Mehanika Fluida Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine.

Mehanika Fluida Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine kretanja). Bernulijeva jednačina.

Sadržaj predmeta: Uvod. Osnovni principi i pojmovi Svojstva fluida
Fluidi u mirovanju (statika fluida) Strujanje fluida (kinematika fluida) Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine kretanja) Diferencijalna analiza strujanja fluida (zakoni o održanju mase i količine kretanja, strujna funkcija, Košijeva i Navier-Stoksova jednačina) Dimenziona analiza i teorija sličnosti Strujanje neviskoznih fluida, Nerotaciono strujanje, Dvodimenzionalno strujanje, Strujna funkcija i potencijal brzina, Superpozicija Strujanje viskoznih fluida u cevi. Laminarno i turbulentno strujanje. Koncept graničnog sloja Osnovni pojmovi računarske dinamike fluida

5 Zakon o održanju mase Zakon o održanju količine kretanja.
Bernulijeva jednačina. Zakon o održanju energije. 5

Zakoni o održanju, osnovni pojmovi
Postoje tri najpoznatija zakona, fundamentalna o održanju: mase, energije i količine kretanja (momenta, impulsa). Zakoni su prvenstveno izvedeni za zatvoren sistem, ali se mogu primeniti na kontrolnu zapreminu i na mehaniku fluida. Prilikom izražavanja bilansnih jednačina, nećemo razmatrati odvijanje ili postojanje hemijskih reakcija. Zakon o održanju mase je za zatvoren sistem veoma lako definisan. Ne postoji promena ukupne mase zatvorenog sistema!!! 𝑚 𝑆𝐼𝑆 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 𝑆𝐼𝑆 =0 Za kontrolnu zapreminu možemo napisati sledeće: 𝑚 𝑈𝐿𝐴𝑍 − 𝑚 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 = 𝑑 𝑚 𝐾𝑍 𝑑𝑡 Razlika između protoka mase koja ulazi u kontrolnu zapreminu i mase koja izlazi iz kontrolne zapremine jednaka je promeni mase sa vremenom u kontrolnoj zapremini (akumulacija). U mehanici fluida se bilans mase naziva i jednačina kontinuiteta.

Zakoni o održanju, osnovni pojmovi
Zakon o održanju energije za zatvoren sistem podrazumeva da se energija razmenjuje putem rada ili razmenom toplote. Neto razmena energije dovodi do promene energije sistema sa vremenom. Kada razmatramo otvoren sistem tj. kontrolnu zapreminu tada energija može da se razmenjuje i pomoću materijalnih tokova koji prolaze kroz kontrolnu površinu. Za kontrolnu zapreminu možemo napisati sledeće: 𝐸 𝑈𝐿𝐴𝑍 − 𝐸 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 = 𝑑 𝐸 𝐾𝑍 𝑑𝑡 Razlika između energije koja ulazi u kontrolnu zapreminu i energije koja izlazi iz kontrolne zapremine jednaka je promeni energije sa vremenom u kontrolnoj zapremini (akumulacija). Zakon o održanju količine kretanja (impulsa) se zasniva na drugom Njutnovom zakonu: ubrzanje tela je direktno proporcionalno neto sili koja deluje na telo i obrnuto proporcionalna masi tela. 𝐹 =𝑚⋅ 𝑎 Količina kretanja je umnožak mase i brzine tela = 𝑚⋅ 𝑉 . Brzina promene količine kretanja jednaka je neto sili koja deluje na telo. 𝐹 =𝑚⋅ 𝑑 𝑉 𝑑𝑡 Količina kretanja sistema se ne menja ukoliko je suma svih sila koje deluju na sistem jednaka nuli.

𝛿 𝑚 =𝜌 𝑉 𝑛 𝑑𝐴 𝑉 𝑛 je projekcija vektora brzina na normalu te površine
Zakon o održanju mase Zakon o održanju mase je fundamentalni i najpoznatiji zakon. Masa se ne može uništiti niti stvoriti i zatvoren sistem ne može menjati ukupnu masu! 𝑚 𝑆𝐼𝑆 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 𝑆𝐼𝑆 =0 Maseni i zapreminski protok ( 𝒎 i 𝓥 ) Masa koja protekne kroz beskonačnu malu površinu na kontrolnoj površini jednaka je: 𝛿 𝑚 =𝜌 𝑉 𝑛 𝑑𝐴 𝑉 𝑛 je projekcija vektora brzina na normalu te površine Integracijom po celoj kontrolnoj površini dobijamo maseni protok kroz celu kontrolnu površinu: 𝑚 = 𝐾𝑃 𝛿 𝑚 = 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑛 𝑑𝐴 Ova jednačina važi uvek, ali nam nije jednostavna za inženjersku upotrebu zbog integrala. Ukoliko gustinu smatramo konstantnom, a brzinu zamenimo srednjom brzinom dobijamo jednostavan i koristan izraz: 𝑚 =𝜌 𝑉 𝑆𝑅 𝐴 𝑘𝑔 𝑠 𝑉 𝑆𝑅 = 1 𝐴 𝐾𝑃 𝑉 𝑛 𝑑𝐴 𝐸=𝑚 𝑐 2 Stvarno?

Zakon o održanju mase Na sličan način možemo definisati i zapreminski protok 𝒱 𝒱 = 𝐾𝑃 𝑉 𝑛 𝑑𝐴 𝑚 3 𝑠 Veza između masenog i zapreminskog protoka: 𝑚 =𝜌 𝒱 Zakon o održanju mase: Neto masa koja prolazi kroz kontrolnu zapreminu u vremenu Δt jednaka je neto promeni mase unutar te zapremine za vreme Δt. (mULAZ - mIZLAZ = ΔmKZ). Možemo izraz podeliti sa dt i tada dobijamo: 𝑚 𝑈𝐿𝐴𝑍 − 𝑚 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 = 𝑑 𝑚 𝐾𝑍 𝑑𝑡 KZ 𝑚 1 =7 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛 𝑚 2 =8 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛 𝑚 𝑈𝐿𝐴𝑍 = 𝑚 𝑚 2 𝑑 𝑚 𝐾𝑍 𝑑𝑡 =10 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛 𝑚 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 =5 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛

Zakon o održanju mase U cilju praktične primene zakona o održanju mase izvešćemo izraze za neto odtok mase i promenu mase u kontrolnoj zapremini. Posmatraćemo beskonačno mali deo zapremine 𝑑𝒱 u kontrolnoj zapremini i beskonačno mali deo površine 𝑑𝐴 kontrolne površine kroz koji protiče fluid brzinom 𝑉 . Fluid može da menja gustinu u zavisnosti od položaja u kontrolnoj zapremini, pa ćemo upotrebiti zapreminski integral da bismo odredili masu kontrolne zapremine: 𝑚 𝐾𝑍 = 𝐾𝑍 𝜌𝑑𝒱 Brzina promene mase je: 𝑚 𝐾𝑍 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑑𝒱 Infinitezimalna masa koja protekne kroz površinu dA: 𝛿 𝑚 =𝜌 𝑉 𝑛 𝑑𝐴= 𝜌 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝐴=𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Ako izvršimo integraciju po celoj kontrolnoj površini dobijamo neto maseni odtok: 𝑚 𝑁𝐸𝑇 = 𝑚 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 − 𝑚 𝑈𝐿𝐴𝑍 = 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑉 Kontrolna zapremina, KZ 𝜃 𝑑𝐴 𝑛 𝑑𝒱 𝑑𝑚 Kontrolna površina, KP

Zakon o održanju mase RTT:
Sada možemo uvrstiti te izraze u bilans mase za kontrolnu zapreminu: 𝑚 𝑈𝐿𝐴𝑍 − 𝑚 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 = 𝑑 𝑚 𝐾𝑍 𝑑𝑡 𝑚 𝑁𝐸𝑇 = 𝑚 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 − 𝑚 𝑈𝐿𝐴𝑍 = 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑚 𝐾𝑍 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑑𝒱 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 =0 Osnovna jednačina održanja mase Bilans mase Izraz smo mogli vrlo brzo da izvedemo primenom Rejnoldsove transportne teoreme za B=m i b=B/m=1: 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑏𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌𝑏 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 RTT: 𝑑𝑚 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑑𝑚 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 =0 Sistem ne može da menja masu! Neto protok mase koja prolazi kroz kontrolnu površinu jednaka je promeni mase/akumulaciji u kontrolnoj zapremini. 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 =0

Ne postoji zakon o održanju zapremine!!!
𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 =0 Zakon o održanju mase Posebni oblici Stacionarno strujanje. Masa u kontrolnoj zapremini ne menja vrednost 𝑚 𝐾𝑍 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑑𝒱=0 , pa masa koja ulazi u kontrolnu zapreminu mora biti jednaka masi koja napušta kontrolnu zapreminu. 𝑚 𝑈𝐿𝐴𝑍 = 𝑚 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 Stacionarno strujanje sa jednim ulazom i jednim izlazom: 𝜌 1 𝑉 1 𝐴 1 = 𝜌 2 𝑉 2 𝐴 2 Stacionarno strujanje nestišljivih fluida. Gustina je konstantna što znači da je zapremina koja ulazi u kontrolnu zapreminu jednaka zapremi fluida koja je napušta: 𝒱 𝑈𝐿𝐴𝑍 = 𝒱 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 Stacionarno strujanje nestišljivih fluida sa jednim ulazom i jednim izlazom: 𝑉 1 𝐴 1 = 𝑉 2 𝐴 2 Stacionarno strujanje Stacionarno strujanje nestišljivih fluida 7 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛 7 𝐿 𝑚𝑖𝑛 8 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛 8 𝐿 𝑚𝑖𝑛 Ne postoji zakon o održanju zapremine!!! 𝑑 𝑚 𝐾𝑍 𝑑𝑡 =0 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛 𝑑 𝑚 𝐾𝑍 𝑑𝑡 =0 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛 15 𝑘𝑔 𝑚𝑖𝑛 15 𝐿 𝑚𝑖𝑛

Zakon o održanju količine kretanja
Zakon o održanju količine kretanja (impulsa) se zasniva na drugom Njutnovom zakonu: ubrzanje tela je direktno proporcionalno neto sili koja deluje na telo i obrnuto proporcionalna masi tela. 𝐹 =𝑚⋅ 𝑎 Količina kretanja je umnožak mase i brzine tela: 𝐾𝐾 =𝑚⋅ 𝑉 Brzina promene količine kretanja jednaka je neto sili koja deluje na telo. 𝐹 =𝑚⋅ 𝑑 𝑉 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑚 𝑉 𝑑𝑡 = 𝑑 𝐾𝐾 𝑑𝑡 Postavljanje konačnih oblika zakona o održanju količine kretanja zahteva detaljnije razmatranje neto sile u pomenutom izrazu. Izraz možemo prevesti u oblik koji opisuje održanje u kontrolnoj zapremini. Sile koje deluju na fluid mogu biti površinske i zapreminske. Zapreminska sila je gravitaciona sila, dok su površinske sile: sile pritiska, reakcione sile i viskozne sile. Suma svih ovih sila predstavlja neto silu koja deluje na fluid (desna strana gornjeg izraza). 𝑎 𝑚 𝑔 𝑚 𝑔 𝐹 𝐹 𝑡 Pre nego što izvedemo izraze sa sile i za održanje količine kretanja, pojednostavljenim pristupom razmatranja kretanja fluida pomoću drugog Njutnovog zakona možemo izvesti Bernulijevu jednačinu.

Zakon o održanju količine kretanja – Bernulijeva jednačina
Bernulijeva jednačina (BJ) predstavlja približnu vezu između pritiska, brzine i visine fluida. Ona važi samo u slučajevima stacionarnog strujanja nestišljivih fluida kada su sile trenja (viskozne sile) zanemarljive. BJ podrazumeva veliki broj pretpostavki pri izvođenju. Iako je jednostavna, ona nalazi široku primenu pri opisivanju strujanja fluida. Najvažnija pretpostavka je neviskozno strujanje tj. zanemarivanje viskoznih sila u odnosu na inercione, gravitacione i sile pritiska. Bernulijeva jednačina je izvedena za i važi samo duž strujne linije. Važi samo za stacionarno strujanja tj. kada se u određenoj tački veličine ne menjaju sa vremenom. U prostoru se te veličine menjaju. Osnovnu ideju je predstavio švajcarski matematičar i fizičar Daniel Bernoulli ( ). Njegov saradnik Ojler je izveo poznatu jednačinu. Daniel Bernoulli (1700–1782)

Izvođenje Bernulijeve jednačine: 𝐹 =𝑚⋅ 𝑎 𝑥 𝑧 𝑉 Delić fluida strujnica (𝑃+𝑑𝑃)𝑑𝐴 Drugi Njutnov zakon u pravcu s 𝑑𝑥 𝐹 𝑠 =𝑚⋅ 𝑎 𝑠 𝜃 𝑑𝑧 𝑑𝑠 𝑎 𝑠 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜕𝑉 𝜕𝑠 𝑑𝑠+ 𝜕𝑉 𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝜕𝑉 𝜕𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 + 𝜕𝑉 𝜕𝑡 =𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑠 𝜃 Ubrzanje: 𝑔 𝑊 𝑃𝑑𝐴 𝐹 𝑠 =𝑃𝑑𝐴− 𝑃+𝑑𝑃 𝑑𝐴−𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃 Suma sila: 𝑃𝑑𝐴− 𝑃+𝑑𝑃 𝑑𝐴−𝑊𝑠𝑖𝑛𝜃=𝑚𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑠 𝑉𝑑𝑉= 1 2 𝑑 𝑉 2 Bernulijeva jednačina za stacionarno strujanje: 𝑑𝑃 𝜌 + 𝑉 𝑔𝑧=𝐶 −𝑑𝑃𝑑𝐴−𝜌𝑔𝑑𝐴𝑑𝑠 𝑑𝑧 𝑑𝑠 =𝜌𝑑𝐴𝑑𝑠𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑠 𝑑𝑃 𝜌 𝑑 𝑉 2 +𝑔𝑑𝑧=0 −𝑑𝑃−𝜌𝑔𝑑𝑧=𝜌𝑉𝑑𝑉 Integracija po strujnici Nestišljiv fluid: Za dva preseka: 𝐶=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑃 𝜌 + 𝑉 𝑔𝑧=𝐶 𝑃 1 𝜌 + 𝑉 𝑔 𝑧 1 = 𝑃 2 𝜌 + 𝑉 𝑔 𝑧 2 VAŽI DUŽ STRUJNICE

Tumačenje Bernulijeve jednačine: BJ može da se interpretira kao energetski bilans: 𝑃 𝜌 + 𝑉 𝑔𝑧=𝐶 𝐽 𝑘𝑔 Zbir kinetičke energije, potencijalne energije i energije tečenja/energije pritiska delića fluida ima istu vrednost duž strujnice tokom stacionarnog strujanja nestišljivog fluida kada su viskozne sile zanemarljive. Energija pritiska Potencijalna energija Kinetička energija Ako prethodni izraz pomnožimo sa gustinom dobijamo izraz čije su jedinice Pa: 𝑃+𝜌 𝑉 𝜌𝑔𝑧= 𝑃 𝑡𝑜𝑡 𝑃𝑎 Zbir statičkog, dinamičkog i hidrostatičkog pritiska se naziva totalni pritisak i on ima istu vrednost duž strujnice tokom stacionarnog strujanja nestišljivog fluida kada su viskozne sile zanemarljive. Zbir dinamičkog i statičkog pritiska se naziva pritisak stagnacije. Statički pritisak Hidrostatički pritisak Dinamički pritisak 𝑃+𝜌 𝑉 2 2 = 𝑃 𝑠𝑡𝑎𝑔

Ako BJ jednačinu podelimo sa gravitacionim ubrzanjem dobijamo izraz čije su jedinice m: 𝑃 𝜌𝑔 + 𝑉 2 2𝑔 +𝑧=𝐻 𝑚 Zbir visina statičkog pritiska, visine kinetičke energije i geometrijske visine istu vrednost duž strujnice tokom stacionarnog strujanja nestišljivog fluida kada su viskozne sile zanemarljive. Visina statičkog pritiska Geometrijska visina Visina dinamičkog pritiska (kinetičke energije) Oblik BJ preko visina se često koristi da bi se uvrstili gubici i drugi oblici prenosa energije prilikom strujanja: 𝑉 𝑔 + 𝑃 2 𝜌𝑔 + 𝑧 2 = 𝑉 𝑔 + 𝑃 1 𝜌𝑔 + 𝑧 1 − 𝐻 𝑔𝑢𝑏𝑖𝑡𝑎𝑘𝑎 + 𝐻 𝑝𝑢𝑚𝑝𝑒 − 𝐻 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒 Geometrijska visina Geometrijska linija (GL) Visina ukupne energije Energetska linija (EL) Piezometarska visina Hidraulična gradijentna linija (HGL)

Ograničenja primene BJ: Stacionarno strujanje. BJ se ne može primeniti pri nestacionarnim strujanjima kada postoje promene sa vremenom (start i zaustavljanje tečenja, fluktuacije i sl.). Zanemarljive viskozne sile. Nema sila trenja prilikom strujanja. Ne može se primetni za strujnice blizu zida. Nema osovinskog rada i prenosa toplote (izotermo strujanje). Pri izvođenju jednačine nismo uzimali dejstvo drugih sila osim pritiska fluida i gravitacione sile. Fluid menja gustinu sa temperaturom ne važi BJ. Strujanje nestišljivih fluida. Gasovi mogu značajno da menjaju gustinu pri velikim promenama pritiska i pri brzinama kretanja većim od 0,3 Ma. Strujanje duž strujnice. BJ je izvedena za strujnici i važi samo duž strujnice. Međutim, ukoliko je strujanje nerotaciono tada jednačina važi za ceo presek, tj. za sve strujnice koje presecaju poprečni presek od interesa. 1 2 𝑃 1 𝜌 + 𝑉 𝑔 𝑧 1 = 𝑃 2 𝜌 + 𝑉 𝑔 𝑧 2 𝜁 =0

Primeri primene BJ: Prikazaćemo Pitovu cev kao primer primene BJ. Kroz Pitovu cev prikazanu na slici teče voda nepoznatom brzinom V. Izrazićemo brzine u tačkama 1 i 2 (tačka stagnacije). Ne uzimamo atmosferski pritisak (isti je sa obe strane). 𝑃 1 =𝜌𝑔( ℎ 1 +𝛿+ ℎ 2 ) 𝑃 2 =𝜌𝑔( ℎ 1 +𝛿+ ℎ 2 + ℎ 3 ) 𝑃 2 − 𝑃 1 = 𝜌𝑔 ℎ 3 ℎ 3 =5𝑐𝑚 Sada možemo da napišemo BJ za pozicije 1 i 2: 𝑃 1 𝜌 + 𝑉 𝑔 𝑧 1 = 𝑃 2 𝜌 + 𝑉 𝑔 𝑧 2 ℎ 2 =10𝑐𝑚 𝛿=2𝑚𝑚 ℎ 1 =3𝑐𝑚 𝑉 1 2 𝑉 = 𝑃 2 − 𝑃 1 𝜌 = 𝜌𝑔 ℎ 3 𝜌 𝑥 1,2 𝑉 1 = 2𝑔 ℎ 3 ≈1 𝑚 𝑠 𝑥 1,2 =𝑧𝑎𝑛𝑒𝑚𝑎𝑟𝑙𝑗𝑖𝑣𝑜

Zakon o održanju količine kretanja Sile koje deluju na fluid
Da bismo u potpunosti primenili zakon o održanju količine kretanja moramo razmotriti sile koje deluju na delić fluida. Sile koje deluju na fluid mogu biti površinske i zapreminske. Zapreminska sila je gravitaciona sila, dok su površinske sile: sile pritiska, reakcione sile i viskozne sile. Suma svih ovih sila predstavlja neto silu koja deluje na fluid. 𝐹 = 𝐹 𝐴 𝐹 𝒱 𝑑 𝐹 𝐴 𝑔 Kontrolna zapremina, KZ Od zapreminskih sila ćemo razmatrati gravitacionu silu: 𝑑 𝐹 𝒱 =𝑑 𝐹 𝑔 =𝜌 𝑔 𝑑𝒱 𝑑𝐴 𝑛 𝐹 𝒱 = 𝐾𝑍 𝑑 𝐹 𝒱 = 𝐾𝑍 𝑑 𝐹 𝑔 = 𝐾𝑍 𝜌 𝑔 𝑑𝒱= 𝑚 𝐾𝑍 𝑔 𝑑𝒱 Površinske sile su sila pritiska, viskozne sile i ostale sile koje deluju na kontrolnu površinu. Njih nije tako jednostavno razmatrati kao zapreminske, jer one na površinu deluju normalno i tangencijalno. 𝑑 𝐹 𝒱 𝐹 𝐴 = 𝐹 𝑃 𝐹 𝑉 𝐹 𝑂 Kontrolna površina, KP Sile pritiska Viskozne sile Ostale sile

Zakon o održanju količine kretanja Sile koje deluju na fluid
Površinske sile najlakše možemo predstaviti tenzorom napona (tenzor drugog reda). Prvi indeks predstavlja ravan na koju deluje napon, a drugi predstavlja smer delovanja. Naponi sa dva ista indeksa su normalni naponi, a sa različitim indeksima su tangencijalni naponi. Npr. 𝜎 𝑥𝑧 je tangencijalni napon koji deluje na x ravan u pravcu z ose, 𝜎 𝑥𝑥 na x ravan u pravcu x ose (normalan napon). 𝑧 𝜎 𝑖𝑗 = 𝜎 𝑥𝑥 𝜎 𝑥𝑦 𝜎 𝑥𝑧 𝜎 𝑦𝑥 𝜎 𝑦𝑦 𝜎 𝑦𝑧 𝜎 𝑧𝑥 𝜎 𝑧𝑦 𝜎 𝑧𝑧 𝜎 𝑧𝑧 𝜎 𝑧𝑥 𝜎 𝑧𝑦 𝜎 𝑥𝑧 𝑑 𝐹 𝐴 = (𝜎 𝑖𝑗 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 𝜎 𝑦𝑧 𝜎 𝑥𝑥 𝐹 𝐴 = 𝐾𝑃 𝑑 𝐹 𝐴 = 𝐾𝑃 (𝜎 𝑖𝑗 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 𝜎 𝑥𝑦 𝜎 𝑦𝑥 𝜎 𝑦𝑦 𝐹 = 𝐹 𝐴 𝐹 𝒱 = 𝐾𝑃 (𝜎 𝑖𝑗 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 + 𝐾𝑍 𝜌 𝑔 𝑑𝒱 𝑥 𝑦

Zakon o održanju količine kretanja – translatorno kretanje
Sumu sila predstavljenu preko drugog Njutnovog zakona možemo napisati u sledećem obliku: Gustina i brzina se mogu menjati po posmatranoj zapremini 𝐹 =𝑚⋅ 𝑎 =𝑚⋅ 𝑑 𝑉 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑚 𝑉 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑆𝐼𝑆 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 Izraz za zakon o održanju količine kretanja ćemo izvesti primenom RTT za B=𝑚 𝑉 i b=B/m= 𝑉 : 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑏𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌𝑏 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 RTT: 𝑉 𝑟 = 𝑉 − 𝑉 𝐾𝑃 𝑑(𝑚 𝑉 ) 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑑(𝑚 𝑉 ) 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝐹 Suma svih spoljašnjih sila koje deluju na KZ jednaka je zbiru brzine promene količine kretanja KZ i neto masenom protoku količine kretanja kroz KP. 𝐹 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Kontrolna zapremina se kreće 𝐹 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑉 𝐾𝑃 =0 Kontrolna zapremina miruje

Zakon o održanju količine kretanja – posebni oblici
𝐹 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Za stacionarno strujanje važi: Kontrolna zapremina, KZ 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 =0 𝐹 = 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Izlaz Ulaz Za uniformno strujanje kroz definisane ulaze i izlaze u KZ: 𝑚 𝐼 , 𝑉 𝑆𝑅,𝐼 𝑚 𝑈 , 𝑉 𝑆𝑅,𝑈 𝐴 𝜌 𝑉 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 =𝜌 𝑉 𝑆𝑅 𝐴 𝑉 𝑆𝑅 = 𝑚 𝑉 𝑆𝑅 Ulaz Izlaz 𝐹 = 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 𝑚 𝑉 𝑆𝑅 − 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝑚 𝑉 𝑆𝑅 𝐴 𝛿 𝑚 =𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑚 = 𝐴 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝜌 𝑉 𝑆𝑅 𝐴 Uniformni tok

𝐹 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Za neuniformno strujanje kroz definisane ulaze i izlaze u KZ: 𝛿 𝑚 =𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝐴 𝑚 = 𝐴 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 ≠ 𝜌 𝑉 𝑆𝑅 𝐴 Neuniformni tok 𝐴 𝜌 𝑉 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 =𝛽 𝑚 𝑉 𝑆𝑅 𝛽 predstavlja korekcioni faktor (faktor neuniformnosti toka) 𝛽≥1 𝐹 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 𝛽 𝑚 𝑉 𝑆𝑅 − 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝛽 𝑚 𝑉 𝑆𝑅 Strujanje β Uniformno 1 Laminarno (duga, prava cev kružnog poprečnog preseka) 1.33 Turbulentno ~1,03 Za stacionarno strujanje važi: 𝐹 = 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 𝛽 𝑚 𝑉 𝑆𝑅 − 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝛽 𝑚 𝑉 𝑆𝑅 𝛽= 1 𝐴 𝐴 𝑉 𝑉 𝑆𝑅 2 𝑑𝐴 𝑉=2 𝑉 𝑆𝑅 1− 𝑟 2 𝑅 2 Izvesti za domaći!!!

Kontrolna zapremina, KZ Stacionarno strujanje sa jednim ulazom i jednim izlazom: Ulaz 𝐹 = 𝑚 𝛽 2 𝑉 2 −𝛽 1 𝑉 1 𝑚 1 , 𝑉 1 𝑉 1,𝑥 𝑉 1,𝑦 Silu i brzine možemo razložiti na komponente x, y: 𝐹 𝑦 𝑉 2,𝑥 𝐹 𝐹 𝑥 = 𝑚 𝛽 2 𝑉 2,𝑥 −𝛽 1 𝑉 1,𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑚 𝑉 2,𝑥 − 𝑉 1,𝑥 Stacionarno, uniformno strujanje sa jednim ulazom i jednim izlazom 𝐹 𝑥 Za 𝛽=1: 𝑉 2,𝑦 𝐹 𝑦 = 𝑚 𝛽 2 𝑉 2,𝑦 −𝛽 1 𝑉 1,𝑦 𝐹 𝑦 = 𝑚 𝑉 2,𝑦 − 𝑉 1,𝑦 Izlaz 𝑚 2 , 𝑉 2 𝐹= 𝐹 𝑥 𝐹 𝑦 2 Slučaj kada ne postoji dejstvo spoljnih sila: 0= 𝑑 𝑚 𝑉 𝐾𝑍 𝑑𝑡 + 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 𝛽 𝑚 𝑉 − 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝛽 𝑚 𝑉 𝑡𝑎𝑛𝜃= 𝐹 𝑦 𝐹 𝑥 0= 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌 𝑉 𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑉 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝐹 𝑝𝑜𝑡𝑖𝑠𝑘𝑎 =𝑚 𝑎 = 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝛽 𝑚 𝑉 − 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 𝛽 𝑚 𝑉 Ukoliko se masa KZ ne menja

Zakon o održanju količine kretanja – rotacija, pregled
Možemo izvesti i zakon održanja količine kretanja tj. momenta sile za rotaciono kretanje. Izraz za zakon o održanju količine kretanja ćemo izvesti primenom RTT za B= 𝐿 i b=B/m= 𝑟 × 𝑉 : 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑏𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌𝑏 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Translatorno kretanje Rotaciono kretanje Pomeraj x Ugaoni pomeraj 𝜃 Brzina 𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Ugaona brzina 𝜔 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 Ubrzanje 𝑎 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑉 Ugaono ubrzanje 𝛼 = 𝑑 𝑑𝑡 𝜔 Masa 𝑚 Moment inercije 𝐼=𝑚 𝑟 2 Količina kretanja 𝐾𝐾 =𝑚 𝑉 Moment količine kretanja 𝐿 =𝐼 𝜔 = 𝑟 × 𝑉 𝑚 Sila 𝐹 Moment sile 𝑀 =𝐼 𝑎 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 RTT: 𝑑 𝐿 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝑟 × 𝑉 𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑟 × 𝑉 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑑 𝐿 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑀 𝑀 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝑟 × 𝑉 𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌 𝑟 × 𝑉 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Suma svih spoljašnjih momenata sila koje deluju na KZ jednaka je zbiru brzine promene momenta količine kretanja KZ i neto masenom protoku momenta količine kretanja kroz KP. Posebni oblici jednačine se izvode isto kao i kod translatornog kretanja

Zakon o održanju energije
Zakon o održanju energije je zasnovan na prvom zakonu termodinamike. Energija se ne može stvoriti ili uništiti, već samo može da menja oblik! Jednačina održanja energije za zatvoren sistem glasi: 𝑑 𝐸 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑆𝐼𝑆 𝜌𝑒𝑑𝒱 = 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 =( 𝑄 𝑈𝐿𝐴𝑍 − 𝑄 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 )+( 𝑊 𝑈𝐿𝐴𝑍 − 𝑊 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 ) Promena ukupne energije u sistemu po jedinici vremena Neto dotok toplote po jedinici vremena Neto uloženi rad po jedinici vremena 𝑒=𝑢+ 𝑒 𝑘 + 𝑒 𝑝 =𝑢+ 𝑉 𝑔𝑧 Ukupnu energiju po jedinici mase čini zbir unutrašnje, kinetičke i potencijalne energije: Toplota tj. toplotna energija koju sistem razmenjuje sa okolinom je posledica razlike temperatura tela i okoline. Rad predstavlja dejstvo sile duž nekog puta (J=Nm). Rad koji razmenjuje kontrolna zapremina (kroz kontrolnu površinu) može biti: Osovinski (mehanička energija, kretanje turbine, klipa itd), 𝑊 𝑂 Rad sila pritiska, 𝑊 𝑃 Rad viskoznih sila, 𝑊 𝑉𝐼𝑆 Rad drugih sila, 𝑊 𝐷𝑅 Zbir predstavlja ukupni rad: Važi dogovor: 𝑄>0 Toplota se dovodi u sistem 𝑄<0 Sistem daje toplotu Nećemo razmatrati (zanemarićemo) 𝑊>0 Sistem daje rad 𝑊 𝑈𝐾 = 𝑊 𝑂 + 𝑊 𝑃 + 𝑊 𝑉𝐼𝑆 + 𝑊 𝐷𝑅 𝑊<0 Sistemu se saopštava rad

Potrebno je izvesti izraze za rad i toplotu. Razmatraćemo rad pritiska koji nas najviše interesej kod fluida, dok osovinski rad i toplotu nećemo dalje razvijati i izvoditi. 𝑉 𝑊 𝑃 Kontrolna zapremina, KZ 𝛿 𝑊 𝑃 =−𝑃 𝑉 𝑛 𝑑𝐴=−𝑃 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑄 𝜃 𝑛 𝑑𝐴 𝑃 𝑊 𝑃,𝑛𝑒𝑡𝑜 =− 𝐾𝑃 𝑃 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Neto uloženi rad pritiska (po celoj KP) po jedinici vremena 𝑊 𝑂 𝑊 𝑈𝐾,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑃,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 − 𝐾𝑃 𝑃 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑑𝒱 Kontrolna površina, KP 𝑑 𝐸 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑆𝐼𝑆 𝜌𝑒𝑑𝒱 = 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑈𝐾,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 − 𝐾𝑃 𝑃 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴

Izraz za zakon o održanju energije za KZ ćemo izvesti primenom RTT za B=𝐸 i b=B/m=e: 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑏𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌𝑏 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 RTT: 𝑉 𝑟 = 𝑉 − 𝑉 𝐾𝑃 𝑑𝐸 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝑒𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝑒𝜌 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑑 𝐸 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑃,𝑛𝑒𝑡𝑜 I zakon termodinamike (prethodni slajd): 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑃,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝑒𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝑒𝜌 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 Zbir energije koju KZ primi preko toplote i rada jednaka je zbiru brzine promene energije u KZ i neto masenom protoku energije kroz KP. Rad utiskivanja ili rad tečenja 𝑊 𝑃,𝑛𝑒𝑡𝑜 =− 𝐾𝑃 𝑃 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝑒𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝑃 𝜌 +𝑒 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑉 𝑟 = 𝑉

Posebni oblici 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝑒𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝑃 𝜌 +𝑒 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 𝑒+ 𝑃 𝜌 =𝑢+ 𝑒 𝑘 + 𝑒 𝑝 + 𝑃 𝜌 =𝑢+ 𝑉 𝑔𝑧+ 𝑃 𝜌 =ℎ+ 𝑉 𝑔𝑧 𝑚 + ℎ 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝑒𝜌𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 ℎ+ 𝑉 𝑔𝑧 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑛 𝑑𝐴 zbir se ne menja po površini 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝑒𝜌𝑑𝒱 + 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 𝑚 ℎ+ 𝑉 𝑔𝑧 − 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝑚 ℎ+ 𝑉 𝑔𝑧 Stacionarno strujanje: 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 𝑚 ℎ+ 𝑉 𝑔𝑧 − 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝑚 ℎ+ 𝑉 𝑔𝑧

Kontrolna zapremina, KZ Ulaz Izlaz 𝑚 ℎ 𝑉 𝑔𝑧 1 𝑚 ℎ 𝑉 𝑔𝑧 2 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 Posebni oblici Stacionarno strujanje: 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 𝑚 ℎ+ 𝑉 𝑔𝑧 − 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝑚 ℎ+ 𝑉 𝑔𝑧 Jedan ulaz i jedan izlaz: 𝑄 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑊 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑚 ℎ 2 − ℎ 𝑉 − 𝑉 𝑔𝑧 2 − 𝑔𝑧 1 𝑞 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑤 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 = ℎ 2 − ℎ 𝑉 − 𝑉 𝑔𝑧 2 − 𝑔𝑧 1 ∕ 𝑚 ℎ=𝑢+ 𝑃 𝜌 𝑤 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑃 1 𝜌 𝑉 𝑔𝑧 1 = 𝑢 2 − 𝑢 1 − 𝑞 𝑈,𝑛𝑒𝑡𝑜 + 𝑃 2 𝜌 𝑉 𝑔𝑧 2 𝑤 𝑂,𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑤 𝑃𝑢𝑚𝑝𝑎 − 𝑤 𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 Mehanički gubici, 𝑒 𝑔𝑢𝑏 𝑃 2 𝜌 𝑉 𝑔𝑧 2 = 𝑃 1 𝜌 𝑉 𝑔𝑧 1 − 𝑒 𝑔𝑢𝑏 + 𝑤 𝑃𝑢𝑚𝑝𝑎 − 𝑤 𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 Bez osovinskog rada i gubitka energije dobija se Bernulijeva jednačina!!! 𝑃 2 𝜌𝑔 + 𝑉 𝑔 + 𝑧 2 = 𝑃 1 𝜌𝑔 + 𝑉 𝑔 + 𝑧 1 − 𝐻 𝑔𝑢𝑏𝑖𝑡𝑎𝑘𝑎 + 𝐻 𝑝𝑢𝑚𝑝𝑒 − 𝐻 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒 𝑃 2 𝜌𝑔 + 𝑉 𝑔 + 𝑧 2 = 𝑃 1 𝜌𝑔 + 𝑉 𝑔 + 𝑧 1

Mehanika Fluida Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine.

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Mehanika Fluida Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Mehanika Fluida Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine.

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Mehanika Fluida Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια