Διδασκαλία Μοντελοποίησης

Παρουσίαση με θέμα: "Διδασκαλία Μοντελοποίησης"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Διδασκαλία Μοντελοποίησης
2ο Πειραματικό Λύκειο Αθήνας Β΄Λυκείου Καμπούκου Αγγελική

2 Μαθηματικό περιεχόμενο: Γεωμετρία –Μέτρηση Κύκλου
Μαθηματικοί στόχοι Η μετάβαση από το πραγματικό πλαίσιο στο μαθηματικό. Να εξοικειωθούν με τις έννοιες του «κυκλικού τομέα» και του «κυκλικού τμήματος» και να μπορούν να υπολογίσουν το εμβαδόν τους. Να μπορούν να υπολογίσουν το εμβαδόν οποιουδήποτε καμπυλόγραμμου σχήματος το οποίο προκύπτει από κυκλικές επιφάνειες. Να εμπλουτίσουν και να παγιώσουν γνώσεις σε ήδη γνωστές έννοιες. Δυσκολίες που αναμένουμε να έχουν οι μαθητές. Δυσκολία να αναγνωρίσουν τα σχήματα. Να μπερδεύουν τις έννοιες που αφορούν τον κύκλο(π.χ. τόξο) με τις έννοιες που αφορούν τον κυκλικό δίσκο (π.χ. κυκλικός τομέας). Να μην θυμούνται τις σχέσεις που μας δίνουν το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ή του κυκλικού τμήματος.

3 Πλαίσιο δραστηριότητας:
Σε ποιους απευθύνεται: Μαθητές Β΄ Λυκείου οι οποίοι έχουν διδαχθεί τους τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού κυκλικού τομέα και κυκλικού τμήματος. Χρόνος υλοποίησης: Μία διδακτική ώρα. Χώρος υλοποίησης: Η παρέμβαση θα υλοποιηθεί εξ ολοκλήρου στην αίθουσα διδασκαλίας. Προαπαιτούμενες γνώσεις: Οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν τις βασικές γεωμετρικές έννοιες και τις μονάδες μέτρησης μήκους και επιφάνειας. Να μπορούν να υπολογίσουν το εμβαδόν επίπεδων σχημάτων, να γνωρίζουν επίσης τις έννοιες της εγγεγραμμένης γωνίας, του κανονικού πολυγώνου και να κατανοούν τη σημασία των εννοιών αυτών στον υπολογισμό του μήκους κύκλου και του εμβαδού κυκλικού δίσκου. Επιπλέον, θα πρέπει να μπορούν να χειριστούν με ευχέρεια τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τις έννοιες των εγγεγραμμένων και επίκεντρων γωνιών.

4 Το φύλλο εργασίας 2ο Πειραματικό Λύκειο Αθήνας Τμήμα Β4
2ο Πειραματικό Λύκειο Αθήνας Τμήμα Β4 Φύλλο εργασίας γεωμετρίας. Θέμα: Εμβαδόν κυκλικού τομέα-κυκλικού τμήματος Οι μαθητές ενός Λυκείου αποφάσισαν να ετοιμάσουν μια θεατρική παράσταση , την οποία θα παρουσιάσουν στο τέλος της σχολικής χρονιάς στο θεατράκι της περιοχής τους. Το θέατρο έχει κυκλικό σχήμα με ακτίνα 20m και η κάτοψη του φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

5 Για τις ανάγκες της παράστασης, υπάρχουν στιγμές που οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν 2 διαφορετικούς προβολείς που θα φωτίζουν την σκηνή από το κέντρο του θεάτρου . Αν ο πρώτος προβολέας εκπέμπει δέσμη φωτός που φωτίζει με γωνία 90ο και ο δεύτερος με γωνία 30ο , να βρείτε πόσα m2 της σκηνής φωτίζει ο κάθε προβολέας.

6 Το σκηνικό της παράστασης περιλαμβάνει ένα κόκκινο και ένα μπλέ πανί τα οποία θα στερεωθούν πάνω από την σκηνή όπως φαίνεται στο σχήμα: Αν γνωρίζουμε ότι και ,να βρείτε πόσα m2 κόκκινου και πόσα m2 μπλε πανιού θα χρειαστούν οι μαθητές.

7 Η ιστορία της παράστασης διαδραματίζεται το φθινώπορο και για να δώσουν αυτή την αίσθηση οι μαθητές σκέφτηκαν να τοποθετήσουν στο πίσω μέρος της σκηνής ένα ταμπλό που θα δείχνει τα καφέ φύλλα ενός δέντρου. Έτσι, στο ταμπλό θα υπάρχουν μικρά τετράγωνα όπως αυτό που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν η πλευρά του τετραγώνου είναι και το «φύλλο» είναι η τομή των κυκλικών τομέων με κέντρο τα σημεία Β και Δ αντίστοιχα και ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου, τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του «φύλλου».

8 Λίγα λόγια για τη διδασκαλία…
Στην αρχή του μαθήματος ζητήσαμε από τους μαθητές που κάθοντουσαν μόνοι τους, να καθίσουν με κάποιον συμμαθητή τους και μοιράσαμε από ένα φύλλο εργασίας ανα θρανίο. Διαβάσαμε την εισαγωγή και αφήσαμε τις ομάδες να ασχοληθούν με το 1ο ερώτημα. Ενώ οι ομάδες επεξεργάζονταν το ερώτημα, περνούσαμε από θρανίο σε θρανίο για να βοηθήσουμε. Η πλειοψηφία των μαθητών μπορούσε να αναγνωρίσει ότι το ζητούμενο είναι το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που σχηματίζεται κάθε φορά από την αντίστοιχη γωνία. Ωστόσο υπήρχαν διαφοροποιήσεις στην ευχέρεια με την οποία μπορούσαν οι μαθητές να καταλήξουν στο ζητούμενο. Υπήρχαν μαθητές οι οποίοι είτε αναγνώριζαν το σχήμα αλλά δεν θυμόντουσαν πως λέγεται είτε αναπαρήγαγαν μηχανικά κάποιον τύπο που είχαν μάθει στο προηγούμενο μάθημα και αντικαθιστούσαν τα δεδομένα. Σε γενικές γραμμές, οι μαθητές δεν δυσκολεύτηκαν να δώσουν μία σωστή απάντηση στο συγκεκριμένο ερώτημα και χρειαζόντουσαν διερευνητικές ερωτήσεις για να διαπιστώσουμε τον βαθμό στον οποίο είχαν κατανοήσει αυτό που έψαχναν. Στη συνέχεια συζητήσαμε με το σύνολο της τάξης πάνω στο 1ο ερώτημα

9 Έπειτα, αφήσαμε τις ομάδες να ασχοληθούν με το 2ο ερώτημα, που ζητούσε το εμβαδόν δύο κυκλικών τμημάτων. Και πάλι η πλειoψηφία των μαθητών αναγνώρισε με ευκολία το σχήμα και ότι για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του θα πρέπει να αφαιρέσουμε από το εμβαδόν του κυκλικού τομέα το εμβαδόν του αντίστοιχου τριγώνου. Στο πρώτο κυκλικό τμήμα με γωνία 90ο οι μαθητές δεν δυσκολεύτηκαν ιδιαίτερα. Αντίθετα, στο δεύτερο κυκλικό τμήμα, οι μαθητές αντιμετώπισαν σοβαρή δυσκολία να βρουν το εμβαδόν του αντίστοιχου τριγώνου. Οι περισσότεροι μαθητές δεν σκέφτηκαν ότι θα πρέπει να φέρουν κάποιο ύψος για να βρουν το εμβαδόν, αλλά και όσοι το σκέφτηκαν έφερναν το ύψος που αντίστοιχεί στην πλευρά ΑΔ, την οποία όμως δεν γνώριζαν. Λίγοι μαθητές κατάφεραν να δώσουν μια ολοκληρωμένη απάντηση και αυτό ύστερα από δικιά μας υπόδειξη να χρησιμοποιήσουν άλλο ύψος και να θυμηθούν τριγωνομετρικούς αριθμούς. Ωστόσο, στο διάλειμμα ένας μαθητής, ο Άγγελος, βρήκε και διαφορετικό τρόπο να υπολογίσει το ύψος, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Στη συνέχεια συζητήσαμε με το σύνολο της τάξης πάνω στο 2ο ερώτημα, ενώ στο τέλος του μαθήματος μείναμε με τον Άγγελο για μια απορροία που είχε, πάνω σε μία παρατήρηση ενός συμμαθητή του.

10 Ένα περιστατικό που μας έκανε εντύπωση
Το περιστατικό στο οποίο θα αναφερθούμε συντελέστηκε στην αρχή του μαθήματος, όταν οι ομάδες συζητούσαν το 1ο ερώτημα, στο οποίο έπρεπε να υπολογίσουν πόσα m2 της σκηνής φωτίζει κάθε προβολέας από αυτούς που έχουμε τοποθετήσει στο κέντρο του θεάτρου. Όπως φαίνεται στις γραμμές , ο «μαθητής 2» που δεν είχε παρακολουθήσει το προηγούμενο μάθημα, ούτε είχε διαβάσει δεν ήταν σε θέση να αναγνωρίσει την έννοια του κυκλικού τομέα ούτε γνώριζε τον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού κυκλικού τομέα. Ωστόσο, κατά κάποιο τρόπο «μιμούμενος» τη διαδικασία με την οποία είχαν βρει τον τύπο για το μήκος του τόξου, ξεκινώντας από τον κύκλο, κατάφερε να δώσει μια ολοκληρωμένη απάντηση. Ο μαθητής διαπίστωσε ότι το εμβαδόν που ψάχναμε ήταν το ¼ του κυκλικού δίσκου. Έτσι, υπολόγισε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου και διαίρεσε με το 4. Στη συνέχεια, και με τη βοήθεια του συμμαθητή του, κατάφεραν να γενικεύσουν και να βρουν ότι όταν έχουμε κυκλικό τομέα μο το εμβαδόν είναι

11 Αγγελική: Πώς πάει; Μαθήτής 1: Εεε, έχουμε αυτό τον τύπο. Αγγελική: Τι είναι αυτός ο τύπος; Μαθητής 1: Για να βρούμε πόσα m2 θα φωτίζει ο κάθε προβολέας. Αγγελική: Ναι, τι είναι αυτό που φωτίζει ο κάθε προβολέας. Μαθητής 1: Αυτό… Το εμβαδόν. [δείχνει το 4ο τεταρτημόριο του κύκλου] Αγγελική: Πώς το λένε αυτό; Μαθητής 1: Δεν θυμάμαι. Αγγελική: Εσύ; Μαθητής 2: Δεν ξέρω. Δεν έχω διαβάσει. Αλλά μπορούμε να το βρούμε αλλιώς. Αγγελική: Για πες. Μαθητής 2: Θα πάρουμε το εμβαδόν του κύκλου. Πόση είναι η ακτίνα του; 20. Εεε, λοιπόν πρ2. Αγγελική: Ωραία, δηλαδή πόσο; Μαθητής 1: π επί 400 cm2, αυτό. Αγγελική: Θέατρο είναι. Μαθητής 1: Ναι.

12 Αγγελική: Αν ήταν 20 cm η ακτίνα του θεάτρου, θα παίζανε playmobil !
Μαθητής 2: Ναι προφανώς… π επί 400m διά 4 οπότε θα είναι εεε, 314 m2. Αγγελική: Γιατί δια 4; Μαθητής 2: Γιατί είναι το 1/4 . Αγγελική: Ωραία και στο επόμενο; Μαθητής 2: Εδώ δεν έχει κολπάκι. 30… Αγγελική: Έχει. Γιατί το κολπάκι που κάνεις είναι ο ίδιος τρόπος που καταλήγεις στον τύπο. Μαθητής 1: Είναι το 1/12. Αγγελική: Σωστά. Μαθητής 1: Και στις μο μ/360. Ναι το είχαμε πει! Μαθητής 2: Δεν ήμουνα! Αγγελική: Ο.Κ. Συνεχίστε…

13 Από διδακτική πλευρά, το συγκεκριμένο περιστατικό παρουσιάζει ενδιαφέρον, καθώς δεν απαιτήσαμε από τους μαθητές να αναπαράγουν έναν τύπο που είχαν ήδη διδαχθεί, αλλά τους αφήσαμε να προχωρήσουν τον τρόπο σκέψης τους και στο τέλος να οδηγηθούν σε ένα ορθό συμπέρασμα. Μέσω των ερωτήσεων που τους θέσαμε (π.χ. Γιατί δια 4;) τους βοηθήσαμε να κατανοήσουν και να συνεχίσουν την επίλυση της άσκησης Είναι επίσης σημαντικό ότι οι μαθητές συνεργάστηκαν για να γενικεύσουν. Οι μαθητές απαντούν μονολεκτικά γιατί μιλούν «την ίδια γλώσσα», «καταλαβαίνονται». Ο καθένας λέει την ιδέα του και την επεκτείνει ο άλλος. Επιπλέον, το γεγονός ότι οι συγκεκριμένοι μαθητές στα προηγούμενα μαθήματα που είχαμε παρακολουθήσει δεν συμμετείχαν στο μάθημα, δεν διάβαζαν κτλ σε συνδυασμό με το συγκεκριμένο περιστατικό αναδεικνύει την ανάγκη να γίνονται κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς και διδασκαλίες σε ομάδες. Έτσι οι μαθητές συμμετέχουν πιο ενεργά, νιώθουν υπεύθυνοι να βρουn μία λύση και δίνεται οι ευκαιρία στους καθηγητές να διαπιστώσουν, όχι μόνο κενά και παρανοήσεις αλλά και τι δυνατότητες έχουν οι μαθητές.

14 Αναστοχασμός – Προτεινόμενες τροποποιήσεις
Σε γενικές γραμμές εκτιμάμε ότι η διδασκαλία κύλησε ομαλά, ότι οι μαθητές κατάφεραν να εμπεδώσουν γνώσεις που έχουν ήδη αποκτήσει, μπόρεσαν να αναγνωρίσουν τα σχήματα (κυκλικός τομέας – κυκλικό τμήμα) και να βρουν τα ζητούμενα εμβαδά. Η δυσκολία που αντιμετώπισαν οι μαθητές στην εύρεση του ύψους και άρα του εμβαδού του τριγώνου στο 2ο ερώτημα, ήταν αναμενόμενη, καθώς οι μαθητές δεν συνηθίζουν να αξιοποιούν αυτά που έχουν μάθει σε προηγούμενες τάξεις, στην επίλυση προβλημάτων. Πιστεύουμε ότι με τις υποδείξεις μας τους βοηθήσαμε ουσιαστικά, χωρίς να αποπροσανατολιστούμε από τον αρχικό στόχο που είχαμε θέση στο σχεδιασμό της διδασκαλίας. Το γεγονός ότι δεν προλάβαμε να ολοκληρώσουμε το φύλλο εργασίας το είχαμε προβλέψει δεδομένου ότι το μάθημα συντελέστηκε την 1η διδακτική ώρα, που είναι μικρότερη από τις υπόλοιπες. Η συμμετοχή των μαθητών κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας κρίνουμε ότι ήταν ικανοποιητική, με ελάχιστες εξαιρέσεις.

15 Αν επαναλαμβάναμε τη δραστηριότητα αυτή σε κάποια τάξη, θα προτρέπαμε τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν πολύγωνα για την εύρεση του ύψους. Συγκεκριμένα, θα τους ζητούσαμε να σκεφτούν το τρίγωνο ΟΑΔ ως κομμάτι ενός κανονικού πολυγώνου και να βρουν την πλευρά του (ΑΔ) και το απόστημα του. (το αντίστοιχο ύψος). Οι μαθητές θα έπρεπε να σκεφτούν ότι το κανονικό πολύγωνο που έχει κεντρική γωνία 45ο είναι το κανονικό 8γωνο. Όπως ξέρουν από την Εφαρμογή 2 σελ.240 του σχολικού βιβλίου η πλευρά του κανονικού 8γώνου είναι και το απόστημα Με αυτό τον τρόπο θα έκαναν και μια μικρή επανάληψη στα κανονικά πολύγωνα.

16 Επιπλέον, προκειμένου να ενσωματώσουμε στην διδασκαλία και την ομάδα των αγοριών που αναφέραμε παραπάνω ότι δεν συμμετείχαν καθόλου στο μάθημα, θα τους ζητούσαμε να σηκωθούν στον πίνακα, όταν συζητούσαμε με το σύνολο της τάξης τις απαντήσεις στα 2 ερωτήματα.