ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ. Ε. Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ. Ε. Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΛΑΜΙΑ 2013

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΩΡΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ KALMAN FILTER ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΑΤΩΝΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι μία ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών που παριστάνεται ως συνάρτηση x(n) της οποίας η ανεξάρτητη μεταβλητή n παίρνει διακριτές (ακέραιες) τιμές. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου
πραγματικές τιμές x(n) διακριτές ακέραιες τιμές n n x(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Σήμα μοναδιαίου δείγματος (ακολουθία μοναδιαίου δείγματος)
function [x,n]=sigimp(n0,n1,n2) % impulse signal % d(n-n0) n=n1..n2 n=[n1:n2]; x=[(n-n0)==0]; Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Σήμα μοναδιαίου δείγματος Παράδειγμα: δ(n), δ(n-2), δ(n+4)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Σήμα μοναδιαίου βήματος (μοναδιαία βηματική ακολουθία)
function [x,n]=sigstep(n0,n1,n2) % step signal % u(n-n0) n=n1..n2 n=[n1:n2]; x=[(n-n0)>=0]; Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Σήμα μοναδιαίου βήματος Παράδειγμα: u(n), u(n-2), u(n+4)

Πραγματικό εκθετικό σήμα
function [x,n]=sigrexp(r,n1,n2) % real exp signal % r^n n=n1..n2 n=[n1:n2]; x=r.^n; x(n)=rn Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πραγματικό εκθετικό σήμα Παράδειγμα: x(n)=0.9n x(n)=1.1n

Φανταστικό εκθετικό σήμα
x(n)=ejωn=cos(ωn)+jsin(ωn) η πραγματική συνιστώσα του σήματος είναι cos(ωn) η φανταστική συνιστώσα του σήματος είναι sin(ωn) το πλάτος του σήματος είναι 1 η φάση του σήματος είναι ωn η ψηφιακή συχνότητα του σήματος είναι ω (σε rad) function [rex,imx,mx,fx,n]=sigiexp(w,n1,n2) % imaginary exp signal % exp(jwn)=cos(wn)+jsin(wn) n=n1..n2 n=[n1:n2]; rex=cos(w*n); imx=sin(w*n); mx=1.^n; fx=w*n; Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Φανταστικό εκθετικό σήμα Παράδειγμα: x(n)=ejπn/5

Μιγαδικό εκθετικό σήμα
function [rex,imx,mx,fx,n]=sigcexp(r,w,n1,n2) % complex exp signal % r^n*exp(jwn)= (r^n)*{cos(wn)+jsin(wn)} % n=n1..n2 n=[n1:n2]; mx=r.^n; fx=w*n; rex=mx.*cos(w*n); imx=mx.*sin(w*n); x(n)=rnejωn=rn[cos(ωn)+jsin(ωn)] η πραγματική συνιστώσα του σήματος είναι rncos(ωn) η φανταστική συνιστώσα του σήματος είναι rnsin(ωn) το πλάτος του σήματος είναι rn η φάση του σήματος είναι ωn η ψηφιακή συχνότητα του σήματος είναι ω (σε rad) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μιγαδικό εκθετικό σήμα Παράδειγμα: x(n)=0.9nej0.3n

Ημιτονοειδές σήμα x(n)=sin(ωn+φ) η συχνότητα του σήματος είναι ω η φάση του σήματος είναι φ function [x,n]=sigsin(w,f,n1,n2) % sinusoidal signal % x(n)=sin(w*n+f) n=n1..n2 n=[n1:n2]; x=sin(w.*n+f); Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ημιτονοειδές σήμα Παράδειγμα: x(n)=sin(0.2n+π)

Διάρκεια σήματος διακριτού χρόνου
Σήμα πεπερασμένου μήκους x(n), n1≤n ≤ n2 Σήμα απείρου μήκους - Ακολουθία δεξιάς πλευράς x(n), n0≤n - Ακολουθία αριστερής πλευράς x(n), n ≤ n0 - Αμφίπλευρη ακολουθία x(n), -∞<n<+∞ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι περιοδικό αν ισχύει η ακόλουθη σχέση: x(n) = x(n+N) n Η θεμελιώδης περίοδος του σήματος είναι ο ελάχιστος ακέραιος θετικός αριθμός N για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήμα
Το φανταστικό εκθετικό σήμα x(n) = ejωn = cos(ωn) + j sin(ωn) είναι περιοδικό αν η ψηφιακή συχνότητα του σήματος (ω) είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π Η θεμελιώδης περίοδος του περιοδικού φανταστικού σήματος είναι N = 2π/ω Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Περιοδικότητα φανταστικού εκθετικού σήματος
Το φανταστικό εκθετικό σήμα x(n)=ejωn είναι περιοδικό αν x(n)=x(n+N), δηλαδή αν ejωn = ejω(n+Ν) ή αν ejωn = ejωn ejωΝ ή αν ejωΝ = 1 ή αν cos(ωΝ) + j sin(ωΝ) = 1 ή αν cos(ωΝ) = 1 και sin(ωΝ) = 0 ή αν ωΝ = 2kπ, όπου k φυσικός αριθμός ή αν ω = 2π k/N δηλαδή αν η ψηφιακή συχνότητα του σήματος (ω) είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π Για k=1 προκύπτει η θεμελιώδης περίοδος N=2π/ω του περιοδικού φανταστικού σήματος Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήμα Παράδειγμα: x(n)=ejωn ω=π/8 Ν=2π/ω=16 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Περιοδικό ημιτονοειδές σήμα
Το ημιτονοειδές σήμα sin(ωn+φ) είναι περιοδικό αν η συχνότητα του σήματος (ω) είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π Η θεμελιώδης περίοδος του περιοδικού ημιτονοειδούς σήματος είναι N = 2π/ω Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Περιοδικό ημιτονοειδές σήμα Παράδειγμα: x(n)=sin(ωn) ω=π/4 Ν=8

Άθροισμα περιοδικών σημάτων
Αν το σήμα x1(n) είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο Ν1 και το σήμα x2(n) είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο Ν2 τότε το σήμα x(n)=x1(n)+x2(n) είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο Ν=Ν1∙N2/ΜΚΔ(N1,N2) Παρατήρηση: Αν N1=N2, τότε Ν=Ν1=Ν2 Παράδειγμα: x1(n)=cos(πn/12) με θεμελιώδη περίοδο Ν1=24 x2(n)=sin(πn/18) με θεμελιώδη περίοδο Ν2=36 x(n)=x1(n)+x2(n)=cos(πn/12)+sin(πn/18) με θεμελιώδη περίοδο Ν=Ν1N2/ΜΚΔ(N1,N2)=24∙36/12=72 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πράξεις Μετασχηματισμού Πλάτους
1. πρόσθεση σημάτων y(n)=x1(n)+x2(n) 2. πολλαπλασιασμός σημάτων y(n)=x1(n)x2(n) 3. κλιμάκωση στο πλάτος y(n)=cx(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πρόσθεση Σημάτων function [y,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2) % addition % y(n)=x1(n)+x2(n) n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); y1=zeros(1,length(n)); y2=y1; y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1; y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2; y=y1+y2; Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πρόσθεση Σημάτων: Παράδειγμα

Πολλαπλασιασμός Σημάτων
function [y,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2) % multiplication % y(n)=x1(n)x2(n) n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); y1=zeros(1,length(n)); y2=y1; y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1; y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2; y=y1.*y2; Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πολλαπλασιασμός Σημάτων: Παράδειγμα

όπου c πραγματικός αριθμός
Κλιμάκωση στο Πλάτος y(n)=c·x(n) όπου c πραγματικός αριθμός Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Κλιμάκωση στο Πλάτος: Παράδειγμα

Πράξεις Μετασχηματισμού Χρόνου
1. μετατόπιση σήματος y(n)=x(n-n0) Αν n0>0, τότε έχουμε καθυστέρηση (το σήμα μετατοπίζεται δεξιά) Αν n0<0, τότε έχουμε πρωτοπορία (το σήμα μετατοπίζεται αριστερά) 2. αντιστροφή σήματος y(n)=x(-n) 3. κλιμάκωση στο χρόνο y(n)=x(cn) Αν c=M, τότε έχουμε διαίρεση συχνότητας Αν c=1/M, τότε έχουμε πολλαπλασιασμό συχνότητας Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μετατόπιση function [y,n]=sigshift(x,m,n0) % shift % y(n)=x(n-n0) n=m+n0; y=x; Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μετατόπιση: Παράδειγμα

Αντιστροφή function [y,n]=sigfold(x,n) % fold % y(n)=x(-n) y=fliplr(x); n=-fliplr(n); Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Αντιστροφή: Παράδειγμα

Διαίρεση Συχνότητας function [y]=sigscaldiv(c,x) % frequency division % x(n) n=1:l % y(n)=x(cn) % c>1 nl=length(x); m=floor(nl/c); for i=1:m y(i)=x(i*c); end; Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πολλαπλασιασμός Συχνότητας
function [y]=sigscalmul(c,x) % frequency multiplication % x(n) n=1:l % y(n)=x(n/c) % c>1 nl=length(x); m=nl*c; for i=1:m y(i)=0; if mod(i,c)==0 y(i)=x(i/c); end; Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Κλιμάκωση στο Χρόνο: Παράδειγμα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
Ένα πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου είναι άρτιο αν x(n)=x(-n) είναι περιττό αν x(n)=-x(-n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Άθροισμα τιμών συμμετρικού πραγματικού σήματος
περιττό σήμα x(n)=-x(-n) άρτιο σήμα x(n)=x(-n) για n=0 είναι: x(0)=-x(-0)=-x(0) οπότε 2∙x(0)=0 άρα: x(0)=0 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Γινόμενο άρτιου σήματος επί περιττό σήμα
Αν το σήμα x1(n) είναι άρτιο και το σήμα x2(n) είναι περιττό, τότε το σήμα x(n)=x1(n) ∙ x2(n) είναι περιττό Απόδειξη: x1(n)=x1(-n) x2(n)=-x2(-n) x(n)=x1(n) ∙ x2(n) x(-n)=x1(-n) ∙ x2(-n) = x1(n) ∙ (-x2(n)) = - (x1(n) ∙ x2(n)) = -x(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ανάλυση σε άρτιο και περιττό σήμα
Κάθε πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου x(n) μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα άρτιου σήματος xe(n) και περιττού σήματος xo(n): x(n)=xe(n)+xo(n) όπου xe(n)=(½) [x(n)+x(-n)] xo(n)=(½) [x(n)-x(-n)] Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα ανάλυσης σε άρτιο και περιττό σήμα

Συμμετρία μιγαδικού σήματος
Ένα μιγαδικό σήμα διακριτού χρόνου είναι συζυγές συμμετρικό αν x(n)=x*(-n) είναι συζυγές αντισυμμετρικό αν x(n)=-x*(-n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα συμμετρικού μιγαδικού σήματος
Το σήμα x(n)=jejπn/4 είναι συζυγές αντισυμμετρικό Απόδειξη: x(n)=jejπn/4 = j [cos(πn/4) + j sin(πn/4)] = = -sin(πn/4)] + j cos(πn/4) x(-n)= j [cos(-πn/4) + j sin(-πn/4)] = = j [cos(πn/4) - j sin(πn/4)] = = sin(πn/4)] + j cos(πn/4) -x(-n) = -sin(πn/4)] - j cos(πn/4) -x*(-n) = -sin(πn/4)] + j cos(πn/4) = x(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ
Ένα σύστημα διακριτού χρόνου είναι ένας μετασχηματισμός. x(n) y(n) T[∙] είσοδος έξοδος μετασχηματισμός απόκριση: y(n)=T[x(n)] Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μνήμη συστήματος Σύστημα χωρίς μνήμη Η έξοδος για n=n0 εξαρτάται μόνο από την είσοδο για n=n0 Παράδειγμα: y(n)=x2(n) Σύστημα με μνήμη Η έξοδος για n=n0 εξαρτάται από τις εισόδους για n≤n0 Παράδειγμα: y(n)=x(n)+x(n-1) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Αρχή της επαλληλίας (αρχή της υπέρθεσης)
T[x1(n)+x2(n)] = T[x1(n)] + T[x2(n)] Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x(n)+x(-n) Ισχύει η αρχή της επαλληλίας (υπέρθεσης): T[x1(n)+x2(n)] = (x1(n)+x2(n)) + (x1(-n)+x2(-n)) = = (x1(n)+x1(-n)) + (x2(n)+x2(-n)) = = T[x1(n)] + T[x2(n)] Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ομογένεια T[c x(n)] = c T[x(n)] Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x2(n)/x(n-1) Το σύστημα είναι ομογενές: T[c x(n)] = (c x(n))2 / (c x(n-1)) = = c x2(n)/x(n-1) = c T[x(n)] Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Γραμμικό Σύστημα (Linear System)
T[c1 x1(n) + c2 x2(n)] = c1 T[x1(n)] + c2 T[x2(n)] Ισχύει η αρχή της επαλληλίας και η ομογένεια Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x(n)sin(πn/2) Το σύστημα είναι γραμμικό: T[c1 x1(n) + c2 x2(n)] = = (c1 x1(n) + c2 x2(n)) sin(πn/2) = = c1 x1(n) sin(πn/2) + c2 x2(n) sin(πn/2) = = c1 T[x1(n)] + c2 T[x2(n)] Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Σύστημα Αμετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση (Time Invariant system)
Αν y(n)=T[x(n)], τότε y(n-n0)=T[x(n-n0)] Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x2(n) Το σύστημα είναι Αμετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση: y(n-n0) = x2(n-n0) = T[x(n-n0)] Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Γραμμικό Αμετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση (ΓΑΚΜ) Σύστημα (Linear Time Invariant (LTI) System) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

LTI αιτιατό: h(n)=0, n<0
Αιτιότητα Η έξοδος για n=n0 εξαρτάται από τις εισόδους μέχρι n=n0 LTI αιτιατό: h(n)=0, n<0 Παράδειγμα: Αιτιατό: y(n)=x(n)+x(n-1) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Αν |x(n)|<A, τότε |y(n)|<B
Ευστάθεια Bounded Input Bounded Output (BIBO) stability Αν |x(n)|<A, τότε |y(n)|<B LTI ευσταθές: Παράδειγμα: Ευσταθές: h(n)=anu(n) αν |a|<1 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Αν x1(n)≠x2(n), τότε y1(n)]≠y2(n)
Αντιστρεψιμότητα Αν x1(n)≠x2(n), τότε y1(n)]≠y2(n) Η είσοδος μπορεί να προσδιοριστεί από την έξοδο με μοναδικό τρόπο Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ function [y,ny]=sigconv(x,nx,h,nh) % linear convolution % y(n)=x(n)*h(n) nyb=nx(1)+nh(1); nye=nx(length(x))+nh(length(h)); ny=[nyb:nye]; y=conv(x,h); Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ιδιότητες Γραμμικής Συνέλιξης
ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης είναι η το σήμα δ(n) x(n)*δ(n)=x(n) αντιμεταθετική ιδιότητα x1(n)*x2(n)=x2(n)*x1(n) προσεταιριστική ιδιότητα x1(n)*[x2(n)*x3(n)]=[x1(n)*x2(n)]*x3(n) επιμεριστική ιδιότητα x1(n)*[x2(n)+x3(n)]=x1(n)*x2(n)+x1(n)*x3(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Γραμμική Συνέλιξη σημάτων πεπερασμένου μήκους
Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένου μήκους, τότε η συνέλιξή τους είναι και αυτή ένα σήμα πεπερασμένου μήκους: Αν το σήμα h(n) είναι πεπερασμένου μήκους Lh στο διάστημα [Mh,Nh] και το σήμα x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Lx στο διάστημα [Mx,Nx], τότε το σήμα y(n)= h(n)*x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Ly στο διάστημα [My,Ny] όπου Ly=Lx+Lh-1 My=Mx+Mh Ny=Nx+Nh Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Υπολογισμός Γραμμικής Συνέλιξης σημάτων πεπερασμένου μήκους
Υπολογισμός Γραμμικής Συνέλιξης σημάτων πεπερασμένου μήκους Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Γραμμική Συνέλιξη: Παράδειγμα

Ετεροσυσχέτιση (Crosscorrelation)

Αυτοσυσχέτιση (Autocorrelation)

ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Η είσοδος x(n) και η έξοδος y(n) ενός συστήματος γραμμικού αμετάβλητου κατά τη μετατόπιση (Linear Time Invariant – LTI) συνδέονται με τη σχέση: y(n)=x(n)*h(n) όπου h(n) είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x(n)=δ(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά
Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), κρουστική απόκριση h1(n) και έξοδο w(n) συνδεθεί σε σειρά με ένα σύστημα που έχει κρουστική απόκριση h2(n) και έξοδο y(n), δηλαδή: y(n)=w(n)*h2(n) w(n)=x(n)*h1(n) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και κρουστική απόκριση h(n)=h1(n)*h2(n) όπου y(n)=x(n)*h(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα
Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), κρουστική απόκριση h1(n) και έξοδο w(n) συνδεθεί παράλληλα με ένα σύστημα που έχει που έχει είσοδο x(n), κρουστική απόκριση h2(n) και έξοδο v(n) προσθέτοντας τις εξόδους των φίλτρων, δηλαδή: y(n)=w(n)+v(n) w(n)=x(n)*h1(n) v(n)=x(n)*h2(n) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και κρουστική απόκριση h(n)=h1(n)+h2(n) όπου y(n)=x(n)*h(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ
Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα (φίλτρο) περιγράφεται με μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές (ΓΕΔΣΣ): Η κρουστική απόκριση του φίλτρου h(n) είναι η λύση της εξίσωσης διαφορών για x(n)=δ(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Κατηγορίες Φίλτρων Τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα φίλτρα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα με το μήκος της κρουστικής τους απόκρισης: τα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite-duration Impulse Response – FIR) τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης (Infinite-duration Impulse Response – IIR) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης
Τα FIR φίλτρα περιγράφονται από την εξίσωση διαφορών: Moving Average (MA) Κρουστική Απόκριση φίλτρων FIR Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης
Τα IIR φίλτρα περιγράφονται από τις εξισώσεις διαφορών: Auto Regressive (AR) Auto Regressive Moving Average (ARMA) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Επίλυση ΓΕΔΣΣ FIR Φίλτρων
Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης h(n) y(n)=x(n)*h(n) Παράδειγμα y(n)=x(n)-x(n-2) x(n)=nu(n) h(n)=δ(n)-δ(n-2) y(n)=nu(n)-(n-2)u(n-2)=x(n)*h(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

