Κατέβασμα παρουσίασης
Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε
ΔημοσίευσεOrlando Mascarenhas Santiago Τροποποιήθηκε πριν 6 χρόνια
1
Departman za matematiku i informatiku Novi Sad
TEORIJA GRAFOVA Vojislav Petrović Departman za matematiku i informatiku Novi Sad
2
UVOD SAOBRAĆAJNA MREŽA A, B, C, D, E, F gradovi
l1 l2 l3 l4 l5 l7 l6 A, B, C, D, E, F gradovi l1, l2, l3, l4, l5, l6, l7 putevi osetljivi čvorovi (s obzirom na povezanost): C osetljive linije: l6 , l7 minimalna povezujuća podmreža: {l1, l2, l5, l6, l7}
3
struktura s obzirom na poznanstvo
GRUPA OSOBA struktura s obzirom na poznanstvo B A E D C F
4
RASPODELA POSLOVA (job assignment) A B E C D a b c d e A B D A B E C D a b c d e c d
5
Si i Sj različite frekvencije
PODELA FREKVENCIJA S1, S2, S3, S4, S5, S6 radio stanice |Si Sj| < 10 km Si i Sj različite frekvencije S5 S6 S1 S2 S3 S4 Koliko je najmanje različitih frekvencija potrebno?
6
NAJKRAĆI (NAJJEFTINIJI) PUT
S1, S2, S3, S4, S5, S6 gradovi (destinacije) Odrediti najkraći (Si - Sj) put. S1 - S6 direktan 15 S5 S6 S1 S2 S3 S4 S1 - S4 S1 S2 S3 S4 40 15 35 30 20 25 45 10 55 S1 S2 S3 S4 S5 S6 10 30 45 35 15 25 55 20 10 15 20 10
7
1. OSNOVNI POJMOVI graf G = (V, E)
V čvorovi (vertices, points, nodes) E grane, ivice (edges, arcs, lines) G : v1 v4 v3 v2 v6 v5 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9} e4 = v4v4 petlja (lupa) e8 , e9 paralelne grane v6 izolovan čvor
8
prost graf nema petlji, ni paralelnih grana
NG (v) skup suseda čvora v u grafu G NG (v) = {uV(G) | vuE(G)} dG (v) stepen čvora v dG (v) = |NG (v)| v1 v2 v4 v3 v6 v5 e1 e2 e3 e5 e6 e7 e8 N (v1) = {v2, v3, v5} d (v1) = 3 N (v4) = {v3, v5} d (v4) = 2 N (v6) = d (v6) = 0
9
(G) minimalan stepen
(G) = min d(v) vV(G) (G) maksimalan stepen (G) = max d(v) vV(G) regularan graf svi čvorovi istog stepena k-regularan graf d(v) = k , vV(G) v1 v4 v3 v2 v6 v5 v1 v4 v3 v2 v6 v5 (G) = d (v6) = 0 (G) = d (v2) = 4 3-regularan (kubni) graf
10
matrica susedstva A(G)
V(G) = {v1, ... , vn} E(G) = {e1, ... , em} v1 v4 v3 v2 v6 v5 e1 e7 e6 e5 e4 e3 e2 e8 matrica susedstva A(G) 1 vivjE(G) A(G) = [aij] n n aij = 0 vivjE(G) matrica incidencije B(G) 1 viej B(G) = [Bij] n m bij = 0 viej v1 v2 v3 v4 v5 v6 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 1 v1 v2 v3 v4 v5 v6 1 1 1 A(G) = B(G) =
11
TEOREMA 1.1. Zbir stepena čvorova svakog grafa je paran broj i jednak dvostrukom broju grana, tj.
å vV(G) d(v) = 2 |E(G)|. u v e Dokaz. broji e = uv dvaput jednom u d (u) i jednom u d (v) v1 v4 v3 v2 v6 v5 d(v1) + d(v2) + d(v3) + d(v4) + d(v5) + d(v6) = = 16 = 2 8 = 2 |E(G)|
12
POSLEDICA 1.1. Broj čvorova neparnog stepena svakog grafa je paran.
v1 v4 v3 v2 v6 v5 POSLEDICA Ako su svi čvorovi grafa neparnog stepena, tada je broj čvorova paran. POSLEDICA Ako graf ima neparan broj čvorova, tada je bar jedan parnog stepena.
13
TEOREMA 1.2. U svakom grafu postoje dva čvora jednakih stepena.
Dokaz. V(G) = {v1, v2, ... , vn} 0 d (vi) n 1 v1 , v2 , ... , vn v1 , v2 , ... , vn 2 n 1 1 2 n 2 1 v1 , v2 , ... , vn 2 n 1 1 1 3 n 1 2 2 n 1 1 vi, vj , d(vi) = d(vj)
14
v5 v4 d (v3) = d (v4) = 3 v6 v3 5, 4, 3, 3, 2, 1 v1 v2 PITANJE Da li za svako n 2 postoji graf sa n čvorova u kojem dva čvora imaju jednake stepene, a svi ostali različite?
15
ZADACI 1.1. Dokazati da za svaki paran prirodan broj n, (n 4), postoji 3-regularan graf sa n čvorova. 1.2. Dokazati da za svaki prirodan broj n, (n 5), postoji graf sa n + 1 čvorova u kojem su tačno n čvorova stepena 3. 1.3. U skupu od n (n 4) osoba među svake četiri osobe postoji jedna koja se poznaje sa preostale tri. Dokazati da u tom skupu postoji osoba koja se poznaje sa svim ostalim. 1.4. U grupi od n (n 3) osoba među svake 3 osobe postoji jedna koja se poznaje s preostale 2. Da li uvek mora da postoji osoba koja poznaje sve ostale?
16
1. 5. U skupu od n (n 2) osoba neke se poznaju, a neke ne
1.5.* U skupu od n (n 2) osoba neke se poznaju, a neke ne. Pritom, svake dve osobe koje imaju jednak broj poznanika, nemaju zajedničkih poznanika. Dokazati da postoji osoba koja ima tačno jednog poznanika. 1.6. U skupu od 2n (n 2) osoba među svake tri osobe postoji jedna koja se poznaje sa ostale dve. Dokazati da se skup može razbiti na n parova, tako da svaki par čine poznanici. 1.7.* U jednoj grupi svake dve osobe koje se poznaju nemaju zajedničkih poznanika. Svake dve osobe koje se ne poznaju imaju tačno 2 zajednička poznanika. Dokazati da sve osobe imaju isti broj poznanika. 1.8.* Dokazati da za svako n (n 2) postoji graf sa n čvorova u kojem dva čvora imaju jednake stepene, dok su stepeni svih ostalih čvorova različiti.
17
2.1. IZOMORFIZAM GRAFOVA ÷ ø ö ç è æ v2 u4 u3 u2 u1 v4 v3 v2 v1
vi ui
18
G1 : G2 : ai xi bi yi G3 : G1 i G3 ? a1 a2 a3 b1 b2 b3 x1 x2 x3 y1
19
(c) dG (v) = dH ( f (v)) , vV.
G = (V, E) H = (V1, E1) G1 : G3 : G H (G izomorfan sa H) f izomorfizam (1) f : V V1 bijekcija (2) uvE f (u) f (v)E1 G1 G3 TEOREMA Neka je G = (V, E), H = (V1, E1), G H i f : V V1 izomorfizam. Tada je: (a) |V| = |V1| ; (b) |E| = |E1| ; (c) dG (v) = dH ( f (v)) , vV.
20
2.2. SPECIJALNI GRAFOVI KOMPLETAN GRAF Kn |V(Kn)| = n |E(Kn)| =
d (v) = n 1 (n 1) regularan
21
PRAZAN GRAF Kn |V (Kn)| = n |E (Kn)| = 0 d (v) = 0 0-regularan K5 K4
22
BIPARTITAN GRAF G(X, Y ) V(G) = X Y X , Y , X Y =
X, Y klase (particije) w v u a b c d e f a b c d e f
23
KOMPLETAN BIPARTITAN GRAF Km, n
V(G) = X Y , X Y = X Y n m X, Y , X Y = |X| = m , |Y| = n E(G) = {xy | xX, yY} |V(G)| = m + n |E(G)| = mn K2, 3 K1, 3 d(x) = n , xX d(y) = m , yY
24
ZADACI 2.1. Koji od sledećih grafova su izomorfni? 2.2. (a) Odrediti potreban i dovoljan uslov da bipartitni grafovi Kp, q i Kr, s budu izomorfni. (b) Koliko ima neizomorfnih kompletnih bipartitnih grafova sa 7 čvorova? 2.3. (a) Da li postoji bipartitan graf sa 10 čvorova i 25 grana? (b) Koliko maksimalno grana može da ima bipartitan graf sa n čvorova?
25
(a) Qn je n-regularan graf;
2.4. n-dimenzionalna kocka Qn (n 2) je graf čiji skup čvorova skup svih uređenih n-torki (a1, a2, ... , an) gde ai{0, 1}. Dva čvora su susedna u ako i samo ako se odgovarajuće n-torke razlikuju u tačno jednoj koordinati. Dokazati da za n-dimenzionalnu kocku Qn važe sledeća tvrđenja: (a) Qn je n-regularan graf; (b) |V(Qn)| = 2n , |E(Qn)| = n2n 1; (c) Qn je bipartitan graf. Q1 Q2 Q3
26
3. PODGRAFOVI I OPERACIJE S GRAFOVIMA
H podgraf G , H G V(H) V(G) E(H) E(G) H pokrivajući podgraf G V(H) = V(G) E(H) E(G) v1 v2 v4 v3 e1 e2 e3 e4 G : v1 v2 e1 v4 e3 H : v1 v2 v3 v4 e1 e2 e4 H1 : H G H1 pokrivajući podgraf G
27
indukovan podgraf G = (V, E) V' V G' = G [V'] indukovan sa V'
1. V(G') = V' 2. E(G') = {uv | u, vV', uvE} G' : v1 v2 e1 v4 e3 e2 v1 v2 e1 v4 e3 H : v1 v2 v4 v3 e1 e2 e3 e4 G : G' = G [{v1, v2, v4}] H G [{v1, v2, v4}]
28
G = (V, E) E' E G' = G [E'] indukovan sa E'
1. V(G') = {u | uvE'} 2. E(G') = E' v1 v2 v4 v3 e1 e2 e3 e4 G : v1 v2 v3 v4 e1 e4 G' : v1 v2 v3 v4 e1 e2 e4 H1 : G' = G [{e1, e4}] H1 G [{e1, e4}]
29
uklanjanje čvora (grupe čvorova)
vV(G) G' = G v = G [V(G) v] V' V(G) G' = G V' = G [V(G) V'] uklanjanje grane (grupe grana) eE(G) G' = G e V(G') = V(G) E(G') = E(G) e E' E(G) G' = G E' V(G') = V(G) E(G') = E(G) E' v1 v4 v3 v2 v6 v5 G : v4 v3 v2 v6 v5 v1 v4 v2 v5 G v1 : G {v3, v6} : v3 v1 v4 v2 v6 v5 v1 v4 v3 v2 v6 v5 G v2v5 : G {v1v2, v2v5, v3v4} :
30
E(G) = {uv | u, vV(G), uvE(G)}
komplement grafa G V(G) = V(G) H : H : E(G) = {uv | u, vV(G), uvE(G)} samokomplementaran graf G G
31
ZADACI 3.1. Šta predstavljaju sledeći grafovi: (a) Kn v, vV(Kn); (b) Kn V', V' V(Kn); (c) Km, n v, vV(Cn); (d) Km, n V', V' V(Km, n). 3.2. Odrediti komplemente sledećih grafova : (a) Kn ; (b) Kn ; (c) Km, n . (e) (d) 3.3. Odrediti sve samokomplementarne grafove s najviše 5 čvorova.
32
4. PUTEVI, KONTURE , POVEZANOST
staza (trail) W u grafu G W = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek vk = v0 v1 v2 ... vk viV(G) i = 0, 1, ... , k ei = vi 1vi E(G) i = 1, ... , k W = v5 v2 v1 v3 v2 ei ej , i j (v5-v2)-staza d(W) = 4 v1 v4 v3 v2 v5 v0, vk krajnji čvorovi W (v0-vk)-staza = (vk-v0)-staza v1, v2, ... , vk 1 unutrašnji čvorovi W zatvorena staza v0 = vk W = v2 v3 v1 v2 v4 v5 v2 d(W) dužina staze W = |E(W)| zatvorena staza = broj grana na W d(W) = 6
33
Ojlerov put u G staza W E(W) = E(G) Ojlerova kontura u G
v1 v2 v3 v5 v1 v3 v4 v5 v2 v1 v3 v6 v4 v5 v2 Ojlerova kontura u G zatvorena staza W E(W) = E(G) v1 v3 v4 v6 v1 v4 v5 v6 v3 v2 v1
34
put (path) P u G Pk + 1 = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek vk = v0 v1 v2 ... vk
viV(G) i = 0, 1, ... , k ei = vi 1vi E(G) i = 1, ... , k P4 = v1 v3 v2 v5 vi vj , i j kontura (cycle) C u G Ck + 1 = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek vk ek +1 v0 v1 v4 v3 v2 v5 = v0 v1 v2 ... vk v0 viV(G) i = 0, 1, ... , k ei = vi 1vi E(G) i = 1, ... , k + 1 vk + 1 = v0 vi vj , i j C4 = v1 v3 v4 v5 v1
35
Hamiltonova kontura u G
Hamiltonov put u G put P V(P) = V(G) P6 = v1 v2 v6 v5 v3 v4 v1 v4 v3 v2 v5 v6 Hamiltonova kontura u G kontura C V(C) = V(G) C6 = v1 v2 v6 v5 v4 v3 v1
36
u, vV(G) , (u-v)-put u G
v1 i v4 povezani u i v povezani (u-v)-put u G v1 i v6 nepovezani uV(G) u povezan sa u def. G povezan u, vV(G) , (u-v)-put u G G1 : G2 : K5 : povezan nepovezan nepovezan komponenta povezanosti (komponenta) najveći povezan podgraf u G (s obzirom na inkluziju ) ω(G) broj komponenti ω(G1) = 1 ω(G2) = 2 ω(K5) = 5 G povezan (G) = 1 G nepovezan (G) > 1
37
ZADACI 4.1. Odrediti sve povezane grafove G sa bar 3 čvora koji ispunjavaju sledeći uslov. Za svako u,v,wV(G) iz uvE(G) i vwE(G) sledi uwE(G). 4.2. Odrediti sve grafove G sa bar 3 čvora koji ispunjavaju sledeći uslov. Za svako u, v, wV(G) iz uvE(G) i vwE(G) sledi uwE(G). 4.3. Za svaki graf G, bar jedan od grafova G i G je povezan. Dokazati. 4.4. Odrediti sve 2-regularne grafove čiji su komplementi nepovezani. 4.5. Ako je d(G) ≥ 3, dokazati da je d(G) ≤ 2.
38
4.6. Ako je |V(G)| = n ≥ 3 i δ(G) ≥ , dokazati da je graf G povezan.
2 4.6. Ako je |V(G)| = n ≥ 3 i δ(G) ≥ , dokazati da je graf G povezan. 4.7. Dokazati da za n-dimenzionalnu kocka Qn važe sledeća tvrđenja: (a) Qn (n 1) je povezan graf; (b) Qn (n 2) ima Hamiltonovu konturu. 4.8. Koji od grafova na slici imaju Hamiltonovu konturu?
Παρόμοιες παρουσιάσεις
© 2024 SlidePlayer.gr Inc.
All rights reserved.