Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Πίνακας Συχνοτήτων Αθροιστική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Διαγράμματα Επιμέλεια Κόλλας Γ. Αντώνιος [Μαθηματικός]

Παρουσίαση με θέμα: "Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Πίνακας Συχνοτήτων Αθροιστική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Διαγράμματα Επιμέλεια Κόλλας Γ. Αντώνιος [Μαθηματικός]"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1

2 Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Πίνακας Συχνοτήτων Αθροιστική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Διαγράμματα Επιμέλεια Κόλλας Γ. Αντώνιος [Μαθηματικός]

3 ViVi Πίνακας Συχνοτήτων...

4 Ας υποθέσουμε πως θέλουμε να αναλύσουμε τα αποτελέσματα της γραπτής εξέτασης στο μάθημα «Πληκτικά Μαθηματικά», από ένα δείγμα 40 φοιτητών.

5 «Η βαθμολογία στο μάθημα των Πληκτικών Μαθηματικών» Για να μπορέσουμε να επεξεργαστούμε τις μετρήσεις με μαθηματικό τρόπο, χρειάζεται να ορίσουμε μια μεταβλητή (δηλ. ένα όνομα) - έστω Χ - η οποία θα αντιπροσωπεύει την ποσότητα την οποία μετράμε. Άρα... Το σύνολο των μετρήσεων που έχουμε κάνει (δηλαδή, το πόσες βαθμολογίες μετρήσαμε) λέγεται μέγεθος ν του δείγματος και για το παράδειγμά μας είναι: Συνεπώς, στο παράδειγμά μας θα είναι: Χ = Αυτό που μετράμε... ν = 40

6 Έστω, λοιπόν, ότι αφού εξετάστηκαν οι 40 φοιτητές συγκεντρώθηκαν οι παρακάτω βαθμολογίες: 5,3,7,6,2,10,8,6,4,4, 6,9,1,5,5, 7,7,3,7,6, 5,3,1,2,3, 4,1,4,5,1, 10,8,6,7,2, 1,9,4,8,5

7 Μια καλή ιδέα, γι’ αρχή, θα ήταν να ταξινομήσουμε τις βαθμολογίες, ξαναγράφοντάς τες από τη μικρότερη προς τη... 1,1,1,1,1,2,2,2, 3, 3 3,3,4,4,4,4,4,5, 5, 5, 5,5,5,6,6,6,6,6, 7, 7, 7,7,7,8,8,8,9,9,10,10

8 1, 1,1,1,1 2, 2,2 3, 3,3,3 4, 4,4,4,4 5, 5,5,5,5,5 6, 6,6,6,6 7, 7,7,7,7 8, 8,8 9, 9 10,10 Φυσικά, ακόμα καλύτερα θα ήταν κάπως έτσι:

9 το 1 → 5 φορές το 2 → 3 φορές το 3 → 4 φορές το 4 → 5 φορές το 5 → 6 φορές το 6 → 5 φορές το 7 → 5 φορές το 8 → 3 φορές το 9 → 2 φορές το 10 → 2 φορές Υπάρχει, όμως, και μια εξυπνότερη ιδέα: αντί να γράφουμε πολλές φορές τον ίδιο αριθμό, είναι προτιμότερο να τον γράφουμε μόνο μια φορά και δίπλα να σημειώνουμε το πόσες φορές τον συναντάμε, δηλαδή...

10 Τώρα, αντί να γράφουμε συνεχώς τη λέξη «φορές», θα ήταν προτιμότερο να φτιάξουμε ένα μικρό πίνακα: ΒαθμολογίαΠόσες φορές 15 23 34 45 56 65 75 83 92 102

11 Οι διάφορες βαθμολογίες που διαβάζουμε στην πρώτη στήλη δεν είναι παρά οι διαφορετικές «τιμές» που μπορεί να πάρει η μεταβλητή Χ την οποία μετράμε. Οι διαφορετικές αυτές τιμές, που παίρνει γενικά το μέγεθος Χ, συμβολίζονται με x i. Συνεπώς: x 1 = 1 x 6 = 6 x 2 = 2 x 7 = 7 x 3 = 3 x 8 = 8 x 4 = 4 x 9 = 9 x 5 = 5x 10 = 10 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = x 9 = x 10 = Το i είναι απλά ένα είδος μετρητή, που παίρνει τις τιμές i = 1, 2, 3, …

12 Επιπλέον, το πόσες φορές μετράμε την κάθε τιμή, δηλαδή οι αριθμοί που καταγράψαμε στη 2 η στήλη, ονομάζεται «συχνότητα» της αντίστοιχης τιμής. Συνεπώς: ν 1 = 5 ν 6 = 5 ν 2 = 3 ν 7 = 5 ν 3 = 4 ν 8 = 3 ν 4 = 5 ν 9 = 2 ν 5 = 6ν 10 = 2 ν 1 = ν 2 = ν 3 = ν 4 = ν 5 = ν 6 = ν 7 = ν 8 = ν 9 = ν 10 = Η συχνότητα κάθε τιμής x i συμβολίζεται με ν i. i -σιχτίρ με τα μαθηματικά !!!

13 Έτσι, ο πίνακας που είχαμε φτιάξει αρχικά γράφεται τώρα ακριβέστερα, όπως φαίνεται παρακάτω, και ονομάζεται: Τιμές x i Συχνότητα ν i 15 23 34 45 56 65 75 83 92 102

14 ... γενικότερα τις συχνότητες που εμφανίζεται καθεμία απ’ τις τιμές x i, τότε θα βρούμε το πλήθος όλων των μετρήσεων, δηλαδή το μέγεθος ν του δείγματος. Συνεπώς: Παρατηρώντας τον πίνακα, είναι προφανές πως αν προσθέσουμε: Τιμές x i Συχνότητα ν i 1 2 34 45 56 65 75 83 92 102 Άθροισμα (*) Το κ είναι απλά ένας συμβολισμός που δείχνει πως έχουμε υποθετικά κ διαφορετικές τιμές x i. ν = ν 1 + ν 2 +... + ν κ * ν = 40 τις φορές που εμφανίζεται η τιμή «1» (δηλ. τη συχνότητα ν 1 ) τις φορές που εμφανίζεται η τιμή «2» (δηλ. τη συχνότητα ν 2 ) και τα λοιπά...

15 Πόσοι φοιτητές έγραψαν 9 Πόσοι φοιτητές έγραψαν έως και 7 Πόσοι φοιτητές έγραψαν το πολύ 4 Πόσοι φοιτητές έγραψαν λιγότερο από 5 Πόσοι φοιτητές έγραψαν περισσότερο από 5 Πόσοι φοιτητές έγραψαν τουλάχιστον 5 Πόσοι φοιτητές έγραψαν μεταξύ 8 και 10 (συμπεριλαμβανομένων) Πόσοι φοιτητές έγραψαν πάνω από τη βάση αλλά λιγότερο από 8 κλπ... Με τη βοήθεια της στήλης των συχνοτήτων μπορούμε τώρα ν’ απαντήσουμε, εύκολα, σε ένα σωρό ερωτήσεις των παρακάτω τύπων: Το ζητούμενο σε καθεμία από τις ερωτήσεις αυτές είναι, πρωτίστως, να καταλάβουμε τι ακριβώς μας ζητάει και ποιες περιπτώσεις περιλαμβάνει. Ή, με άλλα λόγια, να μπορέσουμε να «μεταφράσουμε» τη γλώσσα της γραμματικής στη γλώσσα των μαθηματικών.

16 Βαθμολογία που Έγραψαν... Μαθηματική σχέση που αντιστοιχεί Συχνότητες που αντιστοιχούν 9 (ακριβώς) Σημαίνει αυτό (ακριβώς) που λέει! x = 9 ν9ν9 2 έως και 7 Έγραψαν: 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7 x ≤ 7 ν 1 + ν 2 +... + ν 7 33 το πολύ 4 Έγραψαν: 1, 2, 3, άντε και 4 x ≤ 4 ν 1 + ν 2 + ν 3 + ν 4 17 λιγότερο από 5 Έγραψαν: 1, 2, 3, 4 (όχι όμως και 5) x < 5 ν 1 + ν 2 + ν 3 + ν 4 17 περισσότερο από 5 Έγραψαν: 6, 7, 8, 9, 10 (όχι όμως 5) x > 5 ν 6 +ν 7 +ν 8 +ν 9 +ν 10 17 τουλάχιστον 7 Έγραψαν: 7, 8, 9 & 10 x ≥ 7 ν 7 + ν 8 + ν 9 + ν 10 12 μεταξύ 8 και 10 (συμπεριλαμβανομένων) Έγραψαν: 8, 9, 10 8 ≤ x ≤ 10 ν 8 + ν 9 + ν 10 7 πάνω από τη βάση αλλά λιγότερο από 8 Έγραψαν: 5, 6, 7 (όχι όμως κι 8) 5 ≤ x < 8 ν 5 + ν 6 + ν 7 16 Αν θες να συμβουλευτείς τον πίνακα, μετακινήσου μπροστά & πίσω (με τα βελάκια ή το ποντίκι)...

17 Τιμές x i Συχνότητα ν i 15 23 34 45 56 65 75 83 92 102 Άθροισμα 40

18 ΝiΝi Αθροιστική Συχνότητα...

19 Αν θέλουμε ν’ απαντούμε κατευθείαν στις ερωτήσεις του τύπου «το πολύ» τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια νέα στήλη, που θα την ονομάζουμε «αθροιστική συχνότητα» και θα τη συμβολίζουμε με Ν i. Τη στήλη αυτή θα τη φτιάχνουμε ως εξής:

20 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i 15 23 34 45 56 65 75 83 92 102 Άθροισμα 40 το ίδιο 5 Αντιγράφουμε στην πρώτη σειρά την 1 η συχνότητα όπως ακριβώς είναι (δηλ. τη ν 1 ) και συνεχίζουμε σε κάθε νέα σειρά προσθέτοντας μία-μία όλες τις συχνότητες, φτιάχνοντας έτσι ένα κλιμακωτό άθροισμα. Ας το δούμε αυτό να γίνεται, σταδιακά, στο παράδειγμά μας...

21 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i 155 23 34 45 56 65 75 83 92 102 Άθροισμα 40 προσθέτω

22 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i 155 23 34 45 56 65 75 83 92 102 Άθροισμα 40 προσθέτω ίσον = 8

23 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i 155 238 34 45 56 65 75 83 92 102 Άθροισμα 40 προσθέτω

24 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i 155 238 34 45 56 65 75 83 92 102 Άθροισμα 40 προσθέτω ίσον = 12

25 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i 155 238 3412 45 56 65 75 83 92 102 Άθροισμα 40 προσθέτω

26 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i 155 238 3412 45 56 65 75 83 92 102 Άθροισμα 40 προσθέτω ίσον = 17

27 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i 155 238 3412 4517 56 65 75 83 92 102 Άθροισμα 40 …και με την ίδια λογική... 23 28 33 36 38 40

28 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i 155 238 3412 4517 5623 6528 7533 8336 9238 10240 Άθροισμα 40

29 fifi Σχετική Συχνότητα...

30 Στο παράδειγμά μας, δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο ν’ αντιληφθούμε τι σημαίνει ότι 6 άτομα στα 40 έγραψαν τη βάση, γιατί οι αριθμοί είναι μικροί και στρογγυλοί. Τι θα συνέβαινε όμως αν είχαμε 373 άτομα στα 475 ή 1.430 άτομα στα 9.822; Όταν δηλαδή στο δημοτικό λέγαμε ότι από τα 8 κομμάτια μιας πίτσας φάγαμε τα 6, τότε το κλάσμα 6/8 = 0,75 σήμαινε ότι φάγαμε το 0,75∙100 = 75% της πίτσας! Γενικότερα, κάθε φορά που αντιμετωπίζουμε μεγάλα και «περίεργα» νούμερα και ζητάμε να κατανοήσουμε τί σχέση έχει το μέρος με το σύνολο, τότε χρησιμοποιούμε την έννοια του ποσοστού. Όπως γνωρίζουμε, το ποσοστό το μετράμε συνήθως με βάση το 100, δηλαδή «επί τοις εκατό (%)», όπως συνηθίζουμε να λέμε. Άρα:

31 Στη Στατιστική το μέγεθος εκείνο που προσδιορίζει τι ποσοστό ενός δείγματός καταλαμβάνει κάποια τιμή x i λέγεται «σχετική συχνότητα» και συμβολίζεται με f i. Σύμφωνα με όσα είπαμε πριν θα είναι, λοιπόν: πχ. Για το παράδειγμα των 40 φοιτητών είναι: f 1 = 5 / 40 = 0,125 Συνήθως, μετατρέπουμε το δεκαδικό που προκύπτει σε ποσοστό % - όπως ήδη έχουμε πει - πολλαπλασιάζοντας το με το 100. Έτσι προκύπτει μια ακόμα στήλη: η σχετική συχνότητα (%). Δηλαδή... f 1 = 0,125 ή 0,125∙100 = 12,5 %.

32 Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της f i αποκτάει 2 νέες στήλες: Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) 155 238 3412 4517 5623 6528 7533 8336 9238 10240 Άθροισμα 40 0,125 ∙ 100 12,5

33 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) 1550,12512,5 238 3412 4517 5623 6528 7533 8336 9238 10240 Άθροισμα 40 0,075 ∙ 100 7,5 Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της f i αποκτάει 2 νέες στήλες:

34 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) 1550,12512,5 2380,0757,5 3412 4517 5623 6528 7533 8336 9238 10240 Άθροισμα 40 0,1010 ∙ 100 Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της f i αποκτάει 2 νέες στήλες:

35 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) 1550,12512,5 2380,0757,5 34120,1010 45170,12512,5 56230,1515 65280,12512,5 75330,12512,5 83360,0757,5 92380,055 102400,055 Άθροισμα 401100 f 1 = f 2 = f 3 = f 4 = f 5 = f 6 = f 7 = f 8 = f 9 = f 10 = …και τα λοιπά... Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της f i αποκτάει 2 νέες στήλες:

36 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Τα αθροίσματα 1 και 100 δεν είναι τυχαία, παρά είναι εκείνα ακριβώς που πρέπει να βρίσκουμε ΠΑΝΤΑ στη βάση της στήλης f i και f i (%), αντίστοιχα. f 1 + f 2 + … + f κ = 1 ή f 1 % + f 2 % + … + f κ % = 100% Με άλλα λόγια στη μαθηματική γλώσσα, αυτό που πρέπει να ισχύει είναι: Μικρές αποκλίσεις είναι δυνατό να συμβούν, πχ. 0,98 ή 1,01 εξαιτίας στρογγυλοποιήσεων που πιθανόν έχουν γίνει στους προηγούμενους υπολογισμούς. Δεν πρέπει να μας ανησυχεί κάτι τέτοιο! Αυτός είναι κι ένας τρόπος να κάνουμε έμμεσα την επαλήθευσή μας!

37 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε 9 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε έως και 7 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε το πολύ 4 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε λιγότερο από 5 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε περισσότερο από 5 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε τουλάχιστον 5 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε μεταξύ 8 και 10 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε πάνω απ’ τη βάση & λιγότερο από 8 κλπ... Με τη βοήθεια της στήλης των σχετικών συχνοτήτων μπορούμε τώρα ν’ απαντήσουμε, εύκολα, στις ίδιες ερωτήσεις που απαντήσαμε νωρίτερα, όταν αντί για απόλυτους αριθμούς μας ζητάνε ποσοστό (%) : Στον επόμενο πίνακα, παρατηρούμε ότι αθροίζουμε ακριβώς τις ίδιες περιπτώσεις, μόνο που κοιτάζουμε στη στήλη των f i αντί εκείνης των ν i.

38 Βαθμολογία που έγραψαν... Μαθηματική σχέση που αντιστοιχεί Σχετικές συχνότητες 9 (ακριβώς) Σημαίνει αυτό (ακριβώς) που λέει! x = 9 f9f9 5 % έως και 7 Έγραψαν: 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7 x ≤ 7 f 1 + f 2 +... + f 7 82,5 % το πολύ 4 Έγραψαν: 1, 2, 3, άντε και 4 x ≤ 4 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 42,5 % λιγότερο από 5 Έγραψαν: 1, 2, 3, 4 (όχι όμως και 5) x < 5 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 42,5 % περισσότερο από 5 Έγραψαν: 6, 7, 8, 9, 10 (όχι όμως 5) x > 5 f 6 + f 7 + f 8 + f 9 + f 10 42,5 % τουλάχιστον 7 Έγραψαν: 7, 8, 9 & 10 x ≥ 7 f 7 + f 8 + f 9 + f 10 30 % μεταξύ 8 και 10 (συμπεριλαμβανομένων) Έγραψαν: 8, 9, 10 8 ≤ x ≤ 10 f 8 + f 9 + f 10 17,5 % πάνω από τη βάση αλλά λιγότερο από 8 Έγραψαν: 5, 6, 7 (όχι όμως κι 8) 5 ≤ x < 8 f 5 + f 6 + f 7 40 % Αν θες να συμβουλευτείς τον πίνακα, μετακινήσου μπροστά & πίσω (με τα βελάκια ή το ποντίκι)...

39 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) 1550,12512,5 2380,0757,5 34120,1010 45170,12512,5 56230,1515 65280,12512,5 75330,12512,5 83360,0757,5 92380,055 102400,055 Άθροισμα 401100

40 FiFi Αθροιστική Σχετική Συχνότητα...

41 Στη συνέχεια, με τον ίδιο τρόπο που κατασκευάσαμε τη στήλη Ν i (δηλ. τις αθροιστικές συχνότητες) κοιτάζοντας τη στήλη ν i (δηλ. τις συχνότητες)… Η «αθροιστική σχετική συχνότητα» συμβολίζεται με F i. Από μια άποψη, εκφράζει για τα αντίστοιχα Ν i ό,τι εκφράζει και η f i για τα αντίστοιχα v i, δηλαδή το ποσοστό. Για το λόγο αυτό, πολύ συχνά, δίπλα στην απλή στήλη F i θα κατασκευάζουμε και την Fi (%), απλά πολλαπλασιάζοντας με το 100. …θα κατασκευάσουμε τη στήλη F i (δηλ. τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες) κοιτάζοντας τη στήλη f i (δηλ. τις σχετικές συχνότητες)...

42 Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται... Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i (%) 1550,12512,5 2380,0757,5 34120,1010 45170,12512,5 56230,1515 65280,12512,5 75330,12512,5 83360,0757,5 92380,055 102400,055 Άθροισμα 40 το ίδιο 0,125 ∙ 100 12,5 %

43 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i (%) 1550,12512,50,12512,5 % 2380,0757,5 34120,1010 45170,12512,5 56230,1515 65280,12512,5 75330,12512,5 83360,0757,5 92380,055 102400,055 Άθροισμα 40 προσθέτω Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

44 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i (%) 1550,12512,50,12512,5 % 2380,0757,5 34120,1010 45170,12512,5 56230,1515 65280,12512,5 75330,12512,5 83360,0757,5 92380,055 102400,055 Άθροισμα 40 προσθέτω ίσον = 0,20 ∙ 100 20 % Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

45 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i (%) 1550,12512,50,12512,5 % 2380,0757,50,2020 % 34120,1010 45170,12512,5 56230,1515 65280,12512,5 75330,12512,5 83360,0757,5 92380,055 102400,055 Άθροισμα 40 προσθέτω Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

46 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i (%) 1550,12512,50,12512,5 % 2380,0757,50,2020 % 34120,1010 45170,12512,5 56230,1515 65280,12512,5 75330,12512,5 83360,0757,5 92380,055 102400,055 Άθροισμα 40 προσθέτω ίσον = 0,30 ∙ 100 30 % Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

47 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i (%) 1550,12512,50,12512,5 % 2380,0757,50,2020 % 34120,10100,3030 % 45170,12512,50,42542,5% 56230,15150,57557,5 % 65280,12512,50,7070 % 75330,12512,50,82582,5 % 83360,0757,50,9090 % 92380,0550,9595 % 102400,0551100 % Άθροισμα 401100 F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = F 6 = F 7 = F 8 = F 9 = F 10 = …και τα λοιπά... Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

48 Τιμές x i Συχνότητα ν i Αθροιστική συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Σχετική Συχνότητα f i (%) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i (%) 1550,12512,50,12512,5 % 2380,0757,50,2020 % 34120,10100,3030 % 45170,12512,50,42542,5% 56230,15150,57557,5 % 65280,12512,50,7070 % 75330,12512,50,82582,5 % 83360,0757,50,9090 % 92380,0550,9595 % 102400,0551100 % Άθροισμα 401100 F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = F 6 = F 7 = F 8 = F 9 = F 10 = Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

49 Διαγράμματα...

50 Με αυτό το στόχο, έχουν αναπτυχθεί διάφοροι τρόποι απεικόνισης των δεδομένων ενός δείγματος σε κατάλληλα διαγράμματα. Δύο απ’ τα συνηθέστερα είναι: Συνηθιζούμε να λέμε ότι μια εικόνα αξίζει όσο χίλιες λέξεις και η Στατιστική δεν αποτελεί εξαίρεση. Πολύ συχνά, παρατηρώντας ένα διάγραμμα μπορούμε να εξάγουμε άμεσα συμπεράσματα ταχύτερα απ’ ότι αν προσπαθούσαμε να επεξεργαστούμε νοητικά τα αριθμητικά δεδομένα ενός πίνακα συχνοτήτων. τα ραβδογράμματα και τα κυκλικά διαγράμματα.

51 Ας ξεκινήσουμε, με ένα απλό ραβδόγραμμα συχνοτήτων. Καταρχάς, σχεδιάζουμε 2 κάθετους άξονες.

52 Στον οριζόντιο άξονα παριστάνουμε τις τιμές x i της μεταβλητής Χ. Στον κατακόρυφο άξονα παριστάνουμε τις συχνότητες v i των αντίστοιχων x i. νiνi xixi Άξονας των τετμημένων Άξονας των τεταγμένων

53 Στη συνέχεια, τοποθετούμε τις τιμές x i πάνω στον άξονα. Εδώ θέλει προσοχή, καθώς στα ραβδογράμματα ο άξονας x i ΔΕΝ είναι αριθμητικός άξονας, αλλά ένας απλός άξονας διακριτών θέσεων, χωρίς καμία συνέχεια ανάμεσά τους. Έτσι, δεν έχει κανένα νόημα να πούμε ότι ανάμεσα στις τιμές 1 και 2 υπάρχουν οι τιμές 1,2 ή 1,75 κλπ. νiνi xixi Γι’ αυτό το λόγο, ΔΕΝ σχεδιάζουμε τις τιμές πάνω στις γραμμές του οριζόντιου άξονα... 1 234 5678910...αλλά ανάμεσά τους...

54 Αν θέλουμε να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα, αρκεί να φανταστούμε ότι στα ραβδογράμματα δεν είναι απαραίτητο να έχουμε αριθμητικές τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής αλλά ο,τιδήποτε... νiνi xixi 1 234 5678910 Από χρώματα... ΜΠΛΕ ΚΟΚΚΙΝΟ ΚΙΤΡΙΝΟ ΠΡΑΣΙΝΟ ΚΑΦΕ ΡΟΖ ΜΩΒ ΓΑΛΑΖΙΟ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙ ΛΑΔΙ

55 Αν θέλουμε να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα, αρκεί να φανταστούμε ότι στα ραβδογράμματα δεν είναι απαραίτητο να έχουμε αριθμητικές τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής αλλά ο,τιδήποτε... νiνi xixi Από χρώματα... ΜΠΛΕ ΚΟΚΚΙΝΟ ΚΙΤΡΙΝΟ ΠΡΑΣΙΝΟ ΚΑΦΕ ΡΟΖ ΜΩΒ ΓΑΛΑΖΙΟ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙ ΛΑΔΙ

56 Αν θέλουμε να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα, αρκεί να φανταστούμε ότι στα ραβδογράμματα δεν είναι απαραίτητο να έχουμε αριθμητικές τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής αλλά ο,τιδήποτε... νiνi xixi Από χρώματα...

57 Σειρά έχουν τώρα οι συχνότητες v i, τις οποίες και τοποθετούμε στον κατακόρυφο άξονα, κανονικά, ΠΑΝΩ στις γραμμές του άξονα, αφού πρόκειται για αριθμητικό άξονα. Είμαστε, πλέον, έτοιμοι να σχεδιάσουμε το αντίστοιχο ραβδόγραμμα. Από κάθε τιμή x i «υψώνουμε» ένα κατακόρυφο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, μια «μπάρα» όπως λέμε συχνά, δανειζόμενοι απ’ την αγγλική ορολογία. νiνi xixi 7 6 5 4 3 2 1 1 234 5678910

58 76543217654321 νiνi xixi 5 3 4 5 6 55 3 22 Οι μπάρες που σχεδιάζουμε μπορεί να είναι λεπτές... Είμαστε, πλέον, έτοιμοι να σχεδιάσουμε το αντίστοιχο ραβδόγραμμα. Από κάθε τιμή x i «υψώνουμε» ένα κατακόρυφο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, μια «μπάρα» όπως λέμε συχνά, δανειζόμενοι απ’ την αγγλική ορολογία.

59 1 234 5678910 76543217654321 νiνi xixi 5 3 4 5 6 55 3 22...ή μπορεί πάλι να είναι όσο παχιές παίρνει!

60 Μπορούμε, επίσης, να κατασκευάσουμε ραβδογραμμάτα και για τα υπόλοιπα στατιστικά εργαλεία, όπως για παράδειγμα για την αθροιστική συχνότητα...

61 1 234 5678910 40 35 30 25 20 15 10 5 ΝiΝi xixi 5 8 12 17 23 28 33 36 38 40

62 … ή για την αθροιστική σχετική συχνότητα...

63 1 234 5678910 1,000 0,875 0,750 0,625 0,500 0,375 0,250 0,125 FiFi xixi 0,20 0,30 0,425 0,575 0,70 0,825 0,90 0,95 1

64 Τα κυκλικά διαγράμματα έχουν μια δυσκολία παραπάνω, καθώς αντί για ορθογώνια παραλληλόγραμμα χρειάζεται να σχεδιάζουμε επίκεντρες γωνίες. Αυτό και μόνο αρκεί για να προκαλέσει ζωηρά κύματα αντιδράσεων από το κοινό!

65 Το καλό της υπόθεσης είναι πως αρκεί να καταλάβουμε τι σχέση έχει κάθε γωνία του διαγράμματος με την αντίστοιχη σχετική συχνότητα. Έτσι θα μπορούμε να κατανοούμε και να «διαβάζουμε» ένα τέτοιο διάγραμμα κάθε φορά που το συναντάμε, αλλά και να υπολογίζουμε το ένα από τα δύο μεγέθη όταν, φυσικά, γνωρίζουμε το άλλο. Αρκεί, λοιπόν, να γνωρίζουμε ότι το ποσοστό του κύκλου που καταλαμβάνει κάθε γωνία ισούται με το ποσοστό του δείγματος που καταλαμβάνει κάθε τιμή x i, με άλλα λόγια τη σχετική συχνότητα f i : ή

66 xixi νiνi fifi φiφi 150,125 230,075 340,10 450,125 560,15 650,125 75 830,075 920,05 1020,05 401 φ1φ1 = 360∙0,125 = 45 ο 45 ο 45 ο 1

67 xixi νiνi fifi φiφi 150,125 230,075 340,10 450,125 560,15 650,125 75 830,075 920,05 1020,05 401 φ2φ2 = 360∙0,075 = 27 ο 45 ο 1 27 ο 27 ο 2

68 xixi νiνi fifi φiφi 150,125 230,075 340,10 450,125 560,15 650,125 75 830,075 920,05 1020,05 401 φ3φ3 = 360∙0,10 = 36 ο 45 ο 1 27 ο 2 36 ο 36 ο 3

69 xixi νiνi fifi φiφi 150,125 45 ο 230,075 27 ο 340,10 36 ο 450,125 45 ο 560,15 54 ο 650,125 45 ο 750,125 45 ο 830,075 27 ο 920,05 18 ο 1020,05 18 ο 401 360 ο …και τα λοιπά... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45 ο 27 ο 36 ο 45 ο 54 ο 45 ο 27 ο 18 ο

70 Στο επόμενο επεισόδιο: «Έχετε κλάση; Κανένα πρόβλημα! Η Στατιστική καλύπτει διακριτικά κάθε σας ανάγκη!» τέλος 1 ου μέρους