Εισαγωγή στη Ρομποτική

Παρουσίαση με θέμα: "Εισαγωγή στη Ρομποτική"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Εισαγωγή στη Ρομποτική
Ενότητα 6: Δυναμικές Εξισώσεις Τζες Αντώνιος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

2 Σκοποί ενότητας Εξαγωγή δυναμικών εξισώσεων σε ρομποτικούς βραχίονες

3 Περιεχόμενα ενότητας Εξισώσεις Euler-Lagrange
Κινητική και δυναμική ενέργεια Δυναμικές εξισώσεις κίνησης

4 Εξισώσεις Euler-Lagrange (1/11)
Γενικά υπάρχουν δύο μέθοδοι ανάλυσης της κίνησης επιμέρους τμημάτων ύλης Καταστρώνουμε διαφορικές εξισώσεις κίνησης για κάθε τμήμα ύλης και καθορίζουμε τους κατάλληλους περιορισμούς για να συμπεριλάβουμε τη μεταξύ τους αλληλεπίδραση Δημιουργούμε μία μέθοδο ανάλυσης στην οποία δε χρειάζεται να γνωρίζουμε τη δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων Ένας περιορισμός στις 𝑘 συντεταγμένες 𝑟 1 , 𝑟 2 ,…, 𝑟 𝑘 καλείται ολονομικός όταν έχει τη μορφή και μη ολονομικός σε κάθε άλλη περίπτωση

5 Εξισώσεις Euler-Lagrange (2/11)
Παράδειγμα πρώτης μεθόδου Έστω ότι δύο σωματίδια ενώνονται με μία ράβδο σταθερού σχήματος Οι συντεταγμένες 𝑟 1 και 𝑟 2 των σωματιδίων οφείλουν να ικανοποιούν τη σχέση Παράδειγμα δεύτερης μεθόδου Ένα σωματίδιο κινείται μέσα σε σφαίρα ακτίνας 𝜌 με κέντρο της την αρχή του συστήματος συντεταγμένων Το διάνυσμα 𝑟 του σωματιδίου οφείλει να ικανοποιεί τον περιορισμό

6 Εξισώσεις Euler-Lagrange (3/11)
Εκφράζουμε τις συντεταγμένες των σωματιδίων σε σχέση με 𝑛 γενικευμένες συντεταγμένες 𝑞 1 , 𝑞 2 ,…, 𝑞 𝑛 Έστω τα σημεία με συντεταγμένες όπου τα 𝑞 1 , 𝑞 2 ,…, 𝑞 𝑛 είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους Για υποθετικές μετατοπίσεις 𝛿𝑟 𝑖 από τις 𝑟 𝑖 συντεταγμένες ισχύει ότι

7 Εξισώσεις Euler-Lagrange (4/11)
Αν κάθε σωματίδιο βρίσκεται σε ισορροπία τότε η συνισταμένη δύναμη στο σωματίδιο είναι ίση με το μηδέν Το άθροισμα του έργου για κάθε μετατόπιση 𝛿𝑟 𝑖 είναι μηδέν όπου 𝐹 𝑖 είναι η συνισταμένη δύναμη στο σωματίδιο Η δύναμη 𝐹 𝑖 αποτελείται από δύο συνιστώσες: την εξωτερικά ασκούμενη δύναμη 𝑓 𝑖 και τη δύναμη από αλληλεπιδράσεις 𝑓 𝑖 (𝑎)

8 Εξισώσεις Euler-Lagrange (5/11)
Υποθέτουμε ότι το ολικό έργο που παράγεται από τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης είναι μηδέν Η υπόθεση ισχύει όταν η δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο σωματιδίων ασκείται κατά μήκος του διανύσματος που τα συνδέει Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες εξισώσεις έχουμε

9 Εξισώσεις Euler-Lagrange (6/11)
Από την αρχή D’ Alembert μπορούμε να προσθέσουμε μία υποθετική δύναμη − 𝑝 𝑖 στο σωματίδιο 𝑖 για κάθε 𝑖 όπου 𝑝 𝑖 είναι η ορμή του αντίστοιχου σωματιδίου Σε αυτή την περίπτωση κάθε σωματίδιο θα βρίσκεται σε ισορροπία Αντικαθιστούμε το 𝐹 𝑖 με 𝐹 𝑖 − 𝑝 𝑖 και έχουμε

10 Εξισώσεις Euler-Lagrange (7/11)
Όρος Το έργο που παράγεται από τις δυνάμεις 𝑓 𝑖 δίνεται από τη σχέση Ορίζουμε την 𝑗-οστή γενικευμένη δύναμη ως

11 Εξισώσεις Euler-Lagrange (8/11)
Όρος

12 Εξισώσεις Euler-Lagrange (9/11)

13 Εξισώσεις Euler-Lagrange (10/11)
Η εξίσωση γίνεται Εφόσον οι μετατοπίσεις 𝛿𝑞 𝑖 είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους έχουμε

14 Εξισώσεις Euler-Lagrange (11/11)
Αν υποθέσουμε και μία δύναμη από πεδίο δυναμικού τότε έχουμε Η ποσότητα 𝐿=𝐾−𝑉 καλείται Lagrangian Η συνάρτηση 𝑉 αναπαριστά τη δυναμική ενέργεια

15 Κινητική και δυναμική ενέργεια (1/9)
Για σώμα μάζας 𝑚 και πυκνότητας 𝜌 το οποίο αποτελείται από συνεχόμενα σωματίδια ισχύει η σχέση όπου το 𝐵 συμβολίζει την περιοχή του τρισδιάστατου χώρου την οποία καταλαμβάνει το αντικείμενο Η κινητική ενέργεια δίνεται ως

16 Κινητική και δυναμική ενέργεια (2/9)
Εκφράζουμε όλα τα μεγέθη ως προς το κέντρο μάζας του αντικειμένου Το κέντρο μάζας έχει συντεταγμένες Σε πιο συμπαγή μορφή μπορούμε να γράψουμε όπου τα διανύσματα 𝑟 𝑐 και 𝑟 συμβολίζουν τη θέση στον τρισδιάστατο χώρο του κέντρου μάζας και ενός οποιουδήποτε σημείου στο σώμα αντίστοιχα

17 Κινητική και δυναμική ενέργεια (3/9)
Θεωρούμε ότι έχουμε προσκολλημένο στο κέντρο μάζας ένα σύστημα συντεταγμένων με την αρχή του στο κέντρο μάζας Καθώς το σώμα κινείται η ταχύτητα ενός σημείου του σώματος δίνεται από τη σχέση Εκφράζουμε την ταχύτητα του σημείου ως προς το κινούμενο σύστημα συντεταγμένων ως Η κινητική ενέργεια γράφεται ως

18 Κινητική και δυναμική ενέργεια (4/9)
Όρος 1ος Όρος 2ος διότι Όρος 3ος Όρος 4ος

19 Κινητική και δυναμική ενέργεια (5/9)
Για δύο πίνακες 𝛢 και 𝐵 ισχύει ότι 𝑇𝑟 𝐴𝐵 =𝑇𝑟(𝐵𝐴) Για δύο διανύσματα 𝑎 και 𝑏 ισχύει ότι 𝑎 𝑇 𝑏=𝑇𝑟(𝑎 𝑏 𝑇 )

20 Κινητική και δυναμική ενέργεια (6/9)
Πλήρης μορφή του πίνακα 𝐽 Με αντικατάσταση έχουμε

21 Κινητική και δυναμική ενέργεια (7/9)
Η ολική κινητική ενέργεια δίνεται από τη σχέση Το τριπλό γινόμενο 𝜔 𝛵 𝛪𝜔 είναι το ίδιο για κάθε σύστημα συντεταγμένων και το 𝛪 εκφράζεται στο σύστημα συντεταγμένων του αντικειμένου Η γωνιακή ταχύτητα 𝜔 πρέπει να εκφραστεί στο ίδιο σύστημα και ισχύει ότι 𝜔= 𝑅 𝑇 𝜔 0 όπου 𝑅 είναι ο πίνακας μετατροπής από το σύστημα συντεταγμένων του αντικειμένου στο σύστημα συντεταγμένων του κέντρου μάζας

22 Κινητική και δυναμική ενέργεια (8/9)
Με τις κατάλληλες Ιακωβιανές μήτρες 𝐽 𝑣 𝑐𝑖 και 𝐽 𝜔 𝑖 έχουμε Η ολική κινητική ενέργεια δίνεται ως

23 Κινητική και δυναμική ενέργεια (9/9)
Για το στοιχειώδες σωματίδιο που βρίσκεται στο 𝑟 πάνω στο αντικείμενο η δυναμική ενέργεια είναι 𝑔 𝑇 𝑟𝑑𝑚 Η ολική δυναμική ενέργεια δίνεται από τη σχέση

24 Δυναμικές εξισώσεις κίνησης (1/8)
Για ένα ρομποτικό βραχίονα ισχύει ότι η κινητική ενέργεια είναι τετραγωνική συνάρτηση του διανύσματος 𝑞 και η δυναμική ενέργεια είναι ανεξάρτητη του 𝑞 Ο πίνακας 𝐷(𝑞) καλείται πίνακας αδράνειας και είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος για κάθε 𝑞 Οι εξισώσεις Euler-Lagrange για ένα ρομποτικό σύστημα παράγονται ως

25 Δυναμικές εξισώσεις κίνησης (2/8)

26 Δυναμικές εξισώσεις κίνησης (3/8)

27 Δυναμικές εξισώσεις κίνησης (4/8)
Ορίζουμε τα σύμβολα Cristoffel ως Ορίζουμε την ποσότητα Οι εξισώσεις Euler-Lagrange γράφονται ως

28 Δυναμικές εξισώσεις κίνησης (5/8)
Οι όροι που περιέχουν γινόμενο του τύπου 𝑞 𝑖 2 λέγονται centrifugal και οι όροι που περιέχουν γινόμενο του τύπου 𝑞 𝑖 𝑞 𝑗 με 𝑖≠𝑗 λέγονται Coriolis Οι εξισώσεις Euler-Lagrange γράφονται σε μορφή πίνακα ως

29 Δυναμικές εξισώσεις κίνησης (6/8)
Θεώρημα: Ο πίνακας 𝑁 𝑞, 𝑞 = 𝐷 𝑞 −2𝐶 𝑞, 𝑞 είναι skew symmetric, το οποίο σημαίνει ότι τα στοιχεία 𝑛 𝑗𝑘 του 𝑁 ικανοποιούν τη σχέση 𝑛 𝑗𝑘 =− 𝑛 𝑘𝑗 Απόδειξη: Δεδομένου του πίνακα αδράνειας 𝐷(𝑞) το 𝑘𝑗 στοιχείο του 𝐷 𝑞 δίνεται από τον διαδοχικό κανόνα ως

30 Δυναμικές εξισώσεις κίνησης (7/8)
Απόδειξη: Επομένως το 𝑘𝑗 στοιχείο του 𝑁= 𝐷 −2𝐶 δίνεται ως Εφόσον ο πίνακας 𝐷(𝑞) είναι συμμετρικός (𝑑 𝑖𝑗 = 𝑑 𝑗𝑖 ) συνεπάγεται ότι 𝑛 𝑗𝑘 =− 𝑛 𝑘𝑗 το οποίο και θέλαμε να αποδείξουμε

31 Δυναμικές εξισώσεις κίνησης (8/8)
Ειδική περίπτωση έχουμε όταν ο πίνακας αδράνειας είναι διαγώνιος και ανεξάρτητος από το 𝑞 Στην περίπτωση αυτή η ποσότητα 𝑑 𝑘𝑗 είναι μη μηδενική μόνο όταν 𝑘=𝑗 οπότε και λαμβάνουμε την αποζευγμένη μορφή

32 Εικόνα 1: Ρομπότ 2 βαθμών ελευθερίας με πρισματικούς συνδέσμους
Παράδειγμα 6.1 (1/5) Έστω το ρομπότ του παρακάτω σχήματος Εικόνα 1: Ρομπότ 2 βαθμών ελευθερίας με πρισματικούς συνδέσμους

33 Παράδειγμα 6.1 (2/5) Το ρομπότ αποτελείται από 2 βραχίονες και 2 πρισματικούς συνδέσμους με μάζες 𝑚 1 και 𝑚 2 αντίστοιχα Οι μετατοπίσεις των δύο συνδέσμων συμβολίζονται με 𝑞 1 και 𝑞 2 αντίστοιχα Η δυναμική ενέργεια είναι συνάρτηση μόνο των 𝑞 1 και 𝑞 2 Η Ιακωβιανή της γωνιακής ταχύτητας είναι μηδενική εφόσον έχουμε μόνο πρισματικούς συνδέσμους

34 Παράδειγμα 6.1 (3/5) Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των βραχιόνων δίνονται ως

35 Παράδειγμα 6.1 (4/5) Η κινητική ενέργεια δίνεται ως
Η δυναμική ενέργεια δίνεται ως

36 Παράδειγμα 6.1 (5/5) Τα διανύσματα 𝜑 δίνονται ως
Τελικά έχουμε την εξίσωση

37 Εικόνα 2: Ρομπότ 2 βαθμών ελευθερίας με περιστροφικούς συνδέσμους
Παράδειγμα 6.2 (1/6) Έστω το ρομπότ του παρακάτω σχήματος Εικόνα 2: Ρομπότ 2 βαθμών ελευθερίας με περιστροφικούς συνδέσμους

