ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ HXΗTIKA KYMATA

Παρουσίαση με θέμα: "ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ HXΗTIKA KYMATA"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ HXΗTIKA KYMATA
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΥ Αλυσίδα όμοιων ατόμων Αλυσίδα δύο τύπων ατόμων ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ ΦΩΝΟΝΙΑ ΘΕΡΜΟΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΠΌ ΠΛΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΝΑΡΜΟΝΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΡΜΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΠΌ ΦΩΝΟΝΙΑ

2 Νόμος του Hooke Απαιτείται διπλάσια δύναμη για διπλάσια απαμάκρυνση

3 ΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Τα μηχανικά κύματα είναι κύματα που διαδίδονται σε ένα μέσο (στερεό, υγρό, ή αέριο) με ταχύτητες που εξαρτώνται από τις μηχανικές ιδιότητες του μέσου. Υπάρχουν δύο βασικοί τύποι κίνησης των μηχανικών κυμάτων: τα διαμήκη και τα εγκάρσια κύματα. Τα κύματα αυτά έχουν μεγάλο μήκος κύματος λ. Η παρουσία των ατόμων δεν έχει σημασία σε αυτό το μήκος κύματος. Διαμήκη κύματα Εγκάρσια κύματα

4 ΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Διαδίδονται διαμέσου των στερεών.
Τα ηχητικά κύματα αντιστοιχούν σε χαμηλές συχνότητες ή στο όριο των μεγάλων μηκών κύματος. Για μία δεδομένη συχνότητα και διεύθυνση στο κρύσταλλο είναι δυνατόν να διαδοθούν τρία ηχητικά κύματα που διαφέρουν ως προς το πόλωση τους και εν γένει τη ταχύτητά τους.

5 Ελαστικά κύματα Διάδοση Ελστικού Κύματος (διαμήκες) σε μία ράβδο.
Ένα στερεό αποτελείται από διακριτά άτομα. Μία ταλάντωση με πολύ μεγάλο μήκος κύματος μπορεί να αγνοήσει την ατομική δομή του στερεού και να το αντιμετωπίσει σαν συνεχές. Αυτές οι ταλαντώσεις λέγονται ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Διάδοση Ελστικού Κύματος (διαμήκες) σε μία ράβδο. x x+dx A Στο σημείο x η ελαστική μετατόπιση είναι U(x) Ορίζουμε ως παραμόρφωση ‘e’ τη σχετική αλλαγή του μήκους της ράβδου ως προς τη μονάδα μήκους.

6 Ελαστικά κύματα Σύμφωνα με το νόμο του η τάση S (δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας) είναι ανάλογη της παραμόρφωσης e. Η δυναμική της ράβδου μπορεί να περιγραφεί από το νόμο Newton’s θεωρώντας ένα απειροστό dx. Η εξίσωση κίνησης είναι x x+dx A C = μέτρο του Young Μάζα x επιτάχυνση δύναμη λόγω τάσης

7 Αυτή είναι η εξίσωση κύματος από όπου βρίσκουμε ταχύτητα και συχνότητα
Ελαστικά κύματα Αυτή είναι η εξίσωση κύματος από όπου βρίσκουμε ταχύτητα και συχνότητα k = κυματοδιάνυσμα (2π/λ) ω = συχνότητα A = πλάτος

8 Σε μικρά λ k → ∞ (σκέδαση ) Σε μεγάλα λ k → 0 (όχι σκέδαση)
Σχέση διασποράς Σε μικρά λ k → ∞ (σκέδαση ) Σε μεγάλα λ k → 0 (όχι σκέδαση) Όταν το k μεγαλώνει η ταχύτητα μικραίνει. Από ένα σημείο και μετά η σκέδαση γίνεται σημαντική και η ταχύτητα ελαττώνεται ακόμη περισσότερο. k ω συνεχές διακριτό Η κλίση της καμπύλης ισούται με τη ταχύτητα

9 Ταχύτητα ηχητικού κύματος
C = μέτρο ελαστικότητας όγκου ρ = πυκνότητα μάζας Η ταχύτητα του ήχου εξαρτάται εν γένει από τη διεύθυνση διάδοσης. Τα εγκάρσια κύματα έχουν μικρότερη ταχύτητα διάδοσης.

10 Ένα ταλαντωτικό πλεγματικό κύμα σε ένα κρύσταλλο είναι μία επαναληπτική και συστηματική ακολουθία ατομικών μετατοπίσεων που μπορεί να είναι διαμήκη, εγκάρσια, ή Κάποιος συνδυασμός των δύο αυτών Μία εξίσωση κίνησης για κάθε μετατόπιση μπορεί να εξαχθεί θεωρώντας τις δυνάμεις επαναφοράς των μετατοπισμένων ατόμων.

11 Ταλαντώσεις πλέγματος σε μονοδιάστατη αλυσίδα όμοιων ατόμων.
Τα άτομα αλληλεπιδρούν με ένα δυναμικό V(r) που αναπτυσσόμενο κατά Taylor’s δίνει r R V(R) r0=4 απωθητικό ελκτικό Η δυναμική ενέργεια εμφανίζεται σαν εκείνη ενός ελατηρίου με σταθερά : min Αυτή σχετίζεται με το μέτρο ελαστικότητας C:

12 Μονοατομική αλυσίδα Αποτελείται από πολύ μεγάλο αριθμό όμοιων ατόμων με τις ίδιες μάζες. Απόσταση μεταξύ των ατόμων “a”. Τα άτομα κινούνται μόνο στη διεύθυνση της αλυσίδας. Μόνο οι κοντινότεροι γείτονες αλληλεπιδρούν. a a a a a a Un-2 Un-1 Un Un+1 Un+2

13 a a Un-1 Un Un+1 Αναπτύσσοντας την ενέργεια γύρω από την απόσταση ισορροπίας για το nστο άτομο και χρησιμοποιώντας την ελαστική προσέγγιση, ο νόμος του Newton’s γίνεται

14 Όλα τα άτομα έχουν ανάλογη εξίσωση κίνησης
Δύναμη στο nστο άτομο a a Δύναμη από δεξιά Δύναμη από αριστερά; Un-1 Un Un+1 Ολική δύναμη = Δύναμη από δεξιά– Δύναμη από αριστερά; Diatomic benzet Όλα τα άτομα έχουν ανάλογη εξίσωση κίνησης

15 Όλα τα άτομα ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος A και την ίδια συχνότητα ω.
Θέση ισορροπίας Θέση μετατόπισης

16

17 Η μέγιστη τιμή του είναι 1

18 Σχέση μεταξύ ω και k συχνότητες κανονικών τρόπων σε 1D αλυσίδα
w C B A k k –л / a л / a 2 л / a συχνότητες κανονικών τρόπων σε 1D αλυσίδα Τα σημεία A, B and C έχουν την ίδια συχνότητα, επομένως έχουν όλα τις ίδιες στιγμιαίες ατομικές μετατοπίσεις. Η σχέση διασποράς είναι περιοδική με περίοδο 2π/a.

19 διερεύνηση Στη λύση αυτή δεν υπάρχει n άρα η δοκιμαστική λύση Un είναι πράγματι λύση του n-στου ατόμου. Η εξίσωση κίνησης αντιστοιχούσε σε N συζευγμένους αρμονικούς ταλαντωτές. Όταν ένα άτομο ταλαντώνεται μεταφέρει ενέργεια στα διπλανά του και το πλάτος το μειώνεται. Συνεπώς οι ταλαντώσεις του κάθε ατόμου ΔΕΝ είναι απλές αρμονικές. Οι λύσεις που βρήκαμε αναφέρονται σε ΜΗ συζευγμένες ταλαντώσεις (το κάθε άτομο θεωρείται πως δονείται ανεξάρτητα από τα άλλα) και ονομάζονται κανονικοί τρόποι. Ο αριθμός αυτών των τρόπων δόνησης πρέπει να ισούται με το πλήθος των εξισώσεων Ν. Add Circular chain

20 Περιοδική συνθήκη Από τις 2π/a τιμές του k, υπάρχουν N επιτρεπόμενες τιμές του k.

21 Ποια είναι η φυσική σημασία των κυματαριθμών που είναι εκτός της περιοχής
un x a un x Αυτή η τιμή αντιστοιχεί στη μέγιστη συχνότητα και τα κύματα με αυτή τη συχνότητα είναι στάσιμα κύματα.

22 Ανάκλαση Bragg θα έχουμε για k= ±nπ/a
w C A B ω-k διάγραμμα διασποράς π/a 2π/a Τα σημαία A και C έχουν την ίδια συχνότητα και τις ίδιες ατομικές μετατοπίσεις Είναι κύματα που κινούνται αριστερά. Το σημείο B έχει την ίδια συχνότητα και μετατόπιση με τα Α και C αλλά κινείται δεξιά με ταχύτητα ομάδας dω/dk>0. Τα σημαία A και C είναι απολύτως ισοδύναμα. Η πρόσθεση ενός πολλαπλάσιου του 2π/a στο k δεν αλλάζει ούτε τη συχνότητα ούτε τη ταχύτητα ομάδας. Συνεπώς το σημεία Α δεν έχει καμία φυσική σημασία. Το k=±π/a είναι ιδιαίτερο, θ=90o un x a Ανάκλαση Bragg θα έχουμε για k= ±nπ/a x Για όλα τα k (λ)

23 Είχαμε βρει ότι Ας δούμε αν από τη σχέση διασποράς βρίσκουμε το ίδιο για μεγάλα λ αν λ μεγάλο άρα

24 Μονοατομική αλυσίδα Δεδομένου ότι υπάρχει μόνο μία δυνατή διεύθυνση διάδοσης, ο μονοδιάστατος κρύσταλλος έχει μόνο μία ταχύτητα ήχου. Στον υπολογισμό πήραμε μόνο αλληλεπιδράσεις πρώτων γειτόνων. Η προσέγγιση είναι καλή για αδρανή αέρια, αλλά όχι για στερεά.

25 Αλυσίδα με δύο τύπους ατόμων
Άτομα με μάζες M και m συνδέονται με ίδια ελατήρια σταθεράς K (n-2) (n-1) (n) (n+1) (n+2) K K K K M a) M M m m a b) Un-1 Un Un+1 Un+2 Un-2 Αυτό είναι το απλούστερο δυνατό πρότυπο ιοντικού κρυστάλλου. Απόσταση επανάληψης a, απόσταση πρώτων γειτόνων a/2

26 Θεωρούμε μόνο αλληλεπιδράσεις πρώτων γειτόνων
Θεωρούμε μόνο αλληλεπιδράσεις πρώτων γειτόνων. Παρόλα αυτά στα ιοντικά στερεά αυτή η προσέγγιση δεν είναι καλή λόγω της παρουσίας δυνάμεων μεγάλης εμβέλειας μεταξύ των ιόντων. Το πρότυπο γίνεται σύνθετο από τη παρουσία δύο τύπων ατόμων που κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Στόχος είναι η εξαγωγή της σχέσης διασποράς ω-k για το διατομικό πλέγμα Δύο εξισώσεις κίνησης Μία για τη μάζα M και μία για τη μάζα m.

27 Για τη μάζα M (nth): Για τη μάζα m (n-1)th: M M M m m Un-1 Un Un+1

28 Λύση για την M Λύση για την m
Un-1 Un Un+1 Un+2 Un-2 Λύση για την M Λύση για την m -1 α : μιγαδικός αριθμός που καθορίζει το σχετικό πλάτος και φάση του ταλαντωτικού κύματος.

29 Για το nth άτομο μάζας (M):

30 Για το (n-1)th άτομο μάζας (m)

31 για την M Για την m Άρα για το α

32 οι δύο λύσεις είναι

33 Σχέση ω - k για διατομική αλυσίδα
л / a 2 –л k w A B C εάν ο κρύσταλλος έχει N κυψελίδες περιμένουμε να έχουμε 2N κανονικούς τρόπους δόνησης. Στο A τα δύο άτομα ταλαντώνονται με διαφορά φάσης (αντίφαση) , ενώ το κέντρο μάζας ηρεμεί. Στο B, η ελαφριά μάζα m δονείται και η M ηρεμεί. Στο C, M ταλαντώνεται και η m ηρεμεί.

34 Υπάρχουν 2 τιμές του ω για κάθε k. Η σχέση διασποράς έχει δύο κλάδους
Οπτικός κλάδος л / a 2 –л k w A B C Ο επάνω κλάδος αντιστοιχεί στη θετική ρίζα. Ακουστικός κλάδος Ο κάτω κλάδος αντιστοιχεί στην αρνητική ρίζα Η σχέση διασποράς είναι περιοδική ως προς k με περίοδο 2 π /a.

35 Ας δούμε τις λύσεις στα 0, A, B και C.
διερεύνηση Ας δούμε τις λύσεις στα 0, A, B και C. Για μεγάλα μήκη κύματος (ka«1); sin(ka/2)≈ ka/2 στη ω-k. Taylor : για μικρά x

36 Αρνητική ρίζα  (ελάχιστη τιμή ακουστικού κλάδου)
Θετική ρίζα sinka«1 (μέγιστη τιμή οπτικού κλάδου) Αρνητική ρίζα  (ελάχιστη τιμή ακουστικού κλάδου) αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές του ω στην α (σχετικό πλάτος) Και χρησιμοποιώντας cos(ka/2) ≈1 για ka«1 έχουμε για το α ??????????????????????????? ή

37 Αντικαθιστώντας στο σχετικό πλάτος α
Αντικαθιστώντας στο σχετικό πλάτος α Άρα στο σημείο 0 οι δύο τύποι ατόμων δονούνται με το ίδιο πλάτος και συχνότητα και η ταχύτητα του ήχου είναι w A οπτικός B W-min-ac (altında) pi-ler comple değiştir C ακουστικός k –π / a π / a 2 π / a

38 Αντικατάσταση του στο σχετικό πλάτος,
Αντικατάσταση του στο σχετικό πλάτος, w A Αυτή η λύση αντιστοιχεί στο σημείο A όπου τα δύο άτομα δονούνται σε αντίφαση και το κέντρο μάζας ηρεμεί. οπτικός B C W max-altına op yaz ακουστικός k –π / a π / a 2 π / a

39 Η άλλη οριακή λύση για το ω2 είναι για ka= π ,
δηλ. sin(ka/2)=1. έχουμε (C) ή (B) Max ac w kare şeklinde yazz Στο μέγιστο το ακουστικό σημείο C, η M δονείται και η m ηρεμεί. Στο ελάχιστο οπτικό σημείο B, η m δονείται και η M ηρεμεί.

40 Εγκάρσιος οπτικός τρόπος δόνησης διατομικής αλυσίδας

41 Εγκάρσιος ακουστικός τρόπος δόνησης διατομικής αλυσίδας

42 Ατομιστική Δυναμική Hamiltonian για πλεγματικές ταλαντώσεις: n = 1, …, N  = 1, …, r i = x, y, z  Εξίσωση κίνησης: εάν: Δυναμικός Πίνακας D έχει 3Nr πραγματικές ιδιοτιμές j2 Και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα uni (j) Σε περιοδικούς κρυστάλλους: q  μόνο 3r καμπύλες j(q) : 3 ακουστικούς κλάδους j(q 0)  0 3(r-1) οπτικούς κλάδους j(q 0)  σταθερά.

43 Τι είναι φωνόνιο Έστω ένα κανονικό πλέγμα ατόμων να συνιστά ένα ομογενές στερεό. Οι δονήσεις αυτών των ατόμων συνδέονται με κάποια ενέργεια. αλλά τα άτομα είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους και συνεπώς δεν μπορούν να δονηθούν ανεξάρτητα. Οι δονήσεις γίνονται με συλλογικούς τρόπους που διαδίδονται στο υλικό. Τέτοιες διαδιδόμενες πλεγματικές δονήσεις αποτελούν ακουστικά κύματα και η ταχύτητα διάδοσής τους είναι η ταχύτητα του ήχου στο υλικό.

44 Οι δονητικές ενέργειες των μορίων είναι κβαντισμένες και αντιμετωπίζονται σαν κβαντικοί αρμονικοί ταλαντωτές. Οι κβαντικοί αρμονικοί ταλαντωτές έχουν ισαπέχοντα ενεργειακά επίπεδα (στάθμες) απόστασης ΔE = h. Οι ταλαντωτές μπορούν να πάρουν ή να δώσουν ενέργεια με διακριτό τρόπο. Η μονάδα ενέργειας είναι h. Αυτό είναι το κβάντο της ενεργείας και ονομάζεται «φωνόνιο". Κατά αναλογία με τα φωτόνια της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας υπακούουν τη στατιστική των Bose-Einstein.

45 Κβάντα ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας
ΦΩΤΟΝΙΑ Κβάντα ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας Οι ενέργειες των φωτονίων είναι κβαντισμένες ΦΩΝΟΝΙΑ Κβάντα ταλαντώσεων πλέγματος Οι ενέργειες των φωνονίων είναι κβαντισμένες ~a0=10-10m ~10-6m

46 Ενέργεια αρμονικού ταλαντωτή
Οι κανονικοί τρόποι δόνησης είναι ανεξάρτητοι και αρμονικοί Μετάβαση στη κβαντική μηχανική. Ενέργεια Ε Αναπαριστά ισαπέχοντα ενεργειακά επίπεδα (στάθμες) Οι ενεργειακές στάθμες των ατόμων που ταλαντώνονται με συχνότητα (μοναδική) ω

47 Μία μετάβαση από χαμηλότερη σε υψηλότερη ενεργειακή στάθμη.
Μπορούμε να κατασκευάσουμε την προσθέτοντας στη βασική κατάσταση n κβάντα διεγέρσεων ενέργειας Μία μετάβαση από χαμηλότερη σε υψηλότερη ενεργειακή στάθμη. Απορρόφηση φωνονίου

48 Η αντίστροφη μετάβαση οδηγεί σε εκπομπή φωνονίου με ενέργεια
Τα φωνόνια είναι κβάντα πλεγματικών ταλαντώσεων με γωνιακή συχνότητα Τα φωνόνια ΔΕΝ είναι εντοπισμένα σωματίδια. Η ορμή τους είναι ακριβής, αλλά η θέση τους δεν μπορεί να προσδιοριστεί εξ αιτίας της αρχής απροσδιοριστίας.

49 1D κρύσταλλοι Πολλαπλασιασμός με Κρυσταλλική ορμή
Ενέργεια φωνονίων 1D κρύσταλλοι Πολλαπλασιασμός με Κρυσταλλική ορμή Τα φωνόνια ΔΕΝ διατηρούνται Μπορούν να δημιουργηθούν και να καταστραφούν μέσω συγκρούσεων.

50 Θερμική ενέργεια και ταλαντώσεις πλέγματος
Τα άτομα δονούνται περί τη θέση ισορροπίας τους. Παράγουν ταλαντωτικά κύματα. Αυτή η κίνηση αυξάνει αν αυξηθεί η θερμοκρασία. Σε ένα στερεό η ενέργεια της ταλάντωσης και της περιστροφής των ατόμων και μορίων καλείται θερμική ενέργεια. Σημ. στα αέρια η μεταφορική κίνηση συμμετέχει επίσης σε αυτή την ενέργεια.

51 Θερμοχωρητικότητα από πλεγματικές ταλαντώσεις
Η ενέργεια των ταλαντώσεων είναι η κύρια συνεισφορά στη θερμοχωρητικότητα στα περισσότερα στερεά. Στους μη μαγνητικούς μονωτές είναι η μόνη. Άλλες συνεισφορές μέταλλα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας. Μαγνητικά υλικά μαγνητική διάταξη.

52 Ενέργεια και θερμοχωρητικότητα ενός αρμονικού ταλαντωτή, Einstein
Μέση ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή και επομένως ενός πλεγματικού τρόπου δόνησης σε θερμοκρασία Τ. ενέργεια ταλαντωτή Πιθανότητα ο ταλαντωτής να βρίσκεται σε μια δεδομένη στάθμη, παράγοντας Boltzman

53 Σύμφωνα με δυωνυμικό ανάπτυγμα για x«1 όπου
(*) Σύμφωνα με δυωνυμικό ανάπτυγμα για x«1 όπου

54 Συνεπώς έχουμε

55 (αριθμός φωνονίων) x (ενέργεια φωνονίου)=(2ος όρος στην )
Αυτή είναι η ενέργεια φωνονίων. Ο πρώτος όρος στη σχέση είναι η ενέργεια μηδενικού σημείου. Ακόμα και στους 0K τα άτομα δονούνται και έχουν αυτή την ενέργεια που είναι η ελάχιστη ενέργεια του συστήματος. Ο μέσος αριθμός φωνονίων δίδεται από τη κατανομή των Bose-Einstein (αριθμός φωνονίων) x (ενέργεια φωνονίου)=(2ος όρος στην ) Ο 2ος όρος στη μέση ενέργεια είναι η συνεισφορά των φωνονίων στην ενέργεια.

56 Μέση ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή συναρτήσει της Τ.
Όριο χαμηλής Τ Το εκθετικό γίνεται μεγάλο Ενέργεια μηδενικού σημείου

57 ανεξάρτητη της συχνότητας ταλάντωσης. Αυτό είναι το κλασσικό όριο.
Όριο υψηλών Τ ανεξάρτητη της συχνότητας ταλάντωσης. Αυτό είναι το κλασσικό όριο. Η ενέργεια είναι η θερμική ενέργεια ενός κλασσικού 1D αρμονικού ταλαντωτή.

58 Θερμοχωρητικότητα C Η θερμοχωρητικότητα C μπορεί να βρεθεί από τη παραγώγιση της μέσης φωνονικής ενέργειας έστω

59 συναρτήσει της T όπου η ειδική θερμότητα μηδενίζεται εκθετικά σε χαμηλές Τα, ενώ τείνει στη κλασσική τιμή σε υψηλές Τ. εμβαδό=

60 Η ειδική θερμότητα υπό σταθερό όγκο εξερτάται από τη θερμοκρασία.
Σε μεγάλες Τ η Cv ισούται περίπου με 3R ανεξάρτητα από το υλικό (νόμος των Dulong-Petit), όπου R η παγκόσμια σταθερά των αερίων. R = περίπου 2 cal/K-mole, οπόπε σε υψηλές Τ Cv = περίπου 6 cal/K-mole. Αυτό σημαίνει ότι για δεδομένο αριθμό ατόμων η ειδική θερμότητα δεν εξαρτάται από τη θερμοκρασία και είναι η ίδια για όλα τα υλικά !!!

61 Κλασσική θεωρία θερμοχωρητικότητας στερεών
Κάθε άτομο σε ένα στερεό μπορεί να θεωρηθεί ότι συνδέεται στη θέση ισορροπίας του με μία αρμονική δύναμη. Όταν το στερεό θερμαίνεται τα άτομα δονούνται περί τη θέσεις τους σαν ένα σύνολο αρμονικών ταλαντωτών. Η μέση ενέργεια για ένα 1D ταλαντωτή είναι kT. Άρα η μέση ενέργεια ανά άτομο που είναι ένας 3D ταλαντωτής είναι 3kT και επομένως η ενέργεια ανά mole είναι = όπου N ο αριθμός Avagadro’s, kB η σταθερά του Boltzmann και R η στθερά των αερίων. Παραγωγίζοντας ως προς Τ

62 Θερμοχωρητικότητα στερεών κατά Einstein
Προσέγγιση. Όλοι οι 3N δονητικοί τρόποι ενός 3D στερεού από N άτομα έχουν την ίδια συχνότητα, οπότε συνολικά το στερεό θα έχει θερμοχωρητικότητα Τα άτομα θεωρούνται ανεξάρτητοι ταλαντωτές, αλλά η ενέργεά τους προσδιορίζεται κβαντομηχανικά σαν Στο όριο των υψηλών θερμοκρασιών η θερμοχωρητικότητα είναι ο νόμος των Dulong-Petit

63 Αν η Τ δεν είναι μεγάλη η κλασσική θεωρία καταρρέει.
Το πείραμα λέει ότι για Τ< RT η ειδική θερμότητα των κρυσταλλικών στερεών δεν ισούται είναι παγκόσμια σταθερά

64 Πυκνότητα καταστάσεων
Σύμφωνα με τη κβαντομηχανική για ένα εντοπισμένο σωματίδιο Η ενέργεια του μπορεί να έχει μόνο ειδικές διακριτές τιμές. Που δεν μπορούν να αυξάνουν απεριόριστα από τη μία τιμή στην άλλη Αλλά μπορούν να αυξάνουν σε βήματα

65 Αυτή είναι η περίπτωση της κλασσικής μηχανικής.
Αυτά τα βήματα μπορεί να είναι τόσο μικρά (ανάλογα με τα σύστημα), ώστε η ενέργεια να μπορεί να θεωρηθεί συνεχής. Αυτή είναι η περίπτωση της κλασσικής μηχανικής. Αλλά σε ατομική κλίμακα η ενέργεια μπορεί να μεταβληθεί μόνο με διακριτά βήματα από τη μία τιμή σε μία άλλη. Ορισμένα ενεργειακά επίπεδα (στάθμες, όχι αναγκαστικά ισαπέχουσες) Οι αποστάσεις γίνονται μικρές (όχι αναγκαστικά ίσες) Η ενέργεια γίνεται συνεχής

66 Σε κάποιες περιπτώσεις κάποιες συγκεκριμένες ενεργειακές στάθμες μπορεί να αντιστοιχούν σε περισσότερες από ενεργειακές καταστάσεις (κυματοσυναρτήσεις). Αυτές οι στάθμες λέγονται εκφυλισμένες Η πυκνότητα καταστάσεων είναι ο αριθμός των διακριτών σταθμών ανά μονάδα ενέργειας και τέτοιος ώστε ο αριθμός των σταθμών μεταξύ και να είναι

67 Υπάρχουν δυο τύποι κυμάτων σα λύσεις Κυλιόμενα κύματα Στάσιμα κύματα
κυλιόμενα κύματα: Οι επιτρεπόμενοι κυματαριθμοί k αντιστοιχούν στα κυλιόμενα κύματα. Όλες οι αρνητικές και θετικές τιμές των k είναι επιτρεπτές. Εφαρμόζοντας περιοδικές οριακές συνθήκες ακέραιος Μήκος της 1D αλυσίδας Αυτοί οι επιτρεπόμενοι κυματαριθμοί είναι ομογενώς κατανεμημένοι στα k και για τιμές μεταξύ k και k+dk δίνουν πυκνότητα κυλιόμενα κύματα

68 Στάσιμα κύματα: Σε μερικές περιπτώσεις είναι βολικότερη η χρήση στάσιμων κυμάτων, δηλαδή αλυσίδα με σταθερές άκρες. Συνεπώς θα έχουμε ένα ακέραιο αριθμό ημιπεριόδων στην αλυσίδα. Αυτοί είναι οι επιτρεπόμενοι κυματαριθμοί στην αλυσίδα και μόνο θετικές τιμές είναι επιτρεπτές. Στάσιμα κύματα Κυλιόμενα κύματα

69 Αυτά τα k είναι ομογενώς κατανεμημένα μεταξύ των k and k+dk σε μία πυκνότητα
Πυκνότητα καταστάσεων για στάσιμα κύματα Πυκνότητα καταστάσεων για κυλιόμενα κύματα Ο ολικός αριθμός των καταστάσεων για τα δύο είδη κυμάτων είναι ίδιος.

70 Πυκνότητα καταστάσεων στη περιοχή συχνοτήτων g()
Ο αριθμός των τρόπων δόνησης με συχνότητες μεταξύ  και +d θα είναι g()d. g() μπορεί να γραφτεί συναρτήσει των S(k) and R(k). τρόποι με συχνότητες από  μέχρι +d αντιστοιχούν τρόποι με κυματαριθμό από k έως k+dk

71 Θεωρόντας στασιμα κύματα έχουμε
; Θεωρόντας στασιμα κύματα έχουμε Από της διασπορά 1D αλυσίδας

72 υπενθύμιση

73 Η σωστή πυκνότητα καταστάσεων τείνει στο άπειρο για
Σωστή πυκνότητα καταστάσεων Σταθερή πυκνότητα καταστάσεων Η σωστή πυκνότητα καταστάσεων τείνει στο άπειρο για Επειδή η ταχύτητα ομάδας τείνει στο μηδέν για αυτή τη τιμή του Σταθερή πυκνότητα καταστάσεων παίρνουμε αγνοώντας τη σκέδαση του ήχου για μήκη κυμάτων που είναι συγκρίσιμα με τις ατομικές αποστάσεις.

74 Βρίσκουμε τα ίδια αν θεωρήσουμε τη για κυλιόμενα κύματα
Ολοκληρώνοντας την ενέργεια του ενός ταλαντωτή πανω στη κατανομή δονητικών συχνοτήτων μπορούμε να βρούμε την ενέργεια των ταλαντώσεων του πλέγματος. for 1D Μέση ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή Βρίσκουμε τα ίδια αν θεωρήσουμε τη για κυλιόμενα κύματα Ας βρούμε τη 2D και κατόπιν τη 3D DOS για να μπορούμε να συγκρίνουμε με το πείραμα

75 Στάσιμα κύματα σε τετράγωνο 2D κουτί
Θεωρούμε ένα κρύσταλλο σχήματος 2D μήκους L. y + - L - + + - x L Στάσιμα κύματα σε τετράγωνο 2D κουτί Στον χώρο των k

76 Πλάτος ταλάντωσης μηδέν στα άκρα
θα είναι της μορφής οριακές συνθήκες Πλάτος ταλάντωσης μηδέν στα άκρα επιλέγοντας Οι επιτρεπτές τιμές k κείτονται σε ένα τετραγωνικό πλέγμα πλευράς στο θετικό τεταρτημόριο του χώρου των k καταλήγοντας σε πυκνότητα ανά μονάδα επιφάνειας. Θετικοί ακέραιοι

77 Αριθμός στάσιμων κυμάτων
L Κυβικός κρύσταλλος: kx,ky,kz (όλοι θετικοί) Αριθμός στάσιμων κυμάτων L L

78 Ο χώρος των συχνοτήτων μπορεί να βρεθεί από το χώρο των k:
Θα βρούμε τώρα τη C για χαμηλές και υψηλές Τ χρησιμοποιώντας τη σχέση για τη

79 Κάθε ένας από τους 3N πλεγματικούς τρόπους ενός κρυστάλλου με N άτομα
αληθές μόνο εάν Σε χαμηλές T μόνο χαμηλών συχνοτήτων πλεγματικοί τρόποι μπορούν να διεγερθούν από τη βασική τους κατάσταση w Χαμηλές συχνότητες Μεγάλα  Ηχητικά κύματα k

80 and Για χαμηλές T εξαρτάται από τη κατεύθυνση και υπάρχουν 2 εγκάρσιοι και ένας διαμήκης κλάδος.

81 Ενέργεια μηδενικού σημείου=
Για χαμηλές Τ

82 Προσέγγιση Debye για χαμηλές T
Συνεπώς η θερμοχωρητικότητα των στερεών σε χαμηλές Τ μεταβάλλεται ανάλογα της τρίτης δύναμης της Τ. Αυτό είναι γνωστό ως νόμος Debye

83 Η προσέγγιση του Debye έχει 2 βήματα:
1. Γραμμική παρεκβολή κάθε κλάδου της σχέσης διασποράς για μικρά k προσέγγιση Debye

84 Συχνότητα αποκοπής Debye
2. Υπολογισμός του σωστού αριθμού των τρόπων δόνησης με τη επιβολή μιας συχνότητας αποκοπής πάνω από την οποία δεν υπάρχουν τρόποι δόνησης. Η συχνότητα αυτή επιλέγεται έτσι ώστε ο συνολικός αριθμός των πλεγματικών τρόπων να είναι σωστός. Δεδομένου ότι υπάρχουν 3N πλεγματικοί τρόποι δόνησης σε ένα κρύσταλλο με Ν άτομα

85 Η δονητική ενέργεια του πλέγματος είναι
οπότε Και Ο πρώτος όρος είναι μία εκτίμηση της ενέργειας μηδενικού σημείου. Η εξάρτηση από τη Τ είναι στο δεύτερο όρο. Διαφορίζοντας αυτή τη σχέση ως προς τη Τ παίρνουμε τη θερμοχωρητικότητα.

86 Θερμοκρασία Debye

87 Η πρόβλεψη του Debye για τη ειδική θερμότητα
όπου

88 Υψηλές θερμοκρασίες X είναι πάντα μικρό

89 Παίρνουμε το νόμο του Debye
Χαμηλές θερμοκρασίες Για χαμηλές θερμοκρασίες το πάνω όριο είναι άπειρο. Το ολοκλήρωμα έχει σταθερή τιμή = Παίρνουμε το νόμο του Debye

90 Θερμοχωρητικότητα κατά Debye
1 1 Η συχνότητα και η θερμοκρασία Debye εξαρτώνται από τη ταχύτητα του ήχου στο στερεό. Στερεά με χαμηλή πυκνότητα και μεγάλο μέτρο ελαστικότητας έχουν μεγάλη τιμή η ενέργεια Debye χρησιμοποιείται για το προσδιορισμό της μέγιστης φωνονικής ενέργειας ενός στερεού.

91 Αναρμονικά φαινόμενα Κάθε πραγματικός κρύσταλλος ανθίσταται περισσότερο σε θλιπτική παραμόρφωση από ό,τι σε εκτατική. Αυτό οφείλεται στο σχήμα της καμπύλης του ενδοατομικού δυναμικού. είναι μία απόκλιση από το νόμο του Hooke που είναι εφαρμογή της αρμονικής προσέγγισης. Αυτό το αναρμονικό φαινόμενο οφείλεται σε όρους υψηλότερης τάξης για το δυναμικό που έχουν αγνοηθεί στη αρμονική προσέγγιση. Η θερμική διαστολή είναι παράδειγμα αναρμονικού φαινομένου. Στην αρμονική προσέγγιση τα φωνόνια δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Επομένως απουσία σημειακών και εκτεταμένων ατελειών ή προσμίξεων που σκεδάζουν τα φωνόνια, η θερμική αγωγιμότητα είναι άπειρη. Είναι οι συγκρούσεις των φωνονίων μεταξύ τους που είναι αναρμονικό φαινόμενο οι υπεύθυνες για το περιορισμό της θερμικής αγωγιμότητας που οφείλεται στη ροή των φωνονίων.

92 Συγκρούσεις(σκεδάσεις) φωνονίων
η σύζευξη των κανονικών τρόπων από τους αναρμονικούς όρους των ενδοατομικών δυνάμεων μπορεί να απεικονιστεί σαν σκεδάσεις μεταξύ φωνονίων που είναι συνδεδεμένα με τους τρόπους αυτούς. Μια τέτοια τυπική διαδικασία είναι Φωνόνιο 1 Παραγωγή τρίτου φωνονίου λόγω σκέδασης Φωνόνιο 2 Διατήρηση ενέργειας Διατήρηση ορμής

93 Τα φωνόνια αναπαρίστανται με κυματαριθμούς
Εάν βρίσκεται εκτός αυτής της περιοχής, προσθέτουμε ένα κατάλληλο πολλαπλασιαστή για να το βάλουμε στη περιοχή. Τότε το γίνεται Όπου , , και βρίσκονται πλέον όλα στη παραπάνω περιοχή. διαμήκης εγκάρσιος Umklapp διαδικασία (αναρμονικά φαινόμενα) Κανονική διαδικασία Φωνόνιο 3 Φωνόνιο 3’ έχει φωνόνιο 3=φωνόνιο 3’

94 Θερμική αγωγιμότητα από φωνόνια
η ροή της θερμότητας γίνεται από θερμή σε κρύα περιοχή (όταν υπάρχει θερμοβαθμίδα σε ένα στερεό). Σε ένα ηλεκτρικό μονωτή τα φωνόνια είναι ο σημαντικότερος φορέας θερμικής αγωγής. Η θερμική αγωγιμότητα είναι ένας συντελεστής μεταφοράς που περιγράφει τη ροή θερμότητας και μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια της βασικής κινηματικής θεωρίας των αερίων.

95 Κινηματική θεωρία Η ροή μιας ποσότητας P στη διεύθυνση z είναι
Μέση ελεύθερη διαδρομή Μέση ταχύτητα των μορίων Αν P είναι η πυκνότητα σωματιδίων τότε η ροή αυτή είναι ο συντελεστής διάχυσης αν P είναι η πυκνότητα ενέργειας τότε η ροή αυτή είναι η θερμότητα ανά μονάδα επιφάνειας. Αλλά είναι η ειδική θερμότητα ανά μονάδα όγκου. Άρα η θερμική αγωγιμότητα θα είναι (φωνονικό αέριο)

96 Φωνονικό αέριο Πραγματικό αέριο Ταχύτητα περίπου σταθερή Η πυκνότητα των σωματιδίων και της ενέργειας είναι μεγαλύτερη στο θερμό άκρο. η ροή θερμότητας οφείλεται κυρίως στη ροή φωνονίων που δημιουργούνται στη θερμή πλευρά και καταστρέφονται στη κρύα. Δεν υπάρχει ροή σωματιδίων Η μέση ταχύτητα και κινητική ενέργεια ανά σωματίδιο είναι μεγαλύτερη στο θερμό άκρο αλλά η πυκνότητα είναι μεγαλύτερη στο κρύο άκρο και η πυκνότητα ενέργειας είναι ομογενής λόγω της ομογενούς πίεσης. η ροή θερμότητας γίνεται αποκλειστικά μέσω μεταφοράς κινητικής ενέργειας από το ένα άτομο στο άλλο μέσω συγκρούσεων, φαινόμενο μικρής σημασίας στο φωνονικό αέριο. Θερμό κρύο κρύο Θερμό