Mehanika Fluida Strujanje viskoznih fluida u cevi.

Παρουσίαση με θέμα: "Mehanika Fluida Strujanje viskoznih fluida u cevi."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Mehanika Fluida Strujanje viskoznih fluida u cevi.
Laminarno i turbulentno strujanje

2 Sadržaj predmeta: Uvod. Osnovni principi i pojmovi Svojstva fluida
Fluidi u mirovanju (statika fluida) Strujanje fluida (kinematika fluida) Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine kretanja) Diferencijalna analiza strujanja fluida (zakoni o održanju mase i količine kretanja, strujna funkcija, Košijeva i Navier-Stoksova jednačina) Dimenziona analiza i teorija sličnosti Strujanje neviskoznih fluida, Nerotaciono strujanje, Dvodimenzionalno strujanje, Strujna funkcija i potencijal brzina, Superpozicija Strujanje viskoznih fluida u cevi. Laminarno i turbulentno strujanje. Koncept graničnog sloja Osnovni pojmovi računarske dinamike fluida

3 9 Strujanje u cevi Laminarno strujanje Turbulentno strujanje
Podužno trenje Mesni otpori Rejnoldsov broj Ulazna zona Razvijeno strujanje Pad pritiska u cevi

4 Strujanje viskoznih fluida u cevi
Strujanje fluida je u industriji najčešće ograničeno zidom. Ukoliko su ta ograničenja u potpunosti ispunjena fluidom (bez slobodne površine) govorimo o strujanju u cevi. Cevi koje nisu u potpunosti ispunjene fluidom i imaju slobodnu površinu struje samo usled dejstva gravitacione sile. Ovim se bavi analiza strujanja fluida u otvorenim kanalima. Fluidi u cevi struje usled gradijenta pritiska koji ih „tera“ da struje određenom brzinom i određenim režimom. Cevi mogu biti raznih poprečnih preseka. Ukoliko se radi o visokim pritiscima one su kružnog poprečnog preseka, jer takav oblik može da izdrži najveću silu pre nego što se deformiše. (industrijski sistemi, strujanje tečnosti). Ukoliko je pritisak nizak one mogu biti pravougaonog poprečnog preseka (vazduh i cevi za ventilaciju). Pored geometrijskog oblika cevi, jedan od najvažnijih pokazatelja opisa strujanja je definisanje režima u kojem fluid struji kroz cev. Strujanje može biti laminarno, prelazno i turbulentno. Rejnoldsov broj (Re) definiše režim strujanja. U zavisnosti od režima izvode se izrazi za pad pritiska i profil brzina. Pred navedenih stavki u ovom poglavlju ćemo definisati i pojam uvodne zone i razvijenog strujanja fluida.

5 Lamiarno i turbulentno strujanje
Režim u kojem fluid struji (unutar cevi) može biti laminarni, prelazni i turbulentni. Kada fluid struji u slojevima, ravnomerno i uređeno, tada se radi o laminarnom strujanju. Takvo strujanje se javlja kod sporog strujanja fluida velike viskoznosti. Kada fluid struji neravnomerno, neuređeno sa izmešanim slojevima, radi se o turbulentnom strujanju. Takvo strujanje se javlja kod velikih brzina strujanja fluida male viskoznosti. Npr. velike brzine strujanja vazduha. Kod laminarnog strujanja je jasnije određivanje parametara strujanja. Kod turbulencije parametri strujanja se menjaju sa vremenom i određujemo statističke vrednosti (sa kojom verovatnoćom neki parametar ima određenu vrednost). Strujanje koje je između laminarnog i turbulentnog tj. naizmenično se menja od jednog režima ka drugom, se naziva prelazni režim strujanja. Turbulentno Lamiarno

6 Rejnoldsov eksperiment i broj
Režim u kojem fluid struji unutar cevi (laminarni, prelazni i turbulentni) zavisi od geometrije cevi, hrapavosti površine cevi, brzine strujanja, svojstva fluida koji struji… Rejnolds je svojim eksperimentima ustanovi da režim strujanja uglavnom zavisi od odnosa inercionih i viskoznih sila. Taj bezdimenzioni odnos se naziva Rejnoldsov broj: 𝑅𝑒= 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑘𝑜𝑧𝑛𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑒 = 𝑉 𝑠𝑟 𝐷𝜌 𝜇 = 𝑉 𝑠𝑟 𝐷 𝜈 Rejnolds je izveo eksperiment kojim je odredio veličinu Re koja određuje režim strujanja. On je uneo boju (neutralnog potisaka) u providnu cev i pratio kretanje, čime je odredio režim strujanja u zavisnosti od parametara strujanja (pre svega brzine). 𝑉 𝑠𝑟 – Srednja brzina strujanja 𝐷 – Karakteristična dimenzija 𝜌 – Gustina 𝜇,𝜈 – Koeficijenti viskoznosti Boja Laminarno Prelazno 𝑉 𝑠𝑟, 𝜈 Trag boje (režim) 𝐷 Turbulentno

7 Rejnoldsov eksperiment

8 Rejnoldsov eksperiment i broj
Rejnoldsov broj: 𝑅𝑒= 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑘𝑜𝑧𝑛𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑒 = 𝑉 𝑠𝑟 𝐷 ℎ 𝜌 𝜇 = 𝑉 𝑠𝑟 𝐷 ℎ 𝜈 Za cevi se kao karakteristična dimenzija uvodi hidrodinamički prečnik: 𝐷 ℎ = 4𝐴 𝑂 = 4×𝑃𝑜𝑣𝑟š𝑖𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑟𝑒č𝑛𝑜𝑔 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑘𝑎 𝑂𝑏𝑖𝑚 Rejnolds je utvrdio sledeće kritične vrednosti: 𝐷 ℎ = 4 𝐷 2 𝜋/4 𝜋𝐷 =𝐷 𝐷 𝐷 ℎ = 4 𝑎 2 4𝑎 =𝑎 𝑎 Vrednost Rejnoldsovog broja Režim strujanja 𝑅𝑒≲2300 Laminarno 2300 ≲𝑅𝑒≲4000 Prelazno 𝑅𝑒≳4000 Turbulentno 𝑎 𝐷 ℎ = 4𝑎𝑏 2𝑎+𝑏 𝑎 𝑏

9 Dužina hidrodinamičke stabilizacije
Dužina hidrodinamičke stabilizacije (ulazna/uvodna zona) i hidrodinamički potpuno razvijeno strujanje Prilikom ulaska fluida u cev potrebno je određeno vreme/dužina da se strujanje „ustali“. Na ulazu strujanje se može smatrati uniformnim. Ubrzo nakon ulaska javlja se dejstvo zida i graničnog sloja koje postaje sve jače, a neviskozno jezgro se smanjuje. Nakon što fluid pređe određenu dužinu lu strujanje se više ne menja – nastupa potpuno razvijeno strujanje. Ta dužina zavisi od režima strujanja, prečnika i mnogih drugih faktora. Dužina hidrodinamičke stabilizacije je manja za turbulentno strujanje, a razvijeni profil mnogo „pljosnatiji“ nego kod laminarnog strujanja. lu se određuje pomoću empirijskih jednačina npr: Laminarno strujanje: Turbulentno strujanje: 𝑙 𝑢 𝐷 =0,05 𝑅𝑒 𝑙 𝑢 𝐷 =4,4 𝑅 𝑒 1 6 𝑙 𝑢 𝐷 =1,359 𝑅 𝑒 1 4 Neviskozno jezgro Uniformno strujanje, ulaz u cev Uticaj graničnog sloja 𝐷 𝑟 𝑥 𝑙 𝑢 Dužina hidrodinamičke stabilizacije Ulazna zona Potpuno razvijeno strujanje: 𝜕𝑢(𝑟,𝑥) 𝜕𝑥 =0 →𝑢=𝑢(𝑟)

10 Strujanje u cevi. Pad pritiska.
𝜏 𝑧𝑖𝑑 Prilikom strujanja viskoznog fluida kroz horizontalnu cev kao pokretač strujanja nameće se pad pritiska. Tj. razlika pritiska pokreće fluid i savladava viskozne sile. Profil pritiska (veličina i promena) i napona zavise od režima strujanja kao i od razmatrane zone (ulaz ili razvijeno strujanje). Ukoliko cev nije horizontalna, pad pritiska je posledica i hidrostatičkog pritiska. Promena pritiska po prečniku cevi usled gravitacije se može zanemariti. Pad pritiska je veći u uvodnoj zoni gde je veći i napon smicanja usled dejstva zida. Kada se dostigne popuno razvijeno strujanje. Pad pritiska i napon postaju konstantni. Sa inženjerskog aspekta važno je razmotriti mogućnost određivanja vrednosti pada pritiska i odrediti srednju brzinu i brzinski profil strujanja. Analitičko rešenje je moguće samo za laminarno potpuno razvijeno strujanje. 𝑃 𝑃 1 > 𝑃 2 Pad pritiska usled ulaska u cev 𝜕𝑃 𝜕𝑥 > 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = Δ𝑃 Δ𝑥 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Ulazna zona Potpuno razvijeno strujanje 𝑙 𝑢 𝐷 𝑥 𝑟

11 Laminarno strujanje viskoznog fluida u cevi
Kada se ostvari potpuno razvijeno strujanja profil brzina postaje stalan duž strujanja fluida (po x osi). Ovo važi i za laminarno i za turbulentno strujanje. Kod laminarnog strujanja prenos se odvija duž strujnica molekulskom difuzijom. Izvođenjem profila brzina možemo dobiti i podatke o protoku, pritisku i naponima. Profil brzina (srednjih) za turbulentno strujanje se ne može izvesti analitički, ali za laminarno strujanje je to moguće. Iako je većina strujanja u inženjerskim problemima turbulentno, veoma je važno razmatranje i razumevanje laminarnog strujanja. Za laminarno strujanje fluida u cevi kružnog poprečnog preseka važi Poasejev zakon (izveli smo ga, prezentacija 6, slajdovi 31 i 32): 𝑉 𝑥 𝑟 =𝑢(𝑟)= 1 4𝜇 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑟 2 − 𝑅 2 ∆𝑃= 32𝜇𝑙 𝑉 𝑠𝑟 𝐷 2 Razlika (pad) pritiska za laminarno strujanje u cevi kružnog poprečnog preseka 𝒱 = 𝜋 𝑅 4 8𝜇 ∆𝑃 𝑙 = 𝜋 𝐷 𝜇 ∆𝑃 𝑙 𝑉 𝑠𝑟 = 𝑢 𝑠𝑟 = 𝒱 𝜋 𝑅 2 = 𝑅 2 8𝜇 ∆𝑃 𝑙 = 𝐷 2 32𝜇 ∆𝑃 𝑙 𝑢 𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 2 4𝜇 ∆𝑃 𝑙 =2 𝑢 𝑠𝑟 𝑢(𝑟)= 2𝑢 𝑠𝑟 1− 𝑟 𝑅 2

12 Laminarno strujanje viskoznog fluida u cevi
Bilo bi korisno da se izvedena jednačina može upotrebiti u sličnom obliku i za druge slučajeve (turbulentno strujanje, drugi poprečni preseci itd.) Pristupićemo pre dimenzionoj analizi. Jasno je da pritisak zavisi od brzine, dužine, prečnika i viskoznosti: ∆𝑃=𝑓( 𝑉 𝑠𝑟 ,𝑙,𝐷,𝜇) Prateći postupak naveden u prezentaciji 7 izvodimo dve bezdimenzione grupe: 𝐷∆𝑃 𝜇 𝑉 𝑠𝑟 =𝐹 𝑙 𝐷 Nameće se logika da se radi o direktnoj proporcionalnosti (dupla dužina - dupla razlika pritiska), pa sledi: 𝐷∆𝑃 𝜇 𝑉 𝑠𝑟 =𝐶 𝑙 𝐷 𝑖𝑙𝑖 ∆𝑃= 𝐶𝜇𝑙 𝑉 𝑠𝑟 𝐷 2 Vrednost konstante se određuje eksperimentalno (osim za laminarno strujanje u cevi kružnog poprečnog preseka kada je 𝐶=32). Možemo obe strane jednačine podeliti sa dinamičkim pritiskom: ∆𝑃= 𝐶𝜇𝑙 𝑉 𝑠𝑟 𝐷 2 / 1 2 ρ 𝑉 𝑠𝑟 2 ∆𝑃 1 2 ρ 𝑉 𝑠𝑟 2 = 𝐶𝜇𝑙 𝑉 𝑠𝑟 𝐷 ρ 𝑉 𝑠𝑟 2 = 2𝐶 𝑅𝑒 𝑙 𝐷 ∆𝑃= 2𝐶 𝑅𝑒 𝑙 𝐷 ρ 𝑉 𝑠𝑟 2 2 ∆𝑃=𝜆 𝑙 𝐷 𝜌 𝑉 𝑠𝑟 2 2 𝜆 - Darsi-Vajsbahov koeficijent trenja (zavisi od Re i hrapavosti cevi 𝜀) 𝜆= 64 𝑅𝑒 Za laminarno strujanje u cevi kružnog poprečnog preseka 𝐶=32 , sledi da je

13 Laminarno strujanje viskoznog fluida u cevi
Pad pritiska usled podužnog trenja: ∆𝑃 𝐿 =𝜆 𝑙 𝐷 𝜌 𝑉 𝑠𝑟 2 2 𝑉 𝑠𝑟 𝐷 ℎ 𝐿 =𝜆 𝑙 𝐷 𝑉 𝑠𝑟 2 2𝑔 𝑙 ∆𝑃 1 2 𝑊 = 𝒱 ∆𝑃 𝐿 = 𝑚 𝑔ℎ 𝐿 Bernulijeva jednačina: 𝛼 1 , 𝛼 2 – Korekcioni faktori kinetičke energije (posledica profila brzine, neuniformnosti). Za uniformno strujanje on je 1, za razvijeno laminarno strujanje iznosi 2, a za razvijeno turbulentno iznosi oko 1,05. 𝑃 1 𝜌𝑔 + 𝛼 1 𝑉 𝑔 + 𝑧 1 + ℎ 𝑝𝑢𝑚𝑝𝑒 = 𝑃 2 𝜌𝑔 + 𝛼 2 𝑉 𝑔 + 𝑧 2 + ℎ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒 + ℎ 𝐿 Kod cevi koje nisu horizontalne, već nagnute za ugao 𝜃 važi, moramo uzeti u obzir i uticaj gravitacije na razliku pritiska. Fluid mora da savlada viskozne i gravitacione sile da bi prešao put od tačke 1 do tačke 2. Za laminarno strujanje u cevi kružnog poprečnog preseka dobijamo: 𝒱 = 𝜋 𝐷 𝜇 ∆𝑃−𝜌𝑔𝑙 sin 𝜃 𝑙 𝑉 𝑠𝑟 = 𝐷 2 32𝜇 ∆𝑃−𝜌𝑔𝑙 sin 𝜃 𝑙 ∆𝑃= 32𝜇𝑙 𝑉 𝑠𝑟 𝐷 2 +𝜌𝑔𝑙 sin 𝜃 𝜃

14 Turbulentno strujanje viskoznog fluida u cevi
Većina tokova u inženjerskim problemima je turbulentno i zato je veoma važno da razmotrimo kako takvo strujanje deluje na zid (napon smicanja), kakav je profil brzina i kako odrediti pad pritiska. Međutim, turbulentno strujanje je veoma kompleksno i promenjivo sa vremenom. Pored velikih napora naučnika i inženjera, turbulentno strujanje još uvek nije u potpunosti razjašnjeno. Opis strujanja se oslanja na empirijske i poluempirijske izraze za različite slučaje. Turbulentno strujanje je karakterisano velikom neuređenošću, fluktuacijama i „uvijanjem“ elemenata fluida. Takve oblasti se nazivaju vrtlozi. Ove oblasti i fluktuacije izazivaju dodatni mehanizam prenosa energije i mase. Kod laminarnog strujanja prenos se odvija duž strujnica molekulskom difuzijom. Kod turbulentnog strujanja vrtlozi su odgovorni za prenos energije i mase čime se povećava količina prenete mase, količine kretanja i energije. Stoga, turbulencija izaziva veće vrednosti otpora i veće vrednosti koeficijenata prenosa toplote i mase. 𝑉 𝑠𝑟 𝑉 𝑠𝑟 Laminarno, slojevito strujanje Turbulentno, neuređeno strujanje

15 Turbulentno strujanje u cevi. Parametri strujanja.
Parametri strujanja pri turbulenciji nisu stalne veličine čak ni kada se radio o strujanju koje definišemo kao stacionarno strujanje. Ukoliko odaberemo neku tačku i merimo trenutnu brzinu u u nekom vremenskom intervalu, primećujemo da se ona kreće oko neke srednje brzine 𝑢 . Odstupanje trenutne brzine od srednje vrednosti se naziva fluktuirajuća komponenta brzine ili samo fluktuirajuća brzina 𝑢′. Fluktuirajuća brzina je mera i posledica turbulencije. Ovo isto važi i za ostale fizičke veličine (pritisak, gustina, temperatura…) 𝑢 = 1 𝑡 2 − 𝑡 1 𝑡 1 𝑡 2 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 𝑢 𝑢= 𝑢 + 𝑢 ′ tj. 𝑢 ′ =𝑢− 𝑢 𝑢 Vidimo da 𝑢 ′ može biti pozitivno i negativno i jasno je da njena srednja vrednost jednaka nuli. Međutim, kvadrat srednje vrednosti fluktuirajuće brzine nije nula i mora biti pozitivan broj. Ta veličina se koristi za prikazivanje intenziteta/jačine turbulencije It: 𝑢′ 𝑢′ = 1 𝑡 2 − 𝑡 1 𝑡 1 𝑡 2 𝑢′ 𝑡 𝑑𝑡 =0 𝑡 𝑡 1 𝑡 2 𝐼 𝑡 = 𝑢 ′ 𝑢 (𝑢′) 2 = 1 𝑡 2 − 𝑡 1 𝑡 1 𝑡 2 (𝑢′) 2 𝑡 𝑑𝑡 >0

16 Turbulentno strujanje u cevi. Parametri strujanja.
Razmotrićemo napon smicanja prilikom turbulentnog strujanja. Napon smicanja je veći nego kod laminarnog strujanja, naročitu blizu zida. Razlog je što je su veće brzine fluida u centru, a pri tome je profil brzina turbulentnog strujanja fluida ravniji i uniformniji. Pošto mora biti zadovoljen uslov da je na zidu brzina jednaka nuli, jasno je da se mora javiti veliki gradijent brzina što dovodi do velikog tangencijalnog napona smicanja. Praktično je smatrati da je ukupan napon jednak zbiru laminarnog i turbulentnog napona: 𝜏 𝑡𝑜𝑡 = 𝜏 𝑙𝑎𝑚 + 𝜏 𝑡𝑢𝑟𝑏 =𝜇 𝑑 𝑢 𝑑𝑦 −𝜌 𝑢 ′ 𝑣′ Rejnoldsov ili turbulentni napon Turbulentni napona smicanja se može odrediti i pomoću turbulentnog koeficijenta viskoznosti (viskoznost vrtloga). Problem se javlja prilikom određivanja odgovarajućeg koeficijenta viskoznosti. 𝜏 𝑡𝑢𝑟𝑏 =−𝜌 𝑢 ′ 𝑣 ′ = 𝜇 𝑡 𝑑 𝑢 𝑑𝑦 𝜏 𝑡𝑜𝑡 = 𝜏 𝑙𝑎𝑚 + 𝜏 𝑡𝑢𝑟𝑏 =𝜇 𝑑 𝑢 𝑑𝑦 + 𝜇 𝑡 𝑑 𝑢 𝑑𝑦 = 𝑑 𝑢 𝑑𝑦 𝜇+ 𝜇 𝑡 =𝜌 𝜈+ 𝜈 𝑡 𝑑 𝑢 𝑑𝑦 Da bi definisao turbulentni koeficijent viskoznosti, Prandtl je uveo pojam „put mešanja“ – lm. Put mešanja je fiktivna dužina koju deo fluida (vrtlog) pređe pre nego što izgubi svoja početna svojstva i nestane u masi fluida. Međutim, opet se javio problem oko određivanja vrednosti Prandtlovog puta mešanja, pošto on nije konstantan i zavisi od udaljenost od zida. Empirijski pristup se nameće kao rešenje. 𝜏 𝑡𝑢𝑟𝑏 =𝜌 𝑙 𝑚 2 𝑑 𝑢 𝑑𝑦 2 𝜇 𝑡 =𝜌 𝑙 𝑚 2 𝑑 𝑢 𝑑𝑦

17 Turbulentno strujanje u cevi. Profil brzina.
Brzinski profil kod turbulentnog strujanja je profil srednje (po vremenu) brzine i mnogo je kompleksniji nego profil laminarnog strujanja koji predstavlja parabolu. 𝑢 𝑢 Laminarno Turbulentno Izvedene su empirijske jednačina za određivanje zavisnosti brzine od udaljenosti od zida (y). Ceo profil se deli na podoblati u zavisnosti od udaljenosti od zida i tj. od „zaustavljajućeg“ uticaja zida. Postoje tri glavne oblasti: Viskozni podsloj (veoma tanak, blizu zida) Prelazna oblast Turbulentna oblast (slobodno strujanje daleko od zida) Za svaki od navedenih podslojeva se izvode jednačine promene brzine. Da bismo prikazali jednačine uvešćemo fiktivnu, frikcionu brzinu: Zid 𝑢 ∗ = 𝜏 𝑧𝑖𝑑 𝜌

18 Turbulentno strujanje u cevi. Profil brzina.
- Eksperimentalno određene vrednosti 𝑢 ∗ = 𝜏 𝑧𝑖𝑑 𝜌 Viskozni podsloj: 𝑢 𝑢 ∗ = 𝑦 𝑢 ∗ 𝜈 bezdimenziono 𝑢 + = 𝑦 + Prelazna oblast: 𝑢 + =2,5 ln 𝑦 + +5,0 Turbulentna oblast: 𝑢 𝑢 𝑚𝑎𝑥 = 1− 𝑟 𝑅 1 𝑛 Broj n zavisi od Re. Najčešće se uzima da je n=7, pa se ovaj profil često naziva stepeni profil jedne sedmine. Centar cevi 𝑢 + Zid 3 2 1 Logaritamska funkcija 𝑦 + Zid 𝑛=4..10 𝑢 𝑢 𝑚𝑎𝑥 Stepena funkcija Centar cevi Laminarno 𝑢 𝑢 𝑚𝑎𝑥 =1− 𝑟 𝑅 2 r/R

19 Turbulentno strujanje u cevi. Gubici usled trenja.
Možemo koristiti isti izraz kao i za laminarno strujanje, jedina razlika je u određivanju koeficijenta podužnog trenja 𝜆: ∆𝑃=𝜆 𝑙 𝐷 𝜌 𝑉 𝑠𝑟 2 2 Koeficijent podužnog trenja za turbulentno strujanje je funkcija relativne hrapavosti cevi i Re broja: 𝜆=F 𝜀 𝐷 ,𝑅𝑒 Postoji nekoliko relacija za oblik zavisnosti 𝜆=F 𝜀 𝐷 ,𝑅𝑒 , najpoznatija je Kolbrukova jednačina, koja je implicitna: 1 𝜆 =−2 log 𝜀 3,7𝐷 + 2,51 𝑅𝑒 𝜆 Nekoliko naučnika je izvelo i eksplicitne oblike zavisnosti, ali najpoznatiji način za određivanje 𝜆 je Mudijev dijagram. Sa dijagrama (koji je nacrtan na osnovu Kolbrukove jednačine) očitava se Darsijev koeficijent trenja za poznatu vrednost Rejnoldsovog broja i relativne hrapavosti. Tri osnovne vrste računskih problema: Izračunavanje pada pritiska (poznat je prečnik, dužina cevi i protok) Izračunavanje protoka (poznat je prečnik, dužina cevi i pad pritiska) Izračunavanje potrebnog prečnika cevi (poznata je dužina cevi, pad pritiska i protok) Prvi problem je moguće direktno rešiti, dok su drugi treći iterativni jer se ne znaju svi podaci neophodni za očitavanje koeficijenta trenja sa Mudijevog dijagrama. 𝐷 𝜀

20 Turbulentno strujanje u cevi. Gubici usled trenja.
Lewis F. Moody (1880 –1953) 1944 Cyril F. Colebrook (1910–1997) 1939

21 Strujanje u cevi. Lokalni/mesni gubici.
Gubici energije/pritiska fluida tokom strujanja ne potiči samo od podužnog trenja. Ukoliko fluid nailazi na prepreke takođe se javljaju gubici. To su lokalni ili mesni gubici npr. ulaz u cev, izlaz iz cevi, proširenje, suženje, koleno, ventil… Promena geometrije prilikom strujanja izaziva promenu protoka, brzine i pritiska. Primer: otvaranje i zatvaranje ventila. Nekada su lokalni gubici veći od gubitaka podužnog trenja, međutim ponekada se mogu zanemariti. Teorijska analiza strujanja kroz promene geometrije je najčešće nemoguća, pa se koeficijent gubitka i sam pad pritiska određuje eksperimentalno. Izraz za koeficijent lokalnog/mensog otpora ili gubitka je: 𝜉= 2 ∆𝑃 𝐿 𝜌 𝑉 𝑠𝑟 2 ili 𝜉= 2 ℎ 𝐿 𝑔 𝑉 𝑠𝑟 2 𝜉 zavisi od geometrije (dejstvo na strujnice) i od Rejnoldsovg broja. Uglavnom se zavisnost od Rejnoldsa zanemaruje (ne zavisi pri turbulentnom strujanju) tako da se 𝜉 određuje za potrebnu geometriju. Postoje nomogrami i tabele sa vrednostima 𝜉 za većinu konstrukcionih delova cevi (ulaz u cev, izlaz iz cevi, porširenje, suženje, prigušna ploča, kolena, račvanja, ventili…) 𝜉 se određuje eksperimentalno merenjem pada pritiska ∆𝑃 𝐿 . Od dobijene vrednosti za pad pritiska mora se oduzet fiktivni pad usled dužine dela cevi gde se nalazi određena geometrija (podužni pad kroz cev kao da nema dela za koji određujemo 𝜉). 𝜉 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙𝑎 𝑉 𝑠𝑟 1 ∆𝑃 𝐿 , ℎ 𝐿 2 ∆𝑃 𝐿 =𝜉 𝜌 𝑉 𝑠𝑟 2 2 ℎ 𝐿 =𝜉 𝑉 𝑠𝑟 2 2𝑔

22 Strujanje u cevi. Lokalni/mesni gubici.
Veliki rezervoar Ulaz u cev Veliki rezervoar 𝑉 1 =0 𝑉 2 =𝑚𝑎𝑥 𝑉 3 Izlaz iz cevi 𝐷 𝑉 2 =0 𝑟 Odvajanje sloja 𝑉 1 𝑃 1 𝜌 𝑉 𝜌 𝑉 Bez lokalnog gubitka 𝜉 𝜌 𝑉 𝑃 2 𝑃 3 Vrednost 𝜉 prilikom izlaza fluida iz cevi je za turbulentno strujanje uvek blizu jedinici i ne zavisi od zaobljenja cevi na izlazu. Za laminarno strujanje važi 𝜉=2 Razlog za to je što celokupna kinetička energija postaje nula a ne postoji odvajanje sloja usled oštrog prelaza. Vena contracta Vrednost 𝜉 prilikom ulaska u cev zavisi od zaobljenja cevi na ulazu. Razlog je odvajanje sloja usled oštrog prelaza. 𝜉 opada sa porastom odnosa 𝑟 𝐷 . Za oštre ivice ulaza 𝜉=0,5 Za zaobljene ivice bez odvajanja sloja 𝜉=0,05

23 Strujanje u cevi. Lokalni/mesni gubici.
Naglo proširenje Naglo suženje 𝑉 1 , 𝐴 1 𝑉 2 , 𝐴 2 𝑉 1 , 𝐴 1 𝑉 2 , 𝐴 2 Slično kao izlaz iz cevi. Vrednost 𝜉 zavisi od odnosa 𝐴 1 𝐴 2 i opada od 𝜉=1 za 𝐴 1 𝐴 2 =0 do 𝜉=0 za 𝐴 1 𝐴 2 =1. Možemo izvesti i analitički izraz: 𝜉= 1− 𝐴 1 𝐴 Slično kao ulaz u cev. Vrednost 𝜉 zavisi od odnosa 𝐴 2 𝐴 1 i opada od 𝜉=0,5 za 𝐴 2 𝐴 1 =0 do 𝜉=0 za 𝐴 2 𝐴 1 =1. Postepeno suženje ili proširenje Difuzor Difuzorom se izbegava odvajanje graničnog sloja i pojave povratnog toka. Vrednost 𝜉 zavisi od toga da li je u pitanju suženje ili proširenje. U oba slučaja zavisi od odnosa 𝐴 2 𝐴 1 i ugla proširenja 𝜃 (dužine difuzora). U slučaju proširenja problem je kompleksan. 𝜉=min,𝜃≈8°. Ukoliko je ugao 𝜃>35° vrednost 𝜉 je veća od one za naglo proširenje (𝜃=180°). Vrednosti 𝜉 su od oko 0,1 do 1,0 za proširenje, dok su za suženje i do 10 puta manje. 𝑉 1 , 𝐴 1 𝑉 2 , 𝐴 2 𝜃

24 Strujanje u cevi. Lokalni/mesni gubici.
Kolena, račvanja, T-cevi Gubici usled prolaska fluida kroz koleno zavise od ugla kolena(𝜃), zakrivljenja (𝑟) kao i od hrapavosti cevi. Vrednosti se kreću od 0,2 do 1,5 𝜃 𝑟 Ventili Gubici usled prolaska fluida kroz ventil pre svega zavise od vrste ventila i od „otvorenosti“ ventila. Za potpuno otvoren ventil 𝜉≈0,1−10 Za potpuno zatvoren ventil 𝜉=∞ Za delimično otvorene ventile 𝜉 može iznositi od nekoliko desetina do nekoliko stotina. 𝜉

25 Bernulijeva jednači i ukupni gubici.
Sada možemo uvrstiti izraze za podužno trenje i mesne gubitke u Bernulijevu jednačinu: 𝑃 1 𝜌𝑔 + 𝛼 1 𝑉 𝑔 + 𝑧 1 + ℎ 𝑝𝑢𝑚𝑝𝑒 = 𝑃 2 𝜌𝑔 + 𝛼 2 𝑉 𝑔 + 𝑧 2 + ℎ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒 + ℎ 𝐿,𝑢𝑘𝑢𝑝𝑛𝑜 ℎ 𝐿,𝑢𝑘𝑢𝑝𝑛𝑜 = ℎ 𝐿,𝑡𝑟𝑒𝑛𝑗𝑒 + ℎ 𝐿,𝑚𝑒𝑠𝑛𝑜 ℎ 𝐿,𝑡𝑟𝑒𝑛𝑗𝑒 =𝜆 𝑙 𝐷 𝑉 2 2𝑔 ℎ 𝐿,𝑚𝑒𝑠𝑛𝑜 = 𝜉 𝑉 2 2𝑔 ℎ 𝐿,𝑢𝑘𝑢𝑝𝑛𝑜 = 𝑉 2 2𝑔 𝜆 𝑙 𝐷 + 𝜉 , 𝐷=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Vrste računskih problema smo naveli kod definisanja podužnog trenja. Na ovaj način je rešavanje problema sa jednom cevi u potpunosti određeno i definisano.

26 Sistem sa više cevi. U praksi su cevovodi sastavljeni od sistema više cevi povezanih paralelno i redno. 𝒱 3 ,∆ 𝑃 3 , ℎ 𝐿3 redno 𝒱 2 ,∆ 𝑃 2 , ℎ 𝐿2 𝒱 1 ,∆ 𝑃 1 , ℎ 𝐿1 𝒱 , 𝑃 1 𝒱 , 𝑃 2 𝒱 1 ,∆ 𝑃 1 , ℎ 𝐿1 𝒱 2 ,∆ 𝑃 2 , ℎ 𝐿2 paralelno 𝒱 3 ,∆ 𝑃 3 , ℎ 𝐿3 ∆ 𝑃= 𝑃 1 − 𝑃 2 ℎ 𝐿 Važi analogija sa električnim kolima (napon je pritisak, a jačina struje je protok). Uvek mora biti zadovoljen energetski i materijalni bilans. Za redno važi: 𝒱 = 𝒱 1 = 𝒱 2 = 𝒱 3 ; ∆ 𝑃=∆ 𝑃 1 +∆ 𝑃 2 +∆ 𝑃 3 ; ℎ 𝐿 = ℎ 𝐿1 + ℎ 𝐿2 + ℎ 𝐿3 Za paralelno važi: 𝒱 = 𝒱 𝒱 𝒱 3 ; ∆ 𝑃=∆ 𝑃 1 =∆ 𝑃 2 =∆ 𝑃 3 ; ℎ 𝐿 = ℎ 𝐿1 = ℎ 𝐿2 = ℎ 𝐿3 U slučaju kompleksnijih problem potrebno je strujanje rešavati iterativno (proba-greška), jer su u pitanju sistemi nelinearnih jednačina. Potrebno je pretpostaviti smer kretanja fluida u cevima.

27 Merenje protoka fluida u cevi
Merenje protoka fluida u cevi. Pitova cev, prigušna ploča i Venturijeva cev Merači pritiska 𝐷 𝐷 2 Princip rada Pitove cevi smo već objasnili. Pomoću pada pritiska određuje se srednja brzina strujanja u cevi. 1 2 𝑉, 𝒱 𝑑 𝐷 𝑉= 𝑃 2 − 𝑃 1 𝜌 Prigušna ploča Za prigušnu ploču i Venturijevu cev važi ista jednačina koja se izvodi iz BJ i jednačine kontinuiteta: Merači pritiska 𝒱 =𝐴𝐶 2 𝑃 1 − 𝑃 2 𝜌 1− 𝛽 4 ;𝐴= 𝑑 2 𝜋 4 ;𝛽= 𝑑 𝐷 ;𝐶=𝑓(𝑅𝑒,𝛽) Venturijeva cev 1 𝑑 2 Konstanta C se razlikuje za prigušnu ploču i Venturijevu cev i manja je za prigušnu ploču (veći gubitak energije). Danas postoji veliki broj različitih vrsta savremenih merača protoka!!! 𝑉, 𝒱 𝐷