ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΜΕΧΡΙ ΣΗΜΕΡΑ

Παρουσίαση με θέμα: "ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΜΕΧΡΙ ΣΗΜΕΡΑ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΜΕΧΡΙ ΣΗΜΕΡΑ
ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΜΕΧΡΙ ΣΗΜΕΡΑ Επιμέλεια: Κουρτέση Γεωργία - Μαθηματικός

2 Η πρώτη νύξη Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ακμή κύβου, ο οποίος να έχει όγκο διπλάσιου ενός δοσμένου Οι Δήλιοι προκειμένου να απαλλαχτούν από τον λιμό που τους μάστιζε, έπρεπε να διπλασιάσουν τον βωμό του Απόλλωνα. Έτσι εμφανίστηκε το «Δήλιο πρόβλημα»

3 Η λύση του Μέναιχμου Έτσι ώστε
Αρκεί να κατασκευαστούν τα τμήματα κ και λ από την αναλογία : Έτσι ώστε Πράγματι τα κ, λ είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής της παραβολής : με την υπερβολή :

4 Οι καμπύλες ως τομές κώνου
Οι καμπύλες ως τομές κώνου Δεν είναι με βεβαιότητα γνωστό πως ο Μέναιχμος συσχέτισε τις παραπάνω καμπύλες που προσδιόρισε, με τις τομές κώνου με επίπεδο, πάντως η ανακάλυψή του αυτή άλλαξε για πάντα τις θετικές επιστήμες. Σύμφωνα με τις πηγές, ο Μέναιχμος θεώρησε τις τομές της παράπλευρης επιφάνειας κώνου από ένα επίπεδο κάθετο σε μια γενέτειρά του και τις ονόμασε ανάλογα με τη γωνία κορυφής του κώνου.

5 Το έργο του Απολλώνιου Αποκορύφωμα της θεωρητικής μελέτης των τριών κωνικών τομών κατά την αρχαιότητα ήταν το έργο «Κωνικά» του Απολλώνιου του Περγαίου- έργο αιώνια μέγιστο και αξιοθαύμαστο. Ο Απολλώνιος θεώρησε τις τρεις κωνικές ως διαφορετικές τομές ενός κυκλικού κώνου, όχι απαραίτητα ορθού και χωρίς το επίπεδο τομής να είναι κάθετο στη γενέτειρα, όπως θεωρούνταν μέχρι τότε.

6 Εντύπωση προκαλεί το γεγονός ότι στο έργο του ο
Απολλώνιος δεν κάνει λόγο για την διευθετούσα της κωνικής τομής ούτε για την εστία παραβολής. Ορίζει τις εστιακές ιδιότητες έλλειψης και υπερβολής πολύ διαφορετικά από αυτό που γνωρίζουμε σήμερα. Ας σημειωθεί ότι ο Απολλώνιος ήταν ο πρώτος που μελέτησε πλήρως τις «αντικείμενες τομές», δηλαδή τους κλάδους της υπερβολής, ονόμασε τις κωνικές τομές και έδωσε σε κάθε μία το «σύμπτωμά της».

7 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Έστω τομή κώνου με επίπεδο παράλληλο σε μια γενέτειρά του την ΑΓ. Ο Απολλώνιος απέδειξε ότι : Δηλαδή ότι το τετράγωνο πλευράς ΜΛ είναι ισοδύναμο με το ορθογώνιο βάσης ΖΛ και ύψους ΖΘ, όπου το ΖΘ το ονόμασε παράμετρο της καμπύλης.

8 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Το ορθογώνιο ΖΛΙΘ «παραβάλλεται» στην ΖΘ, γι’αυτό ο Απολλώνιος ονομάζει την καμπύλη «παραβολή». Αν αναζητήσουμε την εξίσωσή της στο πλαγιογώνιο σύστημα αξόνων ΥΖΗ θέτοντας ΜΛ=ψ, ΖΛ=χ και ΖΘ=2p θα προκύψει η «γνωστή» μας : ψ2=2pχ

9 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Έστω τομή κώνου με επίπεδο που περιέχει τον άξονα του κώνου. Ο Απολλώνιος απέδειξε ότι: Δηλαδή το τετράγωνο πλευράς ΜΛ είναι ισοδύναμο με το ορθογώνιο ΖΙΞΛ που έχει παραβληθεί στη ΖΘ κι είναι μεγαλύτερο («υπερβάλλει») απ’το ΖΘΦΛ που ορίζει η ΖΛ και η σταθερή παράμετρος ΖΘ και η καμπύλη ονομάστηκε υπερβολή.

10 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Αν θέσουμε ΜΛ=ψ, ΖΛ=χ, ΖΘ=p και ΤΖ=δ τότε η εξίσωση της καμπύλης θα είναι : Δηλαδή εξίσωση της υπερβολής ως προς το πλαγιογώνιο σύστημα αξόνων ΥΖΗ. Η μεταφορά του συστήματος στο κέντρο Ο θα δώσει την γνωστή μας εξίσωση.

11 Η ΕΛΛΕΙΨΗ Έστω επίπεδο που τέμνει όλες τις γενέτειρες του κώνου και το επίπεδο της βάσης του κατά ευθεία ΣΗ κάθετη στη ΒΓ. Ο Απολλώνιος απέδειξε ότι :

12 Η ΕΛΛΕΙΨΗ Επομένως το τετράγωνο πλευράς ΜΛ είναι ισοδύναμο με το ορθογώνιο ΖΦΝΛ που έχει παραβληθεί στην παράμετρο ΖΘ κι είναι μικρότερο (« ελλείπει» ) απ’το ορθογώνιο ΖΘΤΛ που ορίζει η ΖΛ και η ΖΘ,γι’αυτό η καμπύλη ονομάστηκε έλλειψη. Αν θέσουμε ΜΛ=ψ, ΖΛ=p και ΖΔ =δ τότε η εξίσωση της καμπύλης ως προς το πλαγιογώνιο σύστημα ΥΖΔ θα είναι :

13 ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Ο Απολλώνιος ερμηνεύει τις σχέσεις («συμπτώματα», όπως τα έλεγαν οι αρχαίοι) που έβγαλε από τις τομές κώνου, με την εισαγωγή της Παραβολής Χωρίων που υπάρχει και στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Με τη βοήθεια των σχέσεων – «συμπτωμάτων» ΜΛ2=ΖΘ∙ΖΛ, ΜΛ2= ΖΛ∙ ΛΞ, ΜΛ2= ΖΛ∙ ΛΝ, έδωσε ένα δυναμικό εργαλείο για να μελετηθούν οι ιδιότητες των κωνικών τομών. Οι όροι «αποτεμνόμενη» και «καταγόμενη τεταγμένως» μεταφράστηκαν στα λατινικά και από αυτούς προήλθαν οι γνωστοί μας όροι «τετμημένη» και «τεταγμένη». Ο Απολλώνιος ουσιαστικά αντικαθιστά το ορθογώνιο σύστημα αξόνων, ως προς το οποίο αναφέρεται η κωνική που προέρχεται απ’τον ορθό κώνο, με ένα πλαγιογώνιο σύστημα που ορίζεται από μια διάμετρο της κωνικής και την εφαπτόμενη στο άκρο της.

14 ΟΙ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ 16ο ΑΙΩΝΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑ
Η Δύση μετά από πολλούς αιώνες πνευματικής απραξίας στις θετικές επιστήμες, γνώρισε τις κωνικές τομές μέσα από τις μεταφράσεις των Ελληνικών πρότυπων κειμένων είτε από τις Αραβικές μεταφράσεις τους. Τα έργα του Απολλώνιου μαζί με τα Στοιχεία του Ευκλείδη και τα έργα του Αρχιμήδη, κυριαρχούσαν στις μαθηματικές και φυσικές επιστήμες από τον 16ο μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα. Οι σπουδαιότεροι επιστήμονες που ασχολήθηκαν με τις κωνικές τομές στη διάρκεια αυτών των αιώνων είναι :

15 ΟΙ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ 16ο ΑΙΩΝΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑ
Johannes Kepler( ) Γερμανός Gregory de Vincent ( ) Βέλγος Claude Mydorge ( ) Γάλλος Rene Descartes (Καρτέσιος) ( ) Γάλλος (με τον Καρτέσιο αρχίζει να ραγίζει το φράγμα που έβαζε η Γεωμετρία στην ανάπτυξη των Μαθηματικών κι αρχίζει η δημιουργία της Αναλυτικής Γεωμετρίας-είναι το είδος της γεωμετρίας που θεωρεί το γεωμετρικό χώρο διανυσματικό χώρο. Κάθε διάνυσμα αντιστοιχεί σε ένα σημείο του χώρου, ενώ τα γεωμετρικά σχήματα και οι γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ των σημείων και διάφορων σχημάτων περιγράφονται με διανυσματικές σχέσεις οι οποίες μπορούν να επεξεργαστούν όπως και οι αλγεβρικές. Έτσι μέσω της αναλυτικής γεωμετρίας έγινε μία αλγεβροποίηση της γεωμετρίας σε τέτοιο σημείο που υποστηρίζεται ότι πλέον η γεωμετρία δε χρειάζεται καθόλου αξιωματική θεμελίωση, αλλά αρκεί να στηριχθεί μέσω κατάλληλων ορισμών στην άλγεβρα.)

16 ΟΙ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ 16ο ΑΙΩΝΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑ
Girard Desargues ( ) Γάλλος Pierre de Fermat ( ) Γάλλος Gilles Personnes de Roberval ( ) Γάλλος John Wallis ( ) Άγγλος Vincenzo Viviani ( ) Ιταλός Blaise Pascal ( ) Γάλλος Johan De Witt ( ) Ολλανδός Philippe de la Hire ( Γάλλος Isaac Newton ( ) Άγγλος De l’ Hospital ( ) Γάλλος

17 ΟΙ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΣΤΗ ΝΕΟΤΕΡΗ ΕΛΛΑΔΑ ( 18ος – 19ος αιώνας)
ΟΙ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΣΤΗ ΝΕΟΤΕΡΗ ΕΛΛΑΔΑ ( 18ος – 19ος αιώνας) Την Ευρωπαική άνθηση στις θετικές επιστήμες τον 17ο και 18ο αιώνα ήταν πολύ δύσκολο, αν όχι αδύνατο να παρακολουθήσει η τουρκοκρατούμενη Ελλάδα. Τα μεγαλειώδη έργα των αρχαίων ήταν σχεδόν άγνωστα και η εκπαίδευση υποτυπώδης αν όχι ανύπαρκτη. Με την μελέτη των κωνικών τομών ασχολήθηκαν οι Νικηφόρος Θεοτόκης ( ) Ιώσηπος Μοισιόδαξ (1730 – 1800) Σπυρίδων Ασάνης ( ) Κωνσταντίνος Κούμας ( )

18

19

20

21 ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΠΟΛΛΩΝΙΕΣ ΤΟΜΕΣ ΣΤΙΣ ΕΣΤΙΑΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ
Όπως είδαμε ο Απολλώνιος αντιστοίχησε σε κάθε μία απ’τις καμπύλες παραβολή , έλλειψη και υπερβολή το σύμπτωμά της, μια σχέση δηλαδή μεταξύ ενός τυχαίου σημείου της και ορισμένων σταθερών που εξαρτώνται απ’τον κώνο και το επίπεδο τομής .Αυτό το σύμπτωμα το χρησιμοποιεί για να αποδείξει πολλές ιδιότητες των κωνικών τομών, μεταξύ των οποίων και τις εστιακές ιδιότητες έλλειψης και υπερβολής.

22 ΕΣΤΙΑ ΚΑΙ ΔΙΕΥΘΕΤΟΥΣΑ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ
Ο Απολλώνιος παίρνοντας την ΖΛ ως διάμετρο της κωνικής, θεώρησε σημεία Κ και Ε ώστε :ΚΖ=ΖΕ=ΖΘ/4. Φέρνοντας την κάθετη (δ) στο Κ κι από τη σχέση: έδειξε ότι ΜΕ=ΜΠ. Επομένως ένα σημείο ανήκει στην παραβολή, σύμφωνα με τον ορισμό του Απολλώνιου, αν ισαπέχει από σταθερό σημείο Ε και σταθερή ευθεία (δ)

23 ΕΣΤΙΑΚΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΕΡΒΟΛΗ
Ο Απολλώνιος θεωρώντας τομή με ορθό κώνο και διάμετρο ΖΛ, όρισε Ο το μέσο της ΤΖ=2α και τμήμα β με: β2= αΖΘ/2 όπου ΖΘ η παράμετρος της υπερβολής : p =ΖΘ= 2β2/α Θεώρησε επίσης τα σημεία Ε, Ε΄ ώστε ΟΕ= ΟΕ΄=γ με: γ 2=α 2+β2 Απέδειξε ότι: ΜΕ΄-ΜΕ=2α και για τον άλλο κλάδο: ΜΕ- ΜΕ΄=2α. Άρα κάθε σημείο της υπερβολής έχει την ιδιότητα, η διαφορά των αποστάσεών του από σταθερά σημεία Ε, Ε΄ να είναι σταθερή και ίση με 2α.

24 ΕΣΤΙΑΚΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΛΛΕΙΨΗ
Ο Απολλώνιος για την έλλειψη, θεώρησε τομή με ορθό κώνο, ΖΛ μια διάμετρο όπου ΖΔ=2α, Ο το μέσο του ΖΔ και ΟΒ=β την κάθετη στη ΖΔ. (παράμετρος της έλλειψης: p= ΖΘ = 2β2/α ). Αν α>β θεώρησε σημεία Ε, Ε΄στην ΖΔ με ΟΕ =ΟΕ΄=γ και γ2=α2 – β2. Απέδειξε ότι : ΜΕ +ΜΕ΄=2α, δηλαδή ότι κάθε σημείο της έλλειψης έχει την ιδιότητα, το άθροισμα των αποστάσεών του από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε΄να είναι σταθερό και ίσο με 2α.

25 Η ΓΕΝΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ
Η ΓΕΝΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ Οι τομές κυκλικής κωνικής επιφάνειας με επίπεδο που δε διέρχεται από την κορυφή της, είναι επίπεδες καμπύλες με μια ανέλπιστη κοινή ιδιότητα. Έστω επίπεδο (S) που τέμνει τον κώνο και σφαίρα εγγεγραμμένη στον κώνο που εφάπτεται του (S) στο σημείο Ε.

26 Η ΓΕΝΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ
Η ΓΕΝΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ Αποδεικνύεται ότι για τις γωνίες 2θ, της κορυφής του κώνου και ω του επιπέδου (S) με τον άξονα του κώνου, ισχύει : όπου Μ τυχαίο σημείο στην τομή του (S) με τον κώνο και ε σταθερός θετικός αριθμός. Αντίστροφα : αν σημείο Μ του επιπέδου (S) έχει την παραπάνω ιδιότητα , τότε ανήκει στην τομή του (S) με τον κώνο Geogebra - Κωνικές

27 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Αν ω=θ, δηλαδή το επίπεδο (S) είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα του κώνου, τότε συνθ=συνω ή ε=1 και η τομή είναι παραβολή. Αν ω>θ, δηλαδή το (S) τέμνει όλες τις γενέτειρες του κώνου και συνω <συνθ ή 0<ε<1 και η τομή είναι έλλειψη. Αν 0<ω<θ, δηλαδή το (S) τέμνει τη βάση του κώνου, μέρος της επιφάνειάς του και της κατακορυφήν επιφάνειας, τότε συνω>συνθ ή ε>1 και η τομή είναι υπερβολή. Αν ω=90 το επίπεδο (S) είναι κάθετο στον άξονα του κώνου, ε=0 και η τομή είναι κύκλος.

28 ΝΕΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ
Μέχρι τώρα είδαμε πως από τον Απολλώνιο ορισμό των κωνικών προκύπτει ότι οι τρεις κωνικές έχουν την ιδιότητα του λόγου. Από αυτό και με Ευκλείδια μέσα προκύπτουν οι βασικές ιδιότητες των κωνικών τομών. Ορισμός : Σ’ένα επίπεδο θεωρούμε σταθερό σημείο Ε και μια ευθεία (δ), στην οποία δεν ανήκει το Ε. Καλούμε κωνική τομή το σύνολο των σημείων ενός επιπέδου για τα οποία ο λόγος των αποστάσεών τους από το Ε και την (δ) είναι σταθερός. Ο λόγος αυτός (ε) λέγεται εκκεντρότητα, το σημείο Ε λέγεται εστία της κωνικής και η ευθεία (δ) διευθετούσα.

29 ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ
Χορδή κωνικής: λέμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δυο σημεία της κωνικής. Εστιακή χορδή : λέμε μια χορδή της κωνικής που διέρχεται από την εστία της. Εφαπτομένη κωνικής (σ’ένα σημείο της Μ) : λέμε την ευθεία που διέρχεται από το Μ και δεν έχει άλλα κοινά σημεία με την κωνική. Κάθετη κωνικής (σ’ένα σημείο της) : λέμε την ευθεία που είναι κάθετη στην εφαπτομένη της κωνικής στο σημείο αυτό. Διάμετρο κωνικής : λέμε την ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονά της ( για την παραβολή) ή την χορδή που περνά απ’το κέντρο της (για έλλειψη και υπερβολή). Συζυγείς διάμετροι : (για έλλειψη – υπερβολή) λέμε τις διαμέτρους όπου στο ένα άκρο της μιας η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στην άλλη διάμετρο. Πολική σημείου (Σ που τέμνει την κωνική στα Γ, Δ): λέμε τον γεωμετρικό τόπο των συζυγών αρμονικών σημείων του Σ ως προς τα Γ και Δ.

30 ΟΙ 5 ΚΟΙΝΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ
1η : Αν ευθεία τέμνει την κωνική στα Μ, Δ και την διευθετούσα στο Τ, τότε η ΕΤ είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας ΜΕΔ. 2η : Αν η εφαπτόμενη στο Μ μιας κωνικής τέμνει την διευθετούσα στο Σ, τότε το τμήμα ΜΣ φαίνεται απ’το Ε υπό ορθή γωνία.

31 ΟΙ 5 ΚΟΙΝΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ
3η : (Ανακλαστική ιδιότητα κωνικών) Η εφαπτόμενη σε σημείο κωνικής σχηματίζει ίσες γωνίες με τις εστιακές ακτίνες του σημείου.

32 ΟΙ 5 ΚΟΙΝΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ
4η : Τα μέσα δεδομένης δέσμης παράλληλων χορδών μιας κωνικής , ανήκουν σε σταθερή ευθεία – διάμετρο της κωνικής. 5η :Τα εφαπτόμενα τμήματα ΣΑ, ΣΒ από σημείο Σ εκτός κωνικής, φαίνονται από την εστία υπό ίσες γωνίες, το τμήμα που τα τέμνει φαίνεται από την εστία υπό σταθερή γωνία ,η ευθεία από το Σ και το μέσο του ΑΒ είναι διάμετρος της κωνικής και αν η ΑΒ περνά από το Ε τότε το Σ ανήκει στη διευθετούσα και τα ΣΑ, ΣΝΒ φαίνονται απ’το Ε υπό ορθή γωνία.

33 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ
Αν ε=1 η κωνική λέγεται παραβολή. Αν 0<ε<1 η κωνική λέγεται έλλειψη. Αν ε>1 η κωνική λέγεται υπερβολή.

34 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ
Όπως ήδη αναφέρθηκε στον γενικό ορισμό των κωνικών τομών, αν Ε σημείο του επιπέδου και (δ) ευθεία που δεν διέρχεται απ’το Ε, ονομάζουμε παραβολή με εστία Ε και διευθετούσα (δ), τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ΜΕ=ΜΗ, όπου Η η προβολή του Μ στην (δ). Η ευθεία που διέρχεται απ’το Ε και είναι κάθετη στη (δ) λέγεται άξονας της παραβολής, ενώ η απόσταση της εστίας απ’την (δ) λέγεται παράμετρος της παραβολής και συμβολίζεται p. Το μέσο Ο του κάθετου τμήματος ΕΔ ανήκει στην παραβολή και λέγεται κορυφή. Geogebra - Κωνικές

35 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Από τον γενικό ορισμό των κωνικών τομών, αν Ε σημείο επιπέδου, (δ) ευθεία που δεν διέρχεται απ’ το Ε και ε ένας σταθερός θετικός με 0<ε<1, ονομάζουμε έλλειψη τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : Όπου Η η προβολή του Μ στην (δ). Το Ε λέγεται εστία, η ευθεία (δ) διευθετούσα και ο ε εκκεντρότητα της έλλειψης. Έστω Κ η προβολή του Ε στη (δ). Τότε υπάρχουν μοναδικά σημεία Α και Α΄ ώστε :ΑΕ=εΑΚ, Α΄Ε= εΑ΄Κ τα οποία ανήκουν στην έλλειψη και το ΑΑ΄λέγεται μεγάλος άξονας της έλλειψης. Το μέσο του ΑΑ΄λέγεται κέντρο της έλλειψης. Όμοια και πάντα σε συνάρτηση με το ε ορίζουμε τα Β και Β΄με ΒΒ΄μικρό άξονα της έλλειψης Geogebra - Κωνικές

36 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Έστω Ε΄το συμμετρικό της εστίας Ε ως προς το κέντρο Ο και (δ΄) η συμμετρική της (δ) ως προς τον μεγάλο άξονα. Τότε η έλλειψη με εστία Ε΄και διευθετούσα (δ΄) συμπίπτει με την πρώτη. Άρα κάθε έλλειψη έχει δύο εστίες και δύο διευθετούσες. Αν ΕΕ΄=2γ, ΑΑ΄=2α, ΒΒ΄=2β και ΕΚ=d , αποδεικνύεται ότι ΟΕ=αε κι έτσι είναι: ΕΕ΄=2γ= 2ΟΕ=2αε ή ε=γ/α (ο γνωστός τύπος για την εκκεντρότητα στο σχολικό βιβλίο).

37 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Αν ΟΠ=b και Μ σημείο της έλλειψης τότε :ΜΕ=α-εb και ΜΕ΄=α+εb , δηλαδή ΜΕ+ΜΕ΄= 2α >2γ. Άρα όταν το σημείο Μ είναι στην έλλειψη με μεγάλο άξονα α, μικρό β όπου : και διευθετούσες : Η εξίσωση της έλλειψης σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων κέντρου Ο , με εστίες Ε(γ,0) και Ε΄(-γ,0) είναι :

38 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Υπερβολή καλούμε το σύνολο των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεών τους από σημείο Ε και ευθεία (δ) είναι : Το Ε λέγεται εστία της υπερβολής και η (δ) διευθετούσα. Όπως και στην έλλειψη ορίζουμε τα σημεία Α , Α΄ με τη βοήθεια του ε, έτσι ώστε ΑΑ΄=2α (μεγάλος άξονας της υπερβολής) Geogebra - Κωνικές

39 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Όπως σε κάθε έλλειψη , έτσι και στην υπερβολή έχουμε δύο εστίες και δύο διευθετούσες. Αν ΕΕ΄=2γ , τότε ε=γ/α και αν Ο είναι το κοινό μέσο των ΑΑ΄, ΕΕ΄, τότε θέτοντας έχουμε πάνω στην κάθετη στο Ο ορίσει τον δευτερεύοντα (συζυγή) άξονα της υπερβολής ΒΒ΄=2β (κατ’αναλογία με τον μικρό άξονα της έλλειψης). Αν ΟΠ=b>α, όπου Π η προβολή του σημείου της Μ στην ΑΑ΄, αποδεικνύεται ότι :ΜΕ΄=εb +α και ΜΕ =εb-α άρα Ι ΜΕ΄-ΜΕ Ι=2α<2γ Η εξίσωση της υπερβολής σε ορθογώνιο σύστημα με εστίες Ε(γ,0), Ε΄(-γ,0) και διευθετούσες : είναι :

40 Η ιστορία λοιπόν απ’ τον Μέναιχμο, τον Απολλώνιο και όλους τους σύγχρονους ερευνητές των μαθηματικών, δεν έπαψε να καταγράφει μελέτες που αφορούν τον ορισμό και τις ιδιότητες των κωνικών τομών. Έτσι ξεκινώντας με τομές συγκεκριμένων κώνων από επίπεδα φτάσαμε στον σημερινό ορισμό των κωνικών που έχει να κάνει με τις αποστάσεις σημείου από εστίες και διευθετούσες. Η εξερεύνηση των κωνικών τομών συνεχίζεται, αυτό όμως που τις κάνει ξεχωριστές είναι η ιστορία που έγραψαν ως ένα από τα σπουδαιότερα ερευνητικά πεδία των Μαθηματικών. Να λοιπόν πως ένα πρόβλημα που δημιούργησε η λατρεία των ανθρώπων στους θεούς, οδήγησε την μαθηματική σκέψη σε τόσο υψηλά επίπεδα!!! Επιμέλεια: Κουρτέση Γεωργία Μαθηματικός