Mehanika Fluida Strujanje fluida (kinematika fluida)

Παρουσίαση με θέμα: "Mehanika Fluida Strujanje fluida (kinematika fluida)"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Mehanika Fluida Strujanje fluida (kinematika fluida)

2 Sadržaj predmeta: Uvod. Osnovni principi i pojmovi Svojstva fluida
Fluidi u mirovanju (statika fluida) Strujanje fluida (kinematika fluida) Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine kretanja) Diferencijalna analiza strujanja fluida (zakoni o održanju mase i količine kretanja, strujna funkcija, Košijeva i Navier-Stoksova jednačina) Dimenziona analiza i teorija sličnosti Strujanje neviskoznih fluida, Nerotaciono strujanje, Dvodimenzionalno strujanje, Strujna funkcija i potencijal brzina, Superpozicija Strujanje viskoznih fluida u cevi. Laminarno i turbulentno strujanje. Koncept graničnog sloja Osnovni pojmovi računarske dinamike fluida

3 4 Lagranžev i Ojlerov pristup Strujno polje - polje brzina
Polje ubrzanja i supstancijalni izvod Vrste strujanja fluida Kretanje i deformacija elemenata fluida Strujnica (strujna linija). Strujno vlakno. Strujna cev. Trajektorija. Emisiona linija Sistem i kontrolna zapremina. Rejnoldsova transportna teorema i supstancijalni izvod 4

4 Vrste strujanja fluida
Strujanje viskoznih i neviskoznih fluida Viskoznost predstavlja otpor strujanju. Dakle, ako postoji značajno trenje između slojeva fluida neophodno je razmatrati viskozne sile (sile trenja). Tada govorimo o strujanju viskoznih fluida. Ukoliko su sile trenja zanemarljive u odnosu na inercione sile ili sile pritiska, možemo zanemariti viskozne sile i tada govorimo o oblastima strujanja neviskoznih fluida. NE POSTOJI FLUID BEZ VISKOZNOSTI! KOD STRUJANJA NEVISKOZNIH FLUIDA SILE TRENJA SU MALE PA SE ZANEMARUJU! Ovo VEOMA olakšava proračune i primenjuje se kod slobodnog strujanja fluida (dalje od površina čvrstih tela). Strujanje u cevi i obstrujavanje tela (interno i eksterno strujanje fluida – eng. Internal and External Flow) Ukoliko fluid struji kroz ograničen/zatvoren prostor govorimo o strujanju u cevi – internal flow, ali kada fluid struji oko nekog tela (fluid nije ograničen) radi se o obstrujavanju – external flow. Poseban slučaj strujanja je „strujanje u otvorenim kanalima“. Ovaj oblik strujanja se javlja kada fluid struji kroz kanale ili se nalazi u posudi i ima slobodnu površinu (npr. rečni tok).

5 Vrste strujanja fluida
Strujanje stišljivih i nestišljivih fluida U zavisnosti da li se gustina prilikom strujanja značajno menja, strujanje može biti stišljivo ili nestišljivo. Strujanje nestišljivih fluida je zasnovano na pretpostavci da je gustina konstantna tokom strujanja (posmatrana zapremina fluida se ne menja). Tečnosti smatramo nestišljivim fluidima (osim na izuzetno visokim pritiscima), dok se gustina gasova može značajno promeniti u zavisnosti od strujanja fluida. Gasovi se smatraju nestišljivim ukoliko im se gustina prilikom strujanja ne promeni za više od 5%. Kolika će biti promena zavisi od brzine strujanja fluida i brzine zvuka tj. od Mahovog broja (Ma). Gasove možemo smatrati nestišljivim ukoliko je Ma<0,3 (npr. vazduh koji se kreće brzinom manjom 100 m/s). Laminarno i turbulentno strujanje Kada fluid struji u slojevima, ravnomerno i uređeno, tada se radi o laminarnom strujanju. Takvo strujanje se javlja kod sporog strujanja fluida velike viskoznosti. Kada fluid struji neravnomerno, neuređeno sa izmešanim slojevima, radi se o turbulentnom strujanju. Takvo strujanje se javlja kod velikih brzina strujanja fluida male viskoznosti. (npr. velike brzine strujanja vazduha.) Postoji prelazni režim. Režim strujanja se određuje pomoću Rejnoldsovog broja (o tome kasnije)! Laminarno Prelazno Turbulentno

6 Vrste strujanja fluida
Prirodno i prinudno strujanje Prirodno strujanje je spontano i najčešće izazvano silom potiska (podizanje toplijeg-lakšeg fluida i spuštanje gušćeg-težeg fluida). Prinudno strujanje je izazvano spoljnim uticajem npr. pumpom ili ventilatorom. Stacionarno i nestacionarno strujanje fluida Ukoliko se neko svojstvo fluida u tački ne menja sa vremenom tada je reč o stacionarnom strujanju. U suprotnom govorimo o nestacionarnom strujanju. Ne treba mešati izraz stacionarno i uniformno strujanje. Uniformno znači da nema promene svojstva sa položajem u datoj oblasti. Pojmovi prelazno i nestacionarno nemaju isto značenje. Periodično/oscilatorno strujanje je nestacionarno strujanje koje osciluje oko neke stalne (stacionarne) srednje vrednosti. U praksi je strujanje skoro uvek nestacionarno jer postoje male promene pritiska i brzine, ali ako se takve promene kreću oko neke stalne srednje vrednosti možemo strujanje smatrati stacionarnim. Važno je razmotriti kada nešto moramo smatrati nestacionarnim, a kada pojednostaviti prosekom tj. stacionarnim pristupom. Na ovom predmetu ćemo pretežno razmatrati stacionarne slučajeve. Nestacionarno - trenutno Stacionarno – srednja vrednost

7 Vrste strujanja fluida
Jedno-, Dvo- i Tro- dimenzionalno strujanje Kretanje fluida se najbolje opisuje raspodelom brzina (poljem brzina). U zavisnosti da li se brzina u strujnom polju menja u pravcu jedne, dve ili tri osnovne ose , razlikujemo jedno-, dvo- i tro- dimenzionalno strujanje. Osnovno strujanje fluida uključuje trodimenzionalnu geometriju i promenu brzine u tri dimenzije (dekartov ili cilindrični koordinartni sistem). Međutim, ukoliko se brzina zanemarljivo menja u nekom pravcu, tok se može razmatrati kao jedno ili dvo dimenzionalnim, što veoma pojednostavljuje proračune. Ovo najlakše razmotriti na primeru kada fluid ulazi i teče kroz cev. Ako razmatramo cilindrični koordinatni sistem V(r,θ,z), možemo zanemariti promenu brzine sa uglom čime sa trodimenzionalnog strujanja prelazimo na dvodimenzionalno V(r,z). Kada se tok u cevi potpuno razvije možemo preći na jednodimenziono strujanje zato što se brzina više ne menja po z osi i ostaje samo V(r). Da li bi ovo bilo moguće u dekartovom koordinatnom sistemu? 𝑧 𝑟 𝑦 𝑥 𝑧 𝑟 𝛩

8 Strujanje fluida. Lagranžov i Ojlerov pristup. Strujno polje
Kinematika fluida ima za zadatak da opiše kretanje fluida (kako se kreće i kako to kretanje opisati). Postoje dva načina da se opiše kretanje: Jedan od načina je praćenje putanje kretanja tela. Dakle krećemo se zajedno sa delićem fluida i beležimo promene vektore položaja i nekog svojstva posmatranog delića fluida (npr. brzinu). Ovaj pristup se naziva Langranžev pristup. Iako je ovaj pristup uobičajan u fizici, nije ga najjednostavnije primeniti za opisivanje kretanja delića (čestica) fluida. Mnogo poznatiji i češće primenjivan pristup je Ojlerov pristup opisa kretanja fluida. Kod Ojlerovog pristupa bira se zapremina koja se posmatra (domen, kontrolna zapremina). Zapremina je stalna i nepokretna, a posmatra se fluid koji kroz nju protiče. Umesto da pratimo pojedinačne čestice fluida definišemo promenjive polja koje su funkcije položaja i vremena u toj kontrolnoj zapremini. Joseph Louis Lagrange Leonhard Euler

9 Lagranžov i Ojlerov pristup opisivanja kretanja fluida
z z Kontrolna zapremina (x,y,z) y x y Vezuje se za određeno mesto i trenutak u kontrolnoj zapremini bez vezivanja za česticu fluida. Na ovaj način se definiše strujno polje sačinjeno od polja svojstava koja opisuju fluid (V,P,a…). Ovaj pristup preovladava pri opisivanju kretanja fluida. x Vezuje se za česticu fluida i prati je u prostoru i vremenu. U svakom trenutku definiše se vektor položaja i neko svojstvo fluida (vektorsko ili skalarno) Lagranž Ojler

10 Lagranžov i Ojlerov pristup opisivanja kretanja fluida
Primer: Izmeriti kako se menja temperatura u reci. Ojler: Odabraćemo jedan deo reke i meriti temperaturu, a reka neka teče. Lagranž: Merićemo temperaturu jednog delića reke iz čamca dok idemo sa rekom.

11 Strujanje fluida. Strujno polje – polje brzina.
Najvažnija svojstva koja želimo da odredimo u nekoj posmatranoj tački naše kontrolne zapreminu u određenom vremenu su pritisak, brzina i ubrzanje. Polje tih veličina možemo predstaviti na sledeći način: Leonhard Euler 𝑦 𝑥 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 𝑉 𝑢 𝑣 𝑤 Polje pritiska je skalarno polje dok su polja brzine i ubrzanja vektorska polja. Možemo za vektorsko polje brzina napisati sledeće: u, v, w su x, y, z komponente vektora brzine u određenoj tački kontrolne zapremine u vremenu t.

12 Strujno polje – polje ubrzanja i supstancijalni izvod.
Veoma je zanimljivo i važno izvesti polje ubrzanja. Kao što smo napomenuli kretanje fluida se može opisati pomoću Lagranžovog ili Ojlerovog pristupa. U cilju upotrebe drugog Njutnovog zakona (F=ma) moramo pravilno pristupi opisu ubrzanja fluida. Ukoliko razmatramo ubrzanje preko Lagranževog pristupa, sila je jednaka masa puta ubrzanje čestice u datom trenutku. Pratimo česticu i to je klasičan pristup u fizici (pratimo telo, sistem, zatvoren sistem). 𝐹 𝐴 =𝑚∙ 𝑎 𝐴 𝑦 𝑥 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 𝑉 𝑢 𝑣 𝑤 Čestica A u vremenu t putanja 𝑦 𝐴 (𝑡) 𝑥 𝐴 (𝑡) 𝑧 𝐴 (𝑡) Ubrzanje predstavlja promenu brzine čestice fluida sa vremenom 𝑎 𝐴 = 𝑑 𝑉 𝐴 𝑑𝑡 Brzina čestice A u trenutku t mora biti jedna vrednosti vektorskog polja definisanog položajem u tom vremenu: 𝑉 𝐴 = 𝑉 ( 𝑥 𝐴 (𝑡), 𝑦 𝐴 (𝑡), 𝑧 𝐴 𝑡 ,𝑡) Pošto želimo da odredimo ubrzanje moramo odrediti izvod vektorskog polja po vremenu u datoj tački. 𝑎 𝐴 = 𝑑 𝑉 𝐴 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑉 ( 𝑥 𝐴 (𝑡), 𝑦 𝐴 (𝑡), 𝑧 𝐴 𝑡 ,𝑡) 𝑑𝑡

13 Strujno polje – polje ubrzanja i supstancijalni izvod.
𝑦 𝑥 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 𝑉 𝑢 𝑣 𝑤 Čestica A u vremenu t putanja 𝑦 𝐴 (𝑡) 𝑥 𝐴 (𝑡) 𝑧 𝐴 (𝑡) 𝑎 𝐴 = 𝑑 𝑉 𝐴 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑉 ( 𝑥 𝐴 (𝑡), 𝑦 𝐴 (𝑡), 𝑧 𝐴 𝑡 ,𝑡) 𝑑𝑡 Moramo totalni diferencijal predstaviti i razviti pomoću parcijalnih izvoda: Za izabrani trenutak t, pozicija čestice po Lagranžovom pristupu je ista kao i pozicija po Ojlerovom pristupu. 𝑑 𝑉 ( 𝑥 𝐴 (𝑡), 𝑦 𝐴 (𝑡), 𝑧 𝐴 𝑡 ,𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜕 𝑉 𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 + 𝜕 𝑉 𝜕 𝑥 𝐴 𝑑 𝑥 𝐴 𝑑𝑡 + 𝜕 𝑉 𝜕 𝑦 𝐴 𝑑 𝑦 𝐴 𝑑𝑡 + 𝜕 𝑉 𝜕 𝑧 𝐴 𝑑 𝑧 𝐴 𝑑𝑡 1 𝑢 𝑣 𝑤 𝑎 𝐴 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 = 𝑑 𝑉 𝑑𝑡 = 𝜕 𝑉 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕 𝑉 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕 𝑉 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕 𝑉 𝜕𝑧 𝑎 𝑥 = 𝜕𝑢 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑧 Za izabrani trenutak t, ubrzanje čestice mora biti jednako vrednosti polja ubrzanja u toj tački. 𝑎 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 = 𝑑 𝑉 𝑑𝑡 = 𝜕 𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝛻 𝑉 = 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 𝛻 = 𝜕( ) 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕( ) 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕( ) 𝜕𝑧 𝑘 Gradijent 𝑎 𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝑎 = 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 𝑎 𝑧 = 𝜕𝑤 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕𝑤 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑤 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝐷( ) 𝐷𝑡 = 𝜕( ) 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕( ) 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕( ) 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕( ) 𝜕𝑧 𝐷( ) 𝐷𝑡 = 𝜕( ) 𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝛻 ( ) Supstancijalni izvod

14 Strujno polje – polje ubrzanja i supstancijalni izvod.
𝐷( ) 𝐷𝑡 = 𝜕( ) 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕( ) 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕( ) 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕( ) 𝜕𝑧 𝐷( ) 𝐷𝑡 = 𝜕( ) 𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝛻 ( ) Supstancijalni izvod Supstancijalni izvod predstavlja brzinu promene neke veličine čestice fluida njenom promenom položaja sa vremenom (putujemo zajedno sa česticom - Lagranžov pristup) Supstancijalni izvod je veoma koristan u mehanici fluida i ne mora se primeniti samo na ubrzanje već se može koristiti i za bilo koju drugu veličinu (pritisak, temperatura, specifična zapremina…) Posmatrana čestica fluida A 𝑉 Putanja čestice 𝑇 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 polje temperatura Primer: Želimo da odredimo kako se menja temperatura čestice fluida A u plamenu sa vremenom. Možemo upotrebom supstancijalnog izvoda odrediti brzinu promene temperature prilikom prolaska kroz prikazano temperaturno polje. Dobija se supstancijalni izvod temperature: 𝐷𝑇 𝐷𝑡 = 𝜕𝑇 𝜕𝑡 +𝑢 𝜕𝑇 𝜕𝑥 +𝑣 𝜕𝑇 𝜕𝑦 +𝑤 𝜕𝑇 𝜕𝑧 = 𝜕𝑇 𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝛻 𝑇

15 Predstavljane strujanja fluida.
Strujnica (strujna linija) U strujnom polju se mogu povući linije vektora brzine (strujne linije ili strujnice). Svakoj tački strujnice pripada vektor brzine čiji je pravac tangenta na strujnicu. Strujnica ili strujna linija je sačinjena tako da bilo gde u strujnom polju vektor brzine bude tangenta te linije. Jenačina strujne linije (vidi sliku): Jednačina strujnice u dve dimenzije (xy-ravan), postaje: 𝑉 𝑢 𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑟 𝑥 𝑦 Strujnica 𝑑𝑟 𝑉 = 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑑𝑦 𝑣 = 𝑑𝑧 𝑤 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑢

16 Predstavljane strujanja fluida.
Strujna cev Strujno vlakno ima konturu neizmerno male površine strujnice. Strujna cev predstavlja makroskopski skup strujnih linija merljive površine konture. Zamišljamo ih kao skup/vezu kablova. Pošto je strujnica uvek paralelna vektoru brzine (tangenta), fluid ne može presecati strujnu liniju. Isto tako i fluid koji prolazi kroz strujnu cev ne sme prelaziti površinu koja ograničava tu cev. Razmotriti suženje strujne cevi i približavanje strujnica

17 Predstavljane strujanja fluida.
Trajektorija (putanja) Trajektorija predstavlja put/putanju koji delić fluida pređe u toku određenog vremena. Strujnica i trajektorija se u opštem slučaju ne poklapaju. Strujnicu formiraju tangente vektora brzine, putanja je sled uzastopnih položaja istog delića fluida pri njegovom kretanju kroz prostor u nekom vremenskom intervalu. Strujnica i trajektorija se poklapaju samo u slučaju stacionarnog strujanja (kada se brzina u nekoj tački ne menja sa vremenom). Trajktorija se predstavlja kao realna putanja delića fluida u intervalu vremena, dok se strujnica može predstaviti samo u određenom trenutku. 𝑡 1 Lagranž 𝑡 0 𝑡 2 Trajektorija (pređeni put) 𝑡 𝑘 Da bi se dobila trajektorija mora proći određeno vreme!

18 Predstavljane strujanja fluida.
Umesto trajektorije možemo posmatrati položaj (lokus) tačaka koje su prošle kroz istu tačku tokom strujanja fluida u nekom trenutku. Povezivanjem tih položaja dobija se emisiona linija (eng. Streaklines) Primer je kontinualno ubrizgavanje boje ili dima u cilju vizualizacije strujanja. Emisiona linija se u slučaju stacionarnog strujanja poklapa sa trajektorijom i strujnicom! Streamline, pathline, streakline Strujnica, trajektorija, emisiona linija ČVRSTO TELO Boja ili dim 1 2 3 4 5 6 7 Čestice fluida koje potiču sa istog mesta (lokus tačaka) Slika u trenutku t 𝑉 Emisiona linija

19 Kretanje i deformacija elemenata fluida
Kako i kod čvrstih tela, tako i kod elemenata fluida možemo razmatrati dva oblika kretanja i dva oblika deformacije. Oblici kretanja elementa fluida su translatorno i rotaciono kretanje (translacija i rotacija). Deformacija nastaje kao posledica nejednakih brzina delova elemenata fluida. Razmatraćemo linearnu i ugaonu deformaciju elemenata fluida. U većini slučajeva kretanje fluida podrazumeva istovremenu pojavu svih oblika kretanja i deformacija, što čini kretanje fluida kompleksnim problemom. Pri razmatranju kretanja i deformacije elemenata fluida govorimo o definisanju brzine kretanja i brzine deformacije. Zbog jasnoće, prikaz kretanja i deformacije će biti dvodimenzionalan. 𝑥 𝑦 Translacija Rotacija Vreme t +dt Vreme t 𝑥 𝑦 Linearna deformacija Ugaona deformacija Veličina Jedinice Apsolutna deformacija (m, rad) Relativna deformacija (/) Brzina deformacije (m/s, rad/s)

20 Kretanje i deformacija elemenata fluida
Translatorno kretanje (translacija) Translacija je takvo kretanje elementarne zapremine fluida kod koje sve površine paralelopipeda ostaju paralelne sa prethodnim položajem tih površina. Brzine kretanja i deformacija ćemo izraziti kao promenu u tri osnovna pravca vektora brzine. 𝑦 𝑥 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 𝑉 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑑𝑥=𝑢⋅𝑑𝑡 𝑑𝑦=𝑣⋅𝑑𝑡 𝑑𝑧=𝑤⋅𝑑𝑡 𝑉 =𝑢 𝑖 +𝑣 𝑗 +𝑤 𝑘 t + dt t dy dx 𝑥

21 Kretanje i deformacija elemenata fluida
Rotaciono kretanje (rotacija) Rotacija je takvo kretanje elementarne zapremine fluida kod koje svi delovi kreću istom ugaonom brzinom oko jedne tačke. Brzina rotacije jednaka srednjoj vrednosti brzine rotacije dve normalne linije koje se seku u tački. 𝑑𝑡→0 𝛼≈ tan 𝛼 𝛼 1 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝛼 2 = − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 =− 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝛽= 𝛼 1 + 𝛼 2 2 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜔= 𝛽 𝑑𝑡 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜔 = 𝜕𝑤 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝑖 𝜕𝑢 𝜕𝑧 − 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑘 𝑦 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 t + dt Srednji ugao α2 β 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Ugaona brzina t α1 𝑥

22 Kretanje i deformacija elemenata fluida
Linearna deformacija Linearna deformacija se može javiti usled nejednakih brzina translacije. Brzina linearna deformacije predstavlja brzinu promene dužine po jedinici dužine dimenzije elementarne zapremine. Izvešćemo brzinu promene po x osi: t + dt 𝜀 𝑥𝑥 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐴 ′ 𝐵 ′ −𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝜀 𝑥𝑥 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑥+ 𝑢+ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥 ⋅𝑑𝑡−𝑢⋅𝑑𝑡−𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜀 𝑦𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜀 𝑧𝑧 = 𝜕𝑤 𝜕𝑧 D' C' 𝑦 t A' B' D C dy Ako je fluid nestišljiv, smanjivanjem jedne dimenzije mora se povećati druga da bi zapremina ostala ista. Kod stišljivih fluida to nije slučaj, zapremina elementa fluida se mora menjati usled promene gustine i konstantne mase. Promena zapremine fluida po jedinici zapremine se naziva zapreminska brzina deformacije/dilatacije i ona je definisana na sledeći način: A dx B 𝑢+ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑢⋅𝑑𝑡 𝑢+ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥 ⋅𝑑𝑡 1 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜀 𝑥𝑥 + 𝜀 𝑦𝑦 + 𝜀 𝑧𝑧 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝑥 Za nestišljive fluide ovaj koeficijent je jednak nuli.

23 Kretanje i deformacija elemenata fluida
Ugaona deformacija Ugaonu deformaciju je malo teže razmatrati. Ona se javlja npr. kada fluid prolazi kroz kružni kanal. Brzina ugaone deformacije je jednaka brzini promene zbira uglova deformacije između dve inicijalno normalne linije koje se seku u tački. t + dt 𝑑𝑡→0 𝛼≈ tan 𝛼 𝛼 1 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝛼 2 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜀 𝑥𝑦 = 𝑑 𝑑𝑡 𝛼 1 + 𝛼 2 = 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑡+ 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑑𝑡 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜀 𝑧𝑥 = 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜀 𝑦𝑧 = 𝜕𝑣 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦 C' 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 D' 𝑦 dy α2 B' t 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 A' α1 𝑢+ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑦 dx D C Brzina ugaone deformacije: dy 𝑣+ 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑣 A dx B 𝑢 𝑥

24 Kretanje i deformacija elemenata fluida
Tenzor brzine deformacije Nakon što smo izveli brzine linearne i ugaone deformacije možemo ih sumirati u tenzor brzine deformacije: 𝜀 𝑖𝑗 = 𝜀 𝑥𝑥 𝜀 𝑥𝑦 𝜀 𝑥𝑧 𝜀 𝑦𝑥 𝜀 𝑦𝑦 𝜀 𝑦𝑧 𝜀 𝑧𝑥 𝜀 𝑧𝑦 𝜀 𝑧𝑧 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝜀 𝑖𝑗 = 𝜕𝑢 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 + 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 D' C' A' Genarilzovana predstava kretanja elementa fluida (2D) Kretanje elemetrane zapremine može da obuhvata translaciju, rotaciju, linearnu, ugaonu deformaciju. U slučaju stišljivih fluida dolazi i do promene zapremine (koeficijent promene zapremine). D C B' A B

25 Kretanje i deformacija elemenata fluida
Vrtložnost Već smo prikazali rotaciju elementa fluida. Vrtložnost je veoma važna veličina koja opisuje kretanja fluida i matematički se može predstaviti kao rotor („uvrtanje“) vektora brine 𝑉 . Rotor brzine je vektorski proizvod vektora brzine i gradijenta: 𝜁 = 𝛻 × 𝑉 Vrtložnost je mera rotacije delića fluida. Može se pokazati da je vektor ugaone brzine jednak polovini vektora vrtložnosti (izvesti ovo za domaći – koristiti pravila vektorskog množenja, gradijenta i izraz za ugaonu brzinu): 𝜔 = 1 2 𝛻 × 𝑉 = 1 2 𝜁 𝑦 𝑥 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 𝜁 Ukoliko je vrtložnost jednaka nuli, tada se radi o nerotacionom strujanju. Ovakvo strujanje se javlja u masi fluida koji struji laminarno daleko od prepreke. Rotaciono strujanje ( 𝜁 ≠0) se javlja u graničnom sloju, blizu površine preko koje struji fluid. 𝜔 𝜁 𝑥𝑦

26 Otvoren i zatvoren sistem. Kontrolna zapremina
Otvoren i zatvoren sistem. Kontrolna zapremina. Rejnoldsova transportna teorema U termodinamici definisanje pojmova je uglavnom vezano za zatvoren sistem. Zatvoren sistem predstavlja tačno definisana masa/zapremina koja se prati, slično Lagranževom pristupu. Zatvoren sistem možemo zvati samo sistem. U mehanici fluida je mnogo bolje definisanje problema sa otvorenim sistemom (ne vezuje se za masu). Otvoren sistem posmatra određen deo zapremine, Ojlerov pristup. Otvoren sistem ćemo nazivati kontrolna zapremina - KZ (eng. Control Volume). Kontrolna zapremina podrazumeva protok mase (ili neke druge veličine) kroz kontrolnu površinu - KP (eng. Control Surface) koja ograničava tu zapreminu. Sistem KZ Sistem/CV

27 Rejnoldsova transportna teorema
Vezu između promena u zatvorenom sistemu i promenama u kontrolnoj zapremini omogućava nam Rejnolsova teorema. Zatvoren Sistem Otvoren sistem Kontrolna zapremina Osborne Reynolds (1842–1912)

28 Rejnoldsova transportna teorema (RTT)
Da bismo izveli RTT prikaćemo strujanje fluida kroz proširenje. Fluid striji uniformno, brzina (V1 i V2) je normalna na površinu porečnog preseka. Postavićemo bilans neke ektenzivne veličine B. Oznakom b ćemo označavati odgovarajuće intezivne veličine: b=B/m U vremenu t sistem i kontrolna zapremina su isti Kontrolna zapremina u vremenu t i t + dt t 𝐵 𝑆𝐼𝑆,𝑡 = 𝐵 𝐾𝑍,𝑡 𝐵 𝑆𝐼𝑆,𝑡+𝑑𝑡 = 𝐵 𝐾𝑍,𝑡+𝑑𝑡 + 𝐵 2, 𝑡+𝑑𝑡 − 𝐵 1, 𝑡+𝑑𝑡 𝐵 𝑆𝐼𝑆,𝑡+𝑑𝑡 − 𝐵 𝑆𝐼𝑆,𝑡 = 𝐵 𝐾𝑍,𝑡+𝑑𝑡 − 𝐵 𝐾𝑍,𝑡 + 𝐵 2, 𝑡+𝑑𝑡 − 𝐵 1, 𝑡+𝑑𝑡 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 = 𝑑𝐵 𝐾𝑍 + 𝐵 2, 𝑡+𝑑𝑡 − 𝐵 1, 𝑡+𝑑𝑡 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑𝐵 𝐾𝑍 𝑑𝑡 + 𝐵 2, 𝑡+𝑑𝑡 𝑑𝑡 − 𝐵 1, 𝑡+𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑𝐵 𝐾𝑍 𝑑𝑡 + 𝐵 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 − 𝐵 𝑈𝐿𝐴𝑍 t + dt U vremenu t +dt sistem i kontrolna zapremina se razlikuju za dotok i otok Odtok za vreme dt B2 Oduzimamo jednačine V1 V2 Dotok za vreme dt B1 Delimo obe strane sa dt Zatvoren sistem u vremenu t Zatvoren sistem u vremenu t + dt

29 Rejnoldsova transportna teorema (RTT)
Za naš konkretan slučaj (uniformno strujanje sa jednim ulazom i jednim izlazom) možemo jasno napisati ulaz i izlaz neke veličine upotrebom izraza za intenzivnu veličinu i dobiti konačan izraz. 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑𝐵 𝐾𝑍 𝑑𝑡 + 𝐵 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 − 𝐵 𝑈𝐿𝐴𝑍 t + dt t Kontrolna zapremina u vremenu t i t + dt Dotok za vreme dt B1 Odtok za vreme dt B2 Zatvoren sistem u vremenu t u vremenu t + dt V1 V2 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑𝐵 𝐾𝑍 𝑑𝑡 + 𝑏 2 𝑉 2 𝜌 2 𝐴 2 − 𝑏 2 𝑉 2 𝜌 2 𝐴 2 Brzina promena neke veličine B u sistemu jednaka je zbiru brzini promene te veličine u kontrolnoj zapremini i neto masenom otoku te veličine kroz kontrolnu površinu koja ograničava kontrolnu zapreminu. A1 A2

30 Rejnoldsova transportna teorema (RTT)
Sada možemo da izvedemo RTT za opšti slučaj kada imamo više ulaza i izlaza, kao i kontrolnu zapreminu nasumičnog oblika. Podsetnik: b je odgovarajuća intezivna veličina: b=B/m 𝑛 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑𝐵 𝐾𝑍 𝑑𝑡 + 𝐵 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 − 𝐵 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝑛 Izlaz (odtok) + Kontrolna zapremina , KZ 𝑑𝐴 𝜃 Jedinični vektor normalan na površinu Izlaz (odtok) 𝑉 𝐵 𝑁𝐸𝑇 = 𝐵 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 − 𝐵 𝑈𝐿𝐴𝑍 Neto odtok 𝑛 𝑛 𝑉 ⋅ 𝑛 = 𝑉 ⋅ 𝑛 ⋅𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝜃< 90 ∘ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 >0 𝑂𝑑𝑡𝑜𝑘 𝜃> 90 ∘ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 <0 𝐷𝑜𝑡𝑜𝑘 𝜃= 90 ∘ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =0 𝐵 𝑁𝐸𝑇 = 𝐾𝑃 𝜌𝑏( 𝑉 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 Ulaz (dotok) Izlaz (odtok) 𝑑𝒱 Neto odtok je suma (površinski, dvostruki integral) svih dotoka i odtoka. Ulaz (dotok) - 𝑑𝐴 𝑛 Ulaz (dotok) 𝑛 𝜃 𝑛 Ekstenzivna veličina može da se menja po kontrolnoj zapremini. Možemo je odrediti koristeći zapreminski, trostruki integral po kontrolnoj zapremini 𝑉 Kontrolna površina, KP 𝐵 𝐾𝑍 = 𝐾𝑍 𝜌𝑏𝑑𝒱

31 Rejnoldsova transportna teorema (RTT)
𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑𝐵 𝐾𝑍 𝑑𝑡 + 𝐵 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 − 𝐵 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝐵 𝑁𝐸𝑇 = 𝐵 𝐼𝑍𝐿𝐴𝑍 − 𝐵 𝑈𝐿𝐴𝑍 𝐵 𝐾𝑍 = 𝐾𝑍 𝜌𝑏𝑑𝒱 𝐵 𝑁𝐸𝑇 = 𝐾𝑃 𝜌𝑏( 𝑉 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑏𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌𝑏( 𝑉 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 RTT Brzina promena neke veličine B u sistemu jednaka je zbiru brzini promene te veličine u kontrolnoj zapremini i neto masenom otoku kroz kontrolnu površinu koja ograničava kontrolnu zapreminu. Kontrolna zapremina miruje 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝐾𝑍 𝜕 𝜕𝑡 𝜌𝑏𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌𝑏( 𝑉 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 Drugi oblik, kontrolna zapremina miruje 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑏𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌𝑏( 𝑉 𝑟 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴 Kontrolna zapremina se kreće brzinom 𝑉 𝐾𝑃 𝑉 𝑟 = 𝑉 − 𝑉 𝐾𝑃

32 Rejnoldsova transportna teorema
Rejnoldsova transportna teorema, supstancijalni izvod, Ojlerov i Lagranžov pristup Suspstancijalni izvod i RTT nam omogućavaju prelaz sa klasičnog termdinamičkog Lagranžovog pristupa na kontrolnu zapreminu Ojlerovog pristupa. RTT se zasniva na kontrolnoj zapremini konačnih dimenzija pa se naziva i integralni oblik supstancijalnog izvoda (koji je zasnovan na beskonačno maloj zapremini) Suspstancijalni izvod i RTT se mogu primeniti na sve vektorke i skalarne veličine, što nam omogućava da primenimo ove pristupe za definisanje zakona održanja (koji važe za Lagranžov pristup) na kontrolnu zapreminu (Ojlerov pristup). Uporediti članove oba pristupa (promena sa vremenom i deo sa prostorom i brzinama)! 𝐷( ) 𝐷𝑡 = 𝜕( ) 𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝛻 ( ) Lagranžov pristup Ojlerov pristup Supstancijalni izvod Zatvoren Sistem Otvoren sistem Kontrolna zapremina Rejnoldsova transportna teorema 𝑑𝐵 𝑆𝐼𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐾𝑍 𝜌𝑏𝑑𝒱 + 𝐾𝑃 𝜌𝑏( 𝑉 ⋅ 𝑛 )𝑑𝐴