FIR (MA) Παράδειγμα: y(n)=x(n)-x(n-2)

Επίλυση ΓΕΔΣΣ IIR Φίλτρων
y(n)=yp(n)+yh(n) Η μερική λύση yp(n) ικανοποιεί τη ΓΕΔΣΣ για τη δεδομένη είσοδο x(n) με μηδενικές αρχικές συνθήκες Η ομογενής λύση yh(n) αντιστοιχεί στην απόκριση του φίλτρου για μηδενική είσοδο x(n)=0 με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μερική Λύση Όρος στην είσοδο x(n) Μερική Λύση c c1 c∙n c1∙n+c2 c∙an c1∙an c∙cos(ωn) c1∙cos(ωn)+c2∙sin(ωn) c∙sin(ωn) c∙δ(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο
Ομογενής Λύση yh(n)=zn Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο Αν το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο έχει απλές ρίζες, τότε Οι συντελεστές Ak υπολογίζονται έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα Επίλυσης ΓΕΔΣΣ IIR Φίλτρου

IIR (AR) Παράδειγμα: y(n)=x(n)+0.5y(n-1)

IIR (ARMA) Παράδειγμα: y(n)=x(n)-x(n-1)+0.5y(n-1)

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ (DTFT)
ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕΔΣΣ ΜΕ DTFT ΦΙΛΤΡΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου
ΟΡΙΣΜΟΣ DTFT Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (Discrete Time Fourier Transform – DTFT) ενός σήματος x(n) ορίζεται ως ακολούθως: Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου του σήματος x(n) υπάρχει αν ισχύει η σχέση: Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι περιοδικός ως προς ω με περίοδο 2π Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ζευγάρια DTFT δ(n) 1 δ(n-n0) e-jωn0 2πδ(ω) ejω0n 2πδ(ω-ω0)
σήμα διακριτού χρόνου x(n) μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) X(ejω) δ(n) 1 δ(n-n0) e-jωn0 2πδ(ω) ejω0n 2πδ(ω-ω0) anu(n), -1<a<1 1/(1-ae-jω) cos(nω0) πδ(ω+ω0)+πδ(ω-ω0) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

DTFT Παράδειγμα: x(n)=0.9n ejnπ/3

Ιδιότητες DTFT X(e-jω) X(ej(ω-ωo)) ιδιότητα μετασχηματισμού Fourier
σήμα διακριτού χρόνου x(n) μετασχηματισμός Fourier X(ejω) γραμμικότητα c1 x1(n) + c2 x2(n) c1 X1(ejω) + c2 X2(ejω) μετατόπιση στο χρόνο x(n-n0) e-jωn0 X(ejω) αντιστροφή στο χρόνο x(-n) X(e-jω) μετατόπιση στη συχνότητα e-jωn0 x(n) X(ej(ω-ωo)) συνέλιξη στο χρόνο x1(n)*x2(n) X1(ejω) X2(ejω) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μετατόπιση στη συχνότητα Παράδειγμα: x(n)=cos(πn/2) y(n)=ejnπ/4 x(n)

Υπολογισμός DTFT Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) H(ejω) της κρουστικής απόκρισης h(n) ονομάζεται απόκριση συχνότητας: Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) X(ejω) της εισόδου x(n) και ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) Y(ejω) της εξόδου y(n) του φίλτρου συνδέονται με τη σχέση: Y(ejω)=H(ejω) X(ejω) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά
Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), απόκριση συχνότητας H1(ejω) και έξοδο w(n) συνδεθεί σε σειρά με ένα σύστημα που έχει απόκριση συχνότητας H2(ejω) και έξοδο y(n), δηλαδή: Y(ejω)= H2(ejω) W(ejω) W(ejω)= H1(ejω) X(ejω) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και απόκριση συχνότητας H(ejω)= H1(ejω) H2(ejω) όπου Y(ejω)= H(ejω) X(ejω) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα
Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), απόκριση συχνότητας H1(ejω) και έξοδο w(n) συνδεθεί παράλληλα με ένα σύστημα που έχει που έχει είσοδο x(n) απόκριση συχνότητας H2(ejω) και έξοδο v(n) προσθέτοντας τις εξόδους των φίλτρων, δηλαδή: Y(ejω)= W(ejω) V(ejω) W(ejω)= H1(ejω) X(ejω) V(ejω)= H2(ejω) X(ejω) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και απόκριση συχνότητας H(ejω)= H1(ejω) + H2(ejω) όπου Y(ejω)= H(ejω) X(ejω) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕΔΣΣ ΜΕ DTFT ΓΑΚΜ και ΓΕΔΣΣ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα Επίλυσης ΓΕΔΣΣ με DTFT

ΦΙΛΤΡΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Τα ιδανικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων έχουν κατά τμήματα σταθερό πλάτος απόκρισης συχνότητας χαμηλοπερατά φίλτρα (Low Pass) H(ejω)=1 για ω[-ωc,ωc] όπου 0<ωc<π υψηπερατά φίλτρα (High Pass) H(ejω)=1 για ω[-ωc,ωc] όπου 0<ωc<π ζωνοπερατά φίλτρα (Band Pass) H(ejω)=1 για ω[-ω2,-ω1] και για ω[ω1,ω2] με 0<ω1<ω2<π ζωνοφρακτικά φίλτρα (Band Stop) H(ejω)=1 για ω [-ω2,-ω1] και για ω[ω1,ω2] με 0<ω1<ω2<π Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Low Pass Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

High Pass Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Band Pass Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Band Stop Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ ΔΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΔΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
Ο δίπλευρος μετασχηματισμός z (bilateral z-transform) ενός σήματος διακριτού χρόνου x(n) ορίζεται ως ακολούθως: όπου η μιγαδική μεταβλητή z ονομάζεται μιγαδική συχνότητα και είναι ίση με z=|z|ejω όπου ω είναι η πραγματική συχνότητα. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Περιοχή Σύγκλισης Περιοχή Σύγκλισης (ΠΣ) (Region Of Convergence - ROC) είναι το σύνολο των τιμών της μεταβλητής z για το οποίο υπάρχει η X(z). Η σχέση |z|=1 (ή z=ejω ) ορίζει το Μοναδιαίο Κύκλο (Unit Circle) στο μιγαδικό επίπεδο. Αν η Περιοχή Σύγκλισης περιέχει το Μοναδιαίο Κύκλο, τότε η X(z) υπολογίζεται πάνω στο Μοναδιαίο κύκλο και ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου X(ejω) αποτελεί ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού z X(z). Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ιδιότητες της Περιοχής Σύγκλισης
- αν x(n) είναι ακολουθία δεξιάς πλευράς: x(n)=0, n<n0 τότε η ΠΣ είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου |z|>a - αν x(n) είναι ακολουθία αριστερής πλευράς: x(n)=0, n>n0 τότε η ΠΣ είναι η εσωτερική επιφάνεια ενός κύκλου |z|<b - αν x(n) είναι αμφίπλευρη ακολουθία τότε η ΠΣ είναι η δακτυλιοειδής επιφάνεια a<|z|<b - αν x(n) είναι ακολουθία πεπερασμένου μήκους: x(n)=0, n<n1 και n>n2 τότε η ΠΣ είναι ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο z εκτός ίσως από τα σημεία z=0 και z= αν n2>0 τότε το σημείο z=0 δεν ανήκει στην ΠΣ αν n1<0 τότε το σημείο z= δεν ανήκει στην ΠΣ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ζευγάρια Μετασχηματισμού z
σήμα διακριτού χρόνου x(n) μετασχηματισμός z X(z) περιοχή σύγκλισης δ(n) 1  z anu(n) 1/(1-az-1) |z|>|a| -anu(-n-1) |z|<|a| nanu(n) az-1/(1-az-1)2 -nanu(-n-1) cos(nω0) u(n) (1-cos(ω0)z -1)/(1-2cos (ω0)z-1+z-2) |z|>1 sin(ω0) u(n) sin(ω0)z -1/(1-2cos (ω0)z-1+z-2) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ιδιότητες Μετασχηματισμού z
ιδιότητα μετασχηματισμού z σήμα διακριτού χρόνου x(n) μετασχηματισμός z X(z) περιοχή σύγκλισης γραμμικότητα c1x1(n)+c2x2(n) c1X1(z)+c2X2(z) Rx1  Rx2 μετατόπιση στο χρόνο x(n-n0) z-n0 X(z) Rx αντιστροφή στο χρόνο x(-n) X(z-1) 1 / Rx μετατόπιση στη συχνότητα an x(n) X(a-1z) |a| Rx συνέλιξη στο χρόνο x1(n) * x2(n) X1(z) X2(z) μιγαδική συζυγία x*(n) X*(z*) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πόλοι και Μηδενικά Έστω X(z) είναι ρητή συνάρτηση του z: X(z)=B(z)/A(z) Οι ρίζες του B(z) καλούνται μηδενικά (zeros) της X(z) Οι ρίζες του A(z) καλούνται πόλοι (poles) της X(z) Στο διάγραμμα πόλων-μηδενικών στο μιγαδικό επίπεδο τα μηδενικά συμβολίζονται με το σύμβολο ‘o’ και οι πόλοι με το σύμβολο ‘x’ Η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Υπολογισμός Πόλων και Μηδενικών
zplane(b,a) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Υπολογισμός Μετασχηματισμού z

Σήματα με ίδιο Μετασχηματισμό z
Διαφορετικά σήματα μπορούν να έχουν την ίδια συναρτησιακή μορφή μετασχηματισμού z με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Θεώρημα Αρχικής Τιμής Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
Αν η X(z) είναι ρητή συνάρτηση του z με πόλους pk, k=1,2,…,N τότε για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού z χρησιμοποιείται η μέθοδος ανάπτυξης της X(z) σε άθροισμα μερικών κλασμάτων. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Απλοί Πόλοι Ν>Μ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

οι συντελεστές Ck υπολογίζονται εκτελώντας τη διαίρεση B(z)/A(z)
Απλοί Πόλοι Ν Μ οι συντελεστές Ck υπολογίζονται εκτελώντας τη διαίρεση B(z)/A(z) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα Αντίστροφου Μετασχηματισμού z

Παράδειγμα Ανάπτυξης σε Μερικά Κλάσματα Ν>Μ
b=[0,1] a=[1,-0.75,0.125] [R,p,C]=residuez(b,a) R = 4 -4 p = 0.5000 0.2500 C = [ ] [R,p,C]=residuez(b,a) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα Ανάπτυξης σε Μερικά Κλάσματα Ν  Μ
b=[4,-1.75,0.25] a=[1,-0.75,0.125] [R,p,C]=residuez(b,a) R = 3 -1 p = 0.5000 0.2500 C = 2 [R,p,C]=residuez(b,a) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
(one-sided z-transform) ενός σήματος διακριτού χρόνου x(n) ορίζεται ως ο μετασχηματισμός z του σήματος x(n)u(n): Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ιδιότητα Μετατόπισης στο Χρόνο
Αν X+(z) είναι ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z του σήματος x(n), τότε - ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z του σήματος x(n-n0), n0>0 [δεξιά ολίσθηση] είναι: - ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z του σήματος x(n-n0), n0<0 [αριστερή ολίσθηση] είναι: Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Επίλυση ΓΕΔΣΣ με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες
Επίλυση ΓΕΔΣΣ με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες xic=filtic(b,a,Y) y=filter(b,a,x,xic) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα Επίλυσης ΓΕΔΣΣ

Μορφές λύσης ΓΕΔΣΣ πόλοι απόκριση μέσα στο Μ.Κ. transient response πάνω στο Μ.Κ. steady state response έξω από το Μ.Κ. unbounded response Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Συνάρτηση Μεταφοράς ενός LTI φίλτρου είναι ο Μετασχηματισμός z της κρουστικής απόκρισης του φίλτρου και είναι ρητή συνάρτηση του z Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Π.Σ. της H(z): |z|>a και πόλοι ανήκουν στο |z|≤a
Αιτιατό Σύστημα h(n)=0, n<0 Π.Σ. της H(z): |z|>a και πόλοι ανήκουν στο |z|≤a Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ο Μ.Κ. ανήκει στην Π.Σ. της H(z)
Ευσταθές Σύστημα Ο Μ.Κ. ανήκει στην Π.Σ. της H(z) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πραγματοποιήσιμο Σύστημα
Ευσταθές και Αιτιατό Π.Σ. της H(z): |z|>a, 0 ≤ a<1 δηλαδή πόλοι ανήκουν στο εσωτερικό του Μ.Κ. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

δεν είναι το κενό σύνολο
Αντίστροφα Συστήματα H(z) G(z) = 1 Η Π.Σ. της H(z) επικαλύπτεται από την Π.Σ. της G(z) δηλαδή η τομή των Π.Σ. των H(z) και G(z) δεν είναι το κενό σύνολο Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

H(z): σύστημα ευθύ κλάδου G(z): σύστημα κλάδου ανάδρασης
Σύστημα Ανάδρασης H(z): σύστημα ευθύ κλάδου G(z): σύστημα κλάδου ανάδρασης Q(z): συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόγχου Y(z) H(z) G(z) + X(z) - Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ανάδραση και Ευστάθεια
Το σύστημα ευθύ κλάδου H(z) είναι ασταθές γιατί ο Μ.Κ. δεν ανήκει στην Π.Σ. της H(z) αφού πόλος α>1 Για να είναι το συνολικό σύστημα Q(z) ευσταθές πρέπει ο Μ.Κ. να ανήκει στην Π.Σ. της Q(z) δηλαδή πόλος α’<1 ή Κ>0.2 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (DFT)
DFS DFT FFT Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

DFS Η Διακριτή Σειρά Fourier (Discrete Fourier Series – DFS) ενός περιοδικού σήματος με περίοδο Ν ορίζεται ως ακολούθως: Οι συντελεστές της DFS είναι περιοδικοί με περίοδο Ν. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ιδιότητες DFS ιδιότητα DFS Περιοδικό σήμα διακριτού χρόνου DFS γραμμικότητα μετατόπιση περιοδική συνέλιξη Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Περιοδική Συνέλιξη Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

DFT Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform – DFT) ενός σήματος x(n) πεπερασμένου μήκους N που μηδενίζεται έξω από το διάστημα [0,N-1] ορίζεται ως ακολούθως: και ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Inverse Discrete Fourier Transform – IDFT) ορίζεται ως ακολούθως: Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ιδιότητες DFT ιδιότητα διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) σήμα χρόνου x(n) διακριτός μετασχηματισμός X(k) γραμμικότητα c1 x1(n) + c2 x2(n) c1 X1(k) + c2 X2(k) συμμετρία πραγματικού σήματος x(n) πραγματικό σήμα X(k)=X*((-k))=X*((N-k))N φανταστικού σήματος x(n) φανταστικό σήμα X(k)=-X*((-k))=-X*((N-k))N κυκλική μετατόπιση x((n-n0))N RN(n) και (WN)nk0x(n) (WN)n0k X(k) X((k+k0))N Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Υπολογισμός DFT function [Xk]=sigdft(xn,N) % DFT % x(n) -- X(k) % N = length of x(n) n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1]; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k; WNnk=WN.^nk; Xk=xn*WNnk; Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα υπολογισμού DFT
x (n) x(0) = 0 x(1)= 1 x(2)= 2 x(3)= 2 X(k) X(0)= X(1)= i X(2)= X(3)= i Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Κυκλική Μετατόπιση function [y]=sigcirshift(x,m,N) % circural shift % x(n) of length N % y(n) = x((n-m))N x=[x zeros(1,N-length(x))]; n=[0:1:N-1]; n=mod(n-m,N); y=x(n+1); Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα Κυκλικής Μετατόπισης
x(n) n= Κυκλική μετατόπιση κατά Κυκλική μετατόπιση κατά Κυκλική μετατόπιση κατά Κυκλική μετατόπιση κατά Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Κυκλική Συνέλιξη Η κυκλική συνέλιξη N σημείων δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένου μήκους N ορίζεται ως ακολούθως: Αν το σήμα x(n) είναι πεπερασμένου μήκους N1 και το σήμα h(n) είναι πεπερασμένου μήκους N2 όπου N1N2, τότε η κυκλική συνέλιξη N σημείων y(n)=h(n)(N)x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Ν όπου Nmax{N1,N2}και υπολογίζεται αφού πρώτα τα σήματα συμπληρωθούν με μηδενικά ώστε να αποκτήσουν μήκος N. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Υπολογισμός Κυκλικής Συνέλιξης
function [y]=sigcirconv(x1,x2,N) % circular convolution % y(n)=x1(n) N x2(n) x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))]; m=[0:1:N-1]; x2=x2(mod(-m,N)+1); H=zeros(N,N); for n=1:1:N H(n,:)=sigcirshift(x2,n-1,N); end; y=x1*H'; Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα υπολογισμού Κυκλικής Συνέλιξης

Γραμμική και Κυκλική συνέλιξη
Η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένου μήκους δεν είναι γενικά ίσες μεταξύ τους. Αν το σήμα x(n) είναι πεπερασμένου μήκους N1 και το σήμα h(n) είναι πεπερασμένου μήκους N2, τότε η γραμμική συνέλιξη yl(n)=h(n)*x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Nl=N1+N2-1 και η κυκλική συνέλιξη N σημείων yc(n)=h(n)(N)x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Nc=Ν. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Σχέση Γραμμικής και Κυκλικής Συνέλιξης Nc Nl
yl(n)=h(n)*x(n)=h(n)(N)x(n)=yc(n) δηλαδή η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη είναι ίσες μεταξύ τους. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Σχέση Γραμμικής και Κυκλικής Συνέλιξης Nc<Nl
yc(n)=yl(n)+yl(n+Nc) όπου n[0,Nc-1] δηλαδή η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη δεν είναι ίσες μεταξύ τους. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

IDFT μέσω DFT Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

FFT Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transform – FFT) ονομάζεται το σύνολο των γρήγορων αλγορίθμων για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (Discrete Fourier Transform – DFT). Ο χρόνος εκτέλεσης του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (Discrete Fourier Transform – DFT) είναι της τάξης O(N2). Ο χρόνος εκτέλεσης του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier (Fast Fourier Transform – FFT) είναι της τάξης O(Nlog2N) όταν N είναι δύναμη του 2. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Αλγόριθμοι FFT Τυπικοί αλγόριθμοι FFT είναι οι ακόλουθοι: FFT με βάση 2 (radix-2 FFT) - διαίρεσης στο χρόνο (Decimation In Time FFT - DIT-FFT) - διαίρεσης στη συχνότητα (Decimation In Frequency FFT - DIF-FFT) FFT σύνθετων βάσεων FFT πρώτων παραγόντων Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Υπολογισμός FFT X=fft(x,N) x (n) x(0) = 1 x(1)= 0 x(2)= 0 x(3)= 2 X(k) X(0)= X(1)= i X(2)= X(3)= i Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Χρόνος εκτέλεσης FFT Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΒΑΣΙΚΑ ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ ΔΟΜΕΣ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ ΔΟΜΕΣ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΑ ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ
Αθροιστής Πολλαπλασιαστής Καθυστέρηση x1(n)+x2(n) + x1(n) x2(n) x(n) a x(n) a z-1 x(n) x(n-1) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ Από τον τρόπο υλοποίησης ενός συστήματος διακριτού χρόνου εξαρτάται: Το πλήθος των υπολογισμών Το πλήθος των θέσεων μνήμης Η ευαισθησία του φίλτρου ως προς τον κβαντισμό των συντελεστών Η ευαισθησία του φίλτρου ως προς το θόρυβο στρογγυλοποίησης που εμφανίζεται στην έξοδο του φίλτρου Ένα ψηφιακό δικτύωμα μπορεί να παρασταθεί με ένα διάγραμμα ροής σήματος (signal flowchart) που αποτελείται από κλάδους που συνδέονται με κόμβους (nodes). Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΚΛΑΔΟΙ ΚΑΙ ΚΟΜΒΟΙ Κλάδοι - Κάθε κλάδος έχει μια είσοδο και μια έξοδο - Η κατεύθυνση σημειώνεται με ένα βέλος - Η έξοδος είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός της εισόδου - Ο γραμμικός τελεστής σημειώνεται δίπλα στο βέλος και είναι πολλαπλασιαστής ή καθυστερητής Κόμβοι Κόμβος πηγής (source node) χρησιμοποιείται για είσοδο, εμφανίζεται εξερχόμενος κλάδος Κόμβος απαγωγής (sink node) χρησιμοποιείται για έξοδο, εμφανίζεται εισερχόμενος κλάδος Αθροιστής κόμβος όπου καταλήγουν περισσότεροι από ένας κλάδος Σημείο διακλάδωσης κόμβος από τον οποίο αποχωρούν περισσότεροι από ένας κλάδοι Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα x(n) 2 y(n) z-1 z-1 -1/5 2 -1/2 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ (FIR FILTER STRUCTURES) ΕΥΘΕΙΑ ΜΟΡΦΗ ΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΡΡΑΚΤΗ ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ALL-ZERO ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ευθεία Μορφή Direst Form
Απευθείας υλοποίηση εξίσωσης διαφορών Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ευθεία Μορφή Δομή z-1 b(0) b(1) b(2) b(M) b(M-1) x(n) y(n) … Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ευθεία Μορφή Παράδειγμα
a=1 b=[ ] y=filter(b,a,x) z-4 x(n) y(n) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μορφή Καταρράκτη Cascade Form
Χρήση παραγοντοποίησης της συνάρτησης μεταφοράς σε παράγοντες δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μορφή Καταρράκτη Δομή z-1 b(0) Β1,1 x(n) y(n) Β1,2 Β2,1 Β2,2 … ΒMs,1 ΒMs,2 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μορφή Καταρράκτη Παράδειγμα
a=1 b=[ ] [b0,B,A]=dir2cas(b,a) y=casfilt(b0,B,A,x) b0=1 B=[ ] Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ (LINEAR PHASE)
Type I: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι συμμετρική και Μ άρτιος Type II: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι συμμετρική και Μ περιττός Type III: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι αντισυμμετρική και Μ άρτιος Type IV: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι αντισυμμετρική και Μ περιττός Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ TYPE I
h(n)=[ ] για n=[0:10] Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ TYPE II

ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ TYPE III

ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ TYPE IV

Δειγματοληψία συχνότητας Frequency Sampling Form
Χρήση DFT Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

All-Zero φίλτρα πλέγματος All-Zero Lattice Form
Υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης με αναδρομικό αλγόριθμο Τα FIR φίλτρα γραμμικής φάσης δεν μπορούν να υλοποιηθούν χρησιμοποιώντας δομή πλέγματος Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ευστάθεια Schur-Cohn Ένα αιτιατό φίλτρο με ρητή συνάρτηση μεταφοράς
H(z)=B(z)/A(z) είναι ευσταθές αν και μόνον αν οι συντελεστές ανάκλασης Γk που αντιστοιχούν στην A(z) ικανοποιούν τη σχέση: Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΑΠΕΙΡΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ (IIR FILTER STRUCTURES)
ΕΥΘΕΙΑ ΜΟΡΦΗ ΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΡΡΑΚΤΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΟΜΗ ALL-POLE ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ZERO-POLE ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ευθεία Μορφή Direst Form
Απευθείας υλοποίηση εξίσωσης διαφορών Type I Type II Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μορφή Καταρράκτη Cascade Form
Χρήση παραγοντοποίησης της συνάρτησης μεταφοράς σε παράγοντες δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράλληλη Μορφή Parallel Form
Ανάπτυξη της συνάρτησης μεταφοράς σε απλά κλάσματα Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

All-Pole φίλτρα πλέγματος All-Pole Lattice Form
Υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης με αναδρομικό αλγόριθμο Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης με αναδρομικό αλγόριθμο
Zero-Pole φίλτρα πλέγματος Zero-Pole Lattice Form ή Lattice Ladder Form Υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης με αναδρομικό αλγόριθμο Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΗ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΚΥΜΑΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Σχεδίαση FIR φίλτρων γραμμικής φάσης με χρήση παραθύρου
Ιδανικό Low-Pass filter Επειδή το ιδανικό LP φίλτρο δεν είναι πραγματοποιήσιμο (είναι αναιτιατό και ασταθές), πρέπει να προσδιοριστούν οι προδιαγραφές πραγματοποιήσιμου LP φίλτρου. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Προδιαγραφές πραγματοποιήσιμου LP φίλτρου

Περιορισμός με χρήση παραθύρου
Τύποι παραθύρων: Ορθογώνιο Bartlett Hanning Hamming Blackman Kaiser Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Τύποι παραθύρων Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Συναρτήσεις παραθύρων

Ιδιότητες παραθύρων Δω Δf=Δω/2π Πλάτος πλευρικού λοβού Εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής Ορθογώνιο 1.8π/Ν 0.9/Ν 13 21 Bartlett 6.1π/Ν 3.05/Ν 27 25 Hanning 6.2π/Ν 3.1/Ν 31 44 Hamming 6.6π/Ν 3.3/Ν 41 53 Blackman 11π/Ν 5.5/Ν 57 74 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγμα Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Δειγματοληψία συχνότητας
Η επιθυμητή απόκριση συχνότητας υφίσταται δειγματοληψία σε Ν ισαπέχοντα σημεία στο διάστημα [0,2π] Αυτά τα δείγματα αποτελούν έναν DFT-N σημείων, του οποίου ο IDFT αντιστοιχεί σε ένα FIR φίλτρο τάξης Ν-1 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ισοκυματικά φίλτρα γραμμικής φάσης
Προσεγγιστική συνάρτηση βάρους του σφάλματος: minmax problem: αναζήτηση συντελεστών : Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Θεώρημα Εναλλαγής Πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον L+1 συχνότητες ακροτάτων ω0<ω1<…<ωL+1 στο σύνολο των συχνοτήτων F, ώστε: Επομένως, το βέλτιστο φίλτρο είναι το ισοκυματικό φίλτρο. Εύρεση των συχνοτήτων των ακροτάτων με τον αλγόριθμο Parks-McClellan. Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΗ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ ΠΡΟΤΥΠΑ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ ΑΠΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πρότυπα Αναλογικών Φίλτρων
φίλτρα Butterworth φίλτρα Chebychev ελλειπτικά φίλτρα Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ιδιότητες Αναλογικών Φίλτρων
Prototype Order N Stopband attenuation Batterworth 6 15 Chebyshev 4 25 Elliptic 3 27 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Σχεδίαση IIR φίλτρων από αναλογικά φίλτρα
κρουστική αμεταβλητότητα διγραμμικός μετασχηματισμός ελάχιστα τετράγωνα Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Κρουστική Αμεταβλητότητα (impulse invariance transformation)

Διγραμμικός Μετασχηματισμός (bilinear transformation)
απεικόνιση (μετασχηματισμός) s-επίπεδο στο z-επίπεδο: Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Διγραμμικός Μετασχηματισμός Παράδειγμα

Ελάχιστα Τετράγωνα - Προσέγγιση Pade - Μέθοδος Prony - Προσέγγιση αντίστροφου FIR φίλτρου Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Προσέγγιση Pade Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Υπολογισμοί Προσέγγισης Pade

Παράδειγμα Προσέγγισης Pade

Μέθοδος Prony Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Προσέγγιση αντίστροφου FIR φίλτρου

Παράδειγμα Προσέγγισης αντίστροφου FIR φίλτρου

ΧΩΡΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (STATE SPACE) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (STATE SPACE) Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ (CONTROLABILITY)

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ (OSERVABILITY)

Παράδειγμα Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Συνάρτηση Μεταφοράς Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ελεγξιμότητα – Παρατηρησιμότητα

KALMAN FILTER ΜΟΝΤΕΛΟ ΦΙΛΤΡΟ ΚΑΛΜΑΝ ΕΞΙΣΩΣΗ RICCATI ΕΞΙΣΩΣΗ LYAPUNOV Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΕΞΙΣΩΣΗ RICCATI Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΕΞΙΣΩΣΗ LYAPUNOV Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] M. H. Hayes, “Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος”, Εκδόσεις ΤΖΙΟΛΑ, 2000 [2] J. H. McClellan, R. W. Schafer, M. A. Yoder, “Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων”, Φιλομάθεια, 2006 [3] Γ. Καραγιάννης, Κ. Τζιτζιράχου, “Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα”, Παπασωτηρίου, 2003 [4] J. Proakis and D. Manolakis, “Digital Signal Processing”, Macmillan, 1992 [5] Oppeinheim A. V., Schafer R. W. and Buck J. R., “Discrete-Time Signal Processing”, 2nd ed., Prentice-Hall, 1999 [6] Ασημάκης Ν., “Σήματα, Συστήματα και Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων”, Gutenberg, 2008 [7] V. K. Ingle and J. G. Proakis, “Digital Signal Processing using MATLAB”, BROOKS/COLE Publishing Company, 2000 [8] The MathWorks Inc., “The Student Edition of MATLAB”, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1995 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ. Ε. Ι

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ. Ε. Ι"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ. Ε. Ι

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ. Ε. Ι"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια