Diferencijalna analiza strujanja fluida

Diferencijalna analiza strujanja fluida
Mehanika Fluida Diferencijalna analiza strujanja fluida

Sadržaj predmeta: Uvod. Osnovni principi i pojmovi Svojstva fluida
Fluidi u mirovanju (statika fluida) Strujanje fluida (kinematika fluida) Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine kretanja) Diferencijalna analiza strujanja fluida (zakoni o održanju mase i količine kretanja, strujna funkcija, Košijeva i Navier-Stoksova jednačina) Dimenziona analiza i teorija sličnosti Strujanje neviskoznih fluida, Nerotaciono strujanje, Dvodimenzionalno strujanje, Strujna funkcija i potencijal brzina, Superpozicija Strujanje viskoznih fluida u cevi. Laminarno i turbulentno strujanje. Koncept graničnog sloja Osnovni pojmovi računarske dinamike fluida

6 Zakon o održanju mase – jednačina kontiniteta Strujna funkcija
Zakon o održanju količine kretanja. Košijeva jednačina. Navier-Stoksova jednačina 6

Diferencijalna analiza strujanja, osnovni pojmovi
U prethodnom poglavlju smo izveli osnovne jednačine zakona održanja za kontrolnu zapreminu koja predstavlja končnu, merljivu zapreminu fluida. Kao rezultate takve analize dobijamo informacije o sumarnim/integralnim veličinama. Jednačine za kontrolnu zapreminu se nazivaju i integralni oblici jednačina održanja. (obratiti pažnju na oblik izvedenih jednačina) Integralni oblik nam ne daje detaljne informacije o događanjima unutar kontrolne zapremine. Nekada nas i ne zanima šta se događa unutar KZ (black box). Međutim nekada želimo da razmotrimo svaki detalj strujanja nekog odabranog dela fluida. Tada je neophodno da pristupimo diferencijalnoj analizi tj. da saznamo vrednosti strujanja fluida u svakoj tački i u svakom trenutku. Takve jednačine se nazivaju diferencijalne jednačine zakona održanja. Možemo da ih zamislimo kao beskonačno male kontrolne zapremine „naslagane“ jedne do druge tako da „sačine“ celu oblast koju razmatramo. Ta oblast se naziva domen strujanja fluida. Kontrolna zapremina, KZ 𝑑𝒱,𝑑𝑚 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Domen strujanja fluida koji razmatramo (domen) Kontrolna površina, KP

Diferencijalna analiza strujanja, osnovni pojmovi
Kada se oslobodimo integrala i dobijemo diferencijalnu jednačinu tada ona važi za bilo koji deo fluida koji razmatramo u domenu. Da bi smo dobili rešenja (brzina, gustina, pritisak itd.) bilo gde, moramo od nekuda krenuti. Moramo postaviti granične uslove koji vladaju na krajevima domena i početne uslove koji važe za početno vreme posmatranja domena. Rešavanje diferencijalnih jednačine generalno predstavlja mnogo teži proces od upotrebe integralnih oblika, ali se dobijene informacije detaljnije. Računari nam pružaju veliku pomoć pri rešavanju dif. jednačina, ali postoji mogućnost dobijanja analitičkih rešenja ako se uvedu određena pojednostavljenja. Inženjer mora dobro razmotriti koji će pristup koristiti za rešavanje i analizu problema (integralnu brzu proceduru ili detaljnu i zametnu diferencijalnu proceduru). Izlaz Izlaz KZ Domen 𝐹 Ulaz Ulaz 𝐹 Integralni pristup Diferencijalni pristup

Zakon o održanju mase – diferencijalni oblik
Već smo izveli jednačinu održanja mase kaja važi za kontrolnu zapreminu bilo kog oblika i veličine. Da bi smo dobili diferencijalni oblik moramo kontrolnu zapreminu svesti na beskonačno male dimenzije. Tada će jednačina kontinuiteta važiti za bilo koju tačku u domenu. Diferencijalni oblik ćemo izvesti preko dva pristupa pomoću Gausove teoreme (teorija divergencije) i preko pristupa beskonačno male zapremine. Gausova teorema: Važi za bilo koju zapreminu, pa i samim time i za KZ Mora biti „zatvoren“ integral, po celoj površini Količina fluida koju stvore izvori u proizvoljnom prostoru zapremine 𝒱, tačno je jednaka količini fluida koja protekne kroz površinu A koja ograničava taj prostor. 𝒱 𝛻 ⋅ 𝐺 𝑑𝒱 = 𝐴 𝐺 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Gausova teorema nam omogućava da zapreminski integral divergencije nekog vektora prevedemo u površinski integral koji ograničava tu zapreminu. Pomoću Gausove teoremo možemo protoke kroz površinu pri bilansiranju mase, količine kretanja ili energije definisati pomoću divergencije u zapremini. Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) div Jačina (izdašnost) tačkastog izvora

Primenom Gausove teoreme na integralni bilans mase možemo izvesti diferencijalni oblik zakona o održanju mase (jednačinu kontinuiteta) 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 =0 Kontrolna zapremina, KZ Integralni bilans mase: 𝒱 𝛻 ⋅ 𝐺 𝑑𝒱 = 𝐴 𝐺 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Gausova teorema: 𝐺 =𝜌 𝑉 𝐾𝑍 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑑𝒱 + 𝐾𝑍 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 =0 𝐾𝑍 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑑𝒱=0 Ovaj izraz mora da važi za bilo koju zapreminu, i ova jednakost može biti zadovoljena samo ako je podintegralna funkcija jednaka nuli. 𝑑𝒱 Osnovna diferencijalna jednačina zakona o održanju mase. Jednačina kontinuiteta. 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 =0

Promenu i protok neke veličine (mase) možemo definisati tako što ćemo oko tačke opisati našu beskonačnu malu zapreminu, a promene (funkciju) definisati Tejlorovim redom. Tejlorov red je aproksimacija funkcije oko tačke. 𝑧 Brook Taylor (1685–1731) 𝑣 𝑢 𝑤 𝑉 𝑥 𝑦 Primer za x osu, desna strana kocke: 𝑑𝑧 𝜌𝑢 𝐿𝐸𝑉𝑂 ≅𝜌𝑢− 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝐶 𝜌𝑢 𝐷𝐸𝑆𝑁𝑂 =𝜌𝑢+ 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 𝑑𝑥 ! 𝜕 2 (𝜌𝑢) 𝜕 2 𝑥 𝑑𝑥 … 𝜌𝑢 ≈ 𝑑y 𝑑𝑥

Razmatranjem i direktnim bilansiranjem beskonačno male zapremine možemo izvesti diferencijalni oblik zakona o održanju mase (jednačinu kontinuiteta). 𝜌𝑤+ 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑧 𝜌𝑣− 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑥 𝑦 𝑑z 𝜌𝑢− 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜌𝑢+ 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜌𝑣+ 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑y 𝑑𝑥 𝜌𝑤− 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦

Nakon definisanja ulaza i izlaza, dodatnim definisanjem akumulacije beskonačno male zapremine možemo izvesti bilans. 𝑚 𝑈𝐿𝐴𝑍 − 𝑚 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 = 𝑑 𝑚 𝐾𝑍 𝑑𝑡 𝑚 𝑈𝐿𝐴𝑍 = 𝜌𝑢− 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧+ 𝜌𝑣− 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧+ 𝜌𝑤− 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Leva strana Zadnja strana Donja strana 𝑚 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 = 𝜌𝑢+ 𝜕(𝜌𝑢) 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧+ 𝜌𝑣+ 𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧+ 𝜌𝑤+ 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Desna strana Prednja strana Gornja strana 𝑑 𝑚 𝐾𝑍 𝑑𝑡 = 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐾𝑍=𝑑𝒱=𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=− 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧− 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧− 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 /𝑑𝒱 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧 =0 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 =0 Jednačina kontinuiteta.

Jednačinu kontinuiteta možemo napisati i pomoću supstancijalnog izvoda. 𝐷( ) 𝐷𝑡 = 𝜕( ) 𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝛻 ( ) 𝐷𝜌 𝐷𝑡 = 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝛻 𝜌 Supstancijalni izvod Supstancijalni izvod za gustinu 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 =0 Jednačina kontinuiteta 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 = 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝛻 𝜌+𝜌 𝛻 ∙ 𝑉 =0 𝐷𝜌 𝐷𝑡 +𝜌 𝛻 ∙ 𝑉 =0 1 𝜌 𝐷𝜌 𝐷𝑡 + 𝛻 ∙ 𝑉 =0 Jednačina kontinuiteta i supstancijalni izvod

Uvrštavanjem određenih aproksimacija dobijamo posebne oblike jednačine kontinuiteta. Razmatraćemo stacionarno i nestišljivo strujanje. 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 =0 Jednačina kontinuiteta Stacionarno strujanje 𝜕𝜌 𝜕𝑡 =0: 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕(𝜌𝑤) 𝜕𝑧 =0 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 =0 Prozor Nestišljiv fluid 𝜌=const: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 =0 𝛻 ⋅ 𝑉 =0 Možemo uočiti da u poslednjem izrazu ne postoji izvod sa vremenom čak i ako se radi o nestacionarnom strujanju. Kada je 𝜌=const tada se strujno polje u trenutku menja svuda ako dolazi promene u jednoj tački domena. Ako 𝜌≠const tada to nije slučaj. Kada je fluid stišljiv ili se kreće velikom brzinom (udarni talas) tada promene u tački nemaju trenutni odziv po celom domenu. Izvod po vremenu može postojati samo ako 𝜌≠const. Udarni talas – shock wave.

Strujna funkcija (𝜓) Nakon postavljanja jednačine kontinuiteta, razmatraćemo dvodimenzionalno strujanje nestišljivog fluida: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 =0 Imamo dve promenjive po xy ravni (u, v). Možemo prevesti gornju jednačinu u jednu promenjivu tako što ćemo uvesti strujnu funkciju 𝜓. 𝑢= 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑣=− 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜓 𝑚 2 𝑠 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜓 𝜕𝑦 − 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝜓 𝜕𝑥 = 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑦𝜕𝑥 =0 Pojam strujne funkciju i potencijala brzine uveo je Lagranž. Na ovaj način smo dvodimenzionalno strujanje definisali preko jedne promenjive i pokazaćemo da ta promenjiva (strujna funkcija) predstavlja strujnicu tj. da ima stalnu vrednost duž strujnice.

Strujna funkcija (𝜓) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑢 Podsetnik. Duž strujnice važi:
𝑢𝑑𝑦−𝑣𝑑𝑥=0 𝑢= 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑣=− 𝜕𝜓 𝜕𝑥 Strujna funkcija 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑑𝑥=0 𝑑𝜓= 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑑𝑦=0 Prelazak na totalni diferencijal 𝐴 2 𝜓=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Ne menja se duž strujnice (definiše strujnicu) 𝐴 1 𝜓 1 𝑚 1 , 𝒱 1 , 𝑉 1 𝑚 2 , 𝒱 2 , 𝑉 2 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 2 𝜓 3 𝜓 4 𝜓 5 𝑚 1 = 𝑚 2 , 𝐴 1 < 𝐴 2 , 𝑉 1 > 𝑉 2 , 𝒱 1 = 𝒱 2 = 𝜓 1 − 𝜓 2 Po jedinici dužine Tok fluida po definiciji ne može da preseca strujnicu. Fluid koji se nalazi između dve strujnice postaje njima ograničen i ostaje između njih. Maseni protok koji prolazi kroz bilo koju površinu između dve strujnice je uvek isti. Zapreminski protok po jedinici dužine između dve strujnice je jednak razlici dve strujne funkcije koje definišu te strujnice. Ukoliko su dve strujne funkcije udaljene veća je površina između njih (razmak) i to dovodi to toga da brzina fluida mora biti manja i obrnuto jer se mora postojati održanje masenog protoka između strujnica!

Kontrolna zapremina, KZ
Zakon o održanju količine kretanja Diferencijalni oblik, translatorno kretanje 𝜎 𝑧𝑧 Podsetnik. Za kontrolnu zapreminu smo već definisali sile i zakon o održanju za KZ: 𝜎 𝑧𝑥 𝜎 𝑧𝑦 𝐹 = 𝐹 𝐴 𝐹 𝒱 = 𝐾𝑃 (𝜎 𝑖𝑗 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 + 𝐾𝑍 𝜌 𝑔 𝑑𝒱 𝜎 𝑥𝑧 Suma sila koje deluju na fluid: 𝜎 𝑦𝑧 𝜎 𝑥𝑥 𝐹 = 𝐾𝑍 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Održanje KK za KZ: 𝜎 𝑥𝑦 𝜎 𝑦𝑥 𝑑 𝐹 𝐴 𝜎 𝑦𝑦 Kontrolna zapremina, KZ 𝑔 𝑑𝐴 𝑛 𝜌 𝑔 𝑑𝒱 𝐾𝑃 (𝜎 𝑖𝑗 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 + 𝐾𝑍 𝜌 𝑔 𝑑𝒱 = 𝐾𝑍 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑑𝒱 Da bismo došli do diferencijalnog oblika koji važi za bilo koju tačku, moramo da se oslobodimo integrala (da povežemo integral po površini i po zapremini). To ćemo izvesti pomoću Gausove teoreme. Izvešćemo istu jednačinu i bilansiranjem diferencijalno male zapremine. 𝑑 𝐹 𝒱 Kontrolna površina, KP

Zakon o održanju količine kretanja - diferencijalni oblik
Da bismo došli do diferencijalnog oblika koji važi za bilo koju tačku, moramo da se oslobodimo integrala (da povežemo integral po površini i po zapremini). 𝐾𝑃 (𝜎 𝑖𝑗 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 + 𝐾𝑍 𝜌 𝑔 𝑑𝒱 = 𝐾𝑍 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Gausova teorema važi za vektore i tenzore: 𝒱 𝛻 ⋅ 𝐺 𝑖𝑗 𝑑𝒱 = 𝐴 𝐺 𝑖𝑗 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝒱 𝛻 ⋅ 𝐺 𝑑𝒱 = 𝐴 𝐺 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Vektori Tenzori 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝐾𝑍 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 𝑑𝒱 𝐾𝑃 (𝜎 𝑖𝑗 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 = 𝐾𝑍 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 𝑑𝒱 𝐾𝑍 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 𝑑𝒱 + 𝐾𝑍 𝜌 𝑔 𝑑𝒱 = 𝐾𝑍 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑍 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 𝑑𝒱 𝑉 𝑉 = 𝑉 ⨂ 𝑉 = 𝑢𝑢 𝑢𝑣 𝑢𝑤 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 𝑤𝑢 𝑤𝑣 𝑤𝑤 𝐾𝑍 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 −𝜌 𝑔 − 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 𝑑𝒱=0 Kronekerov tenzorski proizvod vektora brzine sa samim sobom Augustin Louis Cauchy (1789–1857) 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 =𝜌 𝑔 + 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 Košijeva jednačina

Razmatranjem i direktnim bilansiranjem beskonačno male zapremine možemo izvesti diferencijalni oblik zakona o količine kretanja (Košijevu jednačinu). Zbog jednostavnosti prikaza razmatraćemo x komponentu količine kretanja. Ostale komponente se izvode na isti način. Članovi koji čine bilans KK su zapreminske sile, površinske sile, akumulacija i neto otok količine kretanja. 𝐹 = 𝐹 𝐴 𝐹 𝒱 = 𝐾𝑍 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑑𝑥 𝑑y 𝑑z Prvo ćemo razmotriti zapreminske članove gornjeg izraza (x komponentu) Promena količine kretanja u 𝑑𝒱: 𝐾𝑍 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌𝑢 𝑑𝒱 ≅ 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Zapreminska (gravitaciona sila) u 𝑑𝒱: 𝐹 𝑉𝑥 ≅𝜌 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝜌 𝑔 𝑑𝒱 𝜌 𝑔 𝑑𝒱 ~𝜌 𝑔 𝑥 𝑑𝒱

Sada možemo izvesti neto odtok KK kroz stranice 𝑑𝒱 za x komponentu: 𝑣 𝑢 𝑤 𝑉 𝜌𝑢𝑤+ 𝜕(𝜌𝑢𝑤) 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑧 𝜌𝑢𝑣− 𝜕(𝜌𝑢𝑣) 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑥 𝑦 𝑑z 𝜌𝑢𝑢− 𝜕(𝜌𝑢𝑢) 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜌𝑢𝑢+ 𝜕(𝜌𝑢𝑢) 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑y 𝜌𝑢𝑣+ 𝜕(𝜌𝑢𝑣) 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 Neto odtok količine kretanja kroz KP za x komponentu: 𝑑𝑥 𝜕(𝜌𝑢𝑢) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝜌𝑢𝑣) 𝜕𝑦 + 𝜕(𝜌𝑢𝑤) 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝜌𝑢𝑤− 𝜕(𝜌𝑢𝑤) 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦

Razmatranjem napona u pravcu x ose (normalnih i tangencijalnih) izvodimo neto površinsku silu za x komponentu: 𝑧 𝜎 𝑦𝑥 − 𝜕 𝜎 𝑦𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝜎 𝑧𝑥 + 𝜕 𝜎 𝑧𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 𝑦 𝑑z 𝜎 𝑥𝑥 − 𝜕 𝜎 𝑥𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜎 𝑥𝑥 + 𝜕 𝜎 𝑥𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜎 𝑦𝑥 + 𝜕 𝜎 𝑦𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝜎 𝑧𝑥 − 𝜕 𝜎 𝑧𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑y 𝑑𝑥 𝐹 𝐴𝑥 ≅ 𝜕 𝜎 𝑥𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜎 𝑦𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜎 𝑧𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Neto površinska sila za x komponentu:

Izveli smo sve izraze za količine kretanja (neto odtok i akumulacija) i za sile (površinske i zapreminske) u pravcu x ose za beskonačno malu zapreminu Neto površinska sila: ≅ 𝜕 𝜎 𝑥𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜎 𝑦𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜎 𝑧𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Zapreminska (gravitaciona sila) u 𝑑𝒱: ≅𝜌 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Promena količine kretanja u 𝑑𝒱: ≅ 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Neto odtok količine kretanja kroz KP: ≅ 𝜕 𝜌𝑢𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑢𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜌𝑢𝑤 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝐹 𝐴 𝐹 𝒱 = 𝐾𝑍 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌𝑢+ 𝜕 𝜌𝑢𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑣𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜌𝑤𝑢 𝜕𝑧 =𝜌 𝑔 𝑥 + 𝜕 𝜎 𝑥𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜎 𝑦𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜎 𝑧𝑥 𝜕𝑧 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 =𝜌 𝑔 + 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌𝑣+ 𝜕 𝜌𝑢𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑣𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜌𝑤𝑣 𝜕𝑧 =𝜌 𝑔 𝑦 + 𝜕 𝜎 𝑥𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜎 𝑦𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜎 𝑧𝑦 𝜕𝑧 Košijeva jednačina 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌𝑤+ 𝜕 𝜌𝑢𝑤 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑤𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜌𝑤𝑤 𝜕𝑧 =𝜌 𝑔 𝑧 + 𝜕 𝜎 𝑥𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜎 𝑦𝑧 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜎 𝑧𝑧 𝜕𝑧

Kao i kod masenog bilansa i za bilans količine kretanja možemo uvesti supstancijalni izvod. To ćemo izvesti preko II Njutnovog zakona, tako što ćemo beskonačno malu kontrolnu zapreminu smatrati kao materijalni delić fluida. 𝐹 =𝑚 𝑎 =𝑚 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 Za bilo koju zapreminu 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 =𝜌 𝑔 + 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 Košijeva jednačina 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 + 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 Drugi oblik Košijeve jednačine preko supstancijalnog izvoda (polja ubrzanja) Iz dva oblika Košije jednačine zaključujemo da važi: 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 = 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 Dokazati! Košijeva jednačina je nije praktična, ali ona je osnov za izvođenje mnogo poznatije i korisnije Navier-Stoksove jednačine!!!

Zakon o održanju količine kretanja – Navier-Stoksova jednačina
𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 =𝜌 𝑔 + 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 + 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 Košijeva jednačina Navier-Stoksove jednačine ćemo izvesti uz sledeće aproksimacije: Fluid je nestišljiv (ρ=const). Tada važi: 𝛻 ⋅ 𝑉 =0 Zapreminske sile = gravitaciona sila =𝜌 𝑔 𝑑𝒱 Njutnovski fluid. Napon smicanja je direktno proporcionalan brzini deformacije tj. gradijentu brzine : 𝜏∝ 𝑑𝛽 𝑑𝑡 ; 𝜏∝ 𝑑𝑢 𝑑𝑡 Izotermsko strujanje (T=const), nema promene viskoznosti (μ=const)

Košijeva diferencijalna jednačina koja opisuje održanje količine kretanja nije primenjiva u inženjerstvu. Glavni razlog je tenzor napona. U tenzoru napona nalazi se 6 nepoznatih nezavisnih veličina (zašto nije 9?). Ako tome dodamo gustinu (ρ) i brzinu (u,v,w) dolazimo do 10 nepoznatih veličina. Da bi problem bi matematički određen (rešiv) moramo raspolagati sa 10 nezavisnih jednačina. Broj jednačina sa kojima raspolažemo je 4 (3x Košijeve i jednačina kontinuiteta). Stepen slobode našeg problema je 6. Potrebno je da definišemo još 6 jednačina da bi problem bio rešiv (teorijski). Da bismo problem preveli u određen, kao rešenje se nameće razmatranje tenzora napona i definisanje njegovih veličina preko drugih nepoznatih izraza u Košijevoj jednačini. Vektor napona možemo razložiti na dva člana (razmatranjem fluida kada miruje): 𝜎 𝑖𝑗 = 𝜎 𝑥𝑥 𝜎 𝑥𝑦 𝜎 𝑥𝑧 𝜎 𝑦𝑥 𝜎 𝑦𝑦 𝜎 𝑦𝑧 𝜎 𝑧𝑥 𝜎 𝑧𝑦 𝜎 𝑧𝑧 𝜎 𝑧𝑧 𝑃 𝑑𝑥 𝑑y 𝑑z 𝜎 𝑧𝑥 𝜎 𝑧𝑦 𝜎 𝑥𝑧 𝜎 𝑦𝑧 𝜎 𝑥𝑥 Za fluid u mirovanju 𝜎 𝑥𝑦 𝜎 𝑦𝑥 𝜎 𝑦𝑦 𝜎 𝑖𝑗 = −𝑃 −𝑃 −𝑃

Kada se fluid kreće i dalje deluju sile pritiska (normalno na površinu), ali se po definiciji fluida moraju se javiti i smicajni naponi tj. viskozne sile. Tada pišemo: 𝜎 𝑖𝑗 = 𝜎 𝑥𝑥 𝜎 𝑥𝑦 𝜎 𝑥𝑧 𝜎 𝑦𝑥 𝜎 𝑦𝑦 𝜎 𝑦𝑧 𝜎 𝑧𝑥 𝜎 𝑧𝑦 𝜎 𝑧𝑧 = −𝑃 −𝑃 −𝑃 + 𝜏 𝑥𝑥 𝜏 𝑥𝑦 𝜏 𝑥𝑧 𝜏 𝑦𝑥 𝜏 𝑦𝑦 𝜏 𝑦𝑧 𝜏 𝑧𝑥 𝜏 𝑧𝑦 𝜏 𝑧𝑧 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 + 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 𝐹 𝐴 = 𝐹 𝑃 𝐹 𝑉 Tenzor viskoznog napona Sile pritiska Viskozne sile Tenzor viskoznog napona i dalje ima 6 nepoznatih, a još smo dodali i pritisak. Međutim, članovi novog tenzora se mogu definisati kao funkcija brzine. Za njutnovske fluide ti naponi su direktno proporcionalni gradijentu brzine deformacije fluida. Pogledati: viskoznost (prezentacija 2-slajdovi ) i brzinu deformacije (prezentacija 4 – slajdovi 21-23). Za tenzore brzine deformacije i napona njutnovskog fluida važi sledeća veza: Nezavisne veličine, simetrija 𝜏 𝑖𝑗 =2𝜇 𝜀 𝑖𝑗 =2𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 2𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 2𝜇 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜇 𝜕𝑣 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝜇 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜇 𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑧 2𝜇 𝜕𝑤 𝜕𝑧

𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝛻 ⋅𝜎 𝑖𝑗 = 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑥𝑥 𝜎 𝑥𝑦 𝜎 𝑥𝑧 𝜎 𝑦𝑥 𝜎 𝑦𝑦 𝜎 𝑦𝑧 𝜎 𝑧𝑥 𝜎 𝑧𝑦 𝜎 𝑧𝑧 = 𝛻 ⋅ −𝑃 −𝑃 −𝑃 + 𝛻 ⋅ 𝜏 𝑖𝑗 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 + 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 2𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 2𝜇 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜇 𝜕𝑣 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝜇 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜇 𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑧 2𝜇 𝜕𝑤 𝜕𝑧 Za x komponentu: 𝜌 𝐷𝑢 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +2𝜇 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝜇 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 +𝜇 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜌 𝐷𝑢 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜇 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝜌 𝐷𝑢 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜇 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 + 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝛻 2 𝑢 - Laplasijan 𝛻 ⋅ 𝑉 =0 nestišljiv fluid Navier-Stoksova jednačina 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 +𝜇 𝛻 2 𝑉 𝜌 𝐷𝑢 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜇 𝛻 2 𝑢 𝜌 𝐷𝑣 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 𝑦 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 +𝜇 𝛻 2 𝑣 𝜌 𝐷𝑤 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 𝑧 − 𝜕𝑃 𝜕𝑧 +𝜇 𝛻 2 𝑤

𝜌 𝐷𝑣 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 𝑦 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 +𝜇 𝛻 2 𝑣 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 +𝜇 𝛻 2 𝑉 𝜌 𝐷𝑢 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜇 𝛻 2 𝑢 𝜌 𝐷𝑤 𝐷𝑡 =𝜌 𝑔 𝑧 − 𝜕𝑃 𝜕𝑧 +𝜇 𝛻 2 𝑤 𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑧 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜌 𝑔 𝑥 +𝜇 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 Za x komponentu: 𝜌 𝜕𝑣 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑧 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑦 +𝜌 𝑔 𝑦 +𝜇 𝜕 2 𝑣 𝜕 𝑥 𝜕 2 𝑣 𝜕 𝑦 𝜕 2 𝑣 𝜕 𝑧 2 3 jednačine i 4 nepoznate (u, v, w, P) Za y komponentu: 𝜌 𝜕𝑤 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕𝑤 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑤 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑧 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑧 +𝜌 𝑔 𝑧 +𝜇 𝜕 2 𝑤 𝜕 𝑥 𝜕 2 𝑤 𝜕 𝑦 𝜕 2 𝑤 𝜕 𝑧 2 Za z komponentu: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 =0 4 jednačine i 4 nepoznate (u, v, w, P). Problem je matematički određen. Jednačina kontinuiteta:

𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 +𝜇 𝛻 2 𝑉 NS jednačina daje vezu između polja brzina i polja pritiska. Poznavanjem polja brzina možemo odrediti polje pritiska. Drugi pristup je ukoliko poznajemo geometriju i granične uslove i određujemo oba polja (pritiska i brzine). U NS jednačini pritisak figuriše samo kao gradijent. Prilikom integracije bi dobili konstantu, kao granični uslov bismo mogli da postavimo vrednost pritiska na granici domena. Zaključujemo da polje brzina zavisi od razlike pritiska, a ne od apsolutne vrednosti pritiska. Rešavanje NS diferencijalnih jednačina i jednačine kontinuiteta mora da se odvija paralelno, jer se diferencijali brzina pojavljuju u svim jednačinama. Analitičko rešavanje NS jednačina nije moguće ukoliko nisu u pitanju jednostavni problemi. Veliku pomoć pružaju računari i CFD softveri (CFD – Computing Fluid Dynamics). Mogu se definisati sledeći koraci pri rešavanju NS jednačina kretanja fluida: Korak 1 Postavljanje problema i geometrije (koristan je crtež). Identifikovanje svih relevantnih dimenzija i parametara Korak 2 Spisak svih prihvatljivih aproksimacija, pretpostavki, uprošćenja i graničnih uslova Korak 3 Pojednostavljenje (koliko god je moguće) diferencijalnih jednačina količine kretanja (Navier-Stoks i jednačina kontinuiteta) Korak 4 Integracija jednačina koja dovodi do jedne ili više konstanti integracije Korak 5 Primena graničnih uslova u cilju proračuna integracionih konstanti Korak 6 Provera rezultata REŠENJE

NS jednačina se može analitički rešiti za trivijalna strujanja. Razmatraćemo stacionarno, laminarno strujanje između dve nepokretne beskonačno velike paralelne ploče: 𝑧 ℎ 𝑢 𝑥 𝑦 ℎ 𝑔 Fluid se kreće samo duž x ose (𝑣=0; 𝑤=0) Strujanje je stacionarno ( 𝜕𝑢 𝜕𝑡 =0) Brzina fluida se ne menja po x i y osi ( 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =0; 𝜕𝑢 𝜕𝑥 =0) Gravitacija deluje po z osi ( 𝑔 𝑥 =0; 𝑔 𝑦 =0; 𝑔 𝑧 =−𝑔) Brzina u se može menjati samo po z osi. Za navedene uslove možemo napisati NS jednačine za sve tri ose: x: 0=− 𝜕𝑃 𝜕𝑦 y: 𝜌 𝜕𝑢 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑧 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜌 𝑔 𝑥 +𝜇 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 0=− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜇 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 0=− 𝜕𝑃 𝜕𝑧 −𝜌𝑔 z:

𝑧 𝑙;∆𝑃= 𝑃 2 − 𝑃 1 𝑢=0;𝑧=±ℎ 0=− 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑢 y: ℎ 𝑢 𝑢 𝑚𝑎𝑥 𝑥 0=− 𝜕𝑃 𝜕𝑧 −𝜌𝑔 𝑦 ℎ z: 𝑔 x: 0=− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜇 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 𝒱 = −ℎ ℎ 𝑢𝑑𝑧 =− 2 ℎ 3 3𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑃= 𝑃 0 −𝜌𝑔𝑧+ 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑥 𝑑 2 𝑢 𝑑 𝑧 2 = 1 𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 ∆𝑃 𝑙 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝒱 = 2 ℎ 3 3𝜇 ∆𝑃 𝑙 𝑑𝑢 𝜕𝑧 = 1 𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑧+ 𝐶 1 𝑢 𝑠𝑟 = 𝒱 2ℎ = ℎ 2 3𝜇 ∆𝑃 𝑙 𝑢= 1 2𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑧 2 + 𝐶 1 𝑧+ 𝐶 2 𝑢= 1 2𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑧 2 − ℎ 2 𝑢 𝑚𝑎𝑥 = −ℎ 2 2𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = ℎ 2 2𝜇 ∆𝑃 𝑙 = 3 2 𝑢 𝑠𝑟 𝐶 1 =0; 𝐶 2 =− 1 2𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 ℎ 2

Kuetovo strujanje Razmatraćemo stacionarno, laminarno strujanje između dve beskonačno velike paralelne ploče. Donja je nepokretana dok se gornja kreće konstantnom brzinom U: 𝑧 𝑢=𝑈;𝑧=𝑏 𝑈 𝑢 𝑏 𝑥 𝑦 𝑢=0;𝑧=0 𝑔 Donja ploča je nepokretana Fluid se kreće samo duž x ose (𝑣=0; 𝑤=0) Strujanje je stacionarno ( 𝜕𝑢 𝜕𝑡 =0) Brzina fluida se ne menja po x i y osi ( 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =0; 𝜕𝑢 𝜕𝑥 =0) Gravitacija deluje po z osi ( 𝑔 𝑥 =0; 𝑔 𝑦 =0; 𝑔 𝑧 =−𝑔) Brzina u se može menjati samo po z osi. Za navedene uslove dobijamo iste NS jednačine kao i za prethodni primer: 𝑢= 1 2𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑧 2 + 𝐶 1 𝑧+ 𝐶 2 𝑢=𝑈 𝑧 𝑏 + 1 2𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑧 2 −𝑏𝑧 𝑢 𝑈 = 𝑧 𝑏 − 𝑏 2 2𝜇𝑈 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑧 𝑏 1− 𝑧 𝑏 0=− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜇 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 0=− 𝜕𝑃 𝜕𝑦 0=− 𝜕𝑃 𝜕𝑧 −𝜌𝑔 x: y: z: 𝑢 ∗ = 𝑧 ∗ − 𝑏 2 2𝜇𝑈 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑧 ∗ 1− 𝑧 ∗ Bezdimenzioni oblik:

Kuetovo strujanje 𝑈 Donja ploča je nepokretana 𝑢 ∗ = 𝑢 𝑈 𝑧 ∗ = 𝑧 𝑏 −2 −1 1 2 3 𝛽=−3 𝑢 𝑢<0 0<𝑢<𝑈 𝑢>𝑈 𝑢 𝑈 = 𝑧 𝑏 + 𝑏 2 2𝜇𝑈 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑧 𝑏 1− 𝑧 𝑏 𝑢 ∗ = 𝑧 ∗ − 𝑏 2 2𝜇𝑈 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑧 ∗ 1− 𝑧 ∗ 𝛽=− 𝑏 2 2𝜇𝑈 𝜕𝑃 𝜕𝑥 Bezdimenziona vrednost koja zavisi od gradijenta pritiska 𝑢 ∗ = 𝑧 ∗ +𝛽 𝑧 ∗ 1− 𝑧 ∗ Ukoliko je gradijent pritiska pozitivan, 𝛽 je negativno i može doći do povratnog toka. Kada je 𝛽=0, ne postoji gradijent pritiska (prosto Kuetovo strujanje). Ploča „vuče“ fluid sa sobom i brzina se menja linearno. 𝑢=𝑈 𝑧 𝑏

Hagen-Poazejev zakon Predstavlja rešavanje strujanja za stacionarno, laminarno, nestišljivo strujanje fluida kroz cev konstantnog kružnog poprečnog preseka. 𝑉 𝑥 Brzine 𝑉 𝜃 i 𝑉 𝑟 su jednake nuli. Ne postoji promena brzine po x osi 𝜕 𝑉 𝑥 𝜕𝑥 =0 Strujanje je stacionarno 𝜕 𝑉 𝑥 𝜕𝑡 =0 𝑉 𝑥 je samo funkcija koordinate r Brzina na koordinati R je jednaka nuli 𝑟 𝜃 𝑥 𝑅 Za prikazane cilindrične koordinate važe NS jednačine: 𝜌 𝜕 𝑉 𝑥 𝜕𝑡 + 𝑉 𝑥 𝜕 𝑉 𝑥 𝜕𝑥 + 𝑉 𝑟 𝜕 𝑉 𝑥 𝜕𝑟 + 𝑉 𝜃 𝑟 𝜕 𝑉 𝑥 𝜕𝜃 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜌 𝑔 𝑥 +𝜇 𝜕 2 𝑉 𝑥 𝜕 𝑥 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 𝜕 𝑉 𝑥 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕 2 𝑉 𝑥 𝜕 𝜃 2 𝑥: 𝜌 𝜕 𝑉 𝑟 𝜕𝑡 + 𝑉 𝑥 𝜕 𝑉 𝑟 𝜕𝑥 + 𝑉 𝑟 𝜕 𝑉 𝑟 𝜕𝑟 + 𝑉 𝜃 𝑟 𝜕 𝑉 𝑟 𝜕𝜃 − 𝑉 𝜃 2 𝑟 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑟 +𝜌 𝑔 𝑟 +𝜇 𝜕 2 𝑉 𝑟 𝜕 𝑥 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 𝜕 𝑉 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕 2 𝑉 𝑟 𝜕 𝜃 2 − 2 𝑟 2 𝜕 𝑉 𝜃 𝜕𝜃 − 𝑉 𝑟 𝑟 2 𝑟: 𝜌 𝜕 𝑉 𝜃 𝜕𝑡 + 𝑉 𝑥 𝜕 𝑉 𝜃 𝜕𝑥 + 𝑉 𝑟 𝜕 𝑉 𝜃 𝜕𝑟 + 𝑉 𝜃 𝑟 𝜕 𝑉 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑉 𝜃 𝑉 𝑟 𝑟 =− 1 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝜃 +𝜌 𝑔 𝜃 +𝜇 𝜕 2 𝑉 𝜃 𝜕 𝑥 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 𝜕 𝑉 𝜃 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕 2 𝑉 𝜃 𝜕 𝜃 𝑟 2 𝜕 𝑉 𝑟 𝜕𝜃 − 𝑉 𝜃 𝑟 2 𝜃:

Hagen-Poazejev zakon 0=− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 +𝜇 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 𝜕 𝑉 𝑥 𝜕𝑟 𝑥: 𝑉 𝑥 𝑟 𝜃 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 𝜕 𝑉 𝑥 𝜕𝑟 = 1 𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑉 𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝑥 𝑅 𝑟 𝜕 𝑉 𝑥 𝜕𝑟 = 1 2𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑟 2 + 𝐶 1 𝑉 𝑥 𝑉 𝑥 =0;𝑟=𝑅 𝑉 𝑥 = 1 4𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑟 2 + 𝐶 1 ln 𝑟 + 𝐶 2 𝑉 𝑥 = 1 4𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑟 2 − 𝑅 2 𝑉 𝑥 𝑠𝑟 = 𝒱 𝜋 𝑅 2 = 𝑅 2 8𝜇 ∆𝑃 𝑙 𝒱 =2𝜋 0 𝑅 𝑉 𝑥 𝑟𝑑𝑟 =− 𝜋 𝑅 4 8𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 ∆𝑃 𝑙 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝒱 = 𝜋 𝑅 4 8𝜇 ∆𝑃 𝑙 𝑉 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 2 4𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 𝑅 2 4𝜇 ∆𝑃 𝑙 =2 𝑉 𝑥 𝑠𝑟 𝑉 𝑥 𝑉 𝑥 𝑚𝑎𝑥 =1− 𝑟 𝑅 2

NS jednačina se može analitički rešiti samo za laminarna strujanja (svega nekoliko rešenja je izvedeno analitički). Analitički pristup na daje osnovu za razmatranje i razumevanje strujanja i zasniva se na fundamentalnim zakonima fizike i matematike. Analitička rešenja mogu dati približne vrednosti onim vrednostima koje se javljaju u realnim slučajevima. Komplikovanije geometrije i turbulentna strujanja se mogu analizirati CFD softverima. Međutim, i tada su rešenja približna, naročito za turbulentno strujanje za koje ne postoji adekvatno teorijsko i numeričko rešenje. Iz navedenih razloga mehanika fluida je primorana da se posveti eksperimentalnoj analizi strujanja i da na taj način opiše vrednosti parametara strujanja.

Diferencijalna analiza strujanja fluida

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Diferencijalna analiza strujanja fluida"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Diferencijalna analiza strujanja fluida

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Diferencijalna analiza strujanja fluida"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια