Πίνακας Συνάφειας & Έλεγχος χ2

Παρουσίαση με θέμα: "Πίνακας Συνάφειας & Έλεγχος χ2"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Πίνακας Συνάφειας & Έλεγχος χ2
Κεφάλαιο 13-Δ Πίνακας Συνάφειας & Έλεγχος χ2

2 Ένα Κοινό Θέμα … χ2 έλεγχος προσαρμοστι_κότητας
Τι να κάνω; Τύπος Δεδομένων; Αριθμός Κατηγοριών; Στατιστικές Τεχνικές: Περιγραφή ενός πληθυσμού Ονομαστικά Δύο ή Περισσότερες χ2 έλεγχος προσαρμοστι_κότητας Σύγκριση Δύο Πληθυσμών χ2 έλεγχος του πίνακα συνάφειας Σύγκριση Δύο ή Περισσοτέρων Πληθυσμών -- Ανάλυση Σχέσης μεταξύ δύο Μεταβλητών Ένας Τύπος Δεδομένων … …Δύο τεχνικές

3 Δύο Τεχνικές … Η πρώτη είναι ένας έλεγχος προσαρμοστικότητας που εφαρμόζεται σε ένα πολυωνυμικό πείραμα, μία γενίκευση του δυωνυμικού πειράματος και χρησιμοποιείται για την περιγραφή ενός πληθυσμού δεδομένων. Η δεύτερη χρησιμοποιεί δεδομένα διευθετημένα σε έναν πίνακα συνάφειας για να προσδιορίσουμε εάν δύο ταξινομήσεις ενός πληθυσμού με ονομαστικά δεδομένα είναι στατιστικά ανεξάρτητες; Αυτός ό έλεγχος μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως μία σύγκριση δύο ή περισσοτέρων πληθυσμών. Και στις δύο περιπτώσεις, χρησιμοποιούμε χ2-κατανομή.

4 Το Πολυωνυμικό Πείραμα …
Σε αντιπαράθεση με το δυωνυμικό πείραμα το οποίο έχει δύο πιθανά ενδεχόμενα (π.χ. κορόνα ή γράμματα), ένα πολυωνυμικό πείραμα: • Αποτελείται από έναν σταθερό αριθμό, n, δοκιμών. • Κάθε δοκιμή μπορεί να έχει ένα από τα k ενδεχόμενα, καλούμενα ως κελιά. • Όλες οι πιθανότητες pi είναι σταθερές. • Η συνήθης ιδιότητα των πιθανοτήτων ισχύει: p1 + p2 + … + pk = 1, και • Κάθε δοκιμή είναι ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες δοκιμές.

5 χ2 έλεγχος προσαρμοστικότητας …
Ελέγχουμε εάν υπάρχει επαρκή μαρτυρία ώστε να απορρίψουμε ένα καθορισμένο σύνολο τιμών για τις pi. Πιο αναλυτικά, η μηδενική υπόθεση είναι: H0: p1 = a1, p2 = a2, …, pk = ak (όπου a1, a2, …, ak είναι οι τιμές που μας ενδιαφέρουν) Η ερευνητική υπόθεση είναι: H1: Τουλάχιστον ένα pi ≠ ai

6 χ2 έλεγχος προσαρμοστικότητας …
Ο έλεγχος πραγματοποιεί την σύγκριση μεταξύ των πραγματικών συχνοτήτων και των αναμενόμενων συχνοτήτων των συμβάντων στα κελιά. Παράδειγμα 13.12… Συγκρίνουμε μερίδιο αγοράς πριν και μετά την διαφημιστική εκστρατεία για να δούμε αν υπάρχει διαφορά (δηλαδή εάν η διαφήμιση ήταν αποτελεσματική για την βελτίωση του μεριδίου αγοράς). H0: p1 = a1, p2 = a2, …, pk = ak Όπου ai είναι το μερίδιο αγοράς πριν από την εκστρατεία. Εάν δεν υπήρχε αλλαγή, θα περιμέναμε την H0 να μην απορριφθεί. Εάν υπάρχει μαρτυρία να απορρίψουμε την H0 για την εύνοια της: H1: τουλάχιστον μία pi ≠ ai, ποιο είναι ένα λογικό συμπέρασμα;

7 Παράδειγμα 13.12… Μερίδια αγοράς πριν από διαφημιστική εκστρατεία …
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ Μερίδια αγοράς πριν από διαφημιστική εκστρατεία … Εταιρία A – 45% Εταιρία B – 40% Λοιπές – 15 % 200 πελάτες καταμετρήθηκαν μετά την εκστρατεία. Τα αποτελέσματα: Εταιρία A – 102 πελάτες προτίμησαν το προϊόν. Εταιρία B – 82 πελάτες … Λοιπές – 16 πελάτες . Πριν από την εκστρατεία, θα αναμέναμε 45% από τους 200 πελάτες (δηλαδή 90 πελάτες) να προτιμάν το προϊόν της εταιρίας Α. Μετά την εκστρατεία, παρατηρούμε 102 καταναλωτές της. Σημαίνει αυτό ότι η εκστρατεία ήταν αποτελεσματική; (σε επίπεδο σημαντικότητας).

8 Αναμενόμενη Συχνότητα Συχνότητα που Παρατηρούμε
Παράδειγμα 13.12… Αναμενόμενη Συχνότητα A B Συχνότητα που Παρατηρούμε A B Είναι αυτές οι αλλαγές στατιστικά σημαντικά;

9 Παράδειγμα 13.12… Η μηδενική υπόθεση είναι:
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ Η μηδενική υπόθεση είναι: H0: pΕταιρίαΑ=.45, pΕταιρίαΒ=.40, pΛοιπές = .15 (δηλαδή τα μερίδια αγοράς πριν την εκστρατεία), και η εναλλακτική υπόθεση είναι: H1: Τουλάχιστον μία pi ≠ ai Για να ολοκληρώσουμε την εκτέλεση του ελέγχου της υπόθεσης χρειαζόμαστε ένα στατιστικό τεστ και μία περιοχή απόρριψης …

10 χ2 έλεγχος προσαρμοστικότητας …
Το στατιστικό τεστ του χ2 ελέγχου προσαρμοστικότητας δίνεται από: Σημειώστε: αυτό το στατιστικό είναι προσεγγιστικά χ2 με k–1 βαθμούς ελευθερίας εφόσον το δείγμα είναι αρκετά μεγάλα. Η περιοχή απόρριψης είναι: Αναμενόμενη Συχνότητα Συχνότητα που Παρατηρούμε

11 Παράδειγμα 13.12… ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ
Για να υπολογίσουμε το στατιστικό τεστ, τοποθετούμε τα δεδομένα σε έναν πίνακα με τον παρακάτω τρόπο για ευκολότερους υπολογισμούς: Εταιρία Συχνότητα που Παρατηρούμε Αναμενόμενη Συχνότητα Δέλτα Όρος του Αθροίσματος fi ei (fi – ei) (fi – ei)2/ei A 102 90 12 1.60 B 82 80 2 0.05 Λοιπές 16 30 -14 6.53 Σύνολο 200 8.18 Ελέγξτε ότι είναι όμοια

12 Παράδειγμα 13.12… Η περιοχή απόρριψης είναι:
ΕΡΜΗΝΕΥΣΤΕ Η περιοχή απόρριψης είναι: Αφού το στατιστικό τεστ είναι 8.18 το οποίο είναι μεγαλύτερο από την κριτική τιμή του χ2, απορρίπτουμε την H0 την εύνοια της, H1, δηλαδή, «Υπάρχει επαρκή μαρτυρία να συμπεράνουμε ότι οι αναλογίες έχουν αλλάξει αφότου η διαφημιστική εκστρατεία εφαρμόστηκε» χ2 > χ = χ = α ,k- 1 .05,3-1

13 Απαιτούμενες Υποθέσεις…
Για να χρησιμοποιήσουμε αυτή την τεχνική, το μέγεθος του δείγματος πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο έτσι ώστε η αναμενόμενη τιμή για κάθε κελί είναι 5 ή μεγαλύτερη (δηλαδή npi ≥ 5) Εάν η αναμενόμενη συχνότητα είναι μικρότερη από 5, συνδυάστε την με άλλα κελιά για να ικανοποιηθεί η υπόθεση.

14 Αναγνώριση Παραγόντων …
Παράγοντες που αναγνωρίζουν το τεστ του χ2 ελέγχου προσαρμοστικότητας: Περιγραφή του πληθυσμού →Ονομαστικά δεδομένα→2 ή >2 κατηγορίες Απαιτείται ei=(n)(pi)

15 χ2 Έλεγχος για Πίνακα Συνάφειας
Ο χ2 έλεγχος για έναν πίνακα συνάφειας χρησιμοποιείται: • για να καθορίσουμε αν υπάρχει μαρτυρία να συμπεράνουμε ότι δύο ονομαστικές μεταβλητές συσχετίζονται, και • για να συμπεράνουμε ότι διαφορές υπάρχουν μεταξύ δύο η περισσοτέρων πληθυσμών με ονομαστικές μεταβλητές. Για να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις τεχνικές, χρειαζόμαστε να ταξινομήσουμε τα δεδομένα σύμφωνα με δύο διαφορετικά κριτήρια.

