Ponavljanje gradiva 7. razreda

Παρουσίαση με θέμα: "Ponavljanje gradiva 7. razreda"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Ponavljanje gradiva 7. razreda

2 - koordinatni sustav u ravnini - o proporcionalnim i
U 7. razredu smo učili: - koordinatni sustav u ravnini - o proporcionalnim i obrnuto proporcionalnim veličinama - postotke i jednostavni kamatni račun - statistiku i vjerojatnost - o mnogokutima - o sličnim trokutima - o krugu i kružnici - kako riješiti sustav jednadžbi - o linearnim funkcijama i jednadžbi pravca. Sjećaš li se toga? Ponovimo... (Za ponavljanje određenog poglavlja, samo kliknite gore na naziv.)

3 1. Koordinatni sustav u ravnini

4 . . . . . . Koordinatni sustav na pravcu: jedinična dužina A( ) 2 ?
B(-3.5) . jedinična dužina A( ) 2 ? x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y Gdje je točka B(-3.5)? Koordinatni sustav u ravnini: 1 2 3 4 . Gdje je točka M(-3,-2.5)? C( ) -4,2 ? . D( ) 2,0 ? x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 . M(-3,-2.5) -2 . -3 -4 K( ) 0,-4 ?

5 . . II. I. III. IV. Koordinatni sustav na pravcu: A( ) 2
B(-3.5) . A( ) 2 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y Koordinatni sustav u ravnini dijeli ravninu na ___ dijela koji se zovu _________. Koordinatni sustav u ravnini: 1 2 3 4 4 II. I. kvadranti Kako se naziva koji kvadrant? x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 os ______ apscisa -2 III. IV. -3 os _______ ordinata -4

6 . . A( ) Svaka točka na pravcu ima _____________ jednu koordinatu ,
B(-3.5) 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 A( ) x Svaka točka na pravcu ima _____________ y jednu koordinatu , 1 2 3 4 a točke u ravnini _____________ (koliko koordinata?) dvije koordinate . . K( ) 0,-4 D( ) 2,0 M(-3,-2.5) -2,1 C( ) x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 Pravac je jednodimenzionalan, a ravnina dvodimenzionalna! -2 -3 -4

7 2. Proporcionalnost i obrnuta proporcionalnost

8 Proporcionalne veličine su veličine za koje vrijedi:
koliko puta se poveća (smanji) jedna veličina, toliko puta se poveća (smanji) i druga. Proporcionalne veličine imaju konstantan _____ omjer, x:y = konst. Prisjetimo se omjera! Primjer: Da bi majstor dobio određenu nijansu zelene boje, žutu i plavu boju treba izmiješati u omjeru 5:2 . Što to znači? To znači da na svakih 5 dl žute boje treba staviti 2 dl plave. Koliko plave boje treba staviti na 10 dl žute? A na 45 dl žute? A na 8 dl plave? 18 dl plave 20 dl žute 4 dl plave

9 Reci nekoliko omjera koji su jednaki zadanom omjeru:
8 : 10 = 4 : 5 = 16 : 20 = 80 : 100 ... Dakle, što možemo napraviti s oba člana omjera, pa da dobijemo omjer jednak početnom? Oba člana omjera možemo pomnožiti ili podijeliti s istim brojem. Time ćemo dobiti omjer jednak početnom. Kako se naziva jednakost dvaju omjera, npr. 3 : 7 = 6 : 14 ? RAZMJER ili PROPORCIJA

10 / Kako naći nepoznati član razmjera? Npr. 8 : x = 6 : 3 :6 6x = 24 x =
Množimo vanjski član s vanjskim, a unutrašnji s unutrašnjim. (Krenimo s onim parom u kojem je x!) / :6 6x = 24 x = 4 Pogledaj ponovo zadani razmjer, 8 : x = 6 : 3 . Jesi li u ovom slučaju logički mogao naći x? Da. Naime, na desnoj strani jednakosti je prvi član (6) dva puta veći od drugoga (od 3). Onda i na lijevoj strani prvi član (8) mora biti dva puta veći od drugoga (od x), pa je x=4 .

11 / Kako naći nepoznati član razmjera? Npr. 8 : x = 6 : 3 6x = 24 :6 x =
Možeš li i ovaj razmjer riješiti logički: 21 : x = 7 : 4 ? Da. Naime, prvi član na lijevoj strani (21) je tri puta veći od prvog člana na desnoj strani (od 7). Onda i drugi član na lijevoj strani (x) mora biti tri puta veći od drugog člana na desnoj strani (od 4), pa je x=12 .

12 Zadatak: Sa 6 litara benzina Fiat Punto može prijeći 100 km (u prosjeku). U rezervoar stane 40 litara. Koliko kilometara Punto može prijeći sa punim rezervoarom? Koje veličine ovdje imamo? Kakve su to veličine? ... Rješenje: 6 litara benzina 100 km 40 litara benzina x km 6 : 40 = 100 : x / :6 6x = 4000 x ≈ 666.7 Fiat Punto sa punim rezervoarom u prosjeku može prijeći oko 667 km.

13 Obrnuto proporcionalne veličine su veličine za koje vrijedi:
koliko puta se poveća (smanji) jedna veličina, toliko puta se smanji (poveća) druga. Obrnuto proporcionalne veličine imaju konstantan _______ umnožak , x·y = konst. Zadatak: Mali Mario jako voli sladoled. Od djeda je dobio džeparac. Ako će kupovati sladolede za 8 kuna, moći će ih kupiti 3. Ako ih za iste novce želi kupiti dvostruko više, kakva bi im trebala biti cijena? Cijena bi im trebala biti dva puta manja, dakle 4 kune. Kakve su veličine - broj sladoleda i cijena? To su obrnuto proprcionalne veličine.

14 / Zadatak: Stočari Joža i Štef kupili su jednako mnogo hrane za krave.
Gazda Joža će s njom svojih 20 krava moći hraniti 15 dana. Koliko će dana gazda Štef s tom hranom moći hraniti svojih 30 krava? Koje veličine ovdje imamo? Kakve su to veličine? ... Rješenje: 20 krava 15 dana 30 krava x dana 20 : 30 = x : 15 / :30 30x = 300 x = 10 Gazda Štef će svoje krave tom hranom moći hraniti 10 dana.

15 3. Postoci

16 Primjer: Morska voda sadrži 3-4 % soli. Što to znači? To znači da 100 kg morske vode sadrži 3-4 kg soli. A u nekoliko puta većoj (manjoj) količini morske vode ima točno toliko puta više (manje) soli. Dakle, postoci nam govore koliko je nečega u skupini od ___ . 100 S nekim jednostavnijim postocima lako računamo i napamet. Prisjetimo ih se! __ 1 2 = 50% = pola = 0.5 __ 1 4 = 25% = četvrt = 0.25 __ 3 4 = 75% = tri četvrt = 0.75

17 Primjer: Morska voda sadrži 3-4 % soli. Što to znači? To znači da 100 kg morske vode sadrži 3-4 kg soli. A u nekoliko puta većoj (manjoj) količini morske vode ima točno toliko puta više (manje) soli. Dakle, postoci nam govore koliko je nečega u skupini od ___ . 100 S nekim jednostavnijim postocima lako računamo i napamet. Prisjetimo ih se! 100% = cijela cjelina = 1 dva puta veće od promatrane cjeline = 200% = 2 pet puta veće od promatrane cjeline = 500% = 5

18 Zadatak A: Vlado ima plaću kuna. Ako Anina plaća čini Vladine plaće, njezina je plaća _____ kn. 50 % Ako Anina plaća čini Vladine plaće, njezina je plaća _____ kn. 100% 150% 200% 25 % 50 % 6150 1025 8200 2050 4100 Zadatak B: Na parkiralištu je 60 automobila. Od toga je crvenih automobila. 30 Od toga je crvenih automobila. 15 30 60 6 Tada je crvenih automobila ____ %. 100 25 50 10 Zadatak C: 50% U jednoj kutiji je 30 cijelih čaša, a to je pakovanja. U jednoj kutiji je 30 cijelih čaša, a to je pakovanja. 75% 50% 10% Tada je u tom pakovanju ____ čaša. 300 40 60

19 A kako postupamo sa "složenijim" postocima?
Pretvorimo u razlomke: ___ 7 100 ___ 147 100 ___ 6.8 100 ____ 68 1000 7 % = 147 % = 6.8 % = = Pretvorimo u decimalne brojeve: 7 % = 0.07 (Točku pomaknemo dva mjesta ulijevo!) 147 % = 1.47 6.8 % = 0.068 Pretvorimo u postotke: 4.7 = 470 % 0.91 = 91 % 0.3 = 30 % __ 3 5 = (Točku pomaknemo dva mjesta udesno!) 3 : 5 = 0.6 = 60 % __ 9 4 = 9 : 4 = 2.25 = 225 % 6 = 600 % __ 1 2 = 50 %

20 / U postotnom računu imamo tri osnovna tipa zadataka:
I. ____ % od 82 je 13 15.9 __ 13 82 Prvo razlomkom izrazimo koji dio od 82 čini 13! Traži se postotak. Pa pretvorimo to u postotak! = 13:82 = 0.159 = 15.9 % II % od 40 je _____ 10.8 ___ 27 100 · 40 = "od" znači "puta" 0.27· 40 = 10.8 III % od _____ je 70 114.8 / :0.61 0.61 · x "od" znači "puta" = 70 x ≈ 114.8 Pri rješavanju tekstualnih zadataka, prvo iz teksta zadatka složimo izraz poput gornjih, a zatim ga riješimo.

21 U hotelu Dupin je 420 gostiju. 40% gostiju su Hrvati.
Zadatak: U hotelu Dupin je 420 gostiju. 40% gostiju su Hrvati. a) Koliko je Hrvata u tom hotelu? 40 % od 420 je _____ 168 U hotelu Dupin je 168 Hrvata. ___ 40 100 · 420 = 168 b) Od svih gostiju, 250 je žena, a ostalo su muškarci. Koliki je postotak žena? 60 ____ % od 420 je 250 ___ 250 420 = 250 : 420 ≈ 0.6 = 60 % 100 % - 60 % = 40 % A postotak muškaraca? Žene čine 60%, a muškarci 40% gostiju hotela Dupin.

22 / Zadatak: U hotelu Dupin je 420 gostiju. 40% gostiju su Hrvati.
a) Koliko je Hrvata u tom hotelu? 40 % od 420 je _____ 168 U hotelu Dupin je 168 Hrvata. ___ 40 100 · 420 = 168 c) 8% Čeških gostiju sudjelovalo je na plesnom natjecanju. Oni su činili 5 parova (10 natjecatelja). Koliko je bilo Čeških gostiju? 8 % od _____ 125 je 10 0.08 · x = 10 / :0.08 Bilo je 125 Čeških gostiju. x = 125

23 4. Statistika i vjerojatnost

24 Koliko je jelki prodano 20.12.? Prikazuju li svi dijagrami isto?
Statistika je grana matematike koja se bavi Primjer: U sljedećim grafikonima prikazana je prodaja novogodišnjih jelki tijekom jednog tjedna: načinima Kako se zove koji od ovih dijagrama? prodano je 35 jelki. Svi dijagrami to pokazuju. prikupljanja i obrade podataka. TABLIČNI PRIKAZ ? SLIKOVNI DIJAGRAM KRUŽNI DIJAGRAM datum br. jelki 18.12. 20 19.12. 30 20.12. 35 21.12. 22.12. 50 23.12. 55 24.12. 60 19.12. 20.12. 21.12. 22.12. 23.12. 24.12. 18.12. = 10 jelki STUPČASTI DIJAGRAM LINIJSKI DIJAGRAM

25 Možeš li reći što/kolike su ovdje frekvencije,
a što/kolike relativne frekvencije? A relativne frekvencije nam govore koji je dio od ukupnog broja jelki prodan koji dan. U ovom primjeru frekvencije nam govore koliko je jelki prodano koji dan. Relativne frekvencije mogu biti izražene u postocima, razlomcima ili decimalnim brojevima. TABLIČNI PRIKAZ SLIKOVNI DIJAGRAM KRUŽNI DIJAGRAM datum br. jelki 18.12. 20 19.12. 30 20.12. 35 21.12. 22.12. 50 23.12. 55 24.12. 60 19.12. 20.12. 21.12. 22.12. 23.12. 24.12. 18.12. = 10 jelki STUPČASTI DIJAGRAM LINIJSKI DIJAGRAM

26 Izračunaj koliko je prosječno po danu prodano jelki.
Zadatak: datum br. jelki 18.12. 20 19.12. 30 20.12. 35 21.12. 22.12. 50 23.12. 55 24.12. 60 Izračunaj koliko je prosječno po danu prodano jelki. Kako računamo prosjek? Prosječnu vrijednost računamo tako da zbrojimo sve vrijednosti, a zatim dobiveni rezultat podijelimo s brojem koliko smo vrijednosti zbrojili. Ovdje ćemo računati: = 280 280 : 7 = 40 U prosjeku je po danu prodano 40 jelki.

27 Vjerojatnost... U matematici, vjerojatnost nekog događaja je broj između 0 i 1. Vjerojatnost 1 opisuje siguran događaj. Vjerojatnost 0 opisuje nemoguć događaj. Vjerojatnost opisuje na pola vjerojatan događaj. Ostali brojevi između 0 i 1 opisuju ostale manje ili više vjerojatne događaje. Za vjerojatnost koristimo oznaku P.

28 Zadatak: Općenito: broj ribica te boje P(neka boja) =
U akvariju su ribice. Nestašni mačak Garfild pokušava ih uloviti. Sve su ribice jednako brze. Kolika je vjerojatnost da će Garfild prvo uloviti: 2 10 ___ 1 5 __ P(crvena) = = Općenito: 4 10 ___ 2 5 __ P(zlatna) = = broj ribica te boje ? ________________________ P(neka boja) = ukupan broj svih ribica ? 1 10 ___ P(ljubičasta) = 3 10 ___ P(prugasta) =

29 Zadatak: Mario zna da će mu baka doći u posjetu idući tjedan, ali nema pojma koji bi to dan moglo biti. Kolika je vjerojatnost da će on od prve pogoditi koji će to dan biti? 1 7 __ P(pogodak) = Kolika je vjerojatnost da on od prve neće pogoditi? 6 7 __ P(promašaj) = (Na koja dva načina to možemo izračunati?)

30 Zadatak: U nedjelju će se igrati nogometna utakmica između NK Vesela kopačka i NK Vatreni. Ako je vjerojatnost da pobijedi Vesela kopačka 0.4, kolika je vjerojatnost da pobijede Vatreni? P(Vatreni) = 0.6 Zadatak: Na utrci konja vjerojatnost da pobijedi konj Vihor je 70 %. Kolika je vjerojatnost da on ne pobijedi? P(ne Vihor) = 30 %

31 5. Mnogokuti i krug

32 Mnogokut je dio ravnine omeđen dužinama koje se ne sijeku. U mnogokute spadaju: - trokuti - četverokuti - peterokuti - šesterokuti, sedmerokuti... Za mnogokut ćemo reći da je pravilan ako su mu sve stranice jednakih duljina i svi kutovi jednakih veličina. Koji od likova na gornjim slikama su pravilni? Kako inače nazivamo pravilni trokut? - jednakostraničan trokut A pravilni četverokut? - kvadrat

33 skup svih točaka ravnine koje su
? kružnica je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od neke (središnje) točke S krug ? je dio ravnine omeđen kružnicom Nazivi i oznake vezani uz krug i kružnicu: S S - središte kružnice/kruga d ? ? r r - radijus ili polumjer kružnice d - dijametar ili promjer kružnice kružni luk S S S tetiva kružni isječak kružni odsječak tangenta kružnice je Kako crtamo tangentu u zadanoj točki kružnice? sekanta kružnice pravac koji dodiruje kružnicu S S u točno jednoj točki diralište tangente i kružnice sjecišta Okomito na radijus!

34 obodni _____ kut _______ kut središnji je je kut čiji je vrh
na kružnici i u središtu kružnice čiji kraci sijeku (i čiji kraci sijeku kružnicu kružnicu) S Obodni kutovi S Ako imamo obodni i središnji kut nad istim lukom nad istim lukom, imaju tada je veličina središnjeg kuta jednake veličine! dva puta veća od veličine obodnog! Talesov poučak: S S S Obodni kut nad promjerom kruga uvijek je pravi kut!

35 Π ≈ Opseg (bilo kojeg lika) je duljina njegovog ruba, a površina je
veličina njegove unutrašnjosti. Za opseg koristimo m, dm, cm, mm..., (koje mjerne jedinice?) a za površinu m2, dm2, cm2, mm2... Opseg mnogokuta računamo tako da zbrojimo duljine svih njegovih stranica. Npr. c c O = a + 2b + 2c b b a Opseg pravilnog sedmerokuta: O = 7a Opseg pravilnog n-terokuta: O = n·a Opseg kruga: O = 2rΠ Π ≈ 3.14 S r Površina kruga: P = r2 Π ( r2 = r·r )

36 Ponovimo formule za opsege i površine trokuta i četverokuta...
jednakostraničan trokut jednakokračan trokut raznostraničan trokut pravokutan trokut Ponovimo formule za opsege i površine trokuta i četverokuta... Koje vrste trokuta poznajemo (podjela s obzirom na stranice)? ? ? b c ? b a a b va a c vc ? va va a a a b O = 3a O = a + 2b O = a + b + c O = a + b + c P = Što je va? P = P = P = P = P = P = a - osnovica a, b - katete P = b - kraci c - hipotenuza Koji trokut ima "drugačiju" formulu za površinu?

37 Četverokuti... pravokutnik kvadrat paralelogram romb
Koje vrste četverokuta poznajemo? ? va b b ? va ? a ? a a b a b a a a a O = 2a + 2b O = 4a O = 2a + 2b O = 4a P = a · b P = a · a P = a · va Što je va? P = a · va trapez deltoid c a a ? d v ? b a c d2 d1 a b b O = a + b + c + d O = 2a + 2b P = P = a, c - osnovice Što su d1 i d2 ? b, d - kraci

38 pravokutnik kvadrat paralelogram romb trapez deltoid ? a a a a b b a a
a · va P = a · va P = P = Po kojoj god formuli računali površinu kvadrata, dobit ćemo isto rješenje! Isto vrijedi i za ostale likove. trapez deltoid c a a ? d b a c d2 d1 a b b O = a + b + c + d O = 2a + 2b P = P = Ova formula za površinu vrijedi kod svih četverokuta koji imaju okomite dijagonale! Koji od gornjih četverokuta imaju okomite dijagonale?

39 l = l = l = l = l ≈ l ≈ Izračunaj opseg i površinu ovog lika: ? l O =
duljina ruba l = duljina polukružnice P2 O = l l = O ≈ l = r Π ? 7 P1 7 O ≈ 29.42 cm l = 3 Π l ≈ 3 · 3.14 l ≈ 9.42 cm 6 cm površina polukruga P = P1 + P2 P1 = a · b P2 = P ≈ P1 = 6 · 7 P2 = P1 = 42 cm2 P ≈ 56.13 cm2 P2 = P2 ≈ P2 ≈ 14.13 cm2

40 U ovoj cjelini uvježbali smo i kako transformirati formule.
Npr. Nađi formulu za va ako je P = . ·2 Prvo prepišemo zadanu formulu. P = 2P Riješimo se razlomka! = a · va Sad se sjetimo za što tražimo formulu! Za va. Onda va mora biti na lijevoj strani! Ako nije, zamijenimo strane... a · va : a = 2P Ponovo se sjetimo za što tražimo formulu! Za va. Onda va mora biti sam na lijevoj strani. Riješimo se onoga što smeta na lijevoj strani! va =

41 Zbroj kutova: - trokuta je
180˚ - četverokuta je 360˚ - n-terokuta je Kn = (n-2)·180˚ Zadatak: Koliki je (jedan) kut pravilnog deseterokuta? Kako to možemo izračunati? Pravilni deseterokut ima 10 jednakih kutova. Prvo izračunamo zbroj svih 10 kutova, a zatim veličinu jednog. zbroj svih kutova: jedan kut: K10 = (10-2)·180˚ α = K10:10 K10 = 8 · 180˚ α = 1440˚:10 K10 = 1440˚ α = 144˚ Svaki kut pravilnog deseterokuta ima 144˚.

42 6. Sličnost trokuta

43 Za dva trokuta reći ćemo da su slična ako su im:
1. odgovarajuće stranice proporcionalne 2. odgovarajući kutovi jednaki . D A δ α f c b e β γ ε φ B a C E d F ∆ ABC ~ ∆ DEF ako: 1. a : d = b : e = c : f 2. α = δ , β = ε , γ = φ Ako želimo provjeriti jesu li dva trokuta slična, moramo li provjeravati i proporcionalnost svih stranica i jednakosti svih kutova? Ne. O tome nam govore poučci o sličnosti! Koje poučke o sličnosti trokuta znaš?

44 S-S-S poučak ? S-K-S poučak ? K-K (-K) poučak ?
Ako dva trokuta imaju proporcionalne stranice, tada su oni slični (tj. tada su im i odgovarajući kutovi jednaki). ? S-K-S poučak Ako dva trokuta imaju dvije proporcionalne stranice i ako se podudaraju u kutu između njih, tada su ti trokuti slični (tj. tada su im sve stranice proporcionalne i podudaraju se u sva tri kuta). ? K-K (-K) poučak Ako se dva trokuta podudaraju u kutovima, tada su ti trokuti slični (tj. tada su im i stranice proporcionalne). Dovoljno je provjeriti podudaranje u samo dva kuta. ?

45 / Zadatak 1.: Kolika je visina zgrade koja ima sjenu dugu 15 metara
ako čovjek visok 1.80 m u istom trenutku ima sjenu dugu 0.8 m? x 1.8 m 15 m 0.8 m x : 1.8 = 15 : 0.8 / : 0.8 0.8 x = 27 x = 33.75 Zgrada je visoka metara.

46 / / Zadatak 2.: Koliki su x i y: p1 p2 7 p2 4.5 p1 y 2.5 1 3 x y = ?
2.5 : 4.5 1 : y = 2.5 : 7 / : 2.5 / : 2.5 2.5 x = 13.5 2.5 y = 7 x = 5.4 y = 2.8

47 Kako bi koristeći geometrijski pribor, bez mjerenja i računanja
Zadatak 3.: Kako bi koristeći geometrijski pribor, bez mjerenja i računanja zadanu dužinu podijelio na 5 jednakih dijelova? T1 T2 T3 T4 A B 5 jednakih udaljenosti! Time smo pronašli točke koje dužinu AB dijele na 5 jednakih dijelova. Paralele!

48 Kako bi koristeći geometrijski pribor, bez mjerenja i računanja
Zadatak 4.: Kako bi koristeći geometrijski pribor, bez mjerenja i računanja zadanu dužinu podijelio u omjeru 2:5 ? 2 5 T C D Paralelno! 2 5 Time smo pronašli točku T koja dužinu CD dijeli u omjeru 2:5 . Zadani omjer 2:5 nanesemo na pomoćni polupravac! Kako bismo se uvjerili da točka T zaista dijeli zadanu dužinu u omjeru 2:5 ?

49 Sustav dviju jednadžbi
7. Sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice

50 Primjer sustava: x + y = 3 3x - y = 5 x = 2, y = 1 Rj. ( 2, 1 ) Riješiti sustav znači naći brojeve koje u obje jednadžbe možemo uvrstiti umjesto x i y, pa da dobijemo jednakosti. Možeš li napamet (pogađajući) naći rješenje gornjeg sustava?

51 Sustave možemo rješavati raznim metodama:
- pogađanjem (ako je sustav jednostavan) - metodom supstitucije (substituere (lat.) - zamijeniti) - metodom suprotnih koeficijenata - grafičkom metodom - metodom komparacije ...

52 Zadatak 1.: Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije (u bilježnicu) : a) 3x - y = 3 x + 2y = 8 b) 6x - 2y = 2 3x - 4y = 22 Rj. ( 2, 3 ) Rj. ( -2, -7 ) Zadatak 2.: Sljedeće sustave riješi metodom suprotnih koeficijenata: a) -3x - 2y = 14 3x - 6y = 66 b) 6x - 5y = -16 -4x - 3y = -2 Rj. ( 2, -10 ) Rj. ( -1, 2 )

53 __ x 3 - y 2 + 1 = 0 -2 (x - 3y) = y + 2 __ x y = 1 2 - ____ 3 2-x - 2
Zadatak 3.: Riješi sustave: a) __ x 3 - y 2 + 1 = 0 -2 (x - 3y) = y + 2 __ x y = 1 2 - b) ____ 3 2-x - 2 y+1 4 Rj. ( -6, -2 ) Rj. ( 1, 1 )

54 8. Linearna funkcija i jednadžba pravca

55 svakom elementu jednog skupa pridružujemo
Funkcija je pravilo po kojem svakom elementu jednog skupa pridružujemo točno jedan element nekog drugog ili tog istog skupa. Kako čitamo ovo: f(2) = 5 → ef od 2 jednako je 5 Što to znači? 2 ↦ 5 To znači da funkcija f broju 2 pridružuje broj 5. Kako čitamo ovo: g(x) = 2·x → ge od x jednako je 2 puta x Što to znači? Kakva pridruživanja vrši funkcija g? Funkcija g svakom broju x pridružuje 2·x, tj. dvostruki broj.

56 Zadana je funkcija f(x) = 2x-7 .
Zadatak: Zadana je funkcija f(x) = 2x-7 . Izračunajmo što ta funkcija pridružuje brojevima -1 i 3. f (-1) = 2 ∙ (-1) - 7 f (3) = 2 ∙ 3 - 7 f (-1) = -2 - 7 f (3) = 6 - 7 f (-1) = -9 Time smo izračunali da ova funkcija broju -1 pridružuje broj f (3) = -1 -9.

57 __ 5 x __ 8 9 __ 8 9 Linearna funkcija je funkcija oblika
f(x) = ax + b , pri čemu su a i b racionalni brojevi, a ≠0. Za svaku od sljedećih funkcija reci da li je linearna: g(x) = 2x - 7 → je, a = , b = 2 -7 h(x) = -x + 5 → je, a = , b = -1 5 f(x) = x → je, a = , b = 1 f(x) = x · x → nije k(x) = 4x - __ 5 x → nije f(x) = -0.3x + __ 8 9 __ 8 9 → je, a = , b = -0.3

58 Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .
Primjer: Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 . Ako želimo prikazati što ta funkcija pridružuje nekim brojevima, to možemo učiniti pomoću tablice: x f(x) = 2x-1 1 2 4 -1 ? 1 ? 3 ? 7 ? -1 -3 ? Kako bismo u koordinatnom sustavu predočili ta ista pridruživanja?

59 Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .
Primjer: Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 . 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x 5 -5 y y=2x-1 x f(x) = 2x-1 1 2 4 -1 1 3 7 -1 -3 Sve ucrtane točke leže na istom ______. pravcu Graf linearne funkcije uvijek je ______ pravac !

60 Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .
Primjer: Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 . 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x 5 -5 y y=2x-1 x f(x) = 2x-1 1 2 4 -1 1 3 7 -1 -3 -1.5 Očitaj sa grafa: f(-2) = -5 f(2.5) = 4 f(0.5) = f( ___ ) = -4 -1.5

61 Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .
Primjer: Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 . 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x 5 -5 y y=2x-1 x f(x) = 2x-1 1 2 4 -1 1 3 7 -1 -3 Pripada li točka (20,40) tom grafu? To na crtežu ne vidimo, pa provjerimo računski: f (20) = 2 ∙ 20 - 1 Dakle, točka (20,40) ne pripada grafu funkcije f, a pripada mu točka (20,39) . f (20) = 39

62 broj kojem funkcija pridružuje vrijednost nula.
Nultočka funkcije je broj kojem funkcija pridružuje vrijednost nula. Kolika je nultočka funkcije f iz prošlog primjera? Možemo li je očitati sa grafa? 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x 5 -5 y y=2x-1 Pogledamo u kojoj točki graf sijeće os x. Toj točki funkcija f pridružuje nulu! Dakle, f(0.5) = 0, pa je 0.5 nultočka funkcije f. 0.5

63 / Nultočka funkcije je broj kojem funkcija pridružuje vrijednost nula.
A kako bismo računski našli nultočku iste funkcije, f(x) = 2x-1 ? Pošto je nultočka vrijednost kojoj funkcija pridružuje nulu, krenimo od: f(x) = 0 2x - 1 = 0 Nađimo x koji to zadovoljava! / : 2 2x = 1 x = 0.5 Došli smo do istog rješenja kao i kad smo očitavali sa grafa, nultočka je broj 0.5 .

64 graf funkcije sijeće os y
Koeficijenti linearne funkcije: f(x) = a x + b koeficijent smjera odsječak na osi y ? ? ili nagib - govori nam u kojoj točki - govori nam graf funkcije sijeće os y da li funkcija raste ili pada Ako je a > 0, tada funkcija _____. raste Ako je a < 0, tada funkcija _____. pada Ako je a = 0, tada funkcija niti ne raste niti ne pada, njezin je graf vodoravan.

65 Zadan je graf funkcije f:
Zadatak: Zadan je graf funkcije f: 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x 5 -5 y Što sa grafa možemo zaključiti o: - koeficijentu smjera ? a > (funkcija raste) - odsječku na osi y ? b = -2 - nultočki funkcije ? x0 = 1

66 Umjesto f(x) možemo pisati y , npr. y = -2x + 1 .
Ako u koordinatnom sustavu nađemo sve točke (x,y) koje to zadovoljavaju, one će ležati na istom ______. pravcu Stoga kažemo da je y = -2x + 1 ______________. jednadžba pravca Kako nacrtati taj pravac? 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x 5 -5 y x 1 2 y = -2x+1 -1 ? -3 ? y=-2x+1

67 Ako dva pravca imaju jednake koeficijente smjera, tada su
ti pravci _______. paralelni Npr. koji su od ovih pravaca paralelni: y = 3x - 4 y = 2x - 4 y = 3x + 1 y = -2x - 4

68 U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo pravce:
Zadatak: U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo pravce: y = 4x - 5 y = 4 x = -2 y = -x x = 4 y = -3 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x 5 -5 y y=4x-5 y=4 y=-3 x=-2 y=-x x=4 x y = 4x-5 1 2 x y = -x 1 2 -1 ? 3 ? -1 ? -2 ?

69 Nađi jednadžbu pravca koji prolazi točkom (2,-4) i ima
Zadatak: x y Nađi jednadžbu pravca koji prolazi točkom (2,-4) i ima koeficijent smjera -1 . y = ax + b y = -1x + b -4 = - 2 + b Izračunajmo b! a, b = ? y = -x + b -2 + b = -4 a = -1 b = ? b = -4 + 2 b = -2 b = -2 y = -x - 2

70 no ako si u 7. razredu redovito radio,
Time smo došli do kraja ponavljanja gradiva 7. razreda. Gradiva je puno, no ako si u 7. razredu redovito radio, vjerujem da si se brzo podsjetio svega što si zaboravio. Puno sreće i uspjeha u 8. razredu!!!

71 Prezentaciju napravila:
Antonija Horvatek rujan 2007.

72 Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima, radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare... Antonija Horvatek Matematika na dlanu