Regresijos modelio matematinė išraiška

Παρουσίαση με θέμα: "Regresijos modelio matematinė išraiška"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Regresijos modelio matematinė išraiška
1. Gujarati D.N. Basic Econometrics. 6 chapter. Extension of the Two Variable Linear regression Model. McGraw-Hill Inc, ir kt leidimai

2 Paskaitos dalys Porinės regresijos kintamųjų priklausomybės matematinė išraiška Dauginės regresijos kintamųjų matematinė išraiška Regresinio modelio skaičiavimo rezultatų pateikimas

3 Porinio regresinio modelio matematinė išraiška

4 Tiesinis modelis Yi=β0 + β1Xi +εi
a Vienetinis pokytis Y β1>0 β1 Elastingumas: β1<0 β0 X

5 Pusiau logaritminis modelis (lin –log)
Yi= β0 + β1lnXi +εi vi=Yi zi=lnXi vi= β 0 + β1zi + εi Vienetinis pokytis β1>0 Elastingumas E= β1<0

6 vi=ln(Yi) zi=Xi β’0=ln(β0)
Eksponentinis modelis (log-lin) lnYi=ln(β0) + β1Xi + εi vi=ln(Yi) zi=Xi β’0=ln(β0) vi =β’0 + β1zi + εi Y β1>0 β Vienetinis pokytis β1Yi Elastingumas β1<0 E= X

7 Pvz. Vertinimo funkcija Tiesinė- eksponentinė-logaritminė

8 Hiperbolinis modelis (Atvirkštinis)
Yi=β0 + β1/Xi +εi vi= Yi zi=1/Xi vi= β0 + β1zi + εi Vienetinis pokytis Elastingumas E= Y β1>0 β0<0 Y β0>0 β1>0 β0 β0>0 β1<0 -β0- X X

9 Laipsninis modelis (Log-Log)
Yi=β0 (X i)β1expεi ln(Yi)=ln(β0) + β1ln(Xi) + εi vi= ln(Yi ) zi=ln(Xi ) β0’=ln(b0) vi = β’0 + β1zi + εi Vienetinis pokytis b β1>1 0<β1<1 Elastingumas β<0 E=

10 Kvadratinė funkcija Yi=β0 + β1Xi + β12Xi2 +εi y x Vienetinis pokytis
Elastingumas x

11 Džonsono modelis (Log-Hip)
lnYi=β0 - β1/Xi +εi vi= ln(Yi ) zi=1/Xi vi= β0 - β1zi + εi Vienetinis pokytis Y Elastingumas β1 >0 E= X

12 Modelių taikymo pavyzdžiai Hiperbolinis modelis

13 Matematinė modelio išraiška
Netiesinis kintamojo X atžvilgiu Tiesinis koeficientų atžvilgiu

14 Kai X neaprėžtai didėja:
artėja prie 0; Y artėja prie asimptotinės reikšmės β1.

15 Vienetinis pokytis ir elastingumas
Interpretacija: X pakitus 1vnt., Y pakinta vnt. Elastingumas: Interpretacija: X pakitus 1%, y pakinta %.

16

17 Taikymas mikroekonomikoje: pastoviųjų kaštų ir gamybos apimties ryšys
Gamyba Vidutiniai pastovieji kaštai

18 Taikymai (1): vaikų mirtingumo ir BNP 1 gyventojui ryšys

19 Taikymai (2): Filipso kreivė
Natūralus nedarbo lygis Nedarbas Atlyginimų pokyčio tempas, %

20 Taikymai (2): Filipso kreivė

21 Taikymai (3): Engelio išlaidų kreivė
įplaukų slenkstis vartojimo persisotinimas

22 Log hiperbolė arba logaritminis atvirkštinis modelis
Y X

23 Eksponentinis modelis

24 Thomas Robert Malthus (1766-1834 m.)
Pirmasis suvokė, kad bet kokių rūšių skaičius gali potencialiai augti skaičiumi, kintančiu pagal geometrinį nuoseklumą. Pvz.: Jei rūšys turi nesutampančias populiacijas (pvz.: kasmetiniai augalai) ir kiekvienas organizmas palieka R palikuonių, populiacijos skaičius N kartose t=0,1,2,... yra lygus: N1=N0×R Nt =N0×Rt Kai t yra didelis, tai ši formulė gali būti prilyginta eksponentinei funkcijai: Nt=N0×exp(r×t)=N0×ert 1 pav., T. R. Malthus

25 Gyventojų skaičiaus augimas
7 pav.

26 Eksponentinio augimo pavyzdžiai
Biologijoje: Mikroorganizmų skaičiaus augimas Virusų plitimas Žmonių populiacijos augimas Kompiuterių technologijose: Kompiuterių apdorojimo galia (tranzistorių skaičiaus augimas) Interneto ryšio vartotojų skaičiaus augimas Investavime „70” taisyklė Fizikoje: Branduolinė reakcija ir kt. 6 pav. Branduolinė grandininė reakcija

27 9 pav. Informacijos perdavimo greičių augimas

28 10 pav. Naudojimosi kompiuteriais eksponentinis augimas

29 “70” taisyklė Dažniausiai naudojama investavime.
12 pav. Dažniausiai naudojama investavime. Parodo, per kiek laiko indėlis padvigubės, esant pastoviam augimo tempui. Norėdami sužinoti, per kiek laiko indėlis padvigubės, 70 daliname iš grąžos normos. 70≈ln2×100% 110 ≈ln3×100% X ašis – grąžos norma Y ašis – laikas, per kurį indėlis padvigubėja.

30 Augimo tempas (% per metus)
Padvigubėjimo laikas (metais) 0.1 700 0.5 140 1 70 2 35 3 23 4 18 5 14 6 12 7 10 13 pav. 14 pav.

31 Šachmatų lenta ir ryžiai (1)
15 pav. Kartą Persijos karalius dovanų gavo rankų darbo šachmatų lentą. Paklausęs meistro, padariusio lentą, kokio atpildo jis norįs, šis atsakęs, jog norėtų: vieno ryžių grūdelio ant pirmo šachmatų langelio; dviejų – ant antro; keturių – ant trečio ir t.t. * Šachmatų lentoje yra 8×8=64 langeliai

32 Šachmatų lenta ir ryžiai (2)
Galiausiai viso pasaulio ryžių nebūtų užtekę, norint patenkinti dvariškio prašymą... Karalius liko be savo karalystės...☺ 16 pav.

33 Laipsninis modelis (Log–Log)
Donata Jaglinska Sandra Radionovaitė,

34 Vi= β,0+ β1zi+ εi Laipsninis modelis (Log – Log) Yi=β0(Xi)β1expεi
ln(Yi)=ln(β0)+ β1ln(Xi)+εi Vi= ln(Yi) zi=ln(Xi) β,0= ln(β0) Vi= β,0+ β1zi+ εi

35 Pastovaus elastingumo modelis (1)
Y b) Kintamieji X ir Y transformuojami į logaritminę skalę Y=β0Xi-β1 lnY lnY=lnβ0 -β1lnXi X a) Paklausos funkcija koeficientas β1įvertina paklausos elastingumą kainai: β1<0 lnX

36 Pastovaus elastingumo modelis (1)
Laipsninis modelis dažnai vadinamas pastovaus elastingumo modeliu, kadangi elastingumo koeficientas tarp X ir Y (β1) visąlaik išlieka pastovus, nesvarbu, kuriame taške jį skaičiuotume. Paklausos funkcijos atveju pastovaus elastingumo modelis parodo pastovų kiekio pokytį esant duotam procentiniam kainos pokyčiui, nepaisant absoliutaus kainų lygio.

37 Gamybos funkcija – laipsninio modelio pavyzdys
Pastovaus elastingumo substitucinė gamybos funkcija – CES (angl.constant elasticity of subtitution): log(V/L)=logβ0+β1logW+ε kur V/L – pridėtinė vertė, tenkanti 1 darbo vienetui; L – darbo sąnaudos; W – realusis darbo užmokestis. Ši funkcija įvertina pakeičiamumo tarp darbo ir kapitalo sąnaudų elastingumą, kurį parodo parametras β1.

38 Gamybos funkcija – laipsninio modelio pavyzdys
Cobb-Douglas (substitucinė) gamybos funkcija: Y=f(K,L) K – kapitalas; L –darbas. Y = KαL1-α α – kapitalo lyginamasis svoris; 1- α – darbo lyginamasis svoris.

39 Pastovaus elastingumo modelis (2)
lnYi = lnβ0 + β1lnXi Yi = β0Xiβ1 β1>1 Transformacija į logaritminę skalę, logaritmuojant abu kintamuosius

40 Jurgita Petkelytė Akvilė Ignotaitė
Kvadratinė funkcija Jurgita Petkelytė Akvilė Ignotaitė

41 Koeficientas β12 y x Kai β12>0, tai šakos kyla į viršų;
Lūžio taškas – maksimali Y reikšmė Kai β12<0, tai šakos leidžiasi žemyn Lūžio taškas – minimali Y reikšmė y Siuo atveju bi parodo kaip keičiasui y absoliuti reikšmė, kai x pakinta vienu procentiniu punktu x

42 Ribinių kaštų kreivė Mikroekonominis pavyzdys

43 Laferio kreivė Makroekonominis pavyzdys

44 Logaritmuotų kintamųjų įverčių interpretacija
Funkcija Matematinė išraiška Interpretacija Lin-log β1 / parodo, kiek vienetų pasikeičia Y, jeigu X pakinta 1 procentu Log-lin 100. β1 - parodo, kiek procentų pasikeičia Y, jeigu X pakinta 1 vienetu Log-log β parodo, kiek procentų pasikeičia Y, jeigu X pakinta 1 procentu Log-atvirkšt. 100. β1 ∙(-1/X2) - parodo, kiek procentų pasikeičia Y, jeigu X pakinta 1 vienetu

45 Ln naudojimo ypatumai regresiniuose modeliuose
Išlygina duomenų sklaidą Netiesinę veiksnių saveiką pakeičia tiesine Logaritmuojant absoliutūs pokyčiai pakeičiami procentiniais pokyčiais

46 Pvz. Studento ūgio priklausomybė nuo motinos ūgio

47 Pvz. Studento ūgio priklausomybė nuo tėvo ūgio

48 Dauginės regresijos kintamųjų matematinė išraiška
Dauginės regresijos priklausomas kintamasis į regresijos lygtį dažniausiai įtraukiamas tiesine arba logaritmine forma Dauginės regresijos nepriklausomi kintamieji į regresijos lygtį gali būti įtraukiami tiesine, atvirkštine, laipsnine arba logaritmine forma Nepriklausomi kintamieji regresijos lygtyje gali būti skirtingų matematinių formų Fiktyvūs (pseudo-kintamieji) į regresijos lygtį įtraukiami tik tiesine forma

49 Dauginės regresijos kintamųjų matematinė išraiška (PVZ)
Tiesinė priklausomybė Adj R2= 0,27 Log-log priklausomybė Adj R2= 0,28 Log-lin priklausomybė Adj R2= 0,27 Lin-log priklausomybė Adj R2= 0,27

50 Matematinė modelio formos parinkimo kriterijai
Priklausomas kintamasis tos pačios matematinės formos Lyginti koreguotus determinacijos koeficientus Priklausomas kintamasis skirtingos matematinės formos Taikome Zarembka testą

51 Zarembka testas Tarkim turime dvi regresijas: Box-Cox transformacija
Palyginame determinacijos koeficientus R2 dviejų regresijos lygčių ir Didesnis determinacijos koeficientas parodo, kuri matematinė forma geriau aprašo priklausomybę.

52 Papildomos analizės galimybės
Veiksnių įtakos poveikio palyginimas (standartizuotų kintamųjų regresija) Pokyčių analizė Struktūrinių pokyčių analizė

53 Pokyčių naudojimo ypatumai
Tik laiko eilučių duomenims Išeliminuoja vienetinę šaknį, t.y, augimo trendą. Mažesnė melagingos koreliacijos tikimybė. Patikimesnis sąryšio įvertinimas

54 Papildomos analizės galimybės
Struktūrinių pokyčių analizė Chow testas H0 struktūrinis stabilumas HA struktūrinis pokytis Testo statistika: Hipotezės atmetimo taisyklė; Chow_stat >F( α,k, n1+ n2+2k) Atmetama H0