάσμα με την μονάδα β) Να κάνετε τα κλάσματα ισοδύναμα με τον ίδιο παρονομαστή γ) Να διατάξετε τα κλάσματα από το μικρότερο στο μεγαλύτερο Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: α) Δεκαδικό ονομάζεται το κλάσμα που ο παρονομαστής του είναι …………….. β)  Ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα όταν ………………………………  γ) Αν οι μαθητές ενός γυμνασίου είναι 200 τότε το 45% των μαθητών αυτών είναι ………………………

15 Ασκήσεις 1. Τρεις φίλοι μοιράστηκαν ένα ποσό €. Ο πρώτος πήρε τα του ποσού . Ο δεύτερος και ο τρίτος μοιράστηκαν εξίσου τα υπόλοιπα χρήματα . Να υπολογίσετε: Α. Τι ποσό πήρε ο πρώτος Β. Τι ποσό πήρε ο δεύτερος Γ. Τι μέρος (κλάσμα) του αρχικού ποσού πήρε ο τρίτος. 2. Τα αγόρια ενός σχολείου είναι και αποτελούν τα των μαθητών. Α. Πόσοι είναι όλοι οι μαθητές του σχολείου; B. Πόσα είναι τα κορίτσια του σχολείου; Γ. Αν τα των κοριτσιών μαθαίνουν Γερμανικά , πόσα είναι τα κορίτσια αυτά; 3. Από τους 150 μαθητές της Α΄ τάξης ενός Γυμνασίου , επέλεξαν για δεύτερη ξένη γλώσσα τα Γερμανικά τα των μαθητών , το των μαθητών επέλεξαν τα Γαλλικά και οι υπόλοιποι επέλεξαν τα Ιταλικά. Α. Πόσοι επέλεξαν τα Γερμανικά και πόσοι τα Γαλλικά; Β. Ποιο μέρος των μαθητών επέλεξε τα Ιταλικά; Γ. Πόσοι μαθητές επέλεξαν τα Ιταλικά; 4. Δίνονται οι παραστάσεις : και α. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α και Β. β. Να συγκρίνετε τις τιμές των παραστάσεων Α και Β. γ. Να βρείτε ένα κλάσμα μεταξύ των τιμών των παραστάσεων Α και Β.