روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II

Παρουσίαση με θέμα: "روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1

2 روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II
کریم عابدی

3 فصل اول: تحليل خطی عناصر محدود صفحات و پوسته ها

4 7- تحليل عناصر محدود خمش صفحات با استفاده از فرمول بندی آميخته
پ- عنصر چهار گرهی چهار ضلعی عمومی MITC4 نکاتی چند در مورد عنصر خمش صفحه MITC4: نشانه مهم عنصر خمش صفحه MITC4 اين است که اين عنصر حالتی خاص از عنصر عمومی پوسته ای برای تحليل خطی و غير خطی است. استفاده از درون يابی های کرنشی هموردا، ظرفيت پيش بينی کنندگی نسبتا بالايي را به عنصر مي دهد، حتی هنگامی که با اعوجاجات هندسی زاويه ای مورد استفاده قرار گيرند. رفتار اين عنصر هنگامی که در تحليل سازه تيری دو بعدی به کار مي رود، مانند عنصر تيری ايزوپارامتريک مي باشد که به طور آميخته درون يابی شده است اين عنصر تغييرمکان های جانبی و کرنش های خمشی را به صورت کاملا مطلوبی پيش بينی مي کند، اما پيش بينی های کرنش برشی جانبی ممکن است رضايت بخش نباشد، به ويژه هنگامی که صفحات بسيار نازک تحليل مي شوند. دشواری اساسی در اين عنصر، انتخاب مرتبه های درون يابی تغييرمکان جانبی، دوران های مقطع و کرنش های برشی جانبی مي باشد که با همديگر موجب رفتار عدم قفل شوندگی و همگرايي بهينه عنصر مي شوند. ملاحظات رياضی برای انتخاب درون يابی های مناسب، توسط تيم پژوهشی پروفسور Bathe برای عناصر مختلف چهار ضلعی 9 و 16 گرهی و عناصر مثلثی 7 و 12 گرهی ارايه شده است.

5 مثال: استخراج ماتریس درون یابی کرنش برشی برای عنصر مستطیلی MITC4 با ابعاد 3*4 با روش پیوند.
در این مورد برای درون یابی دوران های مقطع و تغییرمکان های جانبی از 4 گره 1،2،3و4 استفاده می شود. همچنین در این مورد از دو پیوند زیر استفاده می کنیم.

6

7

8 با حل چهار معادله چهار مجهولی فوق مقادیر a1,b1,a2,b2 به صورت زیر بدست می آیند:

9

10 ملاحظه می شود که ماتریس βγ محاسبه شده با روش پیوند با ماتریس هایی که با استفاده از حالت خاص و روش عنصر عمومی MITC4 محاسبه شده است، یکی است .

11 مثال : نشان دهيد كه چگونه ماتريس هاي درونيابي كرنس براي ماتريس سختي عنصر MITC9 كه در شكل نشان داده شده است ايجاد مي شوند. عنصر خمش صفحه 9 گرهي

12 تغيير مكان هاي جانبي به وسيله درونيابي هاي 8 گرهي تعيين مي شوند،

13 دوران هاي مقطع به وسيله درونيابي هاي 9 گرهي تعيين مي شوند،

14 از ترتيب زير براي تغيير مكان هاي نقاط گرهي و دوران ها استفاده مي كنيم:
در اين صورت ماتريس درون يابي تغيير مكان جانبي HW به صورت زير تعيين مي شود: ماتريس درون يابي انحنا Bk به صورت زير بدست مي آيد:

15 ماتريس درون يابي كرنش برشي جانبي از درون يابي هاي برشي و روش پيوند به صورت زير بدست مي آيد:

16

17

18 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
پوسته ها سازه هايي هستند که دارای انحناء يک يا دو جانبه اند و ضخامت آنها در مقايسه با دو بعد ديگر بطور قابل ملاحظه ای کوچک است. 8-1- طبقه بندی پوسته ها از نظر گسترش پذيری: الف- پوسته های گسترش پذير ب- پوسته های گسترش ناپذير از نظر شعاع های انحناء: الف- چنانکه حاصلضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته – که انحنای گوسی ناميده مي شود- مثبت باشد، پوسته سين کلاستيک ناميده مي شود. ب- چنانکه حاصلضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته منفی باشد، پوسته آنتی کلاستيک ناميده مي شود. پ- چنانکه يکی از دو شعاع انحناء مساوی صفر باشد، پوسته با انحناء گوس صفر ناميده مي شود. از نظر شکل هندسی: الف- سطوح انتقالی ب- سطوح دورانی پ-سطوح لغزشی ت- سطوح مرکب پوسته هايي هستند که سطح هندسی آنها را بدون اينکه در آن بريدگی بوجود آورده و يا اينکه بوسيله ای در پوسته تنش و تغييرشکل ايجاد کنيم، بتوان به شکل صفحه ای مستوی در آورد. سطح حاصله از لغزاندن يک منحنی صفحه ای را روی منحنی صفحه ای ديگر، يک سطح انتقالی مي گويند. پوسته هايي هستند که سطح هندسی آنها را صرفا از طريق بريدگی و يا ايجاد تنش و تغييرشکل مي توان به شکل صفحه ای مستوی در آورد. سطح حاصله از دوران يک منحنی صفحه ای حول يک محور دوران را سطح دورانی مي گويند. چنانکه انتهای خطی مستقيم بر روی دو منحنی صفحه ای قرار داشته و اين خط روی آن دو منحنی بلغزد، سطحی حاصل مي شود که آن سطح را سطح لغزشی می نامند. از ترکيب انواع سطوح سه گانه انتقالی، دورانی و لغزشی مي توان سطوح مرکب بيشماری را بدست آورد.

19 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-2- وضعيت تنش ها و نيروهای داخلی در پوسته های عمومی نازک الف- وضعيت تنش ها: وضعيت تنش ها در پوسته ها مشابه وضعيت تنش ها در صفحات مي باشد. پ- روابط نيرو – تنش در پوسته های عمومی نازک: ب- وضعيت نيروهای داخلی: در هر نقطه از پوسته جمعا ده کميت زير مشخص کننده برآيند نيروهای داخلی در پوسته مي باشند.

20 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-3- سازه های پوسته ای با محور تقارن از اين عناصر در تحليل محيط های پيوسته با محور تقارن استفاده مي شود. سازه های با محور تقارن (از نظر هندسی و بارگذاری) را مي توان به دو بخش تقسيم کرد: الف- پوسته های مدوری که در آنها ضخامت سازه نسبت به قطرش کوچک است. ب- اجسام جامد مدوری که ضخامت آنها در مقايسه با قطرشان قابل ملاحظه است. اگر سازه ای با تقارن محوری هندسی به طور غير متقارن بارگذاری شود، در اين صورت يا بايد يک تحليل سه بعدی کامل را انتخاب کرد و يا از تجزيه فوريه بارها برای جمع آثار جواب های هارمونيک استفاده کرد.

21 الف- پوسته های مدوری که در آنها ضخامت سازه نسبت به قطرش کوچک است.
گام 1: انتخاب يك سيستم مختصات مناسب و شماره گذاري گره ها نيروهاي مربوطه در گره 1 نيروي محوري نيروي شعاعي ممان مداري

22 - بردار نيرو براي المان - بردار تغيير مكان براي المان - هر المان داراي 6 درجه آزادي مي باشد. - ماتريس سختي المان - تابع تغيير مكان در مختصات محلي r و s

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32 ب- اجسام جامد مدوری که ضخامت آنها در مقايسه با قطرشان قابل ملاحظه است.
نمونه ای از المان با محور تقارن جسم با محور تقارن

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43 ماتريس تبديل بين درجات آزادی محلی و کلی عنصر مي باشد
8- تحليل عناصر محدود پوسته ها 8-4- تحليل عناصر محدود پوسته های تخت مستطيلی يک عنصر تخت مستطيلی پوسته ای ساده را مي توان از جمع آثار رفتار خمش صفحه ای و رفتار تنش مسطح عنصر مورد استفاده به دست آورد. ماتريس سختی عنصر پوسته ای عبارت است از: اين عنصر پوسته ای را مي توان مستقيما در تحليل انواع مختلفی از سازه های پوسته ای به کار برد. از آنجا که در اين تحليل ها، در هر گره شش درجه آزادی داريم، ماتريس های سختی عنصری را که متناظر با درجات آزادی کلی مي باشند مي توان با استفاده از تبديل زير محاسبه نمود: ماتريس تبديل بين درجات آزادی محلی و کلی عنصر مي باشد نحوه اصلاح رابطه تا ضرايب سختی مربوط به دوران های محلی حول محور z در گره ها را شامل شود. اين ضرايب مساوی صفر قرار داده شده اند به اين دليل که اين درجات آزادی در فرمول بندی عنصر در نظر گرفته نشده اند جواب يک مدل را ميتوان با استفاده از رابطه فوق به دست آورد، به شرط اينکه عناصر احاطه کننده يک گره هم صفحه نباشند. در غير اينصورت ماتريس سختی کلی مي تواند به علت وجود عناصر قطری صفر و مشکلات ناشی از حل معادلات تعادل کلی تکين باشد. برای اجتناب از اين مساله داريم: عنصر تخت مستطيلی پوسته ای برای مدل نمودن پوسته های با انحناء کم و صفحاتی به کار مي روند که علاوه بر نيروهای خمشی و برشی تحت اثر نيروهای درون صفحه ای يا غشايي قرار دارند. ماتريس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار خمشی عنصر ماتريس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار غشايي عنصر

44 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی در اين بخش فرمول بندی عناصر پوسته ای عمومی را که مي توان در تحليل هندسه های پوسته ای و توزيع های تنش بسيا ر پيچيده مورد استفاده قرار داد، در نظر مي گيريم. در اينجا منظور پوسته هايي با هندسه و انحناء دلخواه هستند که ضخامت آنها در مقايسه با دو بعد ديگر به طور قابل ملاحظه ای کوچک است. طبيعتا اگر با پوسته هايي (با هندسه و انحناء دلخواه) مواجه باشيم که ضخامت آنها در مقايسه با دو بعد ديگر به طور قابل ملاحظه ای بزرگ باشد، در اين صورت از تحليل عناصر محدود سه بعدی عمومی بايد استفاده نمود. برای فرمول بندی عناصر پوسته ای عمومی، ضرورت دارد ابتدا با فرمول بندی عناصر تيری عمومی با انحناء آشنا شويم.

45 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی الف-فرمول بندی عناصر تيری عمومی با انحناء: برای فرمول بندی عنصر تيری عمومی با انحناء نياز است که هندسه با انحناء و تغييرمکان های تيری مربوط به آن را درون يابی کنيم. با اين درون يابی ها يک عنصر مبتنی بر تغييرمکان صرف خواهيم داشت که مانند تيرهای مستقيم، کرنش های برشی غير واقعی ايجاد مي شوند و علاوه بر آن (در حالت عمومی) کرنش های غشايي غير واقعی نيز خواهيم داشت. در نتیجه علاوه بر قفل شدگی برشی، قفل شدگی غشایی نیز بوجود می آید. تير سه بعدی با سطح مقطع مستطيلی را در نظر بگيريد و فرض کنيد که نمايش صحيح صلبيت پيچشی مورد نياز نمي باشد. اين فرض سينماتيک اثرات اعوجاج پيچشی را ناچيز مي شمارد (که مي توان با توابع تغييرمکان اضافی در فرمول بندی وارد نمود).

46 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی الف-فرمول بندی عناصر تيری عمومی با انحناء: با استفاده از مختصات طبيعیr و s و t مختصات دکارتی يک نقطه دلخواه در عنصری با q نقطه گرهی عبارتند از(قبل و بعد از تغییرشکل): که در اين روابط داريم: مولفه های تغييرمکان در هر نقطه ای از عنصر عبارتند از:

47 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی الف-فرمول بندی عناصر تيری عمومی با انحناء: که در اين روابط: برای ايجاد ماتريس درون يابی تغييرمکان H جايگذاری مي کنيم:

48 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی الف-فرمول بندی عناصر تيری عمومی با انحناء: تعيين ماتريس کرنش – تغييرمکان: اگر فرمول بندی معمول عناصر محدود تک پارامتری را دنبال کنيم:

49 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی الف-فرمول بندی عناصر تيری عمومی با انحناء: تعيين ماتريس کرنش – تغييرمکان: ماتريس کرنش – تغييرمکان را مي توان از طريق ايجاد مولفه های کرنش متناظر با محورهای x و y و z و تبديل اين مولفه ها به کرنش های محلی محاسبه کرد.

50 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی الف-فرمول بندی عناصر تيری عمومی با انحناء: قانون تنش – کرنش: (با استفاده از k به عنوان فاکتور تصحيح برشی) جدول زير عملکرد و کارايي عناصر با درون يابی آميخته را در تحليل تير طره ای با انحناء ارائه مي دهد:

51 مثال: فرمول بندی عنصر تيری عمومی با انحناء را برای عنصر تیری نشان داده شده در شکل زیر استفاده کنید.

52 مختصات دکارتی بافتار تغییر شکل نیافته با در نظر گرفتن روابط ارائه شده برای
عنصر تیری انحنادار:

53 در مورد عنصر تیری مستقیم دو بعدی فقط دوران حول محور z وجود دارد و دوران حول محورهای x , y صفر
است بنابراین از روابط a و b نتیجه زیر بدست می آید : در این مثال نقاط گرهی فقط در امتداد محور y اجازه تغییرمکان دارند بنابراین توابع تغییرمکان به صورت زیر می باشند: در روابط فوق u تابعی از r , s و v تابعی از r می باشد. با مشتق گیری از روابط u , v روابط زیر حاصل می شود:

54

55 حال برای تحلیل پاسخ تیر، اصل کار مجازی را با معیارهای مناسب کرنش به کار می بریم:
اگر روابط (e) و (f) و(g) و (5.58) را در نظر بگیریم، ملاحظه می کنیم در صورتی که از و استفاده کنیم، (g) متناظر با (5.58) خواهد شد.

56 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی ب-فرمول بندی مبتنی بر تغييرمکان صرف برای عنصر پوسته ای عمومی: مانند حالت فرمول بندی عناصر تيری، درون يابی تغييرمکان ها را در نظر مي گيريم که منجر به عنصر مبتنی بر تغييرمکان صرف مي شود و سپس فرمول بندی را به گونه ای اصلاح مي کنيم که قفل شوندگی برشی و غشايي را نشان ندهد. يک عنصر پوسته ای عمومی با تعداد q گره را در نظر بگيريد:

57 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی ب-فرمول بندی مبتنی بر تغييرمکان صرف برای عنصر پوسته ای عمومی: با استفاده از مختصات طبيعیr و s و t مختصات دکارتی هر نقطه در عنصری با q نقطه گرهی عبارتند از:

58 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی ب-فرمول بندی مبتنی بر تغييرمکان صرف برای عنصر پوسته ای عمومی: مولفه های تغييرمکان عبارتند از: برای حالت خاص، که موازی می باشد، صرفا را مساوی استفاده می کنیم. تعيين ماتريس درون يابی تغييرمکان H

59 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی ب-فرمول بندی مبتنی بر تغييرمکان صرف برای عنصر پوسته ای عمومی: تعيين ماتريس کرنش – تغييرمکان: تعيين ماتريس کرنش – تغييرمکان

60 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی ب-فرمول بندی مبتنی بر تغييرمکان صرف برای عنصر پوسته ای عمومی: قانون تنش – کرنش: قانون تنش – کرنش بايد شامل اين فرض پوسته ای باشد که تنش عمود بر سطح پوسته صفر مي باشد. بنابراين خواهيم داشت: که در آن: ماتریسی را نشان می دهد که قانون تنش – کرنش را از دستگاه مختصات دکارتی تنظیم شده پوسته ای به دستگاه مختصات دکارتی کلی تبدیل می کند.

61 مثال: عنصر پوسته ای چهار گرهی نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید:
(الف): عناصر ماتریس درون یابی تغییرمکان را بدست آورید. (ب): ضخامت در نقطه میانی عنصر را محاسبه کنید و جهتی را که در آن، ضخامت مذبور تعیین می گردد ، ارائه نمایید.

62 ماتریس درون یابی تغییرمکان H از طریق روابط زیر حاصل می شود. توابع
، توابع مربوط به عنصر دو بعدی چهار گرهی می باشند.

63 برای محاسبه ضخامت در نقطه میانی عنصر و جهتی که در آن ضخامت مذکور تعیین می شود، از رابطه زیر
استفاده می کنیم: که در آن a ضخامت بوده و بردار هادی ، جهت مورد نظر را نشان می دهد از این عبارت نتیجه زیر حاصل می شود.

64 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی پ-فرمول بندی آميخته برای عنصر پوسته ای عمومی: نقطه ضعف فرمول بندی مبتنی بر تغييرمکان صرف عناصر مرتبه پايين تر و يا دارای اعوجاج هندسی قفل شوندگی برشی و غشايي برای برطرف کردن رفتار قفل شوندگی از درون يابی آميخته با مولفه های تانسوری استفاده مي شود. نخستين مرحله در فرمول بندی آميخته، نوشتن تانسور کامل کرنش در يک نقطه انتگرالگيري مي باشد: مولفه های کرنش هموردا متناظر با بردارهای پايه: بنابراين مولفه های تانسور کرنش هموردای Green-Lagrange عبارتند از:

65 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی پ-فرمول بندی آميخته برای عنصر پوسته ای عمومی: هدف در درون يابی آميخته، درون يابی مولفه های کرنش درون لايه ای و کرنش برشی جانبی به طور مستقل و سپس پيوند اين درون يابی ها به درون يابی های معمول تغييرمکان مي باشد. روشن است که نکته مهم در اين فرمول بندی انتخاب درون يابی های مولفه کرنش درون لايه ای و کرنش برش جانبی مي باشد، به گونه ای که برای درون يابی های تغييرمکان مورد استفاده، عنصر حاصله يک ظرفيت پيش بينی کنندگی بهينه ای داشته باشد. يک عنصر چهار گرهی جالب عنصر پوسته ای MITC4 است. قابل توجه است با عناصر از مرتبه بالاتر مي توان ظرفيت پيش بينی کنندگی بسيار قابل توجهی را بدست آورد.

66 8- تحليل عناصر محدود پوسته ها
8-5- تحليل عناصر محدود پوسته های عمومی پ-فرمول بندی آميخته برای عنصر پوسته ای عمومی: در فرمول بندی عناصر پوسته ای از رابطه زير استفاده مي کنيم: برخی عناصر پيشنهاد شده از مرتبه بالاتر:

67 پايان فصل اول