38 Παράδειγμα 6.2 (2/6) Ορίζουμε τις γωνίες των συνδέσμων 1 και 2 ως 𝑞 𝑖 με 𝑖=1,2 Η μάζα και το μήκος του 𝑖-οστού βραχίονα ορίζονται ως 𝑚 𝑖 και 𝑙 𝑖 αντίστοιχα Η απόσταση από τον προηγούμενο βραχίονα μέχρι το κέντρο μάζας του 𝑖-οστού βραχίονα ορίζεται ως 𝑙 𝑐𝑖 Η ροπή αδράνειας του 𝑖-οστού βραχίονα γύρω από τον άξονα που είναι κάθετος στην περιστροφική του κίνηση και διέρχεται από το κέντρο μάζας του ορίζεται ως 𝛪 𝑖

39 Παράδειγμα 6.2 (3/6)

40 Παράδειγμα 6.2 (4/6) Η κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης δίνεται ως Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης δίνεται ως

41 Παράδειγμα 6.2 (5/6)

42 Παράδειγμα 6.2 (6/6)

43 Παράδειγμα 6.3 (1/4) Έστω το ρομπότ του παρακάτω σχήματος Ο δεύτερος βραχίονας κινείται «απομακρυσμένα» Εικόνα 3: Ρομποτικός βραχίονας 2 βαθμών ελευθερίας με απομακρυσμένη κίνηση

44 Παράδειγμα 6.3 (2/4)

45 Παράδειγμα 6.3 (3/4)

46 Παράδειγμα 6.3 (4/4)

47 Εικόνα 4: Ρομποτικός βραχίονας 5 συνδέσμων
Παράδειγμα 6.4 (1/5) Έστω το ρομπότ του παρακάτω σχήματος Εικόνα 4: Ρομποτικός βραχίονας 5 συνδέσμων

48 Παράδειγμα 6.4 (2/5) Αν οι παράμετροι του ρομποτικού βραχίονα ικανοποιούν μια απλή σχέση τότε οι εξισώσεις είναι αποζευγμένες και οι ποσότητες 𝑞 1 και 𝑞 2 μπορούν να ελεγχθούν ανεξάρτητα η μία από την άλλη Γράφουμε τα κέντρα μάζας των βραχιόνων σαν συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων

49 Παράδειγμα 6.4 (3/5) Ο πίνακας αδράνειας είναι
Με αντικατάσταση λαμβάνουμε τους επιμέρους όρους ως Αν ισχύει η σχέση 𝑚 3 𝑙 2 𝑙 𝑐3 = 𝑚 4 𝑙 1 𝑙 𝑐4 τότε ο πίνακας αδράνειας είναι διαγώνιος και σταθερός και οι δυναμικές εξισώσεις δεν περιλαμβάνουν Coriolis και centrifugal όρους

50 Παράδειγμα 6.4 (4/5) Δυναμική ενέργεια
Παρατηρούμε το 𝜑 1 εξαρτάται μόνο από το 𝑞 1 και το 𝜑 2 μόνο από το 𝑞 2

51 Παράδειγμα 6.4 (5/5) Εφόσον ισχύει η σχέση 𝑚 3 𝑙 2 𝑙 𝑐3 = 𝑚 4 𝑙 1 𝑙 𝑐4 το ρομπότ περιγράφεται από το ακόλουθο σετ αποζευγμένων εξισώσεων

52 Τέλος Ενότητας

53 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

54 Σημειώματα

55 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου
Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0

56 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Τζες Αντώνιος. «Εισαγωγή στη Ρομποτική. Δυναμικές Εξισώσεις». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

57 Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λπ., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Σύμφωνα με αυτήν την άδεια ο δικαιούχος σας δίνει το δικαίωμα να: Μοιραστείτε — αντιγράψετε και αναδιανέμετε το υλικό Προσαρμόστε — αναμείξτε, τροποποιήστε και δημιουργήστε πάνω στο υλικό για κάθε σκοπό Υπό τους ακόλουθους όρους: Αναφορά Δημιουργού — Θα πρέπει να καταχωρίσετε αναφορά στο δημιουργό , με σύνδεσμο της άδειας Παρόμοια Διανομή — Αν αναμείξετε, τροποποιήσετε, ή δημιουργήσετε πάνω στο υλικό, πρέπει να διανείμετε τις δικές σας συνεισφορές υπό την ίδια άδεια όπως και το πρωτότυπο

58 Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη Δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

59 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνα 1: Ρομπότ 2 βαθμών ελευθερίας με πρισματικούς συνδέσμους, Ίδιο έργο Εικόνα 2: Ρομπότ 2 βαθμών ελευθερίας με περιστροφικούς συνδέσμους, Ίδιο έργο Εικόνα 3: Εικόνα 3: Ρομποτικός βραχίονας 2 βαθμών ελευθερίας με απομακρυσμένη κίνηση, Ίδιο έργο Εικόνα 4: Ρομποτικός βραχίονας 5 συνδέσμων, Ίδιο έργο