Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA.

Παρουσίαση με θέμα: "Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο

2 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπάρχουν προβλήματα που δεν επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο και επομένως δεν ανήκουν στην κλάση Υπάρχει μία κατηγορία σημαντικών προβλημάτων για τα οποία δεν γνωρίζουμε αν επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο Υπάρχουν προβλήματα που είναι άλυτα (δεν επιλύονται με κανένα αλγόριθμο – π.χ. το HALTING πρόβλημα) Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο

3 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Υπάρχει μία κατηγορία σημαντικών προβλημάτων για τα οποία δεν γνωρίζουμε αν επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο Ωστόσο, τα προβλήματα αυτά έχουν μία χαρακτηριστική ιδιότητα: Μπορούμε να επαληθεύσουμε μία λύση τους σε πολυωνυμικό χρόνο Ο αλγόριθμος επαλήθευσης τρέχει σε πολυωνυμικό χρόνο ως προς το μέγεθος του στιγμιότυπου Αλγόριθμος επαλήθευσης για ένα πρόβλημα : δέχεται στην είσοδο στιγμιότυπο και υποψήφια λύση (πιστοποιητικό) και αποφασίζει εάν η λύνει σωστά το (Άρα το μέγεθος του πιστοποιητικού είναι πολυωνυμικό ως προς το )

4 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Προφανώς. Είναι όμως ; Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα για τα οποία μπορούμε να επαληθεύσουμε μία λύση τους Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο σε πολυωνυμικό χρόνο

5 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αναγωγή πολυωνυμικού χρόνου Το πρόβλημα ανάγεται σε πολυωνυμικό χρόνο στο πρόβλημα όταν υπάρχει αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου που μετασχηματίζει οποιοδήποτε στιγμιότυπο σε στιγμιότυπο υπάρχει αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου που μετατρέπει μία λύση του σε λύση του αλγόριθμος για το στιγμιότυπο λύση του δεν υπάρχει λύση του δεν υπάρχει λύση του λύση του

6 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Έστω ότι το πρόβλημα ανάγεται σε πολυωνυμικό χρόνο στο πρόβλημα. Αναγωγή πολυωνυμικού χρόνου Συμπέρασμα: «Το πρόβλημα είναι τουλάχιστον τόσο δύσκολο όσο το » αλγόριθμος για το στιγμιότυπο λύση του δεν υπάρχει λύση του δεν υπάρχει λύση του λύση του

7 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A -πλήρες πρόβλημα : κάθε πρόβλημα στην κλάση ανάγεται σε αυτό (σε πολυωνυμικό χρόνο) Μερικά γνωστά -πλήρη προβλήματα : μονοπάτι Hamilton, βαρύτατο μονοπάτι, πρόβλημα του σακιδίου, μέγιστη τομή, χρωματισμός γραφήματος, … Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα για τα οποία μπορούμε να επαληθεύσουμε μία λύση τους σε πολυωνυμικό χρόνο http://www.nada.kth.se/~viggo/problemlist/compendium.html

8 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ένα πρώτο NP-πλήρες πρόβλημα: Ικανοποιησιμότητα Κυκλώματος Λογικοί τελεστές ANDORNOT 10 είσοδοι έξοδος σταθερέςμεταβλητές

9 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ένα πρώτο NP-πλήρες πρόβλημα: Ικανοποιησιμότητα Κυκλώματος Λογικοί τελεστές ANDORNOT 10 είσοδοι έξοδος = 0 σταθερέςμεταβλητές 10 01 0 απόδοση τιμών

10 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ένα πρώτο NP-πλήρες πρόβλημα: Ικανοποιησιμότητα Κυκλώματος Λογικοί τελεστές ANDORNOT 10 είσοδοι έξοδος = 1 σταθερέςμεταβλητές απόδοση τιμών 11 11 0

11 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ένα πρώτο NP-πλήρες πρόβλημα: Ικανοποιησιμότητα Κυκλώματος Λογικοί τελεστές ANDORNOT Ικανοποιησιμότητα Κυκλώματος: Υπάρχει απόδοση τιμών στις μεταβλητές ώστε η έξοδος του κυκλώματος να είναι 1; Θεώρημα Cook-Levin Το πρόβλημα Ικανοποιησιμότητας Κυκλώματος είναι -πλήρες

12 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα για τα οποία μπορούμε να επαληθεύσουμε μία λύση τους σε πολυωνυμικό χρόνο Μέθοδος απόδειξης NP-πληρότητας ενός προβλήματος Χ : 1.Δείχνουμε ότι το X ανήκει στην κλάση NP. 2.Δείχνουμε ότι ένα γνωστό NP-πλήρες πρόβλημα Y ανάγεται στο Χ (σε πολυωνυμικό χρόνο). -πλήρες πρόβλημα : κάθε πρόβλημα στην κλάση ανάγεται σε αυτό (σε πολυωνυμικό χρόνο)

13 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Πως μπορούμε να διαπιστώσουμε αν ένα γνωστό NP-πλήρες γραφοθεωρητικό πρόβλημα Χ παραμένει NP-πλήρες σε επίπεδα γραφήματα; A. Απαλοιφή τομών Θεωρούμε ένα σχέδιο του αρχικού γραφήματος G στο επίπεδο. Αντικαθιστούμε κάθε τομή μεταξύ δύο ακμών στο σχέδιο του G με ένα επίπεδο υπογράφημα, τέτοιο ώστε να μην αλλάζει η λύση του προβλήματος στο G. B. Αναγωγή που διατηρεί την επιπεδότητα Δείχνουμε ότι ένα πρόβλημα Y που είναι NP-πλήρες σε επίπεδα γραφήματα ανάγεται στο X και ότι η αναγωγή διατηρεί την επιπεδότητα.

14 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) k-χρωματισμός : Ανάθεση αριθμών (χρωμάτων) στους κόμβους c : V → {1,2,…,k} έτσι ώστε για κάθε ακμή (u,v)  E να ισχύει c(u) ≠ c(v).

15 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) 12 2 1 3 1 3 k-χρωματισμός : Ανάθεση αριθμών (χρωμάτων) στους κόμβους c : V → {1,2,…,k} έτσι ώστε για κάθε ακμή (u,v)  E να ισχύει c(u) ≠ c(v).

16 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Θεώρημα των 4 χρωμάτων [Appel, Haken και Koch 1977] Κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 4 χρώματα. Εκτενής απόδειξη. Είναι εύκολο να δούμε ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα. k-χρωματισμός : Ανάθεση αριθμών (χρωμάτων) στους κόμβους c : V → {1,2,…,k} έτσι ώστε για κάθε ακμή (u,v)  E να ισχύει c(u) ≠ c(v).

17 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Είναι εύκολο να δείξουμε ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα. Διατάσσουμε τους κόμβους του G σε αύξουσα σειρά ως προς τον βαθμό τους (αριθμό ακμών που προσπίπτουν σε κάθε κόμβο). δ (4)γ (4)α (2) β (3) ε (4) ζ (4) η (5) διάταξη : α, β, γ, δ, ε, ζ, η

18 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Κατευθύνουμε κάθε ακμή προς τον κόμβο με τη μεγαλύτερη θέση στη διάταξη. δ (4)γ (4)α (2) β (3) ε (4) ζ (4) η (5) Είναι εύκολο να δείξουμε ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα. Διατάσσουμε τους κόμβους του G σε αύξουσα σειρά ως προς τον βαθμό τους (αριθμό ακμών που προσπίπτουν σε κάθε κόμβο). Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους σε αντίστροφη σειρά ως προς τη παραπάνω διάταξη. Σε κάθε κόμβο v δίνουμε το μικρότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιείται από τους κόμβους προς τους οποίους υπάρχει κατευθυνόμενη ακμή από τον v διάταξη : α, β, γ, δ, ε, ζ, η

19 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Κατευθύνουμε κάθε ακμή προς τον κόμβο με τη μεγαλύτερη θέση στη διάταξη. 323 1 3 2 1 Είναι εύκολο να δείξουμε ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα. Διατάσσουμε τους κόμβους του G σε αύξουσα σειρά ως προς τον βαθμό τους (αριθμό ακμών που προσπίπτουν σε κάθε κόμβο). Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους σε αντίστροφη σειρά ως προς τη παραπάνω διάταξη. Σε κάθε κόμβο v δίνουμε το μικρότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιείται από τους κόμβους προς τους οποίους υπάρχει κατευθυνόμενη ακμή από τον v διάταξη : α, β, γ, δ, ε, ζ, η

20 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Κατευθύνουμε κάθε ακμή προς τον κόμβο με τη μεγαλύτερη θέση στη διάταξη. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα. Διατάσσουμε τους κόμβους του G σε αύξουσα σειρά ως προς τον βαθμό τους (αριθμό ακμών που προσπίπτουν σε κάθε κόμβο). Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους σε αντίστροφη σειρά ως προς τη παραπάνω διάταξη. Σε κάθε κόμβο v δίνουμε το μικρότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιείται από τους κόμβους προς τους οποίους υπάρχει κατευθυνόμενη ακμή από τον v Λόγω της διάταξης, κάθε κόμβος v έχει το πολύ 5 εξερχόμενες (κατευθυνόμενες) ακμές (γιατί;). Άρα αρκούν 6 χρώματα. Η παραπάνω μέθοδος βρίσκει ένα χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα σε γραμμικό χρόνο. Μια παραλλαγή της χρησιμοποιεί 5 χρώματα.

21 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Για τον χρωματισμό επίπεδου γραφήματος με k χρώματα έχουμε : k = 2 : Υπολογίζεται σε γραμμικό χρόνο αν υπάρχει (όπως και σε γενικά γραφήματα). k = 4 : Υπάρχει πάντα χρωματισμός με 4 χρώματα. k = 3 : NP-πλήρες πρόβλημα!

22 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Ο έλεγχος αν ένα γράφημα έχει 3-χρωματισμό είναι NP-πλήρες πρόβλημα. Θα δείξουμε ότι παραμένει NP-πλήρες και σε επίπεδα γραφήματα. Χρησιμοποιούμε την μέθοδο απόδειξης με «απαλοιφή τομών». Αντικαθιστούμε κάθε τομή δύο ακμών με ένα επίπεδο γράφημα Γ το οποίο διατηρεί τους χρωματισμούς με 3 χρώματα (αν υπάρχουν). α α’ β β’ Γ

23 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Ο έλεγχος αν ένα γράφημα έχει 3-χρωματισμό είναι NP-πλήρες πρόβλημα. Θα δείξουμε ότι παραμένει NP-πλήρες και σε επίπεδα γραφήματα. α α’ β β’ α α’ β β’ Ιδιότητα Σε κάθε 3-χρωματισμό του Γ ισχύει c(α)=c(α’) και c(β)=c(β’). Επιπλέον υπάρχει 3-χρωματισμός με c(α)=c(β) και 3-χρωματισμός με c(α)≠c(β). Χρησιμοποιούμε την μέθοδο απόδειξης με «απαλοιφή τομών». Αντικαθιστούμε κάθε τομή δύο ακμών με ένα επίπεδο γράφημα Γ το οποίο διατηρεί τους χρωματισμούς με 3 χρώματα (αν υπάρχουν).

24 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Ο έλεγχος αν ένα γράφημα έχει 3-χρωματισμό είναι NP-πλήρες πρόβλημα. Θα δείξουμε ότι παραμένει NP-πλήρες και σε επίπεδα γραφήματα. Χρησιμοποιούμε την μέθοδο απόδειξης με «απαλοιφή τομών». Αντικαθιστούμε κάθε τομή δύο ακμών με ένα επίπεδο γράφημα Γ το οποίο διατηρεί τους χρωματισμούς με 3 χρώματα (αν υπάρχουν). Παράδειγμα α βγδ ε α α’ β β’ γ δ ε

25 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Ο έλεγχος αν ένα γράφημα έχει 3-χρωματισμό είναι NP-πλήρες πρόβλημα. Θα δείξουμε ότι παραμένει NP-πλήρες και σε επίπεδα γραφήματα. Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σχέδιο του G στο επίπεδο με πολυωνυμικό αριθμό τομών. Επεξεργαζόμαστε τις τομές σε αύξουσα σειρά ως προς τις x- συντεταγμένες και αντικαθιστούμε κάθε τομή με το επίπεδο γράφημα Γ. Έτσι λαμβάνουμε ένα επίπεδο γράφημα G’ το οποίο έχει 3-χρωματισμό αν και μόνο αν το G έχει 3-χρωματισμό. Η παραπάνω διαδικασία αποτελεί μια αναγωγή πολυωνυμικού χρόνου του 3- χρωματισμού γενικού γραφήματος σε 3-χρωματισμό επίπεδου γραφήματος.

26 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ικανοποιησιμότητα (satisfiability) Λογικές μεταβλητές Φόρμουλα (συνάρτηση με λογικούς τελεστές, π.χ. ) Υπάρχει ανάθεση τιμών των μεταβλητών έτσι ώστε ; Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η F είναι σε Κανονική Συζευκτική Μορφή : Είναι σύζευξη προτάσεων Κάθε πρόταση είναι διάζευξη κατηγορημάτων (δηλαδή μεταβλητών ή αρνήσεων τους), π.χ.

27 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ικανοποιησιμότητα (satisfiability) Λογικές μεταβλητές Υπάρχει ανάθεση τιμών των μεταβλητών έτσι ώστε ; Φόρμουλα (συνάρτηση με λογικούς τελεστές, π.χ. )

28 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ικανοποιησιμότητα (satisfiability) Λογικές μεταβλητές Υπάρχει ανάθεση τιμών των μεταβλητών έτσι ώστε ; Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η F είναι σε Κανονική Συζευκτική Μορφή : Είναι σύζευξη προτάσεων Κάθε πρόταση είναι διάζευξη κατηγορημάτων (δηλαδή μεταβλητών ή αρνήσεων τους), π.χ. k-SAT : Κάθε πρόταση έχει k κατηγορήματα. Φόρμουλα (συνάρτηση με λογικούς τελεστές, π.χ. )

29 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ικανοποιησιμότητα (satisfiability) Το πρόβλημα 3-SAT είναι NP-πλήρες (άρα και το γενικό πρόβλημα Ικανοποιησιμότητας είναι NP-πλήρες). Για το 2-SAT υπάρχει αλγόριθμος γραμμικού χρόνου.

30 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου για το 2-SAT Παρατήρηση : συνεπαγωγήαν η p είναι αληθής τότε και η q είναι αληθής Έχει προτάσεις της μορφής όπου και κατηγορήματα.

31 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου για το 2-SAT Κατασκευάζουμε από την F ένα κατευθυνόμενο γράφημα G(F) ως εξής Έχουμε ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα και ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα. Για κάθε πρόταση εισάγουμε τις κατευθυνόμενες ακμές και. Παράδειγμα

32 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου για το 2-SAT Κατασκευάζουμε από την F ένα κατευθυνόμενο γράφημα G(F) ως εξής Έχουμε ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα και ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα. Για κάθε πρόταση εισάγουμε τις κατευθυνόμενες ακμές και. Παράδειγμα

33 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου για το 2-SAT Κατασκευάζουμε από την F ένα κατευθυνόμενο γράφημα G(F) ως εξής Έχουμε ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα και ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα. Για κάθε πρόταση εισάγουμε τις κατευθυνόμενες ακμές και. Βρίσκουμε τις συνεκτικές συνιστώσες του G(F). Η F δεν είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο υπάρχουν κατηγορήματα και τα οποία ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα. (Γιατί;)

34 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Επίπεδο 3-SAT Έστω F μια φόρμουλα του 3-SAT με n μεταβλητές και m προτάσεις. Κατασκευάζουμε από την F ένα γράφημα G(F) ως εξής Έχουμε ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα και ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα. Επίσης έχουμε τις ακμές. Έχουμε ένα κόμβο για κάθε πρόταση. Αν το κατηγόρημα εμφανίζεται στην πρόταση τότε έχουμε την ακμή. Τέλος, εισαγάγουμε τον κύκλο. F Επίπεδο 3-SAT αν το G(F) είναι επίπεδο.