16 Παράδειγμα 13.13… ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ Η ζήτηση των μαθημάτων επιλογής και των κατευθύνσεων σε ένα MBA πρόγραμμα ποικίλει αρκετά ανά έτος. Η ερευνητική υπόθεση είναι ότι το ακαδημαϊκό υπόβαθρο των φοιτητών (δηλαδή τα προπτυχιακά τους πτυχία) επηρεάζει την επιλογή τους για την κατεύθυνση. Ένα τυχαίο δείγμα δεδομένων από φοιτητές του τελευταίου έτους του MBA συλλέγετε και περιληπτικά περιγράφεται με έναν πίνακα συνάφειας …

17 Παράδειγμα 13.13… Τα Δεδομένα Κατευθύνσεις του MBA Προπτυχιακό Πτυχίο
Λογιστική Χρηματο_ οικονομικά Marketing Σύνολο Θ. Επιστήμες 31 13 16 60 Πολυτεχνείο 8 7 Οικονομικά 12 10 17 39 Λοιπά 5 22 61 44 47 152

18 Παράδειγμα 13.13… Ξανά, ενδιαφερόμαστε να καθορίσουμε εάν ή όχι το ακαδημαϊκό υπόβαθρο των φοιτητών επηρεάζει την επιλογή της κατεύθυνσης στο ΜBA. Έτσι η ερευνητική μας υπόθεση είναι: H1: Οι δύο μεταβλητές είναι εξαρτημένες Η μηδενική υπόθεση τότε, είναι: H0: Οι δύο μεταβλητές είναι ανεξάρτητες.

19 Παράδειγμα 13.13… Σε αυτή την περίπτωση, το στατιστικό τεστ είναι:
(όπου k είναι ο αριθμός των κελιών σε έναν πίνακα συνάφειας, δηλαδή (γραμμές, r)(στήλες, c) Η περιοχή απόρριψης είναι: Όπου ο αριθμός των βαθμών ελευθεριών είναι (r–1)(c–1)

20 Παράδειγμα 13.13… ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ Για να υπολογίσουμε το στατιστικό στοιχείο του χ2 ελέγχου, χρειάζεται να υπολογίσουμε τις αναμενόμενες συχνότητες για όλα τα κελιά … Η αναμενόμενη συχνότητα ενός κελιού στην γραμμή i και την στήλη j είναι: Σύνολο της i γραμμής x Σύνολο της j στήλης eij = Μέγεθός του δείγματος

21 Η Δομή του Πίνακα Συνάφειας …
Η Δομή του Πίνακα Συνάφειας …

22 e23 = (31)(47)/152 = 9.59 — σύγκριση αυτού με f23 = 7
Παράδειγμα 13.13… ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ Σύνολο της i γραμμής x Σύνολο της j στήλης eij = Μέγεθός του δείγματος Υπολογισμός αναμενομένων συχνοτήτων… Κατευθύνσεις του MBA Προπτυχιακό Πτυχίο Λογιστική Χρηματο_ οικονομικά Marketing Σύνολο Θ. Επιστήμες 31 13 16 60 Πολυτεχνείο 8 31 x 47 152 Οικονομικά 12 10 17 39 Λοιπά 5 7 22 61 44 47 e23 = (31)(47)/152 = 9.59 — σύγκριση αυτού με f23 = 7

23 Παράδειγμα 13.13… Μπορούμε να συγκρίνουμε τις συχνότητες που παρατηρούνται με τις αναμενόμενες … και υπολογίζουμε το στατιστικό τεστ: Κατευθύνσεις του MBA Προπτυχιακό Πτυχίο Λογιστική Χρηματο_ οικονομικά Marketing Θ. Επιστήμες 31 24.08 13 17.37 16 18.55 Πολυτεχνείο 8 12.44 8.97 7 9.59 Οικονομικά 12 15.65 10 11.29 17 12.06 Λοιπά 8.83 5 6.37 6.80

24 Παράδειγμα 13.13… χ2 = χ2 = χ2 = 12.5916 Συγκρίνουμε χ2 = 14.70 με:
ΕΡΜΗΝΕΥΣΤΕ Συγκρίνουμε χ2 = με: Αφού το στατιστικό τεστ πέφτει σε περιοχή απόρριψης, απορρίπτουμε H0: Οι δύο μεταβλητές είναι ανεξάρτητες. για τη εύνοια της H1: Οι δύο μεταβλητές είναι εξαρτημένες. Δηλαδή, υπάρχει μαρτυρία για σχέση μεταξύ προπτυχιακού πτυχίου και κατεύθυνσης MBA. χ2 = χ = χ2 = α ,ν .05, (4-1)(3-1) .05,6

25 Απαιτούμενη Υπόθεση – Κανόνας των Πέντε …
Σε έναν πίνακα συνάφειας όπου ένα ή περισσότερα κελιά έχουν αναμενόμενες τιμές μικρότερες από 5, χρειάζεται να συνδυάσουμε γραμμές και στήλες για να ικανοποιήσουμε τον κανόνα των 5. Σημειώστε: όταν συνδυάζουμε γραμμές και στήλες αλλάζουν και οι βαθμοί ελευθερίας.

26 Αναγνωρίζοντας Παράγοντες…
Αναλύουμε την σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών και συγκρίνουμε δύο ή περισσότερους πληθυσμό θα με ονομαστικά δεδομένα

27 χ2 έλεγχος για Κανονικότητα
χ2 έλεγχος για κανονικότητα στο Παράδειγμα 13.3 Αριθμός των Πακέτων 409 501 440 444 485 475 470 469 450 505 400 499 415 418 467 551 444 481 429 480 466 477 445 413 537 484 418 465 496 487 373 416 424 471 427 509 410 515 435 482 442 465 449 523 488 508 432 405 440

28 χ2 έλεγχος για Κανονικότητα
χ2 έλεγχος για κανονικότητα στο Παράδειγμα 13.3 Για μέγεθος δείγματος ίσο με n=50, ο δειγματοληπτικός μέσος ήταν με τυπικό σφάλμα Μπορούμε να συμπεράνουμε από τα δεδομένα δοθέντος ότι το δείγμα επιλέχθηκε από μία κανονική κατανομή με m = και s = 38.8; Χρησιμοποιώντας 5% επίπεδο σημαντικότητας.

29 Διαστήματα Έπειτα βρίσκουμε τις πιθανότητες από διαστήματα των οποίων το πλήθος είναι αυθαίρετο. Διάστημα 1: X ≤ Διάστημα 2: < X ≤ Διάστημα 3: < X ≤ Διάστημα 4: X >

30 Υπολογίζουμε τις Πιθανότητες
X –μ – P ( X ≤ ) = P ≤ σ = P ( Z ≤ -1) = .1587

31 χ2 έλεγχος για Κανονικότητα
Λύση Πρώτα επιλέγουμε z τιμές που ορίζουνε ένα κελί (αναμενόμενη συχνότητα > 5 για κάθε κελί.) z1 = -1; P(z < -1) = p1 = .1587; e1 = np1 = 50(.1587) = 7.94 z2 = 0; P(-1 < z< 0) = p2 = .3413; e2 = np2 = 50(.3413) = 17.07 z3 = 1; P(0 < z < 1) = p3 = .3413; e3 = 17.07 P(z > 1) = p4 = .1587; e4 = 7.94 Τα όρια των κελιών υπολογίζονται από τις αντίστοιχες τιμές των z τιμών κάτω από την Η0. Οι αναμενόμενες συχνότητες μπορούν τώρα να καθοριστούν για κάθε κελί. e2 = 17.07 e3 = 17.07 z1 =(x )/38.83 = -1; x1 = .1587 .3413 421.55 e1 = 7.94 e4 = 7.94 460.38 499.21

32 χ2 έλεγχος για Κανονικότητα
Το στατιστικό τεστ c2= ( )2 7.94 ( )2 17.07 ( )2 17.07 ( )2 7.94 = 1.72 + + + f3 = 19 e2 = 17.07 e3 = 17.07 f2 = 13 f1 = 10 f4 = 8 e1 = 7.94 e4 = 7.94

33 χ2 έλεγχος για Κανονικότητα
Το στατιστικό τεστ c2= ( )2 7.94 ( )2 17.07 ( )2 17.07 ( )2 7.94 = 1.72 + + + Η περιοχή απόρριψης Συμπέρασμα: Υπάρχει ανεπαρκή μαρτυρία να συμπεράνουμε με 5% επίπεδο σημαντικότητας ότι τα δεδομένα δεν είναι κανονικά κατανεμημένα.

34 χ2 έλεγχος για Κανονικότητα
Σημειώστε ότι η μηδενική υπόθεση είναι: Η0: τα δεδομένα ακολουθούν κανονική κατανομή και η εναλλακτική υπόθεση είναι: Η1: τα δεδομένα δεν ακολουθούν κανονική κατανομή