Λογισμός πιθανοτήτων Η μαθηματική τυποποίηση για τη διαχείριση του μέτρου πιθανότητας.

Παρουσίαση με θέμα: "Λογισμός πιθανοτήτων Η μαθηματική τυποποίηση για τη διαχείριση του μέτρου πιθανότητας."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Λογισμός πιθανοτήτων Η μαθηματική τυποποίηση για τη διαχείριση του μέτρου πιθανότητας

2 Τυχαία Μεταβλητή Μια συνάρτηση Χ:Ω  R λέγεται στοχαστική ή τυχαία μεταβλητή (Τ.Μ.), αν για κάθε γεγονός που ανήκει στη σ-άλγεβρα Βοοle, έχουμε Χ -1 (Α)  Ω Κατά συνέπεια ορίζουμε Ρ(Α)=Ρ(Χ -1 (Α)) Μονοδιάστατες και πολυδιάστατες Τ.Μ. Διακριτές και Συνεχείς Τ.Μ. Έστω ότι Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή. Αν ο αριθμός των δυνατών τιμών του Χ είναι πεπερασμένος ή απείρως αριθμήσιμος, ονομάζουμε την διακριτή τυχαία μεταβλητή. Δηλ. οι δυνατές τιμές της μπορούν να αριθμηθούν σαν x 1, x 2, …,x n. Έστω X μία διακριτή Τ.Μ. Ο δειγματοχώρος του πεδίου τιμών, στην περίπτωση αυτή, αποτελείται το πολύ από ένα απείρως αριθμήσιμο πλήθος τιμών x 1, x 