Αναγνώριση Προτύπων.

Παρουσίαση με θέμα: "Αναγνώριση Προτύπων."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αναγνώριση Προτύπων

2 Σήμερα! Περιεχόμενο μαθήματος Διαδικαστικά Απαλλακτικές Εργασίες
Εισαγωγή στο αντικείμενο του μαθήματος

3 Περιεχόμενο μαθήματος
Θεωρία Bayes Ταξινομητές (classification) Συναρτήσεις Κόστους Εξαγωγή Χαρακτηριστικών Μείωση διαστάσεων Επιλογή Χαρακτηριστικών Ταίριασμα Προτύπου Κρυμμένα Μοντέλα Markov Ομαδοποίηση (clustering) Εφαρμογές Και…Matlab Ερωτήσεις 1) Με τι αντικείμενα ασχολείται η επιστήμη της Αναγνώρισης Προτύπων; 2) Ανέφερε κάποια από τα περιεχόμενα του μαθήματος.

4 Βαθμολόγηση Μαθήματος
Εργαστηριακές ασκήσεις σε Matlab 20%. Συγγραφή εργασίας και παράδοση έως 28/11/ %. Παρουσίαση και εξέταση εργασίας 29/11/ %. Υλοποίηση συμφωνημένου τμήματος σε Matlab και εξέταση 40%.

5 Απαλλακτικές Εργασίες
Η εξέταση στο μάθημα γίνεται με εργασία. Κάθε ομάδα εργασίας μπορεί να αποτελείται από 1-2 άτομα. Η ομάδα οφείλει να δηλώσει τη συμμετοχή της μέσω , μέχρι 12/10 καθώς και δύο επιλογές από τα πιο κάτω θέματα, με σειρά προτίμησης. Το κάθε θέμα θα δοθεί μόνο μία φορά και θα τηρηθεί σειρά προτεραιότητας.

6 Θέματα 1. Αναγνώριση δυσδιάστατου σχήματος 2. Εκτίμηση κίνησης από δορυφορική λήψη 3. Ανίχνευση ηχητικού σήματος 4. Ταξινόμηση και ανάκτηση video 5. Ανίχνευση κίνησης αντικειμένου 6. Μείωση διαστάσεων 7. Ανίχνευση και διάγνωση με χρήση Η/Υ 8. Ανίχνευση και αναγνώριση αντικειμένων 9. Ανάκτηση 3D σχήματος 10. Κατάτμηση εικόνων εγγράφων

7 Βιβλία 1. Εισαγωγή στην αναγνώριση προτύπων με Matlab Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: Έκδοση: 1η έκδ. Συγγραφείς: Θεοδωρίδης Σέργιος,Πικράκης Α.,Κουτρουμπάς Κωνσταντίνος Σ.,Κάβουρας Δ. 2. Αναγνώριση προτύπων Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 6378 Έκδοση: 1/2007 Συγγραφείς: ΣΤΡΙΝΤΖΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

8 Matlab Το MATLAB (matrix laboratory) είναι ένα περιβάλλον αριθμητικής υπολογιστικής και μια προγραμματιστική γλώσσα τέταρτης γενιάς. Αποθηκεύει και κάνει τις πράξεις με βάση την άλγεβρα πινάκων. Η τρέχουσα έκδοσή του είναι η R2010b η οποία κυκλοφόρησε στις 3 Σεπτεμβρίου του 2010. Χρησιμοποιείται κατά κύριο λόγο για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, ωστόσο είναι πολύ "ισχυρό" και μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για προγραμματισμό καθώς περιέχει εντολές από την C++ όπως την while, την switch και την if.

