ΣΗΜΑΤΑ και ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 4ο Διδάσκων: Καθηγητής Ανδρέας Μαράς Οκτώβρης 2004 <<<17.1>>> ###Linear State Space Models###

Παρουσίαση με θέμα: "ΣΗΜΑΤΑ και ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 4ο Διδάσκων: Καθηγητής Ανδρέας Μαράς Οκτώβρης 2004 <<<17.1>>> ###Linear State Space Models###"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΣΗΜΑΤΑ και ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 4ο Διδάσκων: Καθηγητής Ανδρέας Μαράς Οκτώβρης 2004
<<<17.1>>> ###Linear State Space Models###

2 Καταστατικές Εξισώσεις
Σε πολλές περιπτώσεις χρειαζόμαστε ένα σύνθετο μοντέλο για να περιγράψουμε ένα σύστημα, ιδιαίτερα αυτό που έχει πολλαπλές εισόδους και πολλαπλές εξόδους-ΠΕΠΕ ή ΜΙΜΟ (Multivariable Control System). Σε αυτή την περίπτωση χρειαζόμαστε τις καταστατικές εξισώσεις (state-space equations) για να μπορέσουμε να περιγράψουμε με ακρίβεια την εσωτερική του δομή.

3 Καταστατικές Εξισώσεις
Θα εξετάσουμε γραμμικά συστήματα μέσα από καταστατικές εξισώσεις για τη σπουδαία περίπτωση των συστημάτων μίας εισόδου-μίας εξόδου (Single Input-Single Output ή SISO). Συγκεκριμένα, θα εξετάσουμε: Μετασχηματισμούς ισοδυναμίας και ισοδύναμες καταστατικές εξισώσεις. Ιδιότητες των καταστατικών μοντέλων: Ελεγξιμότητα και Παρατηρησιμότητα, και Σταθερότητα και Ανάδραση. Κανονικοποιημένες μορφές μοντέλων.

4 Γραμμικά Χρονικά-Συνεχή Καταστατικά Μοντέλα Συστημάτων
Το καταστατικό μοντέλο γραμμικού και συνεχούς-χρόνου συστήματος έχει την παρακάτω μορφή: όπου x  n είναι το διάνυσμα κατάστασης, u  m είναι το σήμα ελέγχου, y  p είναι το σήμα εξόδου, x0  n είναι το διάνυσμα κατάστασης στο t = t0 και A, B, C, και D είναι πίνακες. <<<17.2>>> ###Continuous-Time State Space Models###

5 Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας
Είναι πολύ εύκολο να δει κανείς ότι οι εξισώσεις κατάστασης δεν είναι μοναδικές. Έστω, για παράδειγμα, ότι μετασχηματίζουμε το x(t) σε μέσα από τον παρακάτω μετασχηματισμό όπου T είναι αντιστρέψιμος πίνακας, ο οποίος ονομάζεται μετασχηματισμός ισοδυναμίας. <<<17.3>>> ###Similarity Transformations###

6 Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας
Τότε παίρνουμε την παρακάτω ισοδύναμη καταστατική περιγραφή του συστήματος όπου Η παραπάνω μορφή είναι εξίσου αποδεκτή.

7 Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας
Ας πάρουμε, για παράδειγμα, την περίπτωση όπου ο πίνακας Α διαγωνιοποιείται μέσα από τον μετασχηματισμό Τ. Τότε έχουμε ότι όπου εάν 1, 2, …, n είναι οι ιδιοτιμές του A, τότε

8 Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας
Επειδή ο πίνακας  είναι διαγώνιος, έχουμε ότι Σημειώνεται ότι ο κάτω δείκτης i συμβολίζει την i-οστή συνιστώσα του διανύσματος κατάστασης.

9 Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας
Ο πίνακας T βρίσκεται με τη βοήθεια της εντολής eig του MATLAB.

10 Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας
Με αυτό τον τρόπο έχουμε την ισοδύναμη περιγραφή του χώρου καταστάσεων.

11 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η λύση των εξισώσεων κατάστασης δίνεται από την παρακάτω εξίσωση με τη βοήθεια του Μετασχηματισμού Laplace: <<<17.4>>> ###Transfer Functions Revisited###

12 Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας
Παρατηρούμε λοιπόν ότι διαφορετικές επιλογές των καταστατικών μεταβλητών μας δίνουν διαφορετικές περιγραφές της εσωτερικής δομής του συστήματος, αλλά η εξωτερική του περιγραφή παραμένει ίδια διότι η συνάρτηση μεταφοράς παραμένει αμετάβλητη.

13 Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας
Τώρα κάνουμε την εξής ερώτηση: Πως μπορούμε να βρούμε τις καταστατικές εξισώσεις του συστήματος εάν μας έχει δοθεί η συνάρτηση μεταφοράς G(s); <<<17.5>>> ###From Transfer Function to State Space Representation###

14 Μετασχηματισμός Δίνεται G(s) = B(s)/A(s). Τότε μπορούμε να γράψουμε
Παρατηρούμε ότι

15 Μετασχηματισμός Επιλέγουμε τις xi(t) = vi(t) για καταστατικές μεταβλητές και έτσι έχουμε Το παρόν μοντέλο έχει μια ειδική μορφή, που ονομάζεται κανονικοποιημένη.

16 Ελεγξιμότητα Πολλές φορές αναρωτιέται κανείς εάν είναι δυνατό να μεταφερθεί η κατάσταση ενός συστήματος σε συγκεκριμένα σημεία του καταστατικού χώρου. Η ιδιότητα αυτή του συστήματος ονομάζεται ελεγξιμότητα (controllability). Συναφής έννοια είναι η σταθεροποίηση (stabilization). <<<17.6>>> ###Controllability and Stabilizability###

17 Ελεγξιμότητα Η ιδέα της ελεγξιμότητας έχει σχέση με τη μετάβαση μιας κατάστασης x0 στη μηδενική κατάσταση μέσα σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα χρησιμοποιώντας την είσοδο u(t). Ορισμός 4.1: Μια κατάσταση x0 ονομάζεται ελέγξιμη εάν για πεπερασμένο χρονικό διάστημα [0, T] και είσοδο {u(t), t  [0, T]} έχουμε ότι x(T) = 0. Εάν όλες οι καταστάσεις είναι ελέγξιμες τότε το σύστημα ονομάζεται πλήρως ελέγξιμο .

18 Προσπελασιμότητα Ορισμός 4.2: Μια κατάσταση ονομάζεται προσπελάσιμη από την μηδενική κατάσταση εάν, με x(0) = 0, υπάρχει διάστημα [0, T] και μια είσοδος {u(t), t  [0, T]} έτσι ώστε Εάν όλες οι καταστάσεις είναι προσπελάσιμες, τότε το σύστημα ονομάζεται πλήρως προσπελάσιμο .

19 Ελεγξιμότητα και Προσπελασιμότητα
Για παράδειγμα, έχουμε το παρακάτω σύστημα διακριτού-χρόνου: Το σύστημα είναι πλήρως ελέγξιμο διότι η κατάστασή του πηγαίνει αμέσως στη μηδενική, αλλά δεν είναι πλήρως προσπελάσιμο. Σημειώνεται ότι Ελεγξιμότητα =Προσπελασιμότητα για συστήματα συνεχούς – χρόνου.

20 Ελεγξιμότητα Η δοκιμή για το αν ή όχι είναι ένα σύστημα ελέγξιμο γίνεται με τη βοήθεια ενός πολύ γνωστού αποτελέσματος της γραμμικής άλγεβρας που ονομάζεται θεώρημα των Cayley-Hamilton.

21 Ελεγξιμότητα Θεώρημα 4.1: (Cayley-Hamilton theorem). Εάν
τότε ο πίνακας Α ικανοποιεί την παρακάτω εξίσωση

22 Ελεγξιμότητα Theorem 17.2: Δίνεται το καταστατικό μοντέλο Έχουμε ότι
(i) Το σύνολο των ελέγξιμων καταστάσεων βρίσκεται στο χώρο τιμών του πίνακα ελεγξιμότητας c[A, B], όπου (ii) Το μοντέλο είναι πλήρως ελέγξιμο εάν και μόνον εάν rank Γc [Α,Β]= n, όπου c[A, B] είναι πλήρους row rank.

23 Παράδειγμα 1 Δίνεται το μοντέλο χώρου καταστάσεων
Ο πίνακας ελεγξιμότητας είναι Είναι προφανές ότι rank c[A, B] = 2 και άρα το σύστημα είναι πλήρως ελέγξιμο.

24 Παράδειγμα 2 Για ο πίνακας ελεγξιμότητας δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: Rank c[A, B] = 1 < 2 και συνεπώς το σύστημα δεν είναι πλήρως ελέγξιμο .

25 Ελεγξιμότητα Το παραπάνω δ-μοντέλο είναι απλό και για αυτό το λόγο και μόνο χρησιμοποιήθηκε. Τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν και για συστήματα συνεχούς-χρόνου καθώς επίσης και για συστήματα διακριτού-χρόνου, όπως το σύστημα μετατόπισης (shift).

26 Ελεγξιμότητα Η πλήρης ελεγξιμότητα είναι μια ξεκάθαρη υπόθεση, διότι είτε το σύστημα είναι πλήρως ελέγξιμο είτε όχι. Εάν το σύστημα είναι μη-ελέγξιμο τότε έχουμε πολύτιμη πληροφορία για το σύστημα. Αντίθετα, όταν ένα σύστημα είναι ελέγξιμο, τότε δεν γνωρίζουμε τον βαθμό ελεγξιμότητάς του, δηλαδή τη δυσκολία υλοποίησης κάποιου κριτηρίου βελτιστότητας ή επίδοσης.

27 Ελεγξιμότητα Εάν ένα σύστημα δεν πλήρως ελέγξιμο, τότε είναι δυνατό να γραφεί σαν το “άθροισμα” δυο υπο-συστημάτων, ένα εκ των οποίων είναι ελέγξιμο (controllable) ενώ το άλλο είναι μη-ελέγξιμο (uncontrollable).

28 Αποσύνθεση Λήμμα 4.1: Δίνεται σύστημα με rank{c[A, B]} = k < n. Τότε υπάρχει μετασχηματισμός ισοδυναμίας T όπου και έχουν την παρακάτω μορφή: όπου έχει διάσταση= k και είναι πλήρως ελέγξιμο.

29 Αποσύνθεση Δίνεται το παρακάτω σύστημα σε αποσύνθεση:

30 Αποσύνθεση Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η ανάλυση του συστήματος στα επιμέρους στοιχεία του. Σχήμα 4.1: Αποσύνθεση συστήματος

31 Αποσύνθεση Παρατηρούμε ότι όταν σχεδιάζουμε σύστημα με μη-ελέγξιμο μέρος, τότε πρέπει να δόσουμε ιδιαίτερη προσοχή διότι η έξοδος έχει συστατικό το οποίο δεν εξαρτάται από την είσοδο u[k], την οποία φυσικά μπορούμε να ελέγξουμε.

32 Ελεγξιμότητα Ο μη-ελέγξιμος υπόχωρος συστήματος, που περιγράφεται με καταστατικές εξισώσεις, αποτελείται από όλες τις καταστάσεις που είναι ο γραμμικός συνδυασμός των κατραστάσεων που ανήκουν στο Η σταθερότητα του συγκεκριμένου υπόχωρου καθορίζεται από τις ιδιοτιμές του πίνακα Anc.

33 Σταθερότητα Γραμμικό σύστημα, το οποίο περιγράφεται μέσα από τις καταστατικές του εξισώσεις, ονομάζεται σταθεροποιημένο (stabilizable), εάν ο μη-ελέγξιμος υπόχωρός του είναι ευσταθής (stable).

34 Κανονικοποιημένη μορφή ελεγξιμότητας
Lemma 4.2: Έστω πλήρως ελέγξιμο γραμμικό σύστημα. Τότε υπάρχει ισοδύναμος μετασχηματισμός τέτοιος ώστε το γραμμικό σύστημα να μετατρέπεται στην παρακάτω μορφή κανονικοποιημένης ελεγξιμότητας:

35 Κανονικοποιημένη μορφή ελεγξιμότητας
όπου n+n-1n-1+ …+ 1+0 = det(I - A) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α.

36 Κανονικοποιημένη μορφή ελεγκτή
Λήμμα 4.3: Έστω πλήρως ελέγξιμο γραμμικό σύστημα. Τότε υπάρχει ισοδύναμος μετασχηματισμός τέτοιος ώστε το γραμμικό σύστημα να μετατρέπεται στην παρακάτω μορφή κανονικοποιημένου ελεγκτή:

37 Κανονικοποιημένη μορφή ελεγκτή
όπου n+n-1n-1+ …+ 1+0 = det(I - A) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α.

38 Μη ελέγξιμα συστήματα Είναι κοινή πρακτική κατά το σχεδιασμό συστημάτων να χρησιμοποιείται μη-ελέγξιμο μοντέλο, διότι μπορεί να περιγράψει επαρκώς διαφορετικές περιπτώσεις εισόδου. Για παράδειγμα, ένα σύστημα με σταθερή είσοδο περιγράφεται με το μοντέλο το οποίο είναι μη-ελέγξιμο και συνεπώς, μη σταθεροποιήσιμο.

39 Παρατηρησιμότητα Δίνεται το παρακάτω απλοϊκό μοντέλο:
<<<17.7>>> ###Observability and Detectability###

40 Παρατηρησιμότητα Ορισμός 17.6: Μια κατάσταση x0  0 ονομάζεται μη-παρατηρήσιμη εάν για κάθε x(0) = x0 και u[k] = 0 όπου k  0, τότε y[k] = 0 για όλα τα k  0. Το σύστημα ονομάζεται πλήρως παρατηρήσιμο εάν δεν υπάρχει μη-παρατηρήσιμη αρχική κατάσταση.

41 Παρατηρησιμότητα Θεώρημα 4.3: Έστω σύστημα
Θεώρημα 4.3: Έστω σύστημα (i) Το σύνολο των μη-παρατηρήσιμων καταστάσεων είναι ίσο με το μηδενικό υπόχωρο του πίνακα παρατηρησιμότητας 0[A, C], όπου

42 Παρατηρησιμότητα (ii) Το σύστημα είναι πλήρως παρατηρήσιμο εάν και μόνον εάν 0[A, C] έχει full column rank n.

43 Παράδειγμα 3 Δίνεται το παρακάτω σύστημα: Υπολογίζουμε
Συνεπώς rank 0[A, C] = 2, και το σύστημα είναι πλήρως παρατηρήσιμο.

44 Παράδειγμα 4 Δίνεται το παρακάτω σύστημα: Άρα
Επειδή rank 0[A, C] = 1 < 2, το σύστημα δεν είναι πλήρως παρατηρήσιμο.

45 Δυϊκότητα Θεώρημα 4.4 (Δυϊκότητας -Duality).
Δίνεται μοντέλο συστήματος που περιγράφεται με τις καταστατικές εξισώσεις, δηλαδή την τετράδα (A, B, C, D). Το σύστημα είναι πλήρως ελέγξιμο εάν και μόνον εάν το δυϊκό του σύστημα (AT, CT, BT, DT) είναι πλήρως παρατηρήσιμο.

46 Παρτηρησιμότητα και Αποσύνθεση
Λήμμα 4.4: Εάν rank{0[A, C]} = k < n, τότε υπάρχει μετασχηματισμός T έτσι ώστε και όπου έχει διάσταση ίση με k και το ζευγάρι είναι πλήρως παρατηρήσιμο.

47 Αποσύνθεση Συστήματος-Παρατηρησιμότητα
Δίνεται σύστημα (state-space form) στην παρακάτω μετασχηματισμένη μορφή (transformed format), η οποία ονομάζεται μορφή αποσύνθεσης παρατηρησιμότητας:

48 Σχήμα 4.2: Αποσύνθεση συστήματος στην παρατηρήσιμη και μη-παρατηρήσιμη μορφή του

49 Παρατηρησιμότητα Παρατήρηση : Ο παρατηρήσιμος υπόχωρος ενός συστήματος αποτελείται από όλες τις καταστάσεις που είναι ο γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων που ανήκουν στο . Η σταθερότητα αυτού του υπόχωρου καθορίζεται από τη θέση των ιδιοτιμών του

50 Η κανονικοποιημένη μορφή του παρατηρητή
Λήμμα 4.5: Έστω πλήρως παρατηρήσιμο ΜΕΜΕ σύστημα (SISO system) που περιγράφεται από Υπάρχει μετασχηματισμός Τ που το μετατρέπει στην κανονικοιημένη του μορφή παρατηρητή (canonical observer form):

51 Η κανονικοποιημένη μορφή του παρατηρητή

52 Θεώρημα Κανονικοποιημένης Αποσύνθεσης
Θεώρημα 4.5: Δίνεται σύστημα που περιγράγεται με τις καταστατικές του εξισώσεις. Υπάρχει μετασχηματισμός ισοδυναμίας T έτσι ώστε το μετασχηματισμένο μοντέλο παίρνει τη μορφή

53 Θεώρημα Κανονικοποιημένης Αποσύνθεσης
όπου (i) Το υπο-σύστημα είναι και πλήρως ελέγξιμο και πλήρως παρατηρήσιμο, και έχει την ίδια συνάρτηση μεταφοράς με το αρχικό σύστημα.

54 Θεώρημα Κανονικοποιημένης Αποσύνθεσης
(ii) το υπο-σύστημα είναι πλήρως ελέγξιμο.

55 Θεώρημα Κανονικοποιημένης Αποσύνθεσης
(iii) το υπο-σύστημα είναι πλήρως παρατηρήσιμο.

56 Συνάρτηση Μεταφοράς Λήμμα 4.6: Δίνεται ο πίνκας συνάρτησης μεταφοράς H(s) συστήματος Ισχύει όπου και αντιστοιχούν στα παρατηρήσιμα και ελέγξιμα μέρη του συστήματος.

57 Σχόλια Από το παραπάνω Λήμμα παρατηρούμε ότι τα μη-ελέγξιμα και μη-παρατηρήσιμα μέρη ενός συστήματος δεν περιλαμβάνονται στον πίνακα της συνάρτησης μεταφοράς. Αντίστροφα, από τη συνάρτηση μεταφοράς συστήματος μπορούμε να κατασκευάσουμε καταστατικό μοντέλο το οποίο να είναι ελέγξιμο και παρατηρήσιμο. Η παραπάνω καταστατική μορφή ονομάζεται ελάχιστη υλοποίηση (minimal realization).

58 Σχόλια Η ελεγξιμότητα εξαρτάται από την είσοδο. Με άλλα λόγια, ένα σύστημα μπορεί να είναι πλήρως ελέγξιμο για μια είσοδο και μη-ελέγξιμο για μια άλλη. Η διαφορά αυτή είναι πολύ σημαντική για τη σχεδίαση των συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου διότι πολλές φορές δεν μπορούμε να ελέγξουμε όλες τις εισόδους που προσάγονται σε ένα μεγάλο σύστημα (system plant).

59 Σχόλια Παρόμοια, η παρατηρησιμότητα εξαρτάται από τις εξόδους του συστήματος. Μερικές καταστάσεις του μπορεί να είναι μη-παρατηρήσιμες για μια έξοδο και πλήρως παρατηρήσιμες για μια άλλη. Η παρατηρησιμότητα παίζει σπουδαίο ρόλο στη σχεδίαση συστημάτων ανάδρασης-εξόδου (output-feedback) διότι μερικές καταστάσεις μπορεί να μην είναι παρατηρήσιμες στην έξοδο, αλλά μπορεί να είναι σημαντικές σαν καταστατικές μεταβλητές και άρα ο έλεγχος τους συστήματος να εξαρτάται (και) από αυτές.

60 (Πολύ) Σύντομη Περίληψη
Καταστατικά μοντέλα γραμμικών και χρονικά αναλλοίωτων συστημάτων: Συνεχούς-χρόνου Διακριτού-χρόνου (shift form) Διακριτού-χρόνου (delta form)