ΣΤΟΧΟΙ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Παρουσίαση με θέμα: "ΣΤΟΧΟΙ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΣΤΟΧΟΙ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ
Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

2 ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων σε διάφορες επιστήμες όπως η Αρχιτεκτονική, την Πολιτική Μηχανική, τη Μηχανολογία, την Ηλεκτρολογία κ.α. Στη συνέχεια δίνονται ασκήσεις με γεωμετρικές κατασκευές στις οποίες επεξηγείται η πορεία σχεδίασής τους. Μπορούμε να τις σχεδιάσουμε ανά τέσσερις ή έξι σε κάθε φύλλο σχεδίασης, αφού προηγουμένως το φύλλο σχεδίασης χωριστεί στα αντίστοιχα μέρη. Οι μαθητές θα ξεκινήσουν τη σχεδίαση στο σχολείο και θα ολοκληρώνουν τις ασκήσεις τους στο σπίτι.

3 ΤΡΙΓΩΝΑ Ορισμός: Τρίγωνο ονομάζεται μια επιφάνεια ευθύγραμμα περιορισμένη από τρεις πλευρές α, β, γ και με τρεις γωνιές Α, Β, Γ.

4 Είδη τριγώνων

5 Κατασκευή τριγώνου, όταν δίνονται οι τρεις πλευρές του
Δίνονται οι τρεις πλευρές α, β και γ. Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = γ. Με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα ίση με την πλευρά β χαράζουμε τόξο. Με κέντρο το σημείο Β και ακτίνα ίση με την πλευρά α χαράζουμε τόξο που τέμνει το προηγούμενο στο σημείο Γ. Χαράζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΑ και ΓΒ. Το σχήμα ΑΒΓ είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

6 Κατασκευή τριγώνου, όταν δίνονται μια πλευρά και δύο γωνίες
Δίνονται η πλευρά ΑΒ και οι δύο προσκείμενες γωνίες α και β. Χαράζουμε την πλευρά ΑΒ και κατασκευάζουμε τις προσκείμενες γωνίες α και β στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Οι πλευρές των δύο γωνιών τέμνο- νται στο σημείο Γ σχηματίζοντας το ζητούμενο τρίγωνο.

7 Κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου, όταν δίνεται το μήκος της μιας πλευράς
Δίνεται η πλευρά ΑΒ. Χαράζουμε την πλευρά ΑΒ και με κέντρο τα σημεία Α και Β και ακτίνα ΑΒ χαράζουμε τόξα που να τέμνονται στο σημείο Γ. Χαράζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΓ και σχηματίζε- ται το ζητούμενο τρίγωνο.

8 Κατασκευή ισοσκελούς τρι-γώνου, όταν δίνονται η βάση και το κατακόρυφο ύψος
Δίνονται η βάση ΑΒ και το κατακό- ρυφο ύψος ΔΓ. Χαράζουμε τη βάση ΑΒ και τη διχοτομούμε. Χαράζουμε κάθετη στο σημείο Δ. Με κέντρο το σημείο Δ και ακτίνα το δοσμένο ύψος ΔΓ χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την ΔΓ στο σημείο Γ. Χαράζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΓ και σχηματίζε- ται το ζητούμενο τρίγωνο ΑΒΓ.

9 Κατασκευή τριγώνου με αναλογία πλευρών 3:4:5
Χαράζουμε τη βάση ΒΓ ώστε να έχει μήκος 3 μονάδες μήκους. Με κέντρο το σημείο Β και ακτίνα ίση με 5 μονάδες μήκους χαράζουμε τόξο. Με κέντρο το σημείο Γ και ακτίνα ίση με 4 μονάδες μήκους χαράζουμε τόξο ώστε να τέμνει το προηγούμενο στο σημείο Α. Χαράζουμε τα ευθύγραμμα τμή- ματα ΒΑ και ΓΑ και σχηματίζεται το ζητούμενο τρίγωνο ΑΒΓ.

10 ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ Ορισμός: Τετράπλευρο ονομάζεται οποιαδήποτε επιφάνεια, ευθύγραμμα περιορισμένη από τέσσερις πλευρές.

11 Είδη τετραπλεύρων Τετράγωνο: έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνιές ίσες. Ορθογώνιο: έχει τις απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες και όλες τις γωνιές ορθές. Ρόμβος: έχει όλες τις πλευρές ίσες, τις απέναντι πλευρές παράλληλες και τις απέναντι γωνιές ίσες. Παραλληλόγραμμο: έχει τις απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες και τις απέναντι γωνιές ίσες. Τραπέζιο: έχει τι δύο απέναντι πλευρές παράλληλες. Ακανόνιστο τετράπλευρο: κάθε πλευρά έχει διαφορετικό μήκος και οι γωνιές έχουν διαφορετικό μέγεθος.

12 Kατασκευή τετραγώνου, όταν δίνεται η πλευρά
Χαράζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ίσο με τη δοθείσα πλευρά. Χαράζουμε ευθεία ε κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στο σημείο Α. Με κέντρο το Α και ακτίνα R = ΑΒ χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την κάθετη, στο σημείο Δ. Με κέντρο τα σημεία Β και Δ και με την ίδια ακτίνα R χαράζουμε τόξα που τέμνονται στο Γ. Χαράζοντας τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΔ και ΓΒ, σχηματίζεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ.

13 Kατασκευή ορθογωνίου, όταν δίνονται τα μήκη των πλευρών
Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ίσο με τη δοθείσα πλευρά (α). Χαράζουμε ευθεία ε κάθετη στο ΑΒ, στο σημείο Α. Με κέντρο το Α και ακτίνα R1 ίση με την άλλη πλευρά β, χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την κάθετη ευθεία ε στο σημείο Δ. Με κέντρο το Δ και ακτίνα R2 = α, χαράζουμε τόξο. Με κέντρο το Β και ακτίνα R1 = β, χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει το προηγούμενο στο σημείο Γ. Χαράζοντας τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΔ και ΓΒ, σχηματίζεται το ορθογώνιο ΑΒΓΔ.

14 Kατασκευή ρόμβου, όταν δίνεται η πλευρά ΑΒ και μια γωνία
Χαράζουμε ευθύγραμμο τμήμα ίσο με τη δοθείσα πλευρά ΑΒ. Στο σημείο Α κατασκευάζουμε γωνία α ίση με τη δοθείσα γωνία. Με κέντρο το Α και ακτίνα R = ΑΒ χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την ευθεία ε στο σημείο Δ. Με κέντρο τα σημεία Δ και Β και ακτίνα R = ΑΒ, χαράζουμε τόξα που τέμνονται στο σημείο Γ. Χαράζοντας τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΔ και ΓΒ, σχηματίζεται ο ρόμβος ΑΒΓΔ.

15 Kατασκευή παραλληλογράμμου, όταν δίνεται η πλευρά ΑΒ, η γωνία β και η απόσταση γ της παράλληλης πλευράς από την ΑΒ Χαράζουμε ευθύγραμμο τμήμα ίσο με τη δοθείσα πλευρά ΑΒ. Στο σημείο Β κατασκευάζουμε γωνία β ίση με τη δοθείσα γωνία. Χαράζουμε παράλληλη προς την ΑΒ, σε απόσταση γ, η οποία τέμνει την ευθεία (ε) στο σημείο Γ. Η παράλληλη με την (ε) που περνά από το Α τέμνει την παράλληλη του ΑΒ στο σημείο Γ. Το σχήμα ΑΒΓΔ είναι το ζητούμενο παραλληλόγραμμο.

16 Kατασκευή τραπεζίου, όταν δίνονται τρεις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και η γωνία β
Χαράζουμε ευθύγραμμο τμήμα ίσο με τη δοθείσα πλευρά ΑΒ. Στο σημείο Β κατασκευάζουμε γωνία β ίση με τη δοθείσα. Με κέντρο το σημείο Β και ακτίνα τη δοθείσα πλευρά ΒΓ χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την ευθεία (ε) στο σημείο Γ. Χαράζουμε ευθεία ε1 παράλληλη με την ΑΒ και ορίζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ ίσο με τη δοθείσα πλευρά. Το σχήμα ΑΒΓΔ είναι το ζητούμενο παραλληλόγραμμο.

17 ΠΟΛΥΓΩΝΑ Ορισμός: Κανονικό πολύγωνο ονομάζεται οποιαδήποτε επιφάνεια περιορισμένη από ένα αριθμό ίσων ευθύγραμμων τμημάτων τα οποία μεταξύ τους σχηματίζουν ίσες γωνιές. Τα πολύγωνα παίρνουν την ονομασία τους από τον αριθμό των γωνιών τους (τετράγωνο, πεντάγωνο, εξάγωνο κ.τ.λ.) Οι εσωτερικές γωνιές των πολυγώνων που σχηματίζονται στο κέντρο έχουν άθροισμα 360˚. Η εσωτερική γωνιά του πολυγώνου υπολογίζεται διαιρώντας τη γωνιά των 360˚ με τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου.

18 Κατασκευή κανονικού πενταγώνου όταν δίνεται η πλευρά του
Χαράζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ίσο με τη δοθείσα πλευρά. Διχοτομούμε το ΑΒ. Ορίζουμε πάνω στη διχοτόμο, απόσταση ΟΚ = ΑΒ. Ορίζουμε πάνω στην προέκταση της ΑΚ απόσταση ΚΛ = ΑΟ. Με κέντρο το Α και την ακτίνα R3 = ΑΛ χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει τη διχοτόμο στο σημείο Δ. Με κέντρο τα τρία σημεία Α, Β, Δ και ακτίνα ΑΒ χαράζουμε τόξα των οποίων οι τομές προσδιορίζουν τις κορυφές Ε και Γ ου πενταγώνου. Ενώνοντας τα σημεία Α, Ε, Δ, Γ, Β σχηματίζεται το πεντάγωνο.

19 Κατασκευή κανονικού πενταγώνου όταν δίνεται η πλευρά του (2η μέθοδος)
Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ίσο με τη δοθείσα πλευρά. Με κέντρο τα σημεία Α και Β και ακτίνα R = ΑΒ χαράζουμε περιφέρειες κύκλων, οι οποίες τέμνονται στα σημεία Γ και Δ. Ενώνουμε τα σημεία Γ και Δ. Με κέντρο το Δ και ακτίνα R = ΑΒ χαράζουμε άλλη περιφέρει κύκλου η οποία τέμνει τις δύο προηγούμενες στα σημεία Ε και Ζ και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο Ο.

20 Κατασκευή κανονικού πενταγώνου όταν δίνεται η πλευρά του (2η μέθοδος) (συνέχεια)
Ενώνουμε τα σημεία Ε και Ζ με το Ο και προεκτείνουμε τις ευθείες μέχρι να συναντήσουν τις δύο περιφέρειες στα σημεία Η και Θ. Με κέντρο τα σημεία Η και Θ και ακτίνα R = AB χαράζουμε τόξα τα οποία τέμνονται στο Κ. Ενώνοντας τα σημεία Β, Θ, Κ, Η, Α σχηματίζεται το πεντάγωνο.

21 Κατασκευή κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο
Δίνεται ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα R. Χαράζουμε δύο διαμέτρους κάθετες μεταξύ τους, την ΑΒ και ΓΔ. Διχοτομούμε το ΑΟ και ορίζουμε το μέσο Μ. Με κέντρο το Μ και ακτίνα το ΜΓ χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει το ΟΒ στο σημείο Κ. Με κέντρο το Γ και ακτίνα το ΓΚ χαράζουμε τόξο που τέμνει την περιφέρεια του κύκλου στο σημείο Ε. Το ευθύγραμμο τμήμα ΓΕ είναι η ζητούμενη πλευρά του πενταγώνου.

22 Κατασκευή κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (συνέχεια)
Με τη βοήθεια του διαβήτη ορίζουμε τις υπόλοιπες κορυφές του πενταγώνου, δηλαδή τα σημεία Ζ, Η, Θ. Ενώνοντας τα σημεία Γ, Ε, Ζ, Η και Θ σχηματίζεται το πεντάγωνο.

23 Κατασκευή κανονικού εξαγώνου όταν δίνεται η πλευρά του
Χαράζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ίσο με τη δοθείσα πλευρά. Με κέντρο τα σημεία Α και Β και ακτίνα ΑΒ χαράζουμε τόξα που τέμνονται στο Ο. Με κέντρο το Ο και με ακτίνα το ΟΑ χαράζουμε περιφέρεια κύκλου η οποία περνά από τα σημεία Α και Β. Με κέντρο τα σημεία Α και Β και ακτίνα ΑΒ χαράζουμε τόξα που τέμνουν την περιφέρεια του κύκλου στα σημεία Ζ και Γ αντίστοιχα. Με κέντρο τα σημεία Ζ και Γ και την ίδια ακτίνα χαράζουμε τόξα που τέμνουν την περιφέρεια στα σημεία Ε και Δ αντίστοιχα. Ενώνοντας τα σημεία Α, Ζ, Ε, Δ, Γ και Β σχηματίζεται το εξάγωνο.

24 Κατασκευή κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R
Ενώνοντας τα σημεία Α, Γ, Ε, Β, Ζ, Δ, σχηματίζεται το ζητούμενο εξάγωνο

25 Κατασκευή κανονικού οκταγώνου εγγεγραμ-μένου σε τετράγωνο με δοσμένη πλευρά
Κατασκευάζουμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ με δοσμένη πλευρά ΑΒ. Προσδιορίζουμε το κέντρο Ο του τετραγώνου. Με κέντρο τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και ακτίνα ΟΑ ίση με το ½ της διαγωνίου χαράζουμε τόξα που τέμνουν τις πλευρές στα σημεία 1 και 4, 6 και 3, 8 και 5, 7 και 2 αντίστοιχα. Ενώνοντας τα σημεία 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1 σχηματίζεται οκτάγωνο.

26 Κατασκευή κανονικού πολυγώνου όταν δίνεται η πλευρά του (Γενική μέθοδος)
Χαράζουμε την πλευρά ΑΒ. Προεκτείνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ προς το Β. Με κέντρο το Β και με ακτίνα το ΑΒ χαράζουμε ημιπεριφέρεια. Διαιρούμε την ημιπεριφέρεια σε όσα ίσα μέρη όσες είναι οι πλευρές του πολυγώνου που θέλουμε να κατασκευάσουμε και αριθμούμε τα σημεία, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στην περίπτωσή μας, εννέα. Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα Β2.

27 Κατασκευή κανονικού πολυγώνου όταν δίνε-ται η πλευρά του (Γενική μέθοδος) (συνέχεια)
Διχοτομούμε το ΑΒ και το Β2. Οι διχοτόμοι τέμνονται στο σημείο Κ, το οποίο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Με κέντρο το Κ και ακτίνα ΑΚ χαράζουμε περιφέρεια κύκλου. Με τη βοήθεια του διαβήτη ορίζουμε στην περιφέρεια του κύκλου τις κορυφές του πολυγώνου. Ενώνοντας τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Α σχηματίζεται το εννιάγωνο.

28 Κατασκευή κανονικού πολυγώνου όταν δίνεται η πλευρά του (Σε κοινή βάση)
Χαράζουμε την πλευρά ΑΒ και τη διχοτομούμε. Κατασκευάζουμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και χαράζουμε τη διαγώ- νιο ΑΓ. Η διαγώνιος τέμνει τη διχοτόμο ΕΖ στο σημείο 4. Με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει τη διχοτόμο ΕΖ στο σημείο 6. Διχοτομούμε το ευθύγραμμο τμήμα 4-6 και ορίζουμε το μέσο του (σημείο 5).

29 Κατασκευή κανονικού πολυγώνου όταν δίνε-ται η πλευρά του (Σε κοινή βάση) (συνέχεια)
Με τη βοήθεια του διαβήτη ορίζουμε σημεία 7, 8, 9 πάνω στη διχοτόμο ΕΖ της πλευράς ΑΒ που απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με το ευθύγραμμο τμήμα 4-5. Τα σημεία 4, 5, 6, 7, 8, είναι τα κέντρα των κύκλων που είναι περιγεγραμμένοι στα αντίστοιχα πολύγωνα και έχουν ακτίνες 4Α, 5Α, 6Α, 7Α, 8Α, 9Α.

30 Κατασκευή κανονικού πολυγώνου εγγεγραμ-μένου σε κύκλο με δοσμένη διάμετρο
Χαράζουμε περιφέρεια κύκλου με κέντρο Ο και με διάμετρο ΑΒ ίση με τη δοθείσα. Με κέντρο τα σημεία Α και Β και ακτίνα ίση με την ΑΒ χαράζουμε τόξα που τέμνονται στα σημεία Γ και Δ. Διαιρούμε το ευθύγραμμο τμήμα σε τόσα ίσα μέρη όσες και οι πλευρές του πολυγώνου που θέλουμε να κατασκευάσουμε. Για παράδειγμα, σε 8 ίσα μέρη για την κατασκευή οκταγώνου.

31 Κατασκευή κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμέ-νου σε κύκλο με δοσμένη διάμετρο (συνεχεια)
Ενώνουμε το σημείο Γ με τα σημεία 1, 3, 5, 7 και προεκτεί- νουμε τις ευθείες, ώστε να τέμνουν την περιφέρεια του κύκλου, στα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ. Με τον ίδιο τρόπο ορίζονται τα σημεία Ι, Κ, Λ, Μ από τις προεκτάσεις των ευθειών που περνούν από το σημείο Δ. Ενώνοντας τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ σχηματίζεται το οκτάγωνο.