35 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Επίπεδο 3-SAT Παράδειγμα Μπορούμε να αποδείξουμε με την μέθοδο «απαλοιφής τομών» ότι το Επίπεδο 3-SAT είναι NP-πλήρες.

36 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανεξάρτητο Σύνολο Έστω γράφημα Ένα σύνολο κόμβων είναι ανεξάρτητο αν δεν υπάρχουν κόμβοι στο που να συνδέονται με κάποια ακμή Μας δίνεται το και ένας ακέραιος. Θέλουμε να απαντήσουμε εάν το έχει ανεξάρτητο σύνολο κόμβων μεγέθους Θα δείξουμε ότι είναι NP-πλήρες ακόμα και για επίπεδα γραφήματα.

37 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανεξάρτητο Σύνολο Δίνουμε πρώτα μια αναγωγή πολυωνυμικού χρόνου από το 3-SAT Έστω F μια φόρμουλα του 3-SAT με n μεταβλητές και m προτάσεις. Κατασκευάζουμε από την F ένα γράφημα G’(F) ως εξής Για κάθε πρόταση έχουμε ένα τρίγωνο όπου κάθε κόμβος αντιστοιχεί σε ένα κατηγόρημα της. Συνδέουμε με μια ακμή κάθε κόμβο που αντιστοιχεί στη μεταβλητή με κάθε κόμβο που αντιστοιχεί στην άρνηση της. (Επομένως οι κόμβοι του κατηγορήματος και οι κόμβοι του κατηγορήματος σχηματίζουν ένα πλήρες διμερές γράφημα.)

38 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Παράδειγμα Ανεξάρτητο Σύνολο Ιδιότητα : Η φόρμουλα F είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο εάν το γράφημα G’(F) έχει ανεξάρτητο σύνολο μεγέθους m.

39 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Παράδειγμα Ανεξάρτητο Σύνολο Ιδιότητα : Η φόρμουλα F είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο εάν το γράφημα G’(F) έχει ανεξάρτητο σύνολο μεγέθους m.

40 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανεξάρτητο Σύνολο Η προηγούμενη αναγωγή μπορεί να μη δώσει επίπεδο G’(F). Θα δείξουμε όμως ότι μια παραλλαγή της δίνει επίπεδο G’(F) με την προϋπόθεση ότι F Επίπεδο 3-SAT. Αντικαθιστούμε το πλήρες διμερές γράφημα που αντιστοιχεί σε κάθε μεταβλητή (και την άρνηση της ) με ένα επίπεδο διμερές γράφημα που έχει δύο επιπλέον κόμβους και. Συνδέουμε με τον τους κόμβους και με τον τους κόμβους. Έστω G’’(F) το γράφημα που προκύπτει. Ιδιότητα : Η φόρμουλα F είναι ικανοποιήσιμη εάν και μόνο εάν το G’’(F) έχει ανεξάρτητο σύνολο μεγέθους m+n.

41 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G’’(F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Εισαγάγουμε ένα κόμβο σε κάθε ακμή που συνδέει μια πρόταση με ένα κατηγόρημα. Αλλάζουμε τα ονόματα των κόμβων.

42 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G’’(F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Εισαγάγουμε ένα κόμβο σε κάθε ακμή που συνδέει μια πρόταση με ένα κατηγόρημα. Αλλάζουμε τα ονόματα των κόμβων.

43 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G’’(F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Συνδέουμε σε τρίγωνο τα κατηγορήματα κάθε πρότασης.

44 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G’’(F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Συνδέουμε σε τρίγωνο τα κατηγορήματα κάθε πρότασης.

45 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G’’(F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Διαγράφουμε τους κόμβους που αντιστοιχούν στις προτάσεις μαζί με τις ακμές που προσπίπτουν σε αυτούς.

46 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G’’(F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Διαγράφουμε τους κόμβους που αντιστοιχούν στις προτάσεις μαζί με τις ακμές που προσπίπτουν σε αυτούς.

47 Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A AA A A Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G’’(F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Διαγράφουμε τους κόμβους που αντιστοιχούν στις προτάσεις μαζί με τις ακμές που προσπίπτουν σε αυτούς.