سخن اول ز خدا خالق خورشید و مه است

Παρουσίαση με θέμα: "سخن اول ز خدا خالق خورشید و مه است"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 سخن اول ز خدا خالق خورشید و مه است
هر چه بر نام وی آغاز نگردد تبه است

2 فضای فاز و انسامبل میکرو کانونیک

3 Macrostates بررسی سیستم آماری Microstates V,P,T, J, P, ,…
Position, Velocity,…

4 هر ماکروحالت بوسیله تعداد ذرات حجم وانرژی در هر
لحظه از زمان توصیف می شودمی توان هر ماکرو حالت را شامل تعداد زیادی میکرو حالت در نظر گرفت که با گذشت زمان سیستم از یکی به دیگری حرکت می کند لذا باید میانگین هر کمیتی را با میانگین گیری روی هر حالت که از آن تحت عنوان انسامبل یاد می شود بدست آورد .

5 فضای فاز در هر لحظه از زمان میکرو حالت یک سیستم کلاسیکی با تعیین مکان وتکانه (سرعت) لحظه ای هر ذره تشکیل دهنده حالت مشخص می شود حال اگر سیستمی با ذره در نظر بگیریم در فضای بعدی به مختصه مکانی و مختصه تکانه نیاز داریم با تبدیل فضای بعدی به فضای بعدی می توان با تعریف نقطه ای در این فضا ( نقطه معرف ) میکروحالت سیستم را توصیف کرد از این فضا ی بعدی تحت عنوان فضای فاز تعبیر می شود.

6 روابط هامیلتونی

7 تغییر ویژگی های میکرو حالت با گذشت زمان معادل است با
طی مسیری توسط نقطه معرف در فضای فازمکان نقطه مورد نظر با توجه به میزان انرژی وحجم سیستم مشخص می شود ومسیر حرکت نقطه در فضای فاز بوسیله رابطه زیر کنترل می شود که در آن هامیلتونی و انرژی سیستم است و شکل مسیر یک در فضای فاز می باشد با فرض معقولانه تر یا معادل آن شرط زیر: مسیر حرکت در فضای فاز محدود به یک خواهد شد

8 میتوان به مجموعه نقاط معرف از فضای فاز(که هر یک بیانگر یک انسامبل
میتوان به مجموعه نقاط معرف از فضای فاز(که هر یک بیانگر یک انسامبل هستند)یک چگالی نسبت دادبطوری که بیانگر تعداد نقاط در واحد حجم حول نقطه باشد یعنی: تعداد نقاط معرف وبنابر این مقدار انتظاری یک کمیت فیزیکی برابر است با که می تواند تابعی از و باشد و انتگرال گیری روی تمام فضای فاز انجام گرفته است . , در رابطه فوق تابعی از تکانه ومکان تعمیم یافته است و ممکن است در هر میکرو حالت متغیر باشد

9 اگر چه در بررسی آماری علاوه بر پیش بینی خواص تعادلی جسمی
اگر چه در بررسی آماری علاوه بر پیش بینی خواص تعادلی جسمی که متشکل از تعداد زیادی اجزا است این امکان نیز وجود دارد که به مبحث جنبش شناسی یعنی بررسی آهنگ تغییر خواص جسم وقتی از حالتی به حالت دیگر تغییر می یابد پرداخت ولی این مبحث خارج از حوصله این مقاله است لذا فقط حالتی بررسی می شود که بستگی زمانی درآن مطرح نباشد چنین فرضی با درنظر گرفتن قضیه لیوویل و اینکه کمیت فیزیکی مورد نظر بستگی زمانی نداشته باشد بفرم زیر فرمول بندی شده است: یعنی چگالی نقاط وابستگی صریح زمانی نداشته باشد که در این حالت می بایست تابعی از شرایط ایستای سیستم مثل انرژی حجم تعداد ذرات تکانه یا تکانه زاویه ای باشد که چون دو مولفه آخر برای سیستم های ایستای عادی ما صفرند پس :

10 با فرض دو سیستم هر یک با ذرات و وانرژی های و که در
فضای فاز هر یک بوسیله چگالی و مشخص می شوند این دو سیستم با هم بوسیله یک نقطه در فضای توصیف می گردند چون چگالی نقاط در حوالی حالت ترکیبی متناسب با حاصل ضرب چگالی های و می باشد اگر انرژی کل سیستم ها را با و تعداد کل ذرات را با نشان دهیم روابط زیر را بدست خواهیم آورد

11 یا معادل با آن که می توان آنرا بفرم زیر دوباره نویسی کرد

12 با فرض اینکه و مستقل از و باشند به نتایج زیر خواهیم رسید
با فرض اینکه و مستقل از و باشند به نتایج زیر خواهیم رسید انسامبل میکرو کانونی( I ) انرژی وتعداد دستگاههای هرحالت ثابت است دستگاهها یکسان و بدون بر هم کنش می باشند وبا فرض اینکه مقدار انرژی بین و که در آن نمو بسیارکوچکی است در این صورت تمام نقاط مجاز در داخل پوسته ای که ضخامت آن بوسیله تعریف می شود قرار می گیرند و چگالی نقاط بصورت زیر تعریف می شود: یعنی نقاط فضای فاز فقط می توانند روی پوسته بی نهایت نازکی که با استفاده از انرژی تقریبا ثابت حالت هاتعریف می شود حرکت می کنند و چگالی نقاط درون پوسته ثابت می ماند و البته توزیع انرژی تک دستگاههای هر حالت در این روش بدست نخواهد آمد .

13 انسامبل کانونی (II) با توجه به ثابت بودن تعداد دستگاههای یک حالت در انسامبل کانونی چگالی نقاط از رابطه زیر بدست می آید چون احتمال پیدا کردن مجمع در حالت انرژی مستقیما با چگالی متناسب است بنابراین به طور خطی وابسته به است ونتیجه می شود : که در آن و برای سیستم ثابت بوده وچون با افزایش کاهش می یابد در نما برای آن علامت منفی آورده شده است

14 چون در این انسامبل و متغیر فرض می گردند می توان از تناسب و
انسامبل کانونی بزرگ (III) چون در این انسامبل و متغیر فرض می گردند می توان از تناسب و نتیجه زیررا بدست آورد : در این رابطه پتانسیل شیمیایی بوده و پتانسیل بزرگ است.

15 مفهوم میانگین گیری انسامبلی
اگر با سیستم های ایستایی سروکار داشته باشیم (که چگالی آنها تابعیت زمانی ندارد)میانگین یک کمیت فیزیکی نیز تابعیت زمانی نخواهد داشت لذا می توان میانگین زمانی این کمیت را در بازه زمانی دلخواه محاسبه کرد واز آنجا که این دو میانگین از هم مستقل هستند می توان ترتیب آنها را عوض کرد .از طرفی میانگین انسامبلی روی تمام حالات مجاز سیستم محاسبه می گردد لذا باید میانگین زمانی در بازه ای انجام پذیرد که سیستم به تمام حالات مجاز وارد شده باشد که چون این امر در زمانهای به اندازه کافی طولانی محقق می گردد می توان مقدار انتظاری یک کمیت را به عنوان میانگین گیری طولانی مدت از کمیت در نظر گرفت که همان مقداری است که از کمیت مذکور بصورت تجربی حاصل می گردد البته باید توجه داشت که سیستم مورد نظر باید دراثر گذشت زمان به تمام حالات وارد شود یعنی سیستم آشوبی باشد.

16 با تشکر از توجه شما

17 Joseph Liouville Born,24march 1809 in saint-omer,france
Died,8sept 1882 in paris,france

18 یک حجم اختیاری مربوط به فضای فاز را در نظر میگیریم سپس نمایش میدهیم
یک حجم اختیاری مربوط به فضای فاز را در نظر میگیریم سپس نمایش میدهیم.σ آن را مسدود میکنیم به وسیله حصار کشیدن وبا n v w dσ σ شکل فرضی نقاط نماینده در فضای فاز توجه شود هر نقطه نماینده یک میکرو حالت است.حال آهنگ افزایش نقاط در حجم را با عبارت زیر مشخص می کنیم. آهنگ افزایش نقاط در حجم

19 بردار عمود ویکه برواحد سطح
جاری میشوند باعبارت زیر داده می شودw از طرف دیگر آهنگ خالصی که نقاط به طرف خارج بردار عمود ویکه برواحد سطح آهنگ خروج بردار سرعت نقاط نماینده در المان سطح حال طبق قضیه دیورژانس میتوانیم عبارت بالا را برابر معادلش قرار دهیم

20 - = حال میتوانیم تساوی زیر را با توجه به قضیه دیورژانس بنویسیم
w حال میتوانیم تساوی زیر را با توجه به قضیه دیورژانس بنویسیم آهنگ خروج آهنگ افزایش نقاط در حجم - =

21 حال میتوانیم بنویسیم با در نظر گرفتن این حقیقت که هیچ حفره یا چاهی در فضای فاز وجود نداشته باشد.

22 عبارت بالا معادله پیوستگی برای گروهی از نقاط است
حال شرط لازم وکافی که انتگرال در جا صفر شود این است که تابع زیر انتگرال صفر شود عبارت بالا معادله پیوستگی برای گروهی از نقاط است

23 توجه شود بردار سرعت در این فضا به شکل زیر است
برای یک نقطه عمل دیورژانس با توجه به بردار سرعت برابر است با

24 معادله پیوستگی = 0

25 ضمنا به دلیل این که دیفرانسیل آن برابر خواهد بود با
از طرف دیگر جمله آخر رابطه بالا طبق معادلات حرکت هامیلتونین صفر خواهد شد دیفرانسیل آن برابر خواهد بود با ضمنا به دلیل این که

26 تقسیم میکنیم طرفین عبارت بالا را بر
dt حال عبارت بالا را با عبارت به دست آمده در محاسباتمان مقایسه میکنیم و قانون لیوول را استخراج میکنیم

27

28 متوجه می شویم که دو عبارت بالا با هم معادلندپس
از طرفی کروشه پواسون را با تساوی زیر نمایش میدهیم با مقایسه این دو عبارت بدست میآوریم

29 Liouvill theorem

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67 دو قضیه مهم; قضیه همپارش و قضیه ویریال
دو قضیه مهم; قضیه همپارش و قضیه ویریال

68 بازگشت دوباره به آنسامبل کانونی
آنسامبل کانونی، که در آن ریز حالت مجموعه ها با کمیتهای N,E,Vو و محاسبه میانگین آنسامبلی کمیت تعریف می شود،که هامیلتونی مجموعه و مختصات 6N گانه آن هستند. توجه می کنیم که مختصات ممکن است با مختصات یکسان نباشد. با استفاده از (2.2.13) خواهیم داشت: چون در آنسامبل میکرو کانونی کار می کنیم و در این آنسامبل چگالی ثابت است بنابراین آنرا از صورت و مخرج حذف کرده ایم.

69 دنباله از دیگر سوی با توجه به اینکه پس می توان صورت ومخرج را حول E بسط داد ونیز تنها از دو جمله نخست بسط بهره می جوییم.

70 ونیز به دلیل ثابت بودن E می توان نوشت :
دنباله اما با توجه به اینکه درآنسامبل میکرو کانونی E ثابت است جمله اول حذف می شود،پس: ونیز به دلیل ثابت بودن E می توان نوشت : با جایگزین کردن این عبارت در صورت

71 وبا انتگرال گیری جزء به جرء از صورت داریم:
دنباله وبا انتگرال گیری جزء به جرء از صورت داریم: وبا توجه به اینکه یک ابر سطح داریم وروی آن H=E است، بنابراین عبارت نخست برای هر دو نقطه انتهایی صفر شده و از بین می رود . و از طرف دیگر یعنی یک تابع دلتای دیراک داریم و بنابراین در پایان بدست می آوریم :

72 قانون لایبنیتس

73 می توان چنین نوشت: می بینیم که تنها جمله اول غیر صفر است.

74 بنا براین مقدار چشمداشتی به اینصورت درمی آید:
در عبارت بالا از این مطلب که صورت همان تعداد میکرو حالات، ،است استفاده شده است .

75 .

76 این مقدار چشمداشتی ای است که ما به آن نیاز داشتیم.
از این عبارت می توان کمیتهای سودمندی را به آسانی به دست آورد، برای نمونه:

77 تبدیل کانونیک دستگاههای گوناگون را با استفاده از یک ماتریس می توان به هم تبدیل کرد . می توان مختصات تعمیم یافته را به مختصات دیگری تبدیل کرد به گونه ای که : چون q,p از معادلات هامیلتون پیروی می کنند، مختصات جدید نیز باید از این معادلات پیروی کنند . این شرط تبدیل است .(یعنی تبدیل در صورتی کانونیک است که دراین معادلات صدق کنند)در همه تبدیل ها مختصات جدید تابعی از مختصات پیشین است .

78 پس باید بتوان تابعی یافت به گونه ای که :

79 هامیلتونی مربعی هامیلتونی بسیاری از سیستمها را می توان به صورت مربعی نوشت: که هنگامی که تبدیل کانونیک را روی آن به کار بریم هامیلتونی ساده تر و مساله قابل حل تر می شود. با توجه به مقدار چشمداشتی به دست آمده می توان دریافت که مقدار چشمداشتی هامیلتونی مربعی برابر می شود با: (یعنی چشمداشتی برابرمجموع دو بخش جنبشی و پتانسیل است (هر کدام 1/2kT) ومجموع kT می شود.) این مجموع هنگامی که f درجه آزادی داریم برابر1/2fkT می شود. در صورتی که N ذره داشته باشیم f دارای مقدار 6N است . ونیز:

80 حالت کلی تر این مطلب را می توان در حالت کلی تری به صورت قضیه اویلر بیان کرد : اگر تابع همگنی مثل F به صورت واز مرتبه n نسبت به همه مختصات، باشد، آنگاه می توان گفت :

81 قضیه همپاری انرژی اگر سیستمی کلاسیکی داشته باشیم که در حال تعادل در دمای T باشد و بتوان انرژی را به شکل مجموع جملات مربعی نوشت ، در اینصورت میانگین انرژی به ازای هر درجه آزادی سیستم 1/2kT است . بهتر است بگوییم تعداد درجات آزادی فعا ل (active) زیرا گاهی در یک سیستم همه درجات آزادی فعال نیستند. یعنی تعداد درجاتی كه درگیرند مهم می باشند. برای نمونه سیستمی دارای مولکول دواتمی (بدون در نظر گرفتن اسپین) دارای 5 درجه آزادی است(3تا انتقالی و 2تا دورانی) که همیشه فعال نیسند.با پایین آوردن دما حرکت دوران ، نداریم وتنها 3 درجه آ زادی مي ماند.

82 ظرفیت گرمایی هیدروژن در دمای پایین تنها حرکت انتقالی دارد تنها 3 درجه آزادی با بالا رفتن دما حرکت ارتعاشی نسبت به مرکز جرم شروع می شود

83 ویریال ویریال:مقدار چشمداشتی مجموع حاصلضربهای مختصات ذرات در نیروهای وارد بر آنها ویریال ستگاه نامیده می شود . قضیه ویریال بیان میدارد که: V= -3NkT اگر سیستمی کلاسیکی در حال تعادل در دمای T باشد می توان گفت ویریال آن برابر است با -3NkT . بوسیله این قضیه می توان مسایل زیادی را به آسانی حل نمود . برای نمونه به مساله گاز کامل کلاسیکی می پردازیم.

84 گاز کامل کلاسیکی

85 الف) گاز کامل گازی است که بین مولکولهای آن هیچ برهمکنشی وجود ندارد
الف) گاز کامل گازی است که بین مولکولهای آن هیچ برهمکنشی وجود ندارد . پس اگر گاز کاملی در یک حجم V محبوس شده باشد تنها نیروی وارد بر مولکولهای آن از سوی دیواره ظرف خواهد بود. اندازه این نیرو برابر –PdS است که در آن dS جزء سطح میباشد و علامت منفی از این حقیقت ناشی می شود که بردارعمود بر سطح برونسو است در حالی که نیروی وارد بر مولکول درونسو است .پس: v 3NkT=-3PV PV=NkT

86 ب) در قسمت پیش فرض کردیم که بین مولولها هیچ هیچ برهمکنشی نیست
ب) در قسمت پیش فرض کردیم که بین مولولها هیچ هیچ برهمکنشی نیست . اما اگر فرض کنیم که پتانسیلی دو جسمی به صورت بین مولکولها وجود داشته باشد وآنرا به صورت یک نیروی مرکزی در نظر بگیریم : پتانسیل بین اتمی :

87 دنباله: نخست ویریا ل این دوذره رامحاسبه می کنیم. برای این کارسهم ویریال دو ذره رابه دست می آوریم : اما:

88 بنابراین برای ویریال کل سیستم خواهیم داشت :
دنباله تعداد جفت ذره در سیستم داریم اما چون تعداد ذرات بسیار زیاد است بنابراین : تعداد جفت ذرات موجود در سیستم : بنابراین برای ویریال کل سیستم خواهیم داشت : که درآن تابع احتمال اینست که دو ذره درفاصله r ازهم جای گیرند.

89 اکنون با بکارگیری قضیه ویریال برای سیستم خواهیم داشت :
واز آنجا که میانگین انرژی جنبشی 3/2NkT است می توانیم انرژی را به دست بیاوریم : و در آن جمله دوم میانگین انرژی پتانسیل است .

90 از توجه شما سپاسگذاریم.