9 Matlab links Εισαγωγή στην Matlab των Γ. Γεωργίου και Χ. Ξενοφώντος
Ιστοσελίδα Matlab

10 Αναγνώριση Προτύπων από Άνθρωπο
Αναγνώριση Προτύπων από Άνθρωπο Αναγνωρίζουμε ένα πρόσωπο Αντιλαμβανόμαστε τον προφορικό λόγο Διαβάζουμε χειρόγραφα κείμενα Αναγνωρίζουμε τα κλειδιά του αυτοκινήτου στην τσέπη μας Αποφασίζουμε αν ένα μήλο έχει σαπίσει από τη μυρωδιά του Η διαδικασία κατά την οποία παρατηρούμε απλά δεδομένα και λαμβάνουμε αποφάσεις βασιζόμενες στην «κατηγορία» του προτύπου. Άλλωστε ως ανθρώπινα όντα έχουμε διανύσει πάνω από δέκα εκατομμύρια χρόνια εξελίσσοντας υψηλού επιπέδου νευρικά και νοητικά συστήματα για την επιτυχή ολοκλήρωση τέτοιου είδους διαδικασιών. Ερωτήσεις Ανέφερε διαδικασίες αναγνώρισης που μπορεί να εκτελέσει η αναγνώριση προτύπων. Δώσε παράδειγμα αναγνώρισης από άνθρωπο που μπορεί να εκτελεστεί και από υπολογιστικό σύστημα. Περιέγραψε την πιθανή διαδικασία.

11 Αναγνώριση Προτύπων από υπολογιστικά συστήματα
Η αυτόματη αναγνώριση φωνής Η αναγνώριση μέσω δαχτυλικών αποτυπωμάτων Η οπτική αναγνώριση χαρακτήρων κειμένου Η αναγνώριση ακολουθιών DNA Για κάποια προβλήματα όπως είναι η ομιλία και η οπτική αναγνώριση, οι προσπάθειες σχεδιασμού μπορεί να εμπνευστούν από τη γνώση του πώς αυτά επιλύονται-λειτουργούν στη φύση. Είναι φυσικό να θέλουμε να σχεδιάζουμε και να «χτίζουμε» μηχανές που αναγνωρίζουν πρότυπα. και τόσα άλλα καθιστούν σαφές το γεγονός ότι η αξιόπιστη και ακριβής αναγνώριση προτύπων από μια μηχανή είναι πάρα πολύ χρήσιμη. Επιπλέον, από την επίλυση των διαφόρων προβλημάτων που προκύπτουν κατά την υλοποίηση τέτοιων συστημάτων, αποκτούμε βαθύτερη κατανόηση και εκτίμηση για τα συστήματα αναγνώρισης προτύπων στο φυσικό κόσμο- και πολύ περισσότερο στον άνθρωπο.

12 Παράδειγμα - Πρόβλημα Υποθέστε ότι ένα εργοστάσιο πακεταρίσματος επιθυμεί να αυτοματοποιήσει τη διαδικασία ταξινόμησης των εισερχομένων ψαριών επάνω σε έναν ιμάντα μεταφοράς, ανάλογα με το είδος του ψαριού. Συγκεκριμένα θέλουμε να διαχωρίζονται μέσω οπτικών αισθητήρων τα ψάρια «σολομός» και «πέρκα».

13 Παράδειγμα - Διαδικασία
Στήνουμε μια κάμερα Παίρνουμε κάποιες εικόνες δειγματοληπτικά Αρχίζουμε να παρατηρούμε κάποιες φυσικές διαφορές μεταξύ των δύο αυτών ειδών ψαριού (χαρακτηριστικά features): Μήκος Χρωματισμός Πλάτος Ο αριθμός και το σχήμα των λεπιών τους

14 Παράδειγμα - Διαδικασία
Παρατηρείται η ύπαρξη ανεπιθύμητου θορύβου και κάποιων διαταραχών στις εικόνες: διαφορές στο χρωματισμό στη θέση των ψαριών στον ιμάντα μεταφοράς που μπορεί να οφείλονται ακόμη και στο θόρυβο που προκαλεί η λειτουργία της ίδιας της ηλεκτρονικής κάμερας.

15 Παράδειγμα - Μοντελοποίηση
Υπάρχουν διαφορές μεταξύ των πληθυσμών της πέρκας και του σολομού; έχουν διαφορετικά μοντέλα (models): διαφορετική περιγραφή με μαθηματικό τύπο. Κάθε πρότυπο το αντιστοιχούμε στο μοντέλο που το περιγράφει καλύτερα Επεξεργαζόμαστε τα δεδομένα που λαμβάνουμε από τους αισθητήρες Υποθέτουμε τις διάφορες κλάσεις των μοντέλων Ερωτήσεις Τι είναι η μοντελοποίηση; Πως ορίζονται οι διάφορες κλάσεις μοντέλων ή αντικειμένων; Κάθε τεχνική που βοηθάει και συντελεί στην καλύτερη ολοκλήρωση του τελευταίου μέρους πρέπει να ληφθεί υπόψη από το σχεδιαστή συστημάτων αναγνώρισης προτύπων.

16 Σύστημα Αναγνώρισης Προτύπων
Η κάμερα λαμβάνει μια εικόνα από το ψάρι Η εικόνα προεπεξεργάζεται (preprocessed) για να απλοποιηθούν οι επόμενες πράξεις χωρίς να χαθούν όμως ζωτικές πληροφορίες: τμηματοποίηση (segmentation): εικόνες από διαφορετικά ψάρια κατά κάποιο τρόπο απομονώνονται η μια από την άλλη και από το φόντο (background). Ερωτήσεις Τι είναι προεπεξεργασία; Τι μπορεί να συμπεριλαμβάνει και σε τι χρησιμεύει; Τι είναι τμηματοποίηση; Τι μπορεί να συμπεριλαμβάνει και σε τι χρησιμεύει;

17 Σύστημα Αναγνώρισης Προτύπων
H πληροφορία από ένα μόνο ψάρι στέλνεται σε ένα εξαγωγέα χαρακτηριστικών (feature extractor): η λειτουργία του επικεντρώνεται στο να μειώσει τον όγκο των δεδομένων, λαμβάνοντας υπόψη του μόνο κάποια σημαντικά «χαρακτηριστικά» ή «ιδιότητες». Οι τιμές αυτών των χαρακτηριστικών περνάνε σε ένα ταξινομητή που παίρνει την τελική απόφαση Ερωτήσεις Τι συμπεριλαμβάνει η διαδικασία εξαγωγής χαρακτηριστικών; Δώστε ένα παράδειγμα. Πως λέγεται το μέρος του συστήματος που παίρνει την τελική απόφαση;

18 Ερωτήσεις 1) Σχεδίασε ένα απλό σύστημα αναγνώρισης προτύπων; Τι τμήματα περιλαμβάνει;

19 Επιλογή Χαρακτηριστικών
Ένας υπάλληλος στο τμήμα διαχωρισμού των ψαριών μας αποκάλυψε ότι γενικά η πέρκα είναι μεγαλύτερη σε μήκος από το σολομό. Αυτό μας δίνει κάποια δοκιμαστικά μοντέλα για τα ψάρια: Οι πέρκες έχουν κάποιο τυπικό μήκος και αυτό είναι μεγαλύτερο από το μήκος των σολομών. Το μήκος είναι ένα προφανές χαρακτηριστικό και μπορούμε να προσπαθήσουμε να ταξινομήσουμε ένα ψάρι ανάλογα με το μήκος του Για να επιλέξουμε το κατώφλι l* θα μπορούσαμε να πάρουμε κάποια δείγματα εκπαίδευσης ή σχεδίασης από ψάρια των δύο ειδών, να κάνουμε μετρήσεις και να επιθεωρήσουμε τα αποτελέσματα. Ερωτήσεις 1) Περιέγραψε λεπτομερώς ένα σύστημα διάκρισης μεταξύ πέρκας και σολομού. Πως ορίζεται το κατώφλι διάκρισης

20 Επιλογή Χαρακτηριστικών
Ανεξάρτητα από το l*, δεν μπορούμε αξιόπιστα να ξεχωρίσουμε την πέρκα από το σολομό μόνο βάση του μήκους Ερωτήσεις 1) Μπορούμε από το σχήμα να ξεχωρίσουμε Πέρκα από Σολομό βάσει του μήκους; Τι πρέπει να κάνουμε σε μια τέτοια περίπτωση;

21 Επιλογή Χαρακτηριστικών
Προχωράμε στην επιλογή άλλου χαρακτηριστικού πχ. ο μέσος όρος φωτεινότητας του χρώματος του ψαριού Τώρα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί ώστε να εξαλείψουμε τις αποκλίσεις της φωτεινότητας

22 Επιλογή Χαρακτηριστικών

23 Επιλογή Χαρακτηριστικών & Κόστος Απόφασης
Αποφασίζοντας πέρκα αντί για το σωστό (σολομός) έχει το ίδιο κόστος με το αντίστροφο Φανταστείτε το παράδειγμα ενός ταξινομητή για νάρκες ενεργές ή μη Έστω ότι μια εταιρεία γνωρίζει ότι οι πελάτες της δέχονται κομμάτια σολομού στις κονσέρβες τους «πέρκα», όμως δυσανασχετούν για κομμάτια πέρκας στην κονσέρβα τους «σολομός». Πρέπει να μεταφερθεί το όριο απόφασης σε χαμηλότερες τιμές φωτεινότητας Ερωτήσεις 1) Τι είναι το κόστος απόφασης; Δώστε παράδειγμα εφαρμογής του.

24 Θεωρία Αποφάσεων Ασχολείται με το συνολικό κόστος που σχετίζεται με την απόφασή μας και τη δημιουργία ενός κανόνα απόφασης τέτοιο ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος αυτό. Ερωτήσεις 1) Τι κάνει η Θεωρία αποφάσεων;

25 Επιλογή Χαρακτηριστικών
Ακόμη και αν γνωρίζουμε το κόστος το οποίο συνδέεται με τις αποφάσεις μας και διαλέξουμε το κρίσιμο σημείο x*, μπορεί να απογοητευτούμε με το ανακριβές αποτέλεσμα που θα προκύψει. Η πρώτη μας προσπάθεια τότε είναι να ψάξουμε για κάποιο άλλο διαφορετικό χαρακτηριστικό πάνω στο οποίο θα στηριχτούμε για να διαχωρίσουμε τα ψάρια. Ας υποθέσουμε όμως ότι κανένα άλλο οπτικό χαρακτηριστικό από μόνο του δεν λειτουργεί καλύτερα από τη φωτεινότητα. Για να βελτιώσουμε την αναγνώριση, τότε πρέπει να καταφύγουμε στη χρήση περισσότερων του ενός χαρακτηριστικών. Ερωτήσεις 1) Πόσα χαρακτηριστικά (features) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε;

26 Επιλογή Χαρακτηριστικών
Μπορούμε να στηριχθούμε στο γεγονός ότι η πέρκα είναι γενικά πιο μεγάλη σε πλάτος από το σολομό. Τώρα έχουμε δύο χαρακτηριστικά: την φωτεινότητα x1 το πλάτος x2 Τότε ο εξαγωγέας χαρακτηριστικών έχει «μειώσει» την εικόνα για κάθε ψάρι σε ένα σημείο ή αλλιώς σε ένα διάνυσμα χαρακτηριστικών x, σε ένα δύο διαστάσεων χώρο χαρακτηριστικών: Ερωτήσεις 1) Γιατί χρησιμοποιούμε χαρακτηριστικά; Ποια η χρησιμότητα τους;

27 Ταξινόμηση To πρόβλημα μας στη συνέχεια, έγκειται στο να διαχωρίσουμε αυτό το χώρο χαρακτηριστικών σε δύο περιοχές: Αυτές οι περιοχές θα είναι διαχωρισμένες έτσι ώστε για όλα τα σημεία εντός της μίας περιοχής να ονομάζουμε το ψάρι «πέρκα» και εντός της άλλης περιοχής να το ονομάζουμε «σολομό». Aς υποθέσουμε ότι μετράμε τα διανύσματα των χαρακτηριστικών για τα δείγματα μας Ταξινομούμε τα ψάρια ως «πέρκα» αν το διάνυσμα των χαρακτηριστικών του είναι πάνω από το όριο απόφασης και ως «σολομό» διαφορετικά. Ερωτήσεις Τι είναι η ταξινόμηση; Ποια η διαδικασία ταξινόμησης; Τι είναι το όριο απόφασης;

28 Ταξινόμηση

29 Προβλήματα στην επιλογή Χαρακτηριστικών
Εκτός από τη φωτεινότητα και το πλάτος των ψαριών μπορούμε ακόμη να συμπεριλάβουμε κάποια σχηματική παράμετρο: όπως είναι η κυρτή γωνία του ραχιαίου πτερυγίου την τοποθεσία των οφθαλμών Κάποια χαρακτηριστικά μπορεί να είναι πλεονάζοντα. Για παράδειγμα, αν το χρώμα των ματιών των ψαριών σχετίζεται άψογα και με το πλάτος τους, τότε η επιλογή του χρώματος του ματιού ως χαρακτηριστικό θα είναι πλεονάζουσα. Πως όμως γνωρίζουμε εκ των προτέρων ποιο από τα χαρακτηριστικά αυτά θα δουλέψει καλύτερα; Ερωτήσεις 1) Τι εννοούμε όταν λέμε ότι κατά την επιλογή χαρακτηριστικών κάποια είναι πλεονάζοντα; Δώστε παράδειγμα.

30 Προβλήματα στην επιλογή Χαρακτηριστικών
Πως γνωρίζουμε εκ των προτέρων ποιο από τα χαρακτηριστικά θα δουλέψει καλύτερα; Κάποια χαρακτηριστικά είναι δύσκολο (ή ακριβό) να μετρηθούν ή απλώς προσφέρουν μικρή βελτίωση στον ταξινομητή ή ακόμη χειροτερεύουν την ταξινόμηση. Μια άλλη προσέγγιση θα ήταν να πάρουμε όσο το δυνατόν περισσότερα δείγματα εκπαίδευσης για να έχουμε την όσο το δυνατόν καλύτερη εκτίμηση των σχετικών χαρακτηριστικών. Σε κάποια προβλήματα όμως, το πλήθος των δεδομένων είναι περιορισμένο. Είναι απίθανο το περίπλοκο όριο απόφασης του σχήματος 1.5 να παρέχει καλή γενίκευση - μοιάζει να είναι ρυθμισμένο να δουλεύει καλά μόνο για τα συγκεκριμένα δείγματα εκπαίδευσης παρά να βασίζεται στα γενικά χαρακτηριστικά ή στο πραγματικό μοντέλο που χαρακτηρίζει όλες τις πέρκες και τους σολομούς που πρέπει να διαχωρίσει. Ερωτήσεις 1) Ποια θεωρούνται καλά χαρακτηριστικά; Τι μετράει για να είναι ένα χαρακτηριστικό καλό;

31 Προβλήματα στην επιλογή Χαρακτηριστικών
Αν τα μοντέλα μας ήταν πολύ περίπλοκα, ο ταξινομητής μας θα είχε όριο απόφασης πιο πολύπλοκο από την απλή ευθεία γραμμή. Ο κεντρικός σκοπός μας, όταν κατασκευάζουμε ένα ταξινομητή, είναι να μας προτείνει δράσεις όταν παρουσιάζονται σε αυτόν νέα πρότυπα όπως π.χ. κάποιο ψάρι που δεν έχει ξαναδεί. Αυτό είναι γνωστό με τον όρο γενίκευση. Ερωτήσεις 1) Είναι καλός ο ταξινομητής που απεικονίζεται στο διάγραμμα;

32 Προβλήματα στην επιλογή Χαρακτηριστικών

33 Προβλήματα στην επιλογή Χαρακτηριστικών
Ψάχνουμε να απλοποιήσουμε τον ταξινομητή μας και το όριο απόφασης Συμβιβαζόμαστε με μια πιο χαμηλή απόδοση του ταξινομητή μας στα δεδομένα εκπαίδευσης, αν αυτό οδηγήσει σε έναν ταξινομητή με καλύτερη απόδοση σε καινούρια πρότυπα Aς υποθέσουμε ότι κατά κάποιο τρόπο επιτυγχάνουμε να καθορίσουμε την βελτίωση του ταξινομητή μας λαμβάνοντας υπόψη μας τα παραπάνω. Ερωτήσεις 1) Μεταξύ δύο ταξινομητών με διαφορετική απόκριση σε συγκεκριμένο σετ εκπαίδευσης, ποιον θα διαλέγατε; Υπάρχει περίπτωση να διαλέγατε αυτόν με τη χαμηλότερη; Σε ποια περίπτωση;

34 Ταξινόμηση Η ταξινόμηση είναι μια διαδικασία εύρεσης του μοντέλου που γεννάει τα πρότυπα Διάφορες τεχνικές αναγνώρισης είναι χρήσιμες ανάλογα με το είδος των υποψηφίων μοντέλων Στην Στατιστική Αναγνώριση Προτύπων επικεντρωνόμαστε στις στατιστικές ιδιότητες των προτύπων Στην Συντακτική Αναγνώριση Προτύπων το μοντέλο μας αποτελείται από ένα σύνολο από λογικούς κανόνες (όπως γενικά εκφράζονται από την πυκνότητα πιθανότητας). , τότε εφαρμόζουμε τις μεθόδους της, όπου γραμματικοί κανόνες περιγράφουν την απόφαση μας. Για παράδειγμα μπορεί να θέλουμε να ταξινομήσουμε μια πρόταση στα Αγγλικά αν είναι γραμματικώς σωστή ή όχι. Εδώ οι λογικοί κανόνες, αντί για τους στατιστικούς (συχνότητες λέξεων κ.λ.π.) είναι χρησιμότεροι. Ερωτήσεις 1) Σε τι διαφέρει η στατιστική από τη συντακτική Αναγνώριση προτύπων;

35 Χρήση Ταξινομητή Διαφορετικές αποφάσεις μπορεί να απαιτούν διαφορετικά χαρακτηριστικά και όρια αν θέλουμε να κατατάσσει τα ψάρια ανάλογα με το φύλο τους αν θέλουμε να επιλέξουμε τα αλλοιωμένης εμφάνισης ψάρια Για τα ίδια εισαγόμενα στον ταξινομητή πρότυπα χρησιμοποιούμε άλλη συνάρτηση κόστους ή κάνουμε διαφορετικό διαχωρισμό. – όλα τα θηλυκά (ό,τι είδος και να είναι) από όλα τα αρσενικά ψάρια - αν θέλουμε να πουλήσουμε αυγοτάραχο. Ερωτήσεις 1)Εξηγήστε τη φράση: «Για τα ίδια εισαγόμενα στον ταξινομητή πρότυπα χρησιμοποιούμε άλλη συνάρτηση κόστους ή κάνουμε διαφορετικό διαχωρισμό.»

36 Συμπεράσματα Ο άνθρωπος έχει την ικανότητα να «δουλεύει» καλά σε διαφορετικά προβλήματα αναγνώρισης προτύπων και να εναλλάσσεται στιγμιαία μεταξύ τους Η δημιουργία μοντέλου αναγνώρισης προτύπων για γενική χρήση είναι δύσκολο εγχείρημα Κατά τη σχεδίαση του μοντέλου οι αποφάσεις μας βασίζονται στο κόστος και την εργασία που επιθυμούμε -δηλαδή ένα που να ενεργεί ακριβέστατα, βασισμένο σε μια μεγάλη ποικιλία από εργασίες-

37 Συμπεράσματα Είναι σημαντικό σε κάθε πρόβλημα αναγνώρισης προτύπων να κατασκευάσουμε μια «επιτυχή» αναπαράσταση, με απλές δομικές σχέσεις ανάμεσα στα χαρακτηριστικά Πρέπει μέσω της αναπαράστασης να εκφράζεται το πραγματικό μοντέλο των προτύπων Τα πρότυπα που οδηγούν στην ίδια απόφαση πρέπει να είναι κοντά και όσο γίνεται πιο μακριά από τα πρότυπα που οδηγούν σε διαφορετική απόφαση. Επιλέγουμε έναν μικρό αριθμό χαρακτηριστικών που: να οδηγήσουν σε απλούστερες περιοχές απόφασης να απλοποιήσουν το χρόνο εκπαίδευσης του ταξινομητή Το πώς δημιουργούμε ή «μαθαίνουμε» μια σωστή αναπαράσταση και το πόσο καλά ορίζουμε το «μακριά» και το «κοντά» είναι οι βασικοί παράγοντες που καθορίζουν την επιτυχία ενός ταξινομητή προτύπων. . Μπορεί επίσης να θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε χαρακτηριστικά που είναι εύρωστα, ανθεκτικά δηλαδή σε θόρυβο ή άλλα λάθη. Σε πρακτικές εφαρμογές εντούτοις μπορεί να θέλουμε να έχουμε ένα γρήγορο ταξινομητή ή έναν που να χρησιμοποιεί λίγα ηλεκτρονικά μέσα (αισθητήρες, πολλούς Η/Υ κ.ά.), λίγη μνήμη ή ακόμα και λίγα υπολογιστικά βήματα.