The Real Number System Το σύστημα των Πραγματικών Αριθμών

Παρουσίαση με θέμα: "The Real Number System Το σύστημα των Πραγματικών Αριθμών"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 The Real Number System Το σύστημα των Πραγματικών Αριθμών
Μια παρουσίαση του Msc ,μαθηματικού Κοσόγλου Ιορδάνη - Μάρτιος 2016

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Tο Κεφάλαιο αυτό, αναφέρεται στα ιστορικά βήματα που οδήγησαν στη θεμελίωση της ανάλυσης. Εν συνεχεία, παρουσιάζει το πρόγραμμα που ακολουθήθηκε για να καταλήξουμε από το σύστημα των φυσικών στο σύστημα των μιγαδικών αριθμών.

3 Τα Μαθηματικά σε Κατηγορίες
Οι Μαθηματικοί χώρισαν τα μαθηματικά σε τρεις μεγάλες κατηγορίες : Γεωμετρία : Η μελέτη του χώρου , η οποία ξεκίνησε από τους Αρχαίους Έλληνες και συνοψίστηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Συνεχίστηκε με την ανάπτυξη των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών και πολλών άλλων παραλλαγών. Π. χ Η ιδέα του Klein για τη Γεωμετρία. Άλγεβρα : Είναι η αφηρημένη συμβολική μελέτη της συνηθισμένης αριθμητικής μαζί με τις γενικεύσεις της. Ανάλυση : Αποτελείται από εκείνους τους κλάδους των μαθηματικών που προκύπτουν απ’ τον Λογισμό. Περιέχει τη μελέτη των Διαφορικών Εξισώσεων, τη Συναρτησιακή Ανάλυση , τη Θεωρία των Άπειρων Σειρών , τον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Η έννοια του Ορίου παίζει σημαντικό ρόλο στους παραπάνω κλάδους. Παρόλο που υπάρχουν κλάδοι των μαθηματικών που μπορούν να τοποθετηθούν σε οποιοδήποτε από τις παραπάνω κατηγορίες, για π. χ η Τοπολογία , ο συγγραφέας θεωρεί ο τι ο παραπάνω διαχωρισμός είναι σε γενικές γραμμές σωστός.

4 Λογισμός (Calculus) Ο I. Newton και ο G.W. Leibniz τον 17ο αιώνα ανακαλύπτουν τον Λογισμό. Το νέο αυτό εργαλείο έχει μεγάλο εύρος εφαρμογής. ( Προβλήματα μεγιστοποίησης – ελαχιστοποίησης , ρυθμού μεταβολής, ενέργειας , έργου , δύναμης κ. α) Η βάση του Λογισμού είναι σαθρή. Για 100 χρόνια δεν υπάρχει καμία εξέλιξη. Οι μαθηματικοί της εποχής χειρίζονται τις αναλυτικές διαδικασίες καθοδηγούμενοι μόνο από την έμφυτη διαίσθηση. Ο Β.Berkeley, αν και δεν ήταν μαθηματικός, επέμενε ότι η ανάπτυξη του λογισμού εμπεριείχε λογικά λάθη από αλλαγές στην υπόθεση. Ο Ελβετός μαθηματικός L. Euler ( ) ένας από τους παραγωγικότερους μαθηματικούς και δημιουργός μιας από τις ομορφότερες εξισώσεις των μαθηματικών, αν και βρισκόταν σε σωστά μονοπάτια, μερικές φορές ο τυπικός χειρισμός του τον οδήγησε σε παράδοξα.

5 Λογισμός (Calculus) Jean – le Rond d’ Alembert Augustin – Louis Cauchy

6 Λογισμός (Calculus) Ο Jean – le Rond d’ Alembert ( ) παρατήρησε ότι για την Ανάλυση είναι απαραίτητη η θεωρία των ορίων. Ο J. Louis Lagrange ( ) προσπάθησε να επιβάλλει την αυστηρότητα στο λογισμό μέσω της σειράς Taylor. Απέτυχε όμως μιας και είχε άγνοια σε σημαντικά ζητήματα σύγκλισης και απόκλισης. Ο Κ. F Gauss, θέτει νέα υψηλά πρότυπα μαθηματικής αυστηρότητας. Η ενασχόλησή του, το 1812 με τις υπεργεωμετρικές σειρές, είναι η πρώτη επαρκής μελέτη της σύγκλισης των άπειρων σειρών. O Augustin – Louis Cauchy πραγματοποιεί με επιτυχία την πρόταση του d’ Alembert. Αναπτύσσει μια αποδεκτή θεωρία πάνω στα όρια και ορίζει τη συνέχεια, την παραγωγισιμότητα και το ορισμένο ολοκλήρωμα μέσα από την έννοια του ορίου. Ενέπνευσε και άλλους μαθηματικούς προς την αυστηρή θεμελίωση. Ο Riemann , λίγο αργότερα θα βελτιώσει τον Ολοκληρωτικό Λογισμό και θα εισάγει τα μη γνήσια ολοκληρώματα.

7 Λογισμός (Calculus) Ο Κ. Weierstrass :
Το 1874 , προκαλεί ένα σοβαρό πλήγμα στη χρήση της γεωμετρικής διαίσθησης πάνω στη μελέτη της ανάλυσης, παρουσιάζοντας μια συνεχής συνάρτηση χωρίς παράγωγο. Πιστεύει ότι το σύστημα των πραγματικών αριθμών πρέπει να γίνει αυστηρό, έτσι ώστε όλες οι βασικές έννοιες της ανάλυσης να προκύπτουν από αυτό. Το πρόγραμμα αυτό το ονόμασε «Αριθμητικοποίηση της ανάλυσης» και οδήγησε στη θεμελίωση της κλασσικής ανάλυσης πάνω στο σύστημα των πραγματικών αριθμών.

8 Αξιωματική Προσέγγιση του Συστήματος των Πραγματικών
Αξιωματική Προσέγγιση του Συστήματος των Πραγματικών Η σημασία των Πραγματικών στη θεμελίωση των μαθηματικών : « Οι Πραγματικοί είναι συνεπές σύστημα  Τα μαθηματικά είναι συνεπή» Το σύνολο R είναι ένα διατεταγμένο σώμα. Θυμίζουμε, διατεταγμένο σώμα είναι ένα σύνολο S με δυο πράξεις  ,  όπου για κάθε α , β, γ S , ισχύουν : Ρ1 : α  β = β  α Ρ2 : α  β = β  α Ρ3 : (α  β)  γ = α  (β  γ ) Ρ4 : (α  β)  γ = α  (β  γ ) Ρ5 : α  (β  γ) = (α  β)  (α  γ ) και (β  γ)  α = (β  α)  (γ  α ) Ρ6 : Για κάθε α υπάρχει ζ  S ώστε α  ζ = α Ρ7 : Για κάθε α υπάρχει u  S διαφορετικό απ το ζ ώστε α  u = α. Ρ8 : Για κάθε α υπάρχει α΄  S ώστε α  α΄ = ζ Ρ9 : Αν c  S και c  ζ , και c  α = c β ή α  c = β  c  α = β Ρ10 : Για κάθε α  ζ υπάρχει α΄΄  S ώστε α  α΄΄ = u Ρ11 : Υπάρχει υποσύνολο Ρ του S που δεν περιέχει το ζ, ώστε αν α  ζ τότε ένα και μόνο ένα από τα α, α΄ ανήκει στο Ρ. Ρ12: α  β  S και α  β  S.

9 Αξιωματική Προσέγγιση του Συστήματος των Πραγματικών
Αξιωματική Προσέγγιση του Συστήματος των Πραγματικών Ορισμός 1:Τα στοιχεία του P ονομάζουμε θετικά στοιχεία του S. Όλα τα άλλα μη μηδενικά στοιχεία του S ονομάζουμε αρνητικά στοιχεία του R. Ορισμός 2:Αν τα α και β είναι στοιχεία του S και ο α  β΄ είναι θετικός, τότε γράφουμε α > β και β < α. Ορισμός 3 : Ένα στοιχείο α του S καλείται άνω φράγμα μιας μη κενής συλλογής M από στοιχεία του S, αν για κάθε στοιχείο m του M, είτε m = α είτε m < a. Ορισμός 4: Ένα στοιχείο α του S καλείται ελάχιστο άνω φράγμα μιας μη κενής συλλογής M από στοιχεία του S, αν α είναι ένα άνω φράγμα του M και αν α < β, όπου το β είναι ένα οποιοδήποτε άλλο φράγμα του M.

10 Αξιωματική Προσέγγιση του Συστήματος των Πραγματικών
Αξιωματική Προσέγγιση του Συστήματος των Πραγματικών ΑΙΤΗΜΑ του ΣΥΝΕΧΟΥΣ Αν μια μη κενή συλλογή M από στοιχεία του S έχει ένα άνω φράγμα, τότε έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα. Μέσω του αιτήματος προκύπτουν σημαντικά θεωρήματα του Λογισμού , όπως o νόμος του Αρχιμήδη , και το Θεώρημα του Dedekind. ΠΛΗΡΕΣ ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΣΩΜΑ Καλείται ένα διατεταγμένο σώμα , το οποίο ικανοποιεί το αίτημα της συνέχειας - συνεχούς. Το σύνολο Q , ενώ είναι ένα διατεταγμένο σώμα , δεν ικανοποιεί το αίτημα του συνεχούς, άρα δεν είναι πλήρες διατεταγμένο. Διαισθητικά, το σύνολο R ικανοποιεί όλα τα αιτήματα ενός πλήρως διατεταγμένου σώματος. Το σύστημα των αιτημάτων ενός πλήρως διατεταγμένου σώματος είναι συνεπές ; Αν είναι συνεπές, τότε είναι κατηγορικό.

11 Νόμος Αρχιμήδη – Θεώρημα Dedekind
Ο Νόμος του Αρχιμήδη για τους πραγματικούς αριθμούς : Αν ο α , b είναι δύο οποιοιδήποτε θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε υπάρχει ένας θετικός ακέραιος n τέτοιος ώστε n∙α > β. Το θεώρημα του Dedekind για τη συνέχεια: Αν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί χωριστούν σε δύο συλλογές L και R με έναν τέτοιο τρόπο έτσι ώστε : κάθε πραγματικός αριθμός να είναι μέσα στο L ή μέσα στο R, τα L και R περιέχουν έναν τουλάχιστον πραγματικό αριθμό, κάθε πραγματικός αριθμός μέσα στο L είναι μικρότερος από κάθε πραγματικό αριθμό μέσα στο R , τότε υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός c τέτοιος ώστε όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του c είναι μέσα στο L και όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του c είναι μέσα στο R.

12 Πραγματικοί – Φυσικοί Το σύστημα των Πραγματικών μπορεί να προκύψει μέσω ενός συνόλου Αξιωμάτων – Αιτημάτων των Φυσικών Αριθμών. Φυσικοί  Ακέραιοι  Ρητοί  Πραγματικοί. Η παραπάνω σκέψη ανήκει στους Peano , Dedekind, Cantor προς τα τέλη του 19ου αιώνα. Έτσι το σύστημα των Πραγματικών είναι συνεπές αν το σύστημα των Φυσικών είναι συνεπές. Δημιουργήθηκε μια ασφάλεια στους μαθηματικούς. Μεγάλο μέρος των μαθηματικών είναι συνεπές.

13 Tο σύστημα των Φυσικών (Natural)
Έστω σύνολο Ν: { το σύνολο με στοιχεία του Φυσικούς } και δυο πράξεις +, x. Για κάθε α , β , γ  Ν , ισχύουν τα παρακάτω αιτήματα: Ν1 : α + β = β + α Ν2 : α x β = β x α Ν3 : (α + β) + γ = α + (β + γ ) Ν4 : (α x β) x γ = α x (β x γ ) Ν5 : α x (β + γ) = (α x β) + (α x γ ) Ν6 : Για κάθε α υπάρχει φυσικός 1  N ώστε α x 1 = α. Ν7 : γ+ α = γ+ β , τότε α = β Ν8 : γxα = γxβ , τότε α = β Ν9 : Ένα και μόνο ένα από τα παρακάτω ισχύει α=β , α+x = β , α = β + y , x , y  N. N10: Αν τo M είναι ένα σύνολο από φυσικούς αριθμούς τέτοιο ώστε : το Μ περιέχει το φυσικό αριθμό 1. όταν το Μ περιέχει το φυσικό αριθμό k περιέχει και το φυσικό αριθμό k+1 , τότε το Μ περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς. «Ένας κλάδος των μαθηματικών που προέκυψε από τις συνέπειες του συνόλου των αιτημάτων Ν1 – Ν10 είναι η Θεωρία Αριθμών».

14 Η Μαθηματική Επαγωγή Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής
Έστω P(n) είναι μία πρόταση η οποία είναι καθορισμένη για κάθε φυσικό αριθμό n. Αν P(1) είναι αληθής και αν P(k+1) είναι αληθής όταν η P(k) είναι αληθής, τότε η P(n) είναι αληθής για όλους τους φυσικούς αριθμούς n.

15 Θεωρήματα Μερικά Θεωρήματα που προκύπτουν από τα Ν1-Ν10 είναι τα ακόλουθα :

16 Ισοδύναμα Αιτήματα των Ν1-Ν10
Ν1΄ : Το 1 είναι ένας φυσικός αριθμός Ν2΄ : Για κάθε φυσικό αριθμό x υπάρχει ακριβώς ένας φυσικός αριθμός, που καλείται διαδοχικός αριθμός του x, και τον οποίο συμβολίζουμε με x΄. Ν3΄ : To 1 δεν είναι διαδοχικός κάποιου φυσικού αριθμού. Ν4΄ : Αν x΄ = y΄ , τότε x = y Ν5΄ :Αν Μ είναι ένα σύνολο φυσικών αριθμών τέτοιο ώστε Το Μ περιέχει το 1 Το Μ περιέχει το x’ όταν περιέχει το x τότε το Μ περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς. Το παραπάνω σύστημα ανήκει στον G. Peano. Το Ν5΄ καλείται «το αίτημα της πεπερασμένης επαγωγής»

17 Ακέραιοι (Integers) Έστω m , n  Ν .Κάθε ακέραιος αριθμός μπορεί να εκφραστεί σαν τη διαφορά m - n . Αν m > n τότε m - n είναι ένας θετικός ακέραιος, Αν m = n τότε m - n είναι ο ακέραιος μηδέν, ενώ Αν m < n τότε m - n είναι ένας αρνητικός ακέραιος. Θεωρούμε τους ακεραίους σαν διατεταγμένα ζεύγη (m, n) φυσικών αριθμών. Έτσι : (a,b) = (c,d) αν και μόνο αν a – b = c - d ή a + d = b + c Εφ όσον (a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d) ορίζουμε το (a, b) + (c, d) ως το διατεταγμένο ζεύγος των φυσικών αριθμών (a + c, b + d) Εφ όσον (a - b)(c - d) = (ac + bd) - (ad + bc) ορίζουμε το (a,b)(c,d) ως το διατεταγμένο ζεύγος (ac + bd, ad + bc). Σύμφωνα με τα παραπάνω , δημιουργήσαμε το σύνολο των ακεραίων. Μέσω αυτών θα επεκταθούμε στο σύνολο των ρητών.

18 Ρητοί (Rationals) Μέσω των ρητών θα επεκταθούμε στους πραγματικούς.
Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να εκφραστεί σαν το πηλίκο m/n , όπου m και n είναι δυο ακέραιοι αριθμοί με το n  0. Θεωρούμε τους ρητούς σαν διατεταγμένα ζεύγη <m, n> ακέραιων αριθμών με n 0. Έτσι : <a,b> = <c,d> αν και μόνο αν a/b = c/d ή ad = bc. Εφ όσον a/b + c/d = (ad + bc)/bd ορίζουμε το <a,b> + <c,d> ως το διατεταγμένο ζεύγος των ακέραιων αριθμών <ad + bc, bd>. Εφ όσον (a/b)(c/d) = ac/bd ορίζουμε το <a,b><c,d> ως το διατεταγμένο ζεύγος <ac , bd>. Μέσω των ρητών θα επεκταθούμε στους πραγματικούς.

19 Τομές Dedekind - Πραγματικοί (Real)
Ο Richard Dedekind , ήταν ένας από τους πρωτοπόρους της φιλοσοφικής και λογικής μελέτης των θεμελίων της Ανάλυσης. Στις διαλέξεις του αδυνατούσε να δώσει έναν ορισμό της συνέχειας των πραγματικών. Αντιλήφθηκε, ότι η ουσία της συνέχειας μιας ευθείας γραμμής έγκειται στην ιδιότητα κατά την οποία : «αν όλα τα σημεία μιας ευθείας χωριστούν σε δυο κλάσεις, έτσι ώστε κάθε σημείο στην πρώτη κλάση κείται στα αριστερά από κάθε σημείο στη δεύτερη κλάση, τότε υπάρχει ένα και μόνο ένα σημείο της ευθείας που παράγει αυτό το διαχωρισμό σε δυο κλάσεις». Οδηγήθηκε έτσι στη θεώρηση τομών στο διατεταγμένο σύνολο των ρητών αριθμών. Τέλος, κατέληξε σε έναν ορισμό για τους πραγματικούς αριθμούς που εξασφάλιζε την κλειστότητα του συνόλου των πραγματικών κάτω από τη λειτουργία σχηματισμού τομών στο εσωτερικό του, διασφαλίζοντας έτσι τη συνέχεια αυτού του συνόλου.

20 Μιγαδικοί (Complex) Επεκτείνουμε το σύνολο των πραγματικών.
Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί στη μορφή m +in, όπου m, n  R και i , η φανταστική μονάδα. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε τους μιγαδικούς σαν διατεταγμένα ζεύγη [m, n] πραγματικών αριθμών. Έτσι : [a,b] = [c,d] , αν και μόνο αν και μόνο αν a = c και b = d. Εφ όσον (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), ορίζουμε το [a,b]+[c,d] ως διατεταγμένο ζεύγος των πραγματικών αριθμών [a + c, b + d]. Εφ όσον (a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc) ορίζουμε το [a,b][c,d] ως διατεταγμένο ζεύγος των πραγματικών αριθμών [ac - bd, ad + bc].

21 Πηγές - Βιβλιογραφία [1] Howard Eves, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, 3rd Edition, p