Θεωρία & Αλγόριθμοι Γράφων Μέτρα Κεντρικότητας

Θεωρία & Αλγόριθμοι Γράφων Μέτρα Κεντρικότητας
Θεωρία & Αλγόριθμοι Γράφων Μέτρα Κεντρικότητας Data Science & Engineering Lab

Data Science & Engineering Lab
Γράφοι και πιθανότητες Τυχαίος-random λέγεται ένας γράφος αν το πλήθος των κορυφών, των ακμών και των συνδέσεων τους προκύπτει με τυχαίο τρόπο. Τα επόμενα σχήματα δείχνουν τυχαίου γράφους με n=10 και αντίστοιχες πιθανότητες να εμφανισθούν οι συνδέσεις με ακμές. Data Science & Engineering Lab

Τυχαίοι γράφοι Σε ένα τυχαίο γράφο η κατανομή των βαθμών ακολουθεί μία κατανομή Poisson και οι κόμβοι με μεγάλο βαθμό τείνουν να έχουν κεντρική θέση. Data Science & Engineering Lab

Κατανομή power-law Απόκλιση από την κατανομή Poisson δηλώνει μη τυχαίες διαδικασίες, το οποίο συμβαίνει σε μεγάλους πραγματικούς γράφους, όπως web, βιβλιογραφικά δεδομένα, κοινωνικά δίκτυα κλπ. Τα πραγματικά δίκτυα ακολουθούν κατανομή power-law P(k) ~ k–γ όπου k ο βαθμός μία κορυφής και γ μία σταθερά στο διάστημα [2..3] (συνήθως). Κατανομή Poisson και power-law Data Science & Engineering Lab

Scale-free δίκτυα To 1965 o Derek de Solla Price παρατήρησε σε βιβλιογραφικά δεδομένα ότι το πλήθος των αναφορών ανά άρθρο ακολουθούσε μία κατανομή power-law. To 1999 o Albert-Laszlo Barabasi αποτύπωσε την τοπο- λογία του web και διαπίστωσε την ύπαρξη hubs και της κατανομής power-law για τους βαθμούς των κόμβων. Ο Barabasi πρότεινε τη χρήση του όρου scale-free δικτύου Οι 3 αδελφοί Φαλούτσος μελέτησαν το internet με traceroute δεδομένα και διαπίστωσαν την κατανομή power-law. Data Science & Engineering Lab

Power-law relationships of the internet topology Data Science & Engineering Lab

Τυχαίοι και scale-free γράφοι Σε ένα scale-free γράφο τα hubs είναι σημαντικές κορυφές και παίζουν μεγάλο ρόλο στην τοπολογία και τις βασικές ιδιότητες του γράφου (πχ. αποστάσεις, συνδεσιμότητα) Data Science & Engineering Lab

Σημαντικές κορυφές Καθομιλουμένη έκφραση Ερμηνεία σε ένα δίκτυο Διακεκριμένος – prominent Η κορυφή είναι “εμφανής” σε άλλες κορυφές Εκτιμώμενος - admired Η κορυφή “επιλέγεται” από άλλες κορυφές Ακουγόμενος - listened to Η κορυφή “λαμβάνεται” από άλλες κορυφές Γνώστης - in the know Η κορυφή “βρίσκεται κοντά” σε πηγές πληροφορίας Άξονας – linchpin Η κορυφή είναι “αναντικατάστατη” Φρουρός - gate keeper Η κορυφή “στέκεται” μεταξύ δύο μερών του γράφου Σχετιζόμενος - involved Η κορυφή “συνδέεται” με μέρη του γράφου Data Science & Engineering Lab

Κεντρικότητα κορυφής Η έννοια της κεντρικότητας-centrality προτάθηκε στη δεκαετία του 50 από κοινωνιολόγους για τη μελέτη μικρών ανθρώπινων δικτύων Παράδειγμα: σε όλους τους επόμενους γράφους, η κορυφή X είναι πιο κεντρική από την κορυφή Y με βάση τη θέση τους στο γράφο Data Science & Engineering Lab

Σπουδαιότητα της κεντρικότητας Εφαρμογές στη διαμόρφωση της κοινής γνώμης (κοινωνικά δίκτυα, ΜΜΕ) σε στρατιωτικές εφαρμογές (δίκτυα αισθητήρων) στη μελέτη βιβλιογραφικών δεδομένων (συγγραφέων, εργασιών, περιοδικών, συνεδρίων) σε παράνομα δίκτυα, σε πολεοδομικά συστήματα, σε στόχους μάρκετιν, στην επιδημιολογία, στην ασφάλεια του δικτύου, κλπ Σε ένα δίκτυο ανθρώπων, ποιός είναι: ο πιο δημοφιλής ? αυτός που πιο γρήγορα μαθαίνει τα νέα ? αυτός που πιο συχνά ελέγχει τη ροή των νέων ? Στη Θεωρία Γράφων και στην Ανάλυση Δικτύων υπάρ-χουν διάφορα τύποι για τη μέτρηση της κεντρικότητας μίας κορυφής. Data Science & Engineering Lab

Τύποι κεντρικότητας κορυφών Μερικά τέτοια μέτρα είναι: κεντρικότητα βαθμού (degree) κεντρικότητα εγγύτητας (closeness) πληροφοριακή κεντρικότητα (information) αρμονική κεντρικότητα (harmonic) ενδιάμεση κεντρικότητα (betweenness) ενδιάμεση κεντρικότητα ακμών (edge betweenness) κεντρικότητα ιδιοδιανύσματος (eigenvector) κεντρικότητα διύλησης (percolation) κεντρικότητα διασταυρούμενων κλικών (cross-clique) κεντρικότητα υπογράφου (subgraph) κεντρικότητα alpha κεντρικότητα Katz κεντρικότητα Freeman κεντρικότητα Pagerank και άλλες πολλές κεντρικότητες Data Science & Engineering Lab

Κεντρικότητα βαθμού Δηλώνει το πλήθος των ακμών που συνδέουν μία κορυφή με τους γείτονές της. Κορυφές με περισσότερες συνδέσεις έχουν εναλλακτικούς τρόπους διακίνησης της πληροφορίας. Σε μη κατευθυνόμενο γράφο η κεντρικότητα ορίζεται με το βαθμό, σε κατευθυνόμενο ορίζεται με τον έσω- ή τον έξω-βαθμό Η κεντρικότητα βαθμού των μπλε κορυφών είναι μεγαλύτερη Data Science & Engineering Lab

Σύγκριση κεντρικότητας κόμβων Οι δύο μπλε κορυφές του Κ4 και του Κ6 έχουν διαφορετικό βαθμό κεντρικότητας, αν και είναι εξ ίσου κεντρικές. Κανονικοποιούμε διαιρώντας δια (n-1) Ποιά είναι η πολυπλοκότητα για να υπολογίσουμε την κεντρικότητα βαθμών όλων των κορυφών ενός γράφου? Data Science & Engineering Lab

Ενδιάμεση Κεντρικότητα Ορίζεται ως εξής όπου σuw είναι το πλήθος των συντομότερων μονο-πατιών μεταξύ των κορυφών u και w, ενώ σuw(v) είναι το πλήθος των συντομότερων μονοπατιών μεταξύ των κορυφών u και w, τα οποία περνούν από την κορυφή v. Ομοίως ορίζεται η ενδιάμεση κεντρικότητα ακμών. Ποιά είναι η πολυπλοκότητα για να υπολογίσουμε την ενδιάμεση κεντρικότητα όλων των κόμβων ενός γράφου? Data Science & Engineering Lab

Ενδιάμεση Κεντρικότητα (2)
Κορυφές επάνω σε πολλά μονοπάτια έχουν μεγαλύτερη κεντρικότητα. Οι κορυφές μεγάλης κεντρικότητας είναι σημαντικές για την επικοινωνία. Αν μπλοκαριστούν, τότε η επικοινωνία γίνεται δυσκολότερη. Για την κανονικοποίηση διαιρούμε δια (n-1)(n-2)/2. Από το κόκκινο προς το μπλε αυξάνει η κεντρικότητα. Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα - Ενδιάμεση Κεντρικότητα Υπολογισμός του BC(c) a d b f e c σuw σuw(v) σuw(v)/ σuw (a,b) (a,d) (a,e) (a,f) (b,d) (b,e) (b,f) (d,e) (d,f) (e,f) BC(c)=6 BC(a)=0 Data Science & Engineering Lab

Πληροφοριακή κεντρικότητα Η ενδιάμεση κεντρικότητα χρησιμοποιεί μόνο τα γεωδεσικά μονοπάτια Πληροφορία μπορεί να διακινηθεί και μέσω μεγαλύτερων μονοπατιών Η πληροφοριακή κεντρικότητα εστιάζει πως μπορεί η πληροφορία να διαχυθεί μέσω πολλών μονοπατιών λαμβάνοντας υπόψη τις αποστάσεις Data Science & Engineering Lab

Κεντρικότητα εγγύτητας Για μία κορυφή v, η κεντρικότητα εγγύτητας ορίζεται ως το αντίστροφο του αθροίσματος των μηκών των γεωδεσικών μονοπατιών προς όλες τις άλλες κορυφές Το άθροισμα του παρονομαστή λέγεται απομάκρυνση- farness Κανονικοποιούμε πολλαπλασιάζοντας επί n–1. Η κεντρικότητα αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως η ικανότητα μίας κορυφής να διαδίδει προς τις υπόλοιπες κορυφές Ποιά είναι η πολυπλοκότητα για να υπολογίσουμε την κεντρικότητα εγγύτητας όλων των κορυφών ενός γράφου? Data Science & Engineering Lab

Γενικό παράδειγμα Θα υπολογίσουμε τα μέτρα κεντρικότητας για τις κορυφές των εξής γράφων Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα: Κεντρικότητα βαθμού Και κανονικοποίηση δια του πλήθους των κορυφών n-1 Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα: Κεντρικότητα βαθμού (2) Κανονικοποίηση διαιρώντας δια του 21 Μειονέκτημα: είναι τοπικό μέτρο Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα: Κεντρικότητα εγγύτητας distance closeness normalized distance closeness normalized Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα: Κεντρικότητα εγγύτητας (2) distance closeness normalized Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα: Κεντρικότητα εγγύτητας (3) distance closeness normalized Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα: ενδιάμεση κεντρικότητα Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα: πληροφοριακή κεντρικότητα Data Science & Engineering Lab

Συγκρίσεις κεντρικότητας κόμβων
Συνήθως τα μέτρα κεντρικότητας είναι θετικά συσχετισμένα. Αν είναι αρνητικά συσχετισμένα, τότε υπάρχει κάποιο ενδιαφέρον χαρακτηριστικό Χαμηλός βαθμός Χαμηλή εγγύτητα Χαμηλή ενδιάμεση Υψηλός βαθμός Η κορυφή ανήκει σε μία ομάδα που βρίσκεται σε απόσταση από το υπόλοιπο γράφο Οι συνδέσεις της κορυφής είναι περιττές – η ροή της πληροφορίας τον παρακάμπτει Υψηλή εγγύτητα Η κορυφή συνδέεται με σημαντικούς παίκτες Υπάρχουν πολλά μονοπάτια, η κορυφή είναι κοντά σε πολλές κορυφές αλλά υπάρχουν και πολλές άλλες κορυφές Υψηλή ενδιάμεση Οι λίγες συνδέσεις της κορυφής είναι βασικές για τη ροή της πληροφορίας Σπάνια κορυφή που μονοπωλεί τις συνδέσεις ενός μικρού συνόλου κορυφών προς πολλές άλλες Data Science & Engineering Lab

Τοπικότητα vs Ολικότητα Είδαμε πως η κεντρικότητα βαθμού ελέγχει το γράφο τοπικά, ενώ οι άλλες κεντρικότητες ελέγχουν το γράφο πιο συνολικά. Οι κόκκινες κορυφές έχουν τον ίδιο βαθμό αλλά οι γείτονές τους έχουν διαφορετικό βάρος. Data Science & Engineering Lab

Ένας αλγόριθμος Αρχικοποιούμε για όλες τις κορυφές ότι η κεντρικότητα ισούται με μονάδα, C=1. Επανα-υπολογίζουμε το C αθροίζοντας το C των γειτόνων. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία θεωρώντας έτσι ένα επιπλέον επίπεδο γειτόνων. Data Science & Engineering Lab

Προσομοίωση 1 Data Science & Engineering Lab

Προσομοίωση (2) 1 2 3 5 4 Data Science & Engineering Lab

Προσομοίωση (3) 4 7 13 5 10 18 Data Science & Engineering Lab

Προσομοίωση (4) 5 18 31 7 10 46 30 34 19 Data Science & Engineering Lab

Προσομοίωση (5) 19 58 100 30 46 95 55 152 33 Data Science & Engineering Lab

Επέκταση της έννοιας του βαθμού Καθιστούμε το μέτρο κεντρικότητας της κορυφής xi ανάλογο του μέσου των κεντρικοτήτων των γειτόνων: όπου το λ είναι μιά σταθερά. Υπό μορφή πινάκων ισχύει: Μεταφερόμαστε στο πεδίο της Γραμμικής Άλγεβρας Data Science & Engineering Lab

Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Δίνεται ένας τετραγωνικός πίνακας Α και ένα μη μηδενικό διάνυσμα v. To v είναι ιδιοδιάνυσμα-eigenvector του πίνακα Α, αν ο πίνακας Αv είναι βαθμωτό πολλαπλάσιο του v. Δηλαδή πρέπει να ισχύει η εξίσωση A v = λ v όπου το λ είναι βαθμωτό και ονομάζεται ιδιοτιμή-eigenvalue ή χαρακτηριστική τιμή σε σχέση με το ιδιοδιάνυσμα v. Συνεπώς πρέπει να λυθεί η εξίσωση (A – λ Ι) v = 0 η μεγαλύτερη ιδιοτιμή ονομάζεται κύρια ιδιοτιμή το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα ομάζεται κύριο ιδιοδιάνυσμα Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα - Ιδιοτιμές & ιδιοδιανύσματα Δίνεται ένας τετραγωνικός πίνακας Α Πρέπει να λυθεί η εξίσωση (Α-λΙ) v = 0. Πρέπει η ορίζουσα να είναι 0. p(λ) = |Α-λΙ| = 3 – 4λ + λ2 (=χαρακτηριστικό πολυώνυμο). Οι ρίζες είναι λ=1 και λ=3 (=ιδιοτιμές). Με αντικατάσταση των ριζών προκύπτουν τα ιδιοδιανύσματα v και w Η τιμή λ=3 είναι η κύρια ιδιοτιμή. Το w είναι το κύριο ιδιοδιάνυσμα. Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα με γράφο Δίνεται ο γράφος με n=5 κορυφές και τον αντίστοιχο πίνακα γειτνίασης Σχηματίζουμε το διάνυσμα x με τους βαθμούς των 5 κορυφών (=η κεντρικότητα βαθμών). Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα με γράφο (2) Πολλαπλασιάζουμε τον πίνακα Α επί το διάνυσμα x και προκύπτει Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα με γράφο (3) Κάθε άσσος του πίνακα Α συνδυάζεται με τόσους άσσους όσοι οι γείτονες. Το αριστερό σχήμα δίνει την κεντρικότητα βαθμών, το δεξιό δίνει μία διάχυση των βαθμών Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα με γράφο (4) Μία αναδιάταξη του γράφου, η οποία δείχνει καλύτερα τις κεντρικότητες των κορυφών Data Science & Engineering Lab

Κεντρικότητα ιδιοδιανύσματος Η κεντρικότητα ιδιοδιανύσματος για κάποια κορυφή δίνεται από την αντίστοιχη είσοδο του κύριου ιδιοδιανύσματος του πίνακα γειτνίασης Αναθέτει σχετικές τιμές στις κορυφές με βάση την αρχή ότι συνδέσεις προς κορυφές με υψηλή τιμή συνεισφέρουν περισσότερο Data Science & Engineering Lab

Κεντρικότητα ιδιοδιανύσματος (2) Σε τακτικούς γράφους όλοι οι κόμβοι έχουν την ίδια κεντρικότητα ιδιοδιαύσματος, η οποία ισούται με Data Science & Engineering Lab

Κεντρικότητα υπογράφου Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κεντρικότητα βαθμού σχετίζεται με μονοπάτια μήκους 1, ενώ η κεντρικότητα ιδιοδιανύσματος με μονοπάτια άπειρου μήκους. Εναλλακτικά μπορούμε να θεωρήσουμε μονοπάτια μήκους 2,3, κλπ. Προτάθηκε η χρήση κλειστών μονοπατιών (τρίγωνα, τετράγωνα κλπ). Το πλήθος των κλειστών μονοπατιών μήκους k που αρχίζουν και τελειώνουν σε μία κορυφή i δίνεται από την τοπική φασματική ροπή -local spectral moment- μk(i), που ισούται με την i-οστή τιμή της διαγωνίου της k-οστής δύναμης του πίνακα γειτνίασης Α: μk(i)=(Ak)ii Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα - Κεντρικότητα υπογράφου Α = Adjacency matrix Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα-Κεντρικότητα υπογράφου (2) Η τιμή Α2uv για uv δηλώνει τα μονοπάτια μήκους 2 μεταξύ των κορυφών u και v, είτε το πλήθος των κοινών γειτόνων. Η τοπική φασματική ροπή ισούται με μk(i)=(Ak)ii Α2 Data Science & Engineering Lab

Κεντρικότητα υπογράφου Η κεντρικότητα υπογράφου της κορυφής i δίνεται από τον τύπο Έστω λ η κύρια ιδιοτιμή του πίνακα γειτνίασης. Μπορεί να αποδειχθεί ότι Έτσι, η κεντρικότητα υπογράφου κάθε κορυφής i είναι άνω φραγμένη από Data Science & Engineering Lab

Αποκεντρωμένα και μη δίκτυα Μπορούμε να μετρήσουμε την κεντρικότητα για ένα γράφο συνολικά ? Πόσο κεντρικοποιημένα/αποκεντρωμένα είναι τα επόμενα δίκτυα ? Cn Pn Sn Hub and spoke Kn Data Science & Engineering Lab

Συγκεντρωτισμός vs Κεντρικότητα Η κεντρικότητα είναι χαρακτηριστικό της κάθε κορυφής. Ο συγκεντρωτισμός-centralization είναι χαρακτηρι- στικό του γράφου ως σύνολο. Η κεντρικότητα αφορά στο μικρο-επίπεδο, ενώ ο συγκεντρωτισμός αφορά στο μάκρο-επιπεδο. Συγκεντρωτισμός ενός γράφου είναι ο βαθμός κατά τον οποίο η κεντρικότητα της κεντρικότερης κορυφής υπερβαίνει την κεντρικότητα όλων των άλλων κορυφών σε σχέση με τη μέγιστη διαφορά Υπάρχουν τόσα είδη συγκεντρωτισμού όσα και και είδη κεντρικότητας. Data Science & Engineering Lab

Υπολογισμός συγκεντρωτισμού Για τον υπολογισμό του συγκεντρωτισμού ενός γράφου G με n κορυφές: Βρίσκουμε την κεντρικότερη κορυφή C* Αφαιρούμε από την κεντρικότητα της C* την κεντρικότητα κάθε άλλης κορυφής Ci Προσθέτουμε τις προηγούμενες διαφορές Σ(C*-Ci) Διαιρούμε το άθροισμα αυτό δια της ποσότητας που θα προέκυπτε για ένα γράφο G’ με n κορυφές, ο οποίος θα είχε το μέγιστο συγκεντρωτισμό (αστεροειδής γράφος) : Max Σ(C*-Ci) Πολλαπλασιάζουμε επί 100 για ποσοστικοποίηση. Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα - Συγκεντρωτισμός βαθμού
Ο συγκεντρωτισμός βαθμού σε ένα αστεροειδή γράφο είναι 100%. Ο συγκεντρωτισμός βαθμού σε ένα κύκλο είναι 0%. Ο συγκεντρωτισμός στους γράφους αυτούς είναι ίδιος για κάθε μέτρο κεντρικότητας. Ποιός γράφος έχει επίσης συγκεντρωτισμό 0? Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα - Συγκεντρωτισμός βαθμού Η κεντρικότερη κορυφή του γράφου G με n=6 είναι η a1 (βαθμός d=5). Σ(C*-Ci)=(5-3)+(5-3)+(5-3)+(5-2)+(5-2)= =12. Ο μέγιστος συγκεντρωτισμός για τον αστεροειδή γράφο S6. Η ποσότητα Max Σ(C*-Ci) για τον S6 ισούται με (n-1)*(n-2). Max Σ(C*-Ci)=(5-1)+(5-1)+(5-1)+(5-1)+(5-1)=5*4=20 O συγκεντρωτισμός του G ισούται με 100*12/20=60% Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα - Συγκεντρωτισμός εγγύτητας Η κεντρικότερη κορυφή είναι η a1 καθώς έχει απομάκρυνση=5. Ισχύει Σ(C*-Ci)=(1-0,71)+(1-0,71)+ (1-0,71)+(1-0,63)+(1-0,63)=1,61 Η μέγιστη ποσότητα για τον S6 ισούται με Σ(C*-Ci)=(1-0,56)+(1-0,56)+ (1-0,56)+(1-0,56)+(1-0,56) =2,22 Τελικά ο συγκεντρωτισμός ισούται με = 100*1,61/2,22 = 72.32% farness closeness a1 5 1 a2 7 0,714 a3 a4 a5 8 0,625 a6 Πως προκύπτει το 0,56? Data Science & Engineering Lab

Παράδειγμα - Ενδιάμεσος συγκεντρωτισμός Η κεντρικότερη κορυφή είναι a1 με ενδιάμεση κεντρικότητα = 0,6 Ισχύει Σ(C*-Ci)=(0,6-0)+(0,6-0)+(0,6-0) +(0,6-0)+(0,6-0)=3 Η μέγιστη ποσότητα για τον S6 ισούται με Σ(C*-Ci)=(1-0)+(1-0)+(1-0)+(1-0)+(1-0) =5 Τελικά ο συγκεντρωτισμός ισούται με = 100*3/5 = 60% between a1 0,6 a2 a3 a4 a5 a6 Πως προκύπτει αυτή η σχέση? Data Science & Engineering Lab

ΑΣΚΗΣΗ – εύρεση συγκεντρωτισμού Για τους 3 γράφους να υπολογισθεί ο συγκεντρωτισμός κατά τους 3 τρόπους (κατά βαθμό, εγγύτητα, ενδιάμεση) Data Science & Engineering Lab

Θεωρία & Αλγόριθμοι Γράφων Μέτρα Κεντρικότητας

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Θεωρία & Αλγόριθμοι Γράφων Μέτρα Κεντρικότητας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Θεωρία & Αλγόριθμοι Γράφων Μέτρα Κεντρικότητας

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Θεωρία & Αλγόριθμοι Γράφων Μέτρα Κεντρικότητας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια