ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΜΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Παρουσίαση με θέμα: "ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΜΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΜΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΜΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Χρήστος Β. Μασσαλάς, Βασιλική Θ. Ποτσίκα, Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

2 Θεματικές ενότητες Παραμορφώσιμο σώμα Τάση και Παραμόρφωση
Νόμος του Hooke Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης Πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης Τριδιάστατη εντατική κατάσταση Συμμετρίες υλικών Κάμψη και Στρέψη

3 Παραμορφώσιμο σώμα Οι αναλύσεις στις οποίες λαμβάνονται υπόψη τόσο η παραμόρφωση του σώματος όσο και οι ιδιότητες των υλικών από τα οποία είναι κατασκευασμένο είναι αντικείμενο της μηχανικής του παραμορφώσιμου σώματος. Για τις αναλύσεις αυτές απαιτείται η γνώση της σχέσης της κατανομής των εφαρμοζόμενων δυνάμεων εντός του σώματος (τάσεις) και του αποτελέσματος που αυτές προκαλούν (παραμορφώσεις). Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως καταστατικός νόμος (constitutive law) και προσδιορίζεται πειραματικά.

4 Παραμορφώσιμο σώμα Η μηχανική του στερεού σώματος βασίζεται στην παραδοχή: τα απόλυτα στερεά δεν παραμορφώνονται υπό την επίδραση εξωτερικών αιτίων (δυνάμεις, ροπές). Η παραδοχή αυτή εισάγει περιορισμούς στην αντιμετώπιση υπερστατικών συστημάτων, όπου οι εξισώσεις ισορροπίας δεν επαρκούν για τον προσδιορισμό των άγνωστων αντιδράσεων. Στην πραγματικότητα όλα τα φυσικά σώματα παραμορφώνονται υπό την επίδραση εξωτερικών αιτίων. Ένα παραμορφώσιμο σώμα (deformable body) είναι ένα στερεό σώμα το οποίο μεταβάλλει το μέγεθος ή/και το σχήμα του ως αποτέλεσμα της εφαρμογής δυνάμεων σε αυτό ή ως αποτέλεσμα περιβαλλοντικών μεταβολών (π.χ. θερμοκρασία).

5 Παραμορφώσιμο σώμα Ο στόχος του μηχανικού είναι να προσδιορίσει με τον πλέον ασφαλή και αποδοτικό τρόπο τη λειτουργία τέτοιων συστημάτων και των συνιστωσών τους. Ο σωστός σχεδιασμός πρέπει να αποτρέπει την αστοχία του συστήματος ή των συνιστωσών του και την εμφάνιση μη αποδεκτών παραμορφώσεων κατά τη λειτουργία του. H μελέτη για τον προσδιορισμό των συνθηκών λειτουργίας του είναι αναγκαία, για την κατάλληλη επιλογή των υλικών κατασκευής του ώστε το σύστημα να ανταποκρίνεται στις συνθήκες προορισμού του (προδιαγραφές).

6 Παραμορφώσιμο σώμα Στη μελέτη για την απόκριση ενός παραμορφώσιμου σώματος πρέπει να λαμβάνονται υπόψη: το μέτρο, η διεύθυνση και η διάρκεια των εφαρμοζόμενων δυνάμεων, οι ιδιότητες των υλικών κατασκευής του και το περιβάλλον λειτουργίας του (π.χ. θερμότητα, υγρασία, συνοριακές και αρχικές συνθήκες).

7 Παραμορφώσιμο σώμα Οι εξωτερικές δυνάμεις που επηρεάζουν τη συμπεριφορά ενός σώματος ομαδοποιούνται σε: Μαζικές δυνάμεις, οι οποίες συνδέονται με τη μάζα του σώματος και είναι κατανεμημένες στον όγκο του και δεν είναι αποτέλεσμα επαφής με άλλα σώματα (π.χ. βαρυτικές, μαγνητικές και αδρανειακές δυνάμεις). Επιφανειακές δυνάμεις, οι οποίες είναι αποτέλεσμα της φυσικής επαφής μεταξύ των σωμάτων και μπορούν να εκφράζουν τη δύναμη που ασκεί μια φανταστική επιφάνεια εντός του σώματος επί της γειτονικής της.

8 Τάσεις Ο όρος τάση (stress) δηλώνει τη δύναμη που ασκείται ανά μονάδα επιφάνειας. Για παράδειγμα, το σώμα του σχήματος χωρίζεται νοερά σε δύο τμήματα Ι και ΙΙ από μια επίπεδη επιφάνεια ε. Θεωρώντας το τμήμα I ως ελεύθερο σώμα, οι δυνάμεις F1 και F2 θα πρέπει να βρίσκονται σε ισορροπία με την εξωτερική δύναμη F που ασκεί το τμήμα ΙΙ στο τμήμα Ι.

9 Τάσεις Η δύναμη F είναι κατανεμημένη σε όλη την επιφάνεια ε και κάθε στοιχειώδης επιφάνεια αυτής (ΔS) υπόκειται σε δύναμη ΔF. Ο μέσος όρος της δύναμης ανά μονάδα επιφάνειας είναι: όπου 𝐩 μ εκφράζει τη μέση τάση, μετρούμενη στο σύστημα SI σε Ν/m2 (Pa). 𝐩 μ = Δ𝐅 ΔS

10 Τάσεις Η τάση (stress) σε ένα σημείο της ΔS ορίζεται ως το όριο:
H τάση (p) αναλύεται σε δύο συνιστώσες σ και τ: όπου n το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια ΔS και t το μοναδιαίο διάνυσμα στο επίπεδο της ΔS. Η τάση σ λέγεται ορθή τάση (normal stress) ενώ η τ διατμητική τάση (shearing stress). 𝐩 = lim ΔS→0 Δ𝐅 ΔS = d𝐅 dS p = σ + τ = σ n + τ t

11 Τάσεις Αν η τάση σ έχει την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα n λέγεται τάση εφελκυσμού (tensile stress) και έχει ως αποτέλεσμα την επιμήκυνση του στοιχείου στο οποίο ενεργεί. Αν η τάση σ έχει την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα n λέγεται τάση θλίψης (compressive stress) και έχει το αντίθετο αποτέλεσμα. Η τάση τ έχει ως αποτέλεσμα την ολίσθηση των δύο επιφανειών της τομής.

12 Τάσεις Η τάση στο P εξαρτάται από τη διεύθυνση του επιπέδου της τομής. 𝝈> 𝝈1 > 𝝈2

13 Παραμόρφωση H ράβδος υπό την επίδραση της δύναμης F θα επιμηκυνθεί κατά (Δl), όπου l το αρχικό μήκος του σώματος. Η παραμόρφωση στη μονάδα του αρχικού μήκους ορίζεται ως Η παραμόρφωση ε είναι αδιάστατη ποσότητα. ε = Δl l

14 Παραμόρφωση Μετά την άρση του αιτίου τα παραμορφώσιμα σώματα μπορεί να επιδεικνύουν ελαστική ή πλαστική συμπεριφορά: Ελαστική συμπεριφορά έχουμε όταν το σώμα επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση μετά την αποφόρτισή του. Πλαστική συμπεριφορά έχουμε όταν το σώμα κατά την αποφόρτισή του εμφανίζει παραμένουσα παραμόρφωση.

15 Παραμόρφωση – Νόμος του Hooke
σ = Ε ε, όπου Ε είναι το μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο του Young (elastic Young’s modulus)του υλικού. Το Ε έχει διαστάσεις τάσης. Τα υλικά που ακολουθούν το νόμο του Hooke εμφανίζουν γραμμική συμπεριφορά και καλούνται γραμμικά ελαστικά υλικά.

16 Διατμητική Παραμόρφωση
Το ορθογώνιο του σχήματος, υπόκειται σε ένα ζεύγος διατμητικών δυνάμεων. Οι δυνάμεις αυτές το παραμορφώνουν, από ορθογώνιο σε παραλληλόγραμμο: Η γωνία παραμόρφωσης γ είναι συνήθως πολύ μικρή. Για μικρές τιμές της ισχύει η σχέση: γ = α h

17 Διατμητική Παραμόρφωση
Η γωνία γ λέγεται διατμητική παραμόρφωση και είναι αδιάστατη ποσότητα που μετριέται σε radians. Για τα υλικά που εμφανίζουν γραμμική ελαστική συμπεριφορά σε διάτμηση, η διατμητική τάση είναι γραμμικά ανάλογη της διατμητικής παραμόρφωσης: όπου G το μέτρο διάτμησης ή ολίσθησης (shear modulus) με μονάδα μέτρησης το Ν/m2 (Pa). τ = G γ,

18 Παραμόρφωση Στο σχήμα φαίνονται οι παραμορφώσεις ενός τετραγώνου υπό την επίδραση ορθών και διατμητικών δυνάμεων: Επίδραση δυνάμεων εφελκυσμού Επίδραση δυνάμεων διάτμησης Επίδραση δυνάμεων θλίψης

19 Υπερστατικό Πρόβλημα Η εισαγωγή των τάσεων και των παραμορφώσεων στην στατική ανάλυση επιτρέπει την επίλυση υπερστατικών προβλημάτων. Ένα παράδειγμα είναι η δοκός του σχήματος και ο προσδιορισμός των αντιδράσεων της άρθρωσης (Ο) και των ράβδων ανάρτησης : W είναι το βάρος της δοκού, S η επιφάνεια διατομής των ράβδων και Ε το μέτρο ελαστικότητας των ράβδων.

20 Υπερστατικό Πρόβλημα Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος,
Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος, Οι εξισώσεις ισορροπίας: Οι δύο εξισώσεις ισορροπίας δεν επαρκούν για τον προσδιορισμό των αντιδράσεων R 0 , R A , R C . R 0 + R A −W+ R C = 0 Άξονας y: R C l−W l 2 + R A l 3 = 0 Ροπές στο Ο:

21 Υπερστατικό Πρόβλημα Αν θεωρήσουμε ότι η δοκός παραμορφώνεται, αλλά παραμένει ευθύγραμμη τότε: Αν δ Α η μετατόπιση του Α και δ C η μετατόπιση του C θα έχουμε: 𝜹 𝑪 = 3 𝜹 𝜜 . Επίσης, επειδή οι δύο ράβδοι έχουν την ίδια διατομή (S) και το ίδιο μέτρο ελαστικότητας (E), θα ισχύει ότι: R C = 3 R A ,

22 Υπερστατικό Πρόβλημα Με βάση το προηγούμενο συμπέρασμα, από τις εξισώσεις ισορροπίας προκύπτει ότι: Στις ράβδους αναπτύσσονται οι ορθές τάσεις: και οι αντίστοιχες παραμορφώσεις είναι: R A = W, R C = 3R A = W και R 0 = W σ Α = R Α S σ C = R C S = 3 σ A και ε Α = σ Α Ε ε C = σ C Ε =3 ε A και

23 Διάγραμμα Τάσης-Παραμόρφωσης
Η καμπύλη (σ, ε) αναφέρεται με τον όρο διάγραμμα τάσης- παραμόρφωσης (stress-strain diagram). Ένα τυπικό διάγραμμα για το πείραμα του μονοαξονικού εφελκυσμού του ανωπτημένου χάλυβα φαίνεται στο σχήμα:

24 Διάγραμμα Τάσης-Παραμόρφωσης
Στο ευθύγραμμο τμήμα του διαγράμματος ισχύει ο νόμος του Hooke: Η κλίση του ευθυγράμμου τμήματος της καμπύλης είναι το μέτρο του Young και 𝝈 𝒑 το όριο αναλογίας (proportionality limit). σ = Ε ε, για 0 ≤ σ < σ p

25 Διάγραμμα Τάσης-Παραμόρφωσης
Για 𝝈 𝒑 < 𝛔< 𝝈 𝜺 η ράβδος έχει ακόμη ελαστική συμπεριφορά (οι καμπύλες φόρτισης-αποφόρτισης συμπίπτουν) αλλά η σχέση σ=σ(ε) είναι μη γραμμική. Η τιμή της τάσης 𝝈 𝜺 είναι το ελαστικό όριο (elastic limit) του υλικού της ράβδου.

26 Διάγραμμα Τάσης-Παραμόρφωσης
Η φόρτιση της ράβδου με αξονική δύναμη εφελκυσμού που προκαλεί τάση σ > 𝝈 𝜺 έχει ως αποτέλεσμα μόνιμη παραμόρφωση (οι καμπύλες φόρτισης-αποφόρτισης δεν συμπίπτουν). Στο σημείο σ = 𝝈 𝜰 η ράβδος παραμορφώνεται με μικρή ή και μηδενική αύξηση της αξονικής δύναμης. H τάση 𝝈 𝜰 που χαρακτηρίζει το πλατώ διαρροής, λέγεται τάση διαρροής (yield stress).

27 Διάγραμμα Τάσης-Παραμόρφωσης
Σε πρακτικά προβλήματα, ως τάση διαρροής ορίζεται η τιμή που προκαλεί μόνιμη παραμόρφωση 0.2% (0.002). Στο διάγραμμα εμφανίζεται ένα άνω όριο διαρροής Α* και ένα πλατώ διαρροής που προκαλείται από πολλά συνεχή μακροσκοπικά βήματα ολίσθησης επί των επιπέδων ολίσθησης των κρυστάλλων.

28 Διάγραμμα Τάσης-Παραμόρφωσης
Για την απλούστευση της καμπύλης (σ-ε) δεχόμαστε ότι 𝝈 𝒑 ≅ 𝝈 𝜠 = 𝝈 𝜰 . Πολλά μέταλλα δεν εμφανίζουν πλατώ διαρροής και το διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης έχει την μορφή:

29 Αποφόρτιση Η αποφόρτιση σε όλα τα στάδια της παραμόρφωσης ακολουθεί μια ελαστική γραμμή παράλληλη της εφαπτομένης στην αρχή της καμπύλης (σ, ε). Μετά σημείο P εφαρμόζεται δύναμη εφελκυσμού πέραν του ελαστικού ορίου. Μετά την αποφόρτιση της ράβδου από το σημείο Α υπάρχει μια παραμένουσα παραμόρφωση 𝜺 𝒑 .

30 Αποφόρτιση Κατά την επαναφόρτιση η ράβδος επιδεικνύει ελαστική συμπεριφορά μεταξύ Β και Α. Η τάση στο σημείο Α είναι το νέο όριο διαρροής του υλικού. Η τεχνική αυτή της μεταβολής του ορίου διαρροής του υλικού λέγεται κράτυνση (strain hardening).

31 Αποφόρτιση H επαναφόρτιση (ΒΑ) ακολουθεί, με μια μικρή απόκλιση, τη γραμμή αποφόρτισης (ΑΒ) μέχρι τη μέγιστη τάση που είχε φτάσει πριν από την αποφόρτιση στο σημείο Α. Μετά την τάση στο Α το υλικό ακολουθεί την καμπύλη της μη ελαστικής περιοχής του διαγράμματος (ΑΓ).

32 Αποφόρτιση Με την υπέρβαση της τάση διαρροής ( 𝝈 𝜰 ) παύει η αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των σ και ε, αφού για ορισμένη τάση 𝝈 𝝂 > 𝝈 𝜰 μπορεί να αντιστοιχούν διαφορετικές τιμές παραμόρφωσης ανάλογα με το ιστορικό φόρτισης του υλικού. Στα ελαστικά υλικά (γραμμικά ή μη γραμμικά) η τάση είναι μονοσήμαντη συνάρτηση της παραμόρφωσης, ανεξάρτητα από το ιστορικό φόρτισης. Η καμπύλη (σ, ε) είναι η ίδια τόσο κατά τη φόρτιση όσο και κατά την αποφόρτιση του υλικού (αντιστρεπτή διαδικασία).

33 Πυκνότητα Ενέργειας Παραμόρφωσης
Σε μια αύξηση της τάσης κατά dσ θα έχουμε μια αντίστοιχη παραμόρφωση dε και το καταναλισκώμενο έργο είναι σ dε. Σε μια αύξηση της παραμόρφωσης από ε=0 σε εf το έργο που θα παραχθεί στη μονάδα του όγκου είναι: W( ε f )= 0 ε f σd ε.

34 Πυκνότητα Ενέργειας Παραμόρφωσης
Η βαθμωτή συνάρτηση 𝑊( 𝜀 𝑓 ) λέγεται πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης (strain energy density) και αντιστοιχεί στο εμβαδόν που περικλείεται από την σ(ε), τον άξονα ε και την ευθεία ε = εf. Η W είναι θετικά ορισμένη ώστε η αύξηση της παραμόρφωσης να αντιστοιχεί σε απορρόφηση και όχι απόδοση έργου από το υλικό.

35 Πυκνότητα Ενέργειας Παραμόρφωσης
Για γραμμικά ελαστικά υλικά η πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης δίνεται από την εξίσωση: Στα ελαστικά υλικά, η W εκφράζεται ως συνάρτηση μόνο της παραμόρφωσης καθώς η επαναφόρτιση δεν επηρεάζεται από την ιστορία της φόρτισης. Στα ανελαστικά υλικά αντιθέτως, το έργο της πλαστικής παραμόρφωσης μετατρέπεται σε θερμότητα και η παραμένουσα παραμόρφωση δεν είναι δυνατόν να ανακτηθεί. W= 1 2 E ε 2 = 1 2 σε= σ 2 Ε

36 Διάγραμμα Τάσης-Παραμόρφωσης
Οι ακριβείς σχέσεις τάσεων-παραμορφώσεων σε παραμορφώσιμα σώματα είναι δύσκολο να διατυπωθούν με τη μορφή συναρτήσεων. Για πρακτικούς λόγους χρησιμοποιούνται εξιδανικευμένες σχέσεις που διατηρούν τα βασικά χαρακτηριστικά των υλικών που περιγράφουν και απλουστεύουν τους υπολογισμούς. Ένα ενδεικτικό διάγραμμα τάσεων- παραμορφώσεων για διάφορα υλικά απεικονίζεται στο σχήμα.

37 Διάγραμμα Τάσης-Παραμόρφωσης
Απλοποιημένες συμπεριφορές υλικών :

38 Τριδιάστατη εντατική κατάσταση
Ας θεωρήσουμε ένα στοιχείο του όγκου (δίνοντας διαστάσεις σε ένα σημείο). Η κάθε επιφάνειά του χαρακτηρίζεται από το κάθετο σ’ αυτή διάνυσμα. Στο σχήμα συμπίπτει με τη διεύθυνση ενός των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων. Κάθε συνιστώσα της τάσης εφοδιάζεται με δύο δείκτες: Έναν για τη διεύθυνση της τομής και Έναν για τη διεύθυνση της τάσης.

39 Τριδιάστατη εντατική κατάσταση
Για παράδειγμα, η τ yx δηλώνει τη διατμητική τάση επί του επιπέδου που είναι κάθετο στον άξονα y και έχει τη διεύθυνση του άξονα x. Οι ορθές τάσεις (σ) έχουν ίδιους τους δύο δείκτες και συνήθως συμβολίζονται με έναν εξ αυτών (π.χ. σx αντί για σxx). Σύμβαση προσήμων: Αν και οι δύο δείκτες έχουν τη θετική ή αρνητική διευθυνση των αξόνων οι τάσεις είναι θετικές. Σε διαφορετική περίπτωση είναι αρνητικές. Στο σχήμα όλες οι τάσεις είναι θετικές.

40 Τριδιάστατη εντατική κατάσταση
Η αξονική παραμόρφωση ενός σώματος προκαλεί παραμορφώσεις και στις άλλες διευθύνσεις... Για παράδειγμα, όταν η ράβδος επιμηκύνεται, στην εγκάρσια διεύθυνσή της συρρικνώνεται Πειραματικά αποδεικνύεται ότι για σ < 𝝈 𝒑 ο λόγος της εγκάρσιας συρρίκνωσης, προς τις δύο άλλες διευθύνσεις, ως προς την επιμήκυνση στη διεύθυνση φόρτισης είναι σταθερός για κάθε υλικό. Ο λόγος αυτός λέγεται λόγος του Poisson (ν).

41 Τριδιάστατη εντατική κατάσταση
Αν η αξονική παραμόρφωση είναι 𝜀 𝑥 και οι εγκάρσιες παραμορφώσεις ε y και ε z θα έχουμε: και Για αξονικές φορτίσεις και στους τρεις άξονες x, y, z θα πάρουμε: Συνδυάζοντας τα παραπάνω για ισότροπα και γραμμικά ελαστικά υλικά έχουμε: ν=− ε y ε x =− ε z ε x , ε y = ε z =−ν ε x =−ν σ Ε ε i = ε i x + ε i y + ε i z , i=x, y, z ε i = 1 E σ i −ν( σ j + σ k

42 Τριδιάστατη εντατική κατάσταση
Οι διατμητικές τάσεις για γραμμικά ελαστικά υλικά είναι ανάλογες των διατμητικών παραμορφώσεων και του μέτρου ολίσθησης (G): Οι διατμητικές παραμορφώσεις γ ij δηλώνουν τη μεταβολή αρχικά ορθής γωνίας των i και j αξόνων, σε radians. Συνολικά, η εντατική κατάσταση σε ένα σημείο περιγράφεται από τον τανυστή των τάσεων: Από τη συνθήκη της στατικής ισορροπίας προκύπτει ότι τ ij = τ ji . τ ij = G γ ij , i ≠j και i, j = x, y, z,

43 Τριδιάστατη εντατική κατάσταση
Η σχέση μεταξύ των συνιστωσών του τανυστή τάσης σε ένα σημείο P και του διανύσματος των τάσεων (p) που αντιστοιχεί σε μια τομή στο P, με μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα n, δίνεται από τον τύπο του Cauchy: Για τον προσδιορισμό του διανύσματος της τάσης στο σημείο P κατά τη διεύθυνση n αρκεί να υπολογιστούν οι συνιστώσες του τανυστή τάσης σε τρείς κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις στο Ρ. p (n) i = τ ij n j , i, j = x, y, z

44 Τριδιάστατη εντατική κατάσταση
Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό των συνιστωσών του τανυστή των τάσεων (στο διδιάστατο πρόβλημα) και κάνοντας χρήση των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων: έχουμε: (α) (β) και (γ)

45 Τριδιάστατη εντατική κατάσταση
Για να προσδιορίσουμε τις διευθύνσεις των επιπέδων της μέγιστης και ελάχιστης ορθής τάσης εξισώνουμε την πρώτη παράγωγο της (α) ως προς θ ή της (β), με μηδέν: και H παραπάνω σχέση ορίζει δύο κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις, τις κύριες διευθύνσεις (principal directions) και οι ορθές τάσεις που αντιστοιχούν σ’ αυτές (μέγιστη και ελάχιστη) λέγονται κύριες τάσεις (principal stresses). Στα κύρια επίπεδα οι διατμητικές τάσεις είναι μηδενικές.

46 Τριδιάστατη εντατική κατάσταση
Για το σχεδιασμό των κατασκευών είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και τις μέγιστες τιμές των συνιστωσών του τανυστή τ ij (i≠j). Για να προσδιορίσουμε τις κατευθύνσεις στο P για τις οποίες εμφανίζεται η μέγιστη διατμητική τάση μηδενίζουμε την πρώτη παράγωγο της (γ) ως προς θ,

47 Τριδιάστατη εντατική κατάσταση
Με βάση τις παραπάνω σχέσεις, οι ακραίες τιμές των τάσεων είναι:

48 Κύκλος του Mohr Οι βασικές εξισώσεις των δισδιάστατων μετασχηματισμών των τάσεων και οι σχέσεις μεταξύ των κυρίων τάσεων και της μέγιστης διατμητικής τάσης μπορούν να μελετηθούν και γραφικά χρησιμοποιώντας τον κύκλο του Mohr. Χρήσιμα στοιχεία διαγράμματος: Το κέντρο του κύκλου έχει συντεταγμένες (r, 0), όπου r = σ x + σ y 2 = σταθερό. Η διεύθυνση των επιπέδων της μέγιστης διατμητικής τάσης σχηματίζουν γωνία 45° με τα κύρια επίπεδα. Στο τ max οι ορθές τάσεις είναι ίσες, σ x = σ y =r.

49 Κύκλος του Mohr Οι βασικές εξισώσεις των δισδιάστατων μετασχηματισμών των τάσεων και οι σχέσεις μεταξύ των κυρίων τάσεων και της μέγιστης διατμητικής τάσης μπορούν να μελετηθούν και γραφικά χρησιμοποιώντας τον κύκλο του Mohr. Χρήσιμα στοιχεία διαγράμματος: Οι κύριοι άξονες λαμβάνονται με περιστροφή των αξόνων (x, y) στη φορά των δεικτών του ρολογιού κατά γωνία θ. Οι διατμητικές τάσεις που προκαλούν ροπή κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού θεωρούνται θετικές (μόνο για το σχεδιασμό του κύκλου του Mohr).

50 Κύκλος του Mohr Εφαρμογή
Ας θεωρήσουμε ένα επίπεδο στοιχείο που υπόκειται στην τάση εφελκυσμού σ x και τη διατμητική τάση τ xy . Το κέντρο του κύκλου του Mohr στο σύστημα (σ,τ) έχει συντεταγμένες: 𝝈 𝜜 = 𝝈 𝒙 𝟐 ,𝝉=𝟎

51 Κύκλος του Mohr Εφαρμογή Η ακτίνα του κύκλου είναι:
Εφαρμογή Η ακτίνα του κύκλου είναι: R = 𝝈 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝝉 𝒙𝒚 𝟐

52 Κύκλος του Mohr Εφαρμογή Το στοιχείο για να πάρει τον προσανατολισμό των κυρίων αξόνων πρέπει να περιστραφεί κατά τη φορά των δεικτών κατά γωνία: 𝛉 = 𝟏 𝟐 sin-1 𝝉 𝒙𝒚 𝒓

53 Γενικευμένος νόμος του Hooke
Ένα σώμα που παραμορφώνεται στην ελαστική περιοχή με βαθμιαία εφαρμογή φόρτισης, ενώ η θερμοκρασία παραμένει σταθερή, θα υπόκειται σε τάσεις που δίνονται από τη σχέση: όπου W η πυκνότητα της ενέργειας παραμόρφωσης. Η συνάρτηση W οφείλει να είναι τέτοια ώστε W ≥ 0 για να εξασφαλίζεται η ευστάθεια του υλικού, Επίσης, πρέπει W(0)=0 ώστε να αντιστοιχεί στην απαραμόρφωτη κατάσταση (μηδενική ενεργειακή κατάσταση). τ ij = 𝜕W 𝜕 ε ij

54 Γενικευμένος νόμος του Hooke
Για ένα ανισότροπο ελαστικό υλικό η σχέση τάσεων-παραμορφώσεων εκφράζεται ως: Λόγω συμμετρίας, το πλήθος των ανεξάρτητων ελαστικών σταθερών ανάγεται σε 21, ενώ περαιτέρω συμμετρίες ελαττώνουν τον αριθμό των ανεξάρτητων σταθερών

55 Γενικευμένος νόμος του Hooke
Στα ισότροπα υλικά, οι ελαστικές σταθερές πρέπει να είναι οι ίδιες για ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με οποιοδήποτε προσανατολισμό από το σημείο αναφοράς. Τα συνήθη υλικά, με εξαίρεση το ξύλο, ικανοποιούν μακροσκοπικά το μοντέλο του ισότροπου υλικού. Οι ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές για τέτοια υλικά είναι δύο (λ, μ): Οι σταθερές λ, μ σχετίζονται με τους συντελεστές του Lamé: όπου ν ο λόγος του Poisson. C 12 =λ, μ= 1 2 ( c 11 − c 12 ) μ=G= E 2(1+v) και λ = vE (1+v)(1−2v) , −1 < ν<0.5

56 Γενικευμένος νόμος του Hooke
Για τα περισσότερα υλικά ισχύει ν > 0, ενώ η τιμή ν=1/2 αντιστοιχεί σε ασυμπίεστα υλικά. Αρνητικό λόγο Poisson εμφανίζουν κάποια πολυμερή αφρώδη υλικά (polymer foam materials). Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω εξισώσεις μπορούν να υπολογιστούν οι τάσεις σε όρους παραμόρφωσης: Μετά την παραμόρφωση ο όγκος γίνεται: Η ποσότηταε= ε x + ε y + ε z εκφράζει τη μεταβολή της μονάδας του όγκου (διόγκωση). 𝛔 𝐢 =𝟐𝐆 𝛆 𝐢 +𝛌 ( 𝛆 𝐱 + 𝛆 𝐲 + 𝛆 𝐳 ), i = x, y, z 𝛕 𝐣𝐤 =𝐆 𝛄 𝐣𝐤 , j, k = x, y, z και j ≠k dx(1+ ε x ) dy(1+ ε y ) dz 1+ ε z −dxdydz ≅ (1+ ε x + ε y + ε z ) dxdydz

57 Υδροστατική εντατική κατάσταση
Στην περίπτωση της υδροστατικής εντατικής κατάστασης έχουμε: σ x = σ y =…=p (p>0) και για τις συνιστώσες της παραμόρφωσης: Στην περίπτωση υδροστατικής πίεσης η διόγκωση υπολογίζεται ως: όπου K=Ε/3(1−2ν) το μέτρο διόγκωσης της ελαστικότητας. 𝜏 xy = τ yz = τ zx =𝟎 𝛆 𝐱 = 𝛆 𝐲 = 𝛆 𝐳 =−( 𝟏−𝟐𝛎 𝚬 )p και 𝛄 𝐱𝐲 = 𝛄 𝐲𝐳 = 𝛄 𝐳𝐱 = 𝟎 𝛆 =− 𝟑 𝚬 (1−2ν)p =− 1 Κ p,

58 Θερμοκρασιακές μεταβολές
Οι θερμοκρασιακές μεταβολές είναι πηγή σοβαρών εντατικών καταστάσεων σε όλα τα υλικά. Οι σχέσεις τάσεων-παραμορφώσεων για θερμοκρασιακές μεταβολές (θ) είναι: όπου 𝛂 𝚻 ο συντελεστής θερμικής διαστολής. 𝛕 𝐢𝐣 =𝟐𝛍 𝐞 𝐢𝐣 +(𝛌𝛆− 𝛂 𝚻 𝟑𝛌+𝟐𝛍 𝛉 ) 𝛅 𝐢𝐣

59 Συμμετρίες Υλικών Ο γενικευμένος νόμος του Hooke αφορά ανισότροπα υλικά. Τα περισσότερα υλικά όμως έχουν συμμετρίες σε σχέση με ένα ή περισσότερα επίπεδα ή άξονες, μειώνοντας τον αριθμό των ανεξάρτητων ελαστικών σταθερών. i) Μονοκλινικά Υλικά (ένα επίπεδο συμμετρίας) Για την περίπτωση που το επίπεδο συμμετρίας είναι το (x1, x2), ο πίνακας C παίρνει τη μορφή: Ο αριθμός των ανεξάρτητων ελαστικών σταθερών μειώνεται σε 13.

60 Συμμετρίες Υλικών ii) Ορθότροπα Υλικά (τρία επίπεδα συμμετρίας)
Η ύπαρξη των δύο ορθογώνιων συμμετρικών επιπέδων συνεπάγεται την ύπαρξη του τρίτου. Ο πίνακας C προκύπτει προσθέτοντας ένα επίπεδο συμμετρίας ορθογώνιο σε σχέση με το επίπεδο συμμετρίας των μονοκλινικών υλικών και έχει τη μορφή: Ο αριθμός των ανεξάρτητων ελαστικών σταθερών μειώνεται σε 9.

61 Συμμετρίες Υλικών iii) Σύνθετα υλικά
Η μορφή ενός σύνθετου υλικού μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από ίνες εμβαπτισμένες σε έναν κύλινδρο (βλέπε σχήμα). Τα υλικά αυτά συμπεριφέρονται όπως τα ορθότροπα υλικά, έχοντας όμως έναν ακόμα άξονα περιστροφής. Το υλικό αποκαλείται εγκάρσια ισότροπο υλικό. Η αλλαγή στο σύστημα αναφοράς που προκαλείται από την αυθαίρετη περιστροφή ως προς τον άξονα, πρέπει να αφήνει τον C αναλλοίωτο, οπότε: Ο αριθμός των ανεξάρτητων ελαστικών σταθερών μειώνεται σε 5.

62 Συμμετρίες Υλικών iv) Ισότροπα υλικά
Ένα υλικό θεωρείται ισότροπο, αν οι ιδιότητές του είναι ανεξάρτητες από την επιλογή των αξόνων αναφοράς. Τα συνήθη υλικά, με εξαίρεση το ξύλο, συνήθως ικανοποιούν αυτό το μοντέλο σε μακροσκοπικό επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή ο C πρέπει να παραμένει αμετάβλητος σε οποιαδήποτε αλλαγή ορθοκανονικής βάσης. Η εφαρμογή αυτής της ιδιότητας σε ένα σύνθετο υλικό οδηγεί στις σχέσεις: Ο αριθμός των ανεξάρτητων σταθερών μειώνεται σε 2.

63 Συμμετρίες Υλικών iv) Ισότροπα υλικά
Εισάγοντας τους συντελεστές Lamè (λ, μ), έχουμε: και Σύμφωνα με τα παραπάνω ο νόμος του Hooke γράφεται ως: όπου η διόγκωση ( dilation) του υλικού.

64 Γενικό πρόβλημα της μηχανικής του παραμορφώσιμου σώματος
Γενικό πρόβλημα της μηχανικής του παραμορφώσιμου σώματος Το γενικό πρόβλημα της μηχανικής του παραμορφώσιμου σώματος συνίσταται στον προσδιορισμό των u i και των τ ij και έχει τη διατύπωση: Εξισώσεις κίνησης: Κινηματικές σχέσεις: (στο πλαίσιο των απειροστών παραμορφώσεων) Καταστατικός νόμος (σχέση τάσεων-παραμορφώσεων):

65 Γενικό πρόβλημα της μηχανικής του παραμορφώσιμου σώματος
Γενικό πρόβλημα της μηχανικής του παραμορφώσιμου σώματος Καταστατικός νόμος (σχέση τάσεων-παραμορφώσεων): Για ελαστικά ισότροπα υλικά έχει τη μορφή:

66 Εξισώσεις ισορροπίας (και κίνησης) σε όρους των μετατοπίσεων
Εξισώσεις ισορροπίας (και κίνησης) σε όρους των μετατοπίσεων Αν εισάγουμε την εξίσωση: Στις εξισώσεις: Και αυτές στην εξίσωση ισορροπίας: θα πάρουμε:

67 Εξισώσεις ισορροπίας (και κίνησης) σε όρους των μετατοπίσεων
Εξισώσεις ισορροπίας (και κίνησης) σε όρους των μετατοπίσεων όπου: και Βi, i = x, y, z είναι οι μαζικές δυνάμεις ανά μονάδα όγκου. Το σώμα υπόκειται σε συνοριακές και αρχικές συνθήκες (boundary and initial conditions). Οι συνθήκες αυτές είναι:

68 Κάμψη Παράδειγμα κάμψης: το αποτέλεσμα της εφαρμογής κάθετων δυνάμεων ή ροπών σε μία οριζόντια δοκό. Όταν μια δοκός υπόκειται σε κάμψη το ένα μέρος της θλίβεται και το άλλο εφελκύεται. Το επίπεδο που χωρίζει τις δύο περιοχές λέγεται ουδέτερο επίπεδο (neutral plane). Η αλληλοτομία του επιπέδου αυτού και του xy-επιπέδου λέγεται ουδέτερος άξονας (neutral axis).

69 Κάμψη 𝑦 F α β 𝑦 x α β x Compression Neutral Plane Compression Tension

70 Κάμψη Στο σχήμα απεικονίζονται τα διαγράμματα των ροπών και διατμητικών δυνάμεων δοκών (αμφιέρειστης και προβόλου):

71 Κάμψη Θα θεωρήσουμε ότι η δοκός υπόκειται σε καθαρή κάμψη (pure bending), M, και οι διατομές της παραμένουν επίπεδες. Θεωρώντας γραμμική κατανομή των ορθών τάσεων, οι τάσεις εμφανίζονται στο παρακάτω διάγραμμα: σ x = σ max y h 2

72 Κάμψη M=2 ο h 2 σ x bydy =2b σ max ( h 2 ) 3 1 3 1 h/2 = σ max I 1 h/2
Αλλά, όπου I= b h η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς τον ουδέτερο άξονα. Και H σ max δεν μπορεί να ξεπερνά τη επιτρεπόμενη τιμή από τους κανονισμούς. M=2 ο h 2 σ x bydy =2b σ max ( h 2 ) h/2 = σ max I 1 h/2 σ max = M h/2 I σ x = Mx y I και

73 Κάμψη Για παραβολική κατανομή των διατμητικών τάσεων:
όπου k είναι συντελεστής προς προσδιορισμό. Άρα: τ xy =−k 1 h 3 ( h 2 4 − y 2 ) Q=2 ο h 2 τ xy b dy = 1 6 bk k=−6 Q b τ xy =− 6Q b h 3 ( h 2 4 − y 2 ) τ max = 3 2 Q bh και

74 Κάμψη Στη συνέχεια δίνονται τα γεωμετρικά στοιχεία και οι μέγιστες τάσεις σε δοκούς ορθογωνικής και κυκλικής διατομής: Ορθογωνική: Κυκλική: Κυκλική με εσωτερική κυκλική οπή ακτίνας r i :

75 Κάμψη (Εφαρμογή 1) Για παράδειγμα, για μηριαίο οστό κυκλικής διατομής με εξωτερική ακτίνα r 0 και εσωτερική ακτίνα r i που υπόκειται σε διάτμηση και κάμψη (Q, M) ισχύει: σ max = M r 0 I τ max = 2Q S και Όπου S και I η επιφάνεια και η ροπή αδράνειας κυκλικής διατομής με εσωτερική οπή: I= π ( r 0 4 − r i )· S=π ( r 0 2 − r i 2 ),

76 Κάμψη (Εφαρμογή 2) Μια τομή δοκού ορθογωνικής διατομής υπόκειται σε μια καμπτική ροπή Μ και μια διατμητική δύναμη Q. Να προσδιοριστούν οι κύριες τάσεις και διευθύνσεις σε ένα σημείο Α της τομής. Εφαρμόζοντας τα συμπεράσματα αυτής της ενότητας θα έχουμε: Αν το Α είναι άνω του ουδετέρου άξονα τότε σ x <0 και τ xy <0. Με τις τιμές των τάσεων σ x και τ xy σχεδιάζουμε τον κύκλο του Mohr από όπου προσδιορίζονται τόσο οι κύριες τάσεις όσο και οι κύριες διευθύνσεις για το σημείο Α.

77 Κάμψη (Εφαρμογή 2) Σχόλιο
Η μελέτη της εντατικής κατάστασης δοκού μοναδιαίου πλάτους και ύψους h υπό ομοιόμορφη φόρτιση, στο πλαίσιο της θεωρίας ελαστικότητας, οδηγεί στην κατανομή των τάσεων:

78 Στρέψη Σε μια κυκλική ράβδο πακτωμένη στο ένα άκρο και υποκείμενη σε μια ροπή στρέψης Μ στο άλλο άκρο της η παραμόρφωση και η γωνία περιστροφής μιας ακτίνας της διατομής φαίνονται στο σχήμα: Για τη γωνία γ ισχύει: και για τη γωνία θ Στην ανάλυση θεωρείται ότι οι διατομές της ράβδου παραμένουν επίπεδες και απλά στρέφονται από τη δράση της ροπής στρέψης. =𝛄 𝐥 𝐫 𝐨 𝛄= 𝐬 𝐥

79 Μ= ο r o 2πrτrdr = 2π l r o τ max r o 4 l
Στρέψη Θεωρώντας ότι η κατανομή των τάσεων κατά μήκος της ακτίνας της διατομής ( 𝐫 𝐨 ) είναι γραμμική, τότε: Επίσης, για τη μέγιστη ροπή στρέψης ισχύει: Άρα: και όπου J = π r o είναι η πολική ροπή αδρανείας της διατομής της ράβδου. Στην περίπτωση σωληνοειδούς ράβδου έχουμε: τ = r r o τ max Μ= ο r o 2πrτrdr = 2π l r o τ max r o 4 l 𝛕 𝐦𝐚𝐱 = 𝐫 𝐨 𝐌 𝐉 𝛕= 𝚳𝐫 𝐉

80 Στρέψη (Εφαρμογή) Αν υποθέσουμε ότι το υλικό της ράβδου είναι ισότροπο και γραμμικά ελαστικό τότε: και Εφαρμογή: Ένα οστό κυκλικής διατομής υπόκειται σε ροπή στρέψης Μ. Να σκιαγραφηθεί η εντατική κατάσταση σε ένα στοιχείο της παράπλευρης επιφάνειας του οστού.

81 Στρέψη (Εφαρμογή) Λύση: Η διατμητική τάση σε ένα απειροστό στοιχείο δίνεται από τη σχέση: για να ισορροπεί το στοιχείο του οστού πρέπει να επικρατεί η κατάσταση που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα:

82 Στρέψη (Εφαρμογή) Αν σχεδιάσουμε με βάση την εντατική κατάσταση αυτή τον κύκλο του Mohr γίνεται σαφές ότι το οστό υπόκειται και σε ορθές τάσεις ( σ max = τ max ) όπως απεικονίζεται στο επόμενο σχήμα:

83 Στρέψη Από τις παραπάνω σχέσεις εξάγονται τα συμπεράσματα: α) η παραμόρφωση και οι τάσεις είναι ευθέως ανάλογες της ροπής στρέψης Μ, και β) όσο πιο μεγάλη η τιμή του G τόσο πιο δύσκολο να παραμορφωθεί η ράβδος. Η ράβδος εκτός από τις διατμητικές τάσεις στα κάθετα στον z- άξονα επίπεδα υπόκειται σε διατμητικές τάσεις και στα επίπεδα που περιλαμβάνουν τον z-άξονα.

84 Στρέψη Η ράβδος που υπόκειται σε στρέψη υπόκειται και σε ορθές τάσεις, αφού έχουμε μεταβολή του μήκους (π.χ, της ΑΒ). Ο τρόπος παραμόρφωσης της ΑΒ απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Τα πρόσημα των τάσεων εξαρτώνται από το σύστημα συντεταγμένων ενώ η βασική σύμβαση παραμένει απαραβίαστη. Για να σχηματίσουμε μια εικόνα της πλαστικής συμπεριφοράς σε στρέψη θα εξετάσουμε την ιδανική περίπτωση συμπαγούς κυκλικής ράβδου ακτίνας r=c από ελαστοπλαστικό υλικό.

85 Στρέψη Για ράβδο σε στρέψη, όταν τ ≤ τ y η κατανομή της είναι γραμμική όπως φαίνεται και στο σχήμα (α) και ισχύουν οι εξισώσεις παραπάνω. Αυξάνοντας τη ροπή στρέψης αναπτύσσεται μια πλαστική περιοχή στη ράβδο γύρω από έναν ελαστικό πυρήνα r e (σχήμα β). Στην πλαστική περιοχή (r > r e ) η τάση είναι ομοιόμορφη, ενώ στον ελαστικό πυρήνα (r ≤ r e ) μεταβάλλεται γραμμικά. Η ροπή στρέψης σε αυτή την περίπτωση είναι: Μ=2π 0 r e r 2 ( τ Y r e r)dr + 2π r e c r 2 τ Y dr = 4 3 M Y (1− r e 3 c 3 ).

86 Κριτήρια αστοχίας Μια κατασκευή πρέπει να σχεδιάζεται και να επιλέγεται το υλικό κατασκευής της με τέτοιο τρόπο ώστε οι τάσεις που αναπτύσσονται σ’ αυτή κατά τη διάρκεια λειτουργίας της να είναι σημαντικά μικρότερες των μέγιστων επιτρεπομένων για το υπόψη υλικό. Για παράδειγμα, αν ένα υλικό υπόκειται μόνο σε δυνάμεις εφελκυσμού, τότε η μέγιστη αναπτυσσόμενη τάση στο υλικό πρέπει να είναι μικρότερη της τάσης διαρροής.

87 Κριτήρια αστοχίας Για λόγους ασφαλείας των κατασκευών έχουν προταθεί διάφορα κριτήρια αστοχίας τους. Μερικά από τα κριτήρια αυτά είναι: α) Της μέγιστης διατμητικής τάσης -Αυτό το κριτήριο βασίζεται στην παρατήρηση σύμφωνα με την οποία η διαρροή σε όλκιμα υλικά προκαλείται από ολίσθηση του υλικού σε πλάγιες επιφάνειες και αυτό οφείλεται στις διατμητικές τάσεις. -Σύμφωνα με το κριτήριο αυτό, ένα δομικό στοιχείο είναι ασφαλές όταν η τ max παραμένει μικρότερη από την αντίστοιχη τιμή της τ κατά την έναρξη της διαρροής του στοιχείου.

88 Κριτήρια αστοχίας Για λόγους ασφαλείας των κατασκευών έχουν προταθεί διάφορα κριτήρια αστοχίας τους. Μερικά από τα κριτήρια αυτά είναι: β) Της μέγιστης ενέργειας Το κριτήριο αυτό είναι μεγάλης αποδοχής και είναι γνωστό ως κριτήριο του von Mises. Σύμφωνα με το κριτήριο αυτό, ένα δομικό στοιχείο είναι ασφαλές όσο η μέγιστη τιμή της ενέργειας διατμητικής παραμόρφωσης ανά μονάδα όγκου στο υλικό του παραμένει μικρότερη από την ενέργεια διατμητικής παραμόρφωσης ανά μονάδα όγκου που απαιτείται για να προκαλέσει διαρροή σε ένα δοκίμιο μονοαξονικού εφελκυσμού από το ίδιο υλικό.

89 Κριτήρια αστοχίας Για λόγους ασφαλείας των κατασκευών έχουν προταθεί διάφορα κριτήρια αστοχίας τους. Μερικά από τα κριτήρια αυτά είναι: γ) Της μέγιστης ορθής τάσης -Τα ψαθυρά υλικά χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι, όταν υπόκεινται σε εφελκυσμό, αστοχούν ξαφνικά μέσω ρωγμών ή θραύσης χωρίς προηγούμενη διαρροή. -Σύμφωνα με το κριτήριο αυτό, για τα ψαθυρά υλικά, ένα δομικό στοιχείο αστοχεί όταν η μέγιστη ορθή τάση σ’ αυτό πάρει την τιμή της οριακής αντοχής του πειράματος.

90 Βιβλιογραφία Χ. Μασσαλάς, Β. Ποτσίκα, Δ. Φωτιάδης, “Εισαγωγή στην Εμβιομηχανική”, Εκδόσεις Gutenberg, Αθήνα 2018. Coswami T., “Human Musculoskeletal Biomechanics”, Interhweb. Org, 2011. Fung Y.C., “Biomechanics-mathematical properties of living tissues”, Springer-Verlag, Gordon J.E., “Structures-or why things don’t fall down”, Penguin Books, 1991. Knudson D., “Fundamentals of Biomechanics”, Springer, 2007. Ozkaya N., Nordin M., Goldsheyder D., Leger D., “Fundamentals of Biomechanics”, Springer, 2012. Bell F., “Principles of Mechanics and Biomechanics”, Stanley Thornes (Publishers) Ltd, Beer F.P., Johnston, “Mechanics of Materials-translated in Greek by Σοφία Παπαργύρη-Πέγιου”, Εκδόσεις Τζιόλα, 1999. Chou C.P., Pagano N.J., “Elasticity”, Dover Publications, 1967.

91 Βιβλιογραφία Fung Y. C., “A First Course In Continuum Mechanics” Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J Fischer T., “Materials Science” (for engineering students), Academic Press, 2009. Fotiadis D.I., Protopappas V.C. and Massalas C.V., “Elasticity”, Wiley Encyclopedia of Biomechanical Engineering, John Wiley and Sons, 2006. Mασσαλάς Χ.Β., “Eλαστική και πλαστική συμπεριφορά των υλικών”, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, 2002. Mασσαλάς Χ.Β., “Mαθηματική θεωρία ελαστικότητας”, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Ozkaya N., Nordin M., Goldsheyder D., Leger D., “Fundamentals of Biomechanics”, Springer, 2012. Yijing L., Jerney B., “Stable Orthotropic Materials”, Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Computer Animation, 2014.