Dimenziona analiza i teorija sličnosti

Παρουσίαση με θέμα: "Dimenziona analiza i teorija sličnosti"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Dimenziona analiza i teorija sličnosti
Mehanika Fluida Dimenziona analiza i teorija sličnosti

2 Sadržaj predmeta: Uvod. Osnovni principi i pojmovi Svojstva fluida
Fluidi u mirovanju (statika fluida) Strujanje fluida (kinematika fluida) Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine kretanja) Diferencijalna analiza strujanja fluida (zakoni o održanju mase i količine kretanja, strujna funkcija, Košijeva i Navier-Stoksova jednačina) Dimenziona analiza i teorija sličnosti Strujanje neviskoznih fluida, Nerotaciono strujanje, Dvodimenzionalno strujanje, Strujna funkcija i potencijal brzina, Superpozicija Strujanje viskoznih fluida u cevi. Laminarno i turbulentno strujanje. Koncept graničnog sloja Osnovni pojmovi računarske dinamike fluida

3 7 Dimenziona analiza Bakingemova Π (Pi) teorema
Bezdimenzione veličine u mehanici fluida 7

4 Dimenziona analiza i teorija sličnosti
Potreba! Već smo naveli da nije uvek moguće dobiti analitička rešenja jednačina koje smo izvili. Čak i rešenja koja dobijamo približno opisuju strujanja i mogu se primeniti samo u ograničenim slučajevima. Rešenje koje nam daje računar isto tako nisu odgovarajuća za opisivanje turbulentnih strujanja i kompleksnih geometrija. Iz navedenih razloga mehanika fluida je primorana da se posveti eksperimentalnoj analizi strujanja i da na taj način opiše vrednosti parametara strujanja. Problem se javlja kada razmotrimo broj nezavisnih veličina koje moramo da menjamo da bismo eksperimentalno utvrdili uticaj svih prarametara koji utiču na zavisnu promenjivu. Taj broj je često velik i to dovodi do značajnog broja eksperimenata koji mogu biti komplikovani i skupi. Takođe, nekada se eksperimenti ne mogu izvoditi na modelu u punoj razmeri. Upravo ovaj problem je olakšan uvođenjem bezdimenzionih veličina i teorije sličnosti. Dimenziona analiza omogućava značajno smanjenje broja eksperimenata, ali mogućnost da se simulacije/eksperimenti prenesu sa modela na prototip. („scale up “). Do sada samo uspešno uveli neke bezdimenzione veličine (Mahov broj, bezdimenziona brzina i bezdimenziono rastojanje kod Kuetovog strujanja nam je omogućilo prikazivanje rešenja itd.)

5 Dimenziona analiza i teorija sličnosti
Da bismo uvideli prednosti dimenzione analize (bezdimenzionih veličina) razmotićemo dva jednostavna primera: Pad pritiska duž glatke cevi i strujanje fluida preko sfere. Razmotrimo stacionarno strujanje nestišljivog, njutnovskog fluida, unutar duge, glatke horizontalne cevi kružnog poprečnog preseka. Želimo da razmotrimo pad pritiska po dužini cevi ∆𝑃 𝐿 = 𝑃 2 − 𝑃 2 𝐿 . Ovaj problem (i pored jednostavnosti) mora biti određen eksperimentalno. Rezultat/zaključak mora biti prenesen iz laboratorije (model) u pogon (prototip). Prvi korak je razmatranje veličina koje utiču na pad pritiska. Sigurni smo da utiče brzina fluida V i prečnik cevi D. Cev je glatka i kružnog preseka pa nećemo uzimati u obzir podatke o zidu. Sigurno postoji uticaj vrste fluida koji struji. Očekujemo da se uticaj vrste fluida može predstaviti preko gustine 𝜌 i viskoznosti 𝜇. Konačno dobijamo: ∆𝑃 𝐿 =𝑓(𝑉,𝐷,𝜌,𝜇) Potrebno je da eksperimentalno variramo četiri promenjive i odredimo njihov uticaj na pad pritiska. Koliko je to eksperimenata?!?!?! 𝐷 𝐿

6 Dimenziona analiza i teorija sličnosti
∆𝑃 𝐿 =𝑓(𝑉,𝐷,𝜌,𝜇) Potrebno je da eksperimentalno variramo četiri promenjive i odredimo njihov uticaj na pad pritiska. Koliko je to eksperimenata?!?!?! Npr. merimo uticaj brzine na pad pritiska za samo šest različitih brzina i pri tome moramo da držimo ostale 3 veličine konstantnim (𝐷,𝜌,𝜇). Dobijamo krivu ∆𝑃 𝐿 =𝑓(𝑉) koja važi samo za tu kombinaciju ostalih promenjivih. Sada zamislimo da želimo da dobijemo zavisnosti krive za šest različitih vrednosti 𝐷,𝜌,𝜇. Ovim pristupom bili bi nam potrebno 1296 eksperimenata. Ako za svaki posvetimo 30 min trebalo bi nam oko 80 radnih dana, nakon čega dolazimo u zamršenu situaciju formulisanja modela i predstavljanja rezultata. Ako jedan ogled košta 1000 dinara, ceo eksperiment bi iznosio 1,3 miliona dinara. Isto bismo dobili ako želimo da analiziramo silu trenja kretanja sfere FD kroz fluid. 𝐹 𝐷 =𝑓(𝑉,𝐷,𝜌,𝜇) 𝑉 𝐹 𝐷 𝐷 𝐿 𝐷 ∆𝑃 𝐿 𝐹 𝐷 𝑉 𝐷 𝜌 𝜇

7 Dimenziona analiza i teorija sličnosti
Naravno da eksperimenti ne moraju da budu toliko obimni. Veliku pomoć i korist u ovakvim slučajevima nam pruža dimenziona analiza. Umesto da u prikazanim primerima koristimo pet promenjivih, možemo preći na samo dve. Tačnije, četiri nezavisne veličine ćemo zameniti samo jednom, bezdimenzionom veličinom: 𝐹 𝐷 =𝑓 𝑉,𝐷,𝜌,𝜇 𝐹 𝐷 𝜌 𝑉 2 𝐷 2 =𝑓 𝜌𝑉𝐷 𝜇 ∆𝑃 𝐿 =𝑓(𝑉,𝐷,𝜌,𝜇) 𝐷 ∆𝑃 𝐿 𝜌 𝑉 2 =𝑓 𝜌𝑉𝐷 𝜇 Obe strane jednačina moraju biti bezdimenzione. Na ovaj način potrebno je varirati samo jednu promenjivu ( 𝜌𝑉𝐷 𝜇 ) i odrediti odgovarajući količnik sa druge strane. Ova zavisnost važi za slične sisteme nezavisno od veličine. Broj eksperimenata je sada npr. 10 (10000, a ne 1,3 miliona dinara –šef će vas obožavati)!!! Može se odabrati samo jedna promenjiva veličina iz izraza 𝜌𝑉𝐷 𝜇 (najčešće brzina) i time u potpunosti opisati problem. 𝐹 𝐷 𝜌 𝑉 2 𝐷 2 𝐷 ∆𝑃 𝐿 𝜌 𝑉 2 𝜌𝑉𝐷 𝜇 𝐶 𝐷 =𝑓 𝑅𝑒 𝑅𝑒 1 = 𝑅𝑒 2 → 𝐶 𝐷1 = 𝐶 𝐷2 𝐷 ∆𝑃 𝐿 𝜌 𝑉 2 =𝑓 𝑅𝑒

8 Dimenziona analiza i teorija sličnosti
Pre nego što pokažemo osnovne principe izvođenja dimenzione analize navešćemo osnovne dimenzije potrebne za dimenzionu analizu u mehanici fluida. Uglavnom izbegavamo jer se bavimo izotermskim strujanjem. Veličina Masa Dužina Vreme Temperatura Oznaka jedinice M L T Θ Ili: 𝐹=𝑀 𝐿 𝑇 2 Veličina Sila Dužina Vreme Temperatura Oznaka jedinice F L T Θ 𝐷 ∆𝑃 𝐿 𝜌 𝑉 2 =𝑓 𝜌𝑉𝐷 𝜇 𝐿 𝐹 𝐿 2 𝐿 𝐹 𝑇 2 𝐿 𝐿 𝑇 2 =𝑓 𝐹 𝑇 2 𝐿 𝐿 𝑇 𝐿 𝐹𝑇 𝐿 𝐹 0 𝐿 0 𝑇 0 =𝑓 𝐹 0 𝐿 0 𝑇 0 Bezdimenzione veličine! Prethodni primer: Bezdimenzione veličine ne zavise od jedinica i veličine sistema. Postavlja se pitanje koliko ih ima i kako izgledaju bezdimenzione veličine koje treba dovesti u vezu pri opisivanju nekog problema. Rešavanje ovog pitanja predstavlja dimenzionu analizu. Dimenziona analiza je veoma moćna alatka pri razmatranju problema mehanike fluida.

9 Dimenziona analiza – Pi teorema
Koliko bezdimezionih veličina možemo da uvedemo polazeći od početnog broja promenjivih? Prethodni problem: 2 od 5 Broj nezavisnih bezdimenzionih grupa k, potrebnih za korelaciju n početnih promenjivih sistema, jednak je 𝒏−𝒎. Gde m predstavlja najmanji broj osnovnih dimenzija kojima se mogu predstaviti sve dimenzije n promenjivih. Bakingem je bezdimenzione grupe obeležio velikim grčkim slovom pi Π. Otuda naziv Pi teorema. 𝑔 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ,…, 𝑥 𝑛 =0 𝑥 1 =𝑓 𝑥 2 , 𝑥 3 ,…, 𝑥 𝑛 Broj promenjivih je smanjen za vrednost m. m – redukcija promenjivih 𝐺 Π 1 , Π 2 , Π 3 ,…, Π 𝑛−𝑚 =0 Π 1 =𝐹 Π 2 , Π 3 ,…, Π 𝑛−𝑚 Primer opstrujavanja sfere: 𝐹 𝐷 =𝑓 𝑉,𝐷,𝜌,𝜇 ; 𝑛=5; 𝑚=3; 𝑘=𝑛−𝑚=2 𝐶 𝐷 =𝑓 𝑅𝑒 Broj m je uglavnom tri u mehanici fluida (masa ili sila M, dužina L i vreme T). Međutim, nekad se dimenziono homogena jednačina može opisati sa dve ili čak sa jednom dimenzijom. Uslov za primenu ove teoreme jeste da je sistem dimenziono homogen. Na osnovu dimenzione homogenosti je i izvedena Pi teorema. Primer BJ: 𝑃 𝜌 + 𝑉 𝑔𝑧=𝐶 𝐽 𝑘𝑔 + 𝐽 𝑘𝑔 + 𝐽 𝑘𝑔 = 𝐽 𝑘𝑔

10 Dimenziona analiza –Pi teorema
Definisaćemo postupak „korak po korak“ ili poznatija kao metoda ponavljajućih promenjivih (method of repeating variables). Metoda se sastoji od 6 koraka: Korak Opis 1 Napraviti spisak svih parametara koji se javljaju u problemu (bezdimenzione i dimenzione veličine, konstante, zavisnu veličinu…). Izbrojati nezavisne parametre i odrediti broj n. 2 Napraviti listu osnovnih dimenzija za sve n parametre. 3 Pretpostaviti redukciju promenjivih m. Polazna pretpostavka bi trebalo da bude jednaka broju osnovnih dimenzija koje se javljaju u problemu sa n promenjivih. Izračunati broj bezdimenzionih parametara k=n-m. Ukoliko se u narednim koracima javi problem, vratiti se na korak 1 i proveriti broj n, ili smanjiti m za jedan. 4 Odrediti m ponavljajućih promenjivih koje će sačinjavati svaku od k Π-veličina. Ovom koraku treba pristupiti pažljivo, jer će se te veličine javiti u svakom bezdimenzionom parametru koji izvedemo. U odabrane promenjive ne sme da spada zavisna promenjiva i kombinacija ponavljajućih promenjivih ne sme sama da sačini Π-veličinu. Ne biramo već bezdimenzione veličine ili veličine istih dimenzija. Korak 4 predstavlja najteži deo. 5 Formulisati jedan po jedan izraze za Π grupe grupisanjem m ponavljajućih parametara i preostalih parametara tako da umnožak svih članova te grupe stepenovanih na neki broj čini bezdimenzionalnu veličinu. Π veličina koja u sebi sadrži zavisnu promenjivu ostaje zavisna Π veličina od ostalih formiranih Π grupa. 6 Proveriti da li su sve dobijene Π veličine bezdimenzione i napisati izraz u sledećem obliku: Π 1 =𝐹 Π 2 , Π 3 ,…, Π 𝑘 Dimenziona analiza nam ne daje oblik funkcije F. Oblik funkcije se određuje eksperimentalno – empirijska jednačina.

11 Dimenziona analiza –Pi teorema
Prikazaćemo primer za dimenzionu analizu određivanja silu trenja koje deluje na neko telo dužine L koje se nalazi u struji fluida. Sila trenja će zavisiti od brzine fluida (tela), dužine tela, gustine i viskoznosti: 𝐹 𝐷 =𝑓 𝑉,𝐿,𝜌,𝜇 . Korak 1: Broj veličina u problemu je 5 𝐹 𝐷 ,𝑉,𝐿,𝜌,𝜇 sledi 𝑛=5 Korak 2: Dimenzije svih veličina: 𝐹 𝐷 𝑉 𝐿 𝜌 𝜇 𝑀𝐿 𝑇 −2 𝐿 𝑇 −1 𝑀 𝐿 −3 𝑀 𝐿 −1 𝑇 −1 Korak 3: Krenućemo od pretpostavke da je broj osnovnih dimenzija koje se javljaju problemu 3: 𝑚=3 𝑀,𝐿,𝑇 sledi 𝑘=𝑛−𝑚=2 Za prikazani problem možemo definisati dve bezdimenzione veličine Π 1 , Π 2 . Korak 4: Potrebno je odrediti 𝑚=3 ponavljajuće promenjive (one koje će se javiti u obe Π veličine). Nećemo uzeti silu jer je zavisna promenjiva ostaju nam 4 𝑉,𝐿,𝜌,𝜇 . Ukoliko odaberemo (𝑉,𝐿,𝜌) sigurni smo da neće same formulisati bezdimenzionu veličinu (pogledati jedinice). Ovde spada i praktični aspekt, jer se odabrane veličine mogu eksperimentalno kombinovati. U ovom koraku neophodno je određeno iskustvo i snalažljivost da bi se ostvario ispravan odabir ponavljajućih promenjivih.

12 Dimenziona analiza –Pi teorema, nastavak
Korak 5: Sada sledi algebarsko sređivanje bezdimenzionih veličina Π 1 , Π Grupa Π 1 mora u sebi da sadrži zavisnu promenjivu (silu) i poželjno je da se zavisna promenjiva ne stepenuje tj. da njen stepen ostane 1. Ona se množi sa sve tri ponavljajuće veličine stepenovane na neki ceo broj tako da njihov proizvod bude bezdimenziona veličina ( Π 1 ): Π 1 = 𝑉 𝑎 𝐿 𝑏 𝜌 𝑐 𝐹 𝐷 = 𝑀 0 𝐿 0 𝑇 0 Π 1 = 𝐿 𝑎 𝑇 −𝑎 𝐿 𝑏 𝑀 𝑐 𝐿 −3𝑐 𝑀𝐿 𝑇 −2 = 𝑀 0 𝐿 0 𝑇 0 𝑐+1=0;−𝑎−2=0;𝑎+𝑏−3𝑐+1=0 sledi 𝑎=−2;𝑏=−2;𝑐=−1 sledi Π 1 = 𝐹 𝐷 𝑉 2 𝐿 2 𝜌 Drugu grupu Π 2 dobijamo na sličan načina samo što umesto sile koristimo preostale (neiskorišćene) veličine. U ovom slučaju je to samo viskoznost. Potrebno je dodeliti neki stepen viskoznosti, možemo ostaviti takođe 1: Π 2 = 𝑉 𝑎 𝐿 𝑏 𝜌 𝑐 𝜇= 𝐿 𝑎 𝑇 −𝑎 𝐿 𝑏 𝑀 𝑐 𝐿 −3𝑐 𝑀 𝐿 −1 𝑇 −1 = 𝑀 0 𝐿 0 𝑇 0 𝑐+1=0;−𝑎−1=0;𝑎+𝑏−3𝑐−1=0 sledi 𝑎=−1;𝑏=−1;𝑐=−1 sledi Π 2 = 𝜇 𝑉𝐿𝜌 Π grupe možemo stepenovati na bilo koji stepen ili množiti konstantom (zadržavamo bezdimenzionu veličinu): Π 1 = 𝐹 𝐷 𝑉 2 𝐿 2 𝜌 → 𝐹 𝐷 𝑉 2 𝐴𝜌 = 𝐶 𝐷 Π 2 = 𝜇 𝑉𝐿𝜌 → 𝑉𝐿𝜌 𝜇 =𝑅𝑒

13 Dimenziona analiza –Pi teorema, nastavak
Korak 6: Provera bezdimenzionalnosti i formulisanje zavisnosti Π 1 = 𝐹 𝐷 𝑉 2 𝐴𝜌 = 𝑀𝐿 𝑇 −2 𝐿 2 𝑇 −2 𝐿 2 𝑀𝐿 −3 = 𝑀 0 𝐿 0 𝑇 0 Π 2 = 𝑉𝐿𝜌 𝜇 = 𝐿 𝑇 −1 𝐿 𝑀𝐿 −3 𝑀 𝐿 −1 𝑇 −1 = 𝑀 0 𝐿 0 𝑇 0 Krajnji izraz: Π 1 =𝐹 Π 2 𝐹 𝐷 𝑉 2 𝐴𝜌 =𝐹 𝑉𝐿𝜌 𝜇 𝐶 𝐷 =𝐹 𝑅𝑒 Dobijamo da je koeficijent otpora funkcija Rejnoldsovog broja. Eksperimente sada možemo da planiramo u tom pravcu. Najlakše je da menjamo samo brzinu fluida, merimo silu i formiramo zavisnost koeficijenta otpora od Re broja. Koeficijent otpora će za isti Re imati istu vrednost. Što znači da se dobijena funkcija može primeniti i za veće sisteme (L) i druge fluide 𝜌,𝜇 . Sličan pristup se može primeniti na veliki broj problema u mehanici fluida!

14 Oblik funkcije– empirijska jednačina
Prikazali smo način kako da odredimo bezdimenzione Π grupe. Veza između njih se određuje eksperimentalno i ta izvedena veza sigurno važi za opsege veličina u kojima je izvođen eksperiment. Nekada je neophodan vid „ekstrapolacije“, ali to se po pravilu izbegava. Specijalan slučaj je kada imamo samo jednu Π vrednost. Tada ona mora biti jednaka nekoj konstanti C koja se određuje eksperimentalno tako što variramo promenjive/promenjivu koje se čine tu Π veličinu. Π 1 =𝐶 U slučaju dve ili više Π vrednosti moramo odrediti empirijski izraz kako te grupacije zavise jedna od druge. Za dve pi vrednosti imao Π 1 =𝐹 Π 2 . Ovo jednostavan problem jer se može predstaviti na 2D grafiku, a empirijska jednačina se određuje numeričkim putem (fitovanjem). Jednu Π veličina Dve Π veličine Primer za pad pritiska: Π 1 𝐶 Eksperimentalne vrednosti Π 1 Π 2 Π 1 = Π 2 −0.25 𝐷 ∆𝑃 𝐿 𝜌 𝑉 2 = 𝜌𝑉𝐷 𝜇 −0.25 𝐷 ∆𝑃 𝐿 𝜌 𝑉 2 =0.16 𝑅𝑒 −0.25 Blaziusova jednačina

15 Dimenziona analiza i teorija sličnosti
Da bismo mogli neki sistem modela i prototipa da smatramo sličnim (važi isti odnos bezdimenzionih veličina) mora da postoji geometrijska, kinematička i dinamička sličnost! Geometrijska sličnost je ostvarena ukoliko su model i prototip istih oblika. Sve dimenzije modela moraju da odgovaraju dimenzijama prototipa pomnoženim sa nekim faktorom (odnos, model - 1:X). Kinematička sličnost je ostvarena ukoliko su brzine fluida za model jednake (intenzitet, pravac i smer) brzinama koje se javljaju kod prototipa pomnoženih sa faktorom umanjenja/uvećanja. Preduslov je da je ostvarena geometrijska sličnost. Dinamička sličnost je ostvarena ukoliko su sile koje deluju na model jednake (intenzitet, pravac i smer) silama koje se javljaju kod prototipa pomnoženih sa faktorom umanjenja/uvećanja. Ukoliko postoji dinamička sličnost ostvarena je geometrijska i kinematička sličnost. Međutim, kada su postignute geometrijska i kinematička sličnost, ne mora da znači da je ispunjena dinamička sličnost. Nekada nije moguće u potpunosti izvesti bezdimenzionu sličnost koja dovodi do prelaska sa modela na prototip. Međutim, određenim matematičkim pretpostavkama i dalje smo u mogućnosti da predvidimo ponašanje prototipa. Najčešća oblast primene dezdimenzione analize i teorije sličnosti u mehanici fluida je pri ispitivanju modela u vazdušnim tunelima pri kojima se određuje koeficijent trenja (sila trenja u zavisnosti od brzine). Ovo omogućava dizajn prototipova na koje deluje male sile trenja.

16 Eksperiment na modelu, vazdušni tunel
Prikazaćemo primer kako sa modela autobusa 1:15 da odredimo silu otpora koja će delovati na prototip. Dimenzije modela su 0,2x0,2x1,0 m. U vazdušnom tunelu se meri sila otpora u zavisnosti od brzine vazduha. Bezdimenzionom analizom smo već izveli dve Pi grupe: 𝐶 𝐷 𝑖 𝑅𝑒. Ako ostvarimo isti Re imaćemo i isti koeficijent otpora za model i prototip. (samo ako je ispunjen uslov sličnosti). Možemo da simuliramo koliki je otpor kada se prototip kreće brzinom 100km/h. 𝐹 𝐷 𝑉 2 𝐴𝜌 =𝐹 𝑉𝐿𝜌 𝜇 𝐶 𝐷 =𝐹 𝑅𝑒 𝑉 𝐹 𝐷 Merimo brzinu i silu 𝑅𝑒 𝑚 = 𝑅𝑒 𝑝 𝑉 𝑚 𝐿 𝑚 𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 = 𝑉 𝑝 𝐿 𝑝 𝜌 𝑝 𝜇 𝑝 sledi 𝑉 𝑚 𝑉 𝑝 = 𝐿 𝑝 𝐿 𝑚 =15 𝑉 𝑚 =15 𝑉 𝑝 =1500 𝑘𝑚 ℎ Možemo povećati model i smanji faktor uvećanja brzine Možemo promeniti fluid ili svojstvo fluida (promenom pritiska i temperature) Možemo odrediti Re pri nekoliko velikih brzina i ekstrapolisati vrednost za 𝐶 𝐷 . U praksi vrednost 𝐶 𝐷 postaje konstantan posle neke vrednosti Re broja. Što znači da čak i kada ne postignemo iste vrednosti Re broja, možemo primeniti teoriju sličnosti. Brzina u vazduha pri testiranju modela bi morala da iznosi 1500 km/h?

17 Eksperiment na modelu, vazdušni tunel
Možemo eksperimentalno da odredimo asimptotu za 𝐶 𝐷 . I da tu vrednost primenimo za određivanje sile trenja prototipa pri 100 km/h. 𝐶 𝐷 𝑅𝑒 𝑉 𝐹 𝐷 0,8 Merimo brzinu i silu Računamo 𝐶 𝐷 𝑖 𝑅𝑒 6× 10 5 𝐶 𝐷 = 𝐹 𝐷 𝑉 2 𝐴𝜌 𝑅𝑒= 𝑉𝐿𝜌 𝜇 𝑅𝑒 𝑚( 𝐶 𝐷 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) = 𝑉 𝑚 𝐿 𝑚 𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 =6× 10 5 𝑅𝑒 𝑝 = 𝑉 𝑝 𝐿 𝑝 𝜌 𝑝 𝜇 𝑝 =5,36× 10 6 𝐶 𝐷𝑚 ≈ 𝐶 𝐷𝑝 ≈0,8 𝐹 𝐷𝑝 𝑉 𝑝 2 𝐴 𝑝 𝜌 𝑝 =0, 𝐹 𝐷𝑝 =3305𝑁 Rejnolds za slučaj prototipa je mnogo veći i ulazi u oblast konstantne vrednosti za 𝐶 𝐷 koju smo odredili eksperimentalno. Sada smo u mogućnosti da odredimo silu koja deluje na autobus kada se kreće 100 km/h. ≈337𝑘𝑔

18 Neke (česte) bezdimnzione veličine u mehanici fluida
Bezdimenzione veličine i kriterijalne jednačine dobijaju imena po poznatim naučnicima koji su istraživali tu oblast! Oznaka Naziv Izraz Opis Primena Re Rejnoldsov broj 𝑉𝐿𝜌 𝜇 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑘𝑜𝑧𝑛𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑒 U skoro svakoj oblasti mehanike fluida. Određuje režim strujanja. Fr Frudov broj 𝑉 𝑔𝐿 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑒 Tok fluida sa slobodnom površinom. Eu Ojlerov broj ∆𝑃 𝜌 𝑉 2 𝑟𝑎𝑧𝑙𝑖𝑘𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖č𝑘𝑖 𝑝𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠𝑎𝑘 Problemi u kojima se ispituje razlika pritiska. Ma Mahov broj 𝑉 𝑐 𝑏𝑟𝑧𝑖𝑛𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑏𝑟𝑧𝑖𝑛𝑎 𝑧𝑣𝑢𝑘𝑎 Kod strujanja stišljivih fluida. St Strohaulov broj 𝜔𝐿 𝑉 𝑘𝑎𝑟𝑎𝑘𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖č𝑛𝑜 𝑣𝑟𝑒𝑚𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑢𝑗𝑎𝑛𝑗𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑜𝑣𝑎𝑛𝑗𝑎 Nestacionarna strujanja kod kojih se javlja oscilacija. We Veberov broj 𝑉 2 𝐿𝜌 𝜎 𝑆 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑣𝑟š𝑖𝑛𝑠𝑘𝑜𝑔 𝑛𝑎𝑝𝑜𝑛𝑎 Problemi kod kojih su važne sile površinskog napona.