Ενότητα 7: Ημιλογαριθμικά - Λογαριθμικά διαγράμματα Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ.

Παρουσίαση με θέμα: "Ενότητα 7: Ημιλογαριθμικά - Λογαριθμικά διαγράμματα Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Ενότητα 7: Ημιλογαριθμικά - Λογαριθμικά διαγράμματα Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ & ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Πηγή: flickrflickr Πηγή: wikimediawikimedia Πηγή: pixabaypixabay

5 ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Πηγή: wikimediawikimedia ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Απεικόνιση της ευαισθησίας της ανθρώπινης ακοής (20Hz έως 20.000Hz). Όταν θέλουμε να παραστήσουμε τη μεταβολή ενός μεγέθους συναρτήσει κάποιου άλλου, του(-ων) οποίου(-ων) οι τιμές κυμαίνονται σε πολλές τάξεις μεγέθους, δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε το απλό χιλιοστομετρικό χαρτί! ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Μεταβολή της ειδικής ηλεκτρικής αγωγιμότητας του σύνθετου υλικού εποξειδικής ρητίνης/ZnO συναρτήσει της συχνότητας, στη θερμοκρασία των -90°C.

6 ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Στις περιπτώσεις όπου η συνάρτηση η οποία συνδέει μεταξύ τους δύο μεγέθη x και y είναι εκθετική: τότε για την εξαγωγή συμπερασμάτων από τη γραφική παράσταση ενδείκνυται η “γραμμικοποίηση” της σχέσης αυτής, δηλαδή: Άρα μπορούμε να παραστήσουμε γραφικά το lny συναρτήσει του x σε δεκαδικό σύστημα αξόνων ή ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ να παραστήσουμε το y συναρτήσει του x σε διάγραμμα όπου ο άξονας y ΔΕΝ είναι δεκαδικός αλλά υποδιαιρείται σε διαστήματα ανάλογα του λογαρίθμου, ενώ ο άξονας των x είναι δεκαδικός. Ένα τέτοιο διάγραμμα λέγεται ημιλογαριθμικό!

7 ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Υπόδειγμα Ημιλογαριθμικού χαρτιού με 3 “κύκλους” 0,1 1 10 100 0 2003004005006007008009001000 Ημιλογαριθμικό Χαρτί

8 Το ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ διάγραμμα: Χρησιμοποιείται για συναρτήσεις της μορφής: Δεν υπάρχει η τιμή μηδέν στον λογαριθμικό άξονα των y : ln(0)→-  Για τον υπολογισμό της ΚΛΙΣΗΣ της ευθείας: – Βρίσκω δύο ζεύγη (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) της ευθείας (όχι πειραματικά σημεία) – Η κλίση b προσδιορίζεται από το πηλίκο: – Η τιμή της τεταγμένης επί την αρχή (Α) είναι ίση με την τιμή του y για x=0. – Σε ότι αφορά τις μονάδες της κλίσης, προφανώς θα είναι: ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

9 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Πηγή: wikimediawikimedia Στις περιπτώσεις όπου η συνάρτηση η οποία συνδέει μεταξύ τους δύο μεγέθη x και y είναι δυναμική: τότε για την εξαγωγή συμπερασμάτων από τη γραφική παράσταση ενδείκνυται η “γραμμικοποίηση” της σχέσης αυτής, δηλαδή: Άρα μπορούμε να παραστήσουμε γραφικά το logy συναρτήσει του logx σε δεκαδικό σύστημα αξόνων ή ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ να παραστήσουμε το y συναρτήσει του x σε διάγραμμα όπου οι άξονες x και y ΔΕΝ είναι δεκαδικοί αλλά υποδιαιρούνται σε διαστήματα ανάλογα του λογαρίθμου ! Ένα τέτοιο διάγραμμα λέγεται λογαριθμικό!

10 Υπόδειγμα Λογαριθμικού χαρτιού με 5 “κύκλους” στον άξονα x και 4 “κύκλους” στον άξονα y. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

11 Το ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ διάγραμμα: Χρησιμοποιείται για σχέσεις της μορφής: Δεν υπάρχει το σημείο (0,0) στο διάγραμμα: log(0)→-  Για τον υπολογισμό της ΚΛΙΣΗΣ της ευθείας: – Βρίσκω δύο ζεύγη (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) της ευθείας (όχι πειραματικά σημεία). Η κλίση b προσδιορίζεται από το πηλίκο: – Η τιμή της τεταγμένης επί την αρχή (Α) είναι ίση με την τιμή του y για x=1 ( διότι log(1)=0). – Σε ότι αφορά τις μονάδες της κλίσης, προφανώς η κλίση θα είναι ΚΑΘΑΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

12 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: Κατά τη διάρκεια εκφόρτισης πυκνωτή μέσω αντίστασης R=2000Ω, ελήφθησαν μετρήσεις του ρεύματος i συναρτήσει του χρόνου t. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων φαίνονται στον πίνακα. Αφού πρώτα επιβεβαιώσετε ότι τα πειραματικά σημεία ακολουθούν πράγματι τη σχέση (1), ακολούθως να προσδιορίσετε τη σταθερά χρόνου τ=RC του κυκλώματος, καθώς και τη χωρητικότητα C του πυκνωτή. t ( 10 -3 s )i ( 10 -3 A ) 0.05.00 1.03.03 2.01.84 3.01.12 4.00.68 5.00.41 6.00.25 7.00.15 8.00.09 9.00.06 10.00.03

13 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Παρατήρηση: Αν τοποθετήσουμε τις πειραματικές τιμές t και i σε δεκαδικό διάγραμμα, προκύπτει - όπως είναι αναμενόμενο - μια φθίνουσα εκθετική καμπύλη!

14 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ t (x10 -3 s)i (x10 -3 A)lni 0.05.00-5.30 1.03.03-5.80 2.01.84-6.30 3.01.12-6.79 4.00.68-7.29 5.00.41-7.80 6.00.25-8.29 7.00.15-8.80 8.00.09-9.32 9.00.06-9.72 10.00.03-10.41 Α΄ τρόπος: Λογαριθμίζουμε ώστε να “γραμμικοποιήσουμε” τη σχέση και υπολογίζουμε τα lni. Πραγματοποιούμε σε δεκαδικές κλίμακες το διάγραμμα lni συναρτήσει του t.

15 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Α΄ τρόπος (συνέχεια):

16 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Α΄ τρόπος (συνέχεια):

17 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Β΄ τρόπος: Πραγματοποιούμε σε ημιλογαριθμικό χαρτί το διάγραμμα i συναρτήσει του t.

18 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Β΄ τρόπος (συνέχεια):

19 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Β΄ τρόπος (συνέχεια):

20 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

21 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2: Η παροχή νερού ενός σωλήνα ορισμένου μήκους και με δοσμένη διαφορά πίεσης στα άκρα του, εξαρτάται από την ακτίνα του R σύμφωνα με τη σχέση (1) όπου c και n σταθερές.

22 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2: Ελήφθησαν μετρήσεις της παροχής Π συναρτήσει της ακτίνας R του σωλήνα, και τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Αφού πρώτα επιβεβαιώσετε ότι τα πειραματικά σας σημεία ακολουθούν τη σχέση (1), ακολούθως να υπολογίσετε τη σταθερά n. R (x10 -2 m)Π(10- 8 m 3 s -1 ) 0.5000.245 1.003.92 1.5019.8 2.0062.7 2.50153 3.00317 3.50588 4.001003 4.501607 5.002450

23 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Παρατήρηση: Αν τοποθετήσουμε τις πειραματικές τιμές R και Π σε δεκαδικό διάγραμμα, προκύπτει - όπως είναι αναμενόμενο - μια αύξουσα δυναμική καμπύλη!

24 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ R (x10 -2 m)Π (x10- 8 m 3 s -1 ) logRlogΠ 0.5000.245-2.30-8.61 1.003.92-2.00-7.41 1.5019.8-1.82-6.70 2.0062.7-1.70-6.20 2.50153-1.60-5.82 3.00317-1.52-5.50 3.50588-1.46-5.23 4.001003-1.40-5.00 4.501607-1.35-4.79 5.002450-1.30-4.61 Α΄ τρόπος: Λογαριθμίζουμε ώστε να “γραμμικοποιήσουμε” τη σχέση και υπολογίζουμε τα logR και logΠ. Πραγματοποιούμε σε δεκαδικές κλίμακες το διάγραμμα logR συναρτήσει του logΠ.

25 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Α΄ τρόπος (συνέχεια):

26 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Α΄ τρόπος (συνέχεια):

27 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Β΄ τρόπος: Πραγματοποιούμε σε λογαριθμικό χαρτί το διάγραμμα logΠ συναρτήσει του logR.

28 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ B΄ τρόπος (συνέχεια):

29 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ B΄ τρόπος (συνέχεια):

30 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ B΄ τρόπος (συνέχεια): Αρα: Και αφού κλίση=n άρα n=4,04

31 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις: 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008. 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008. εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

32 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά. «Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 7». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/ https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

33 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

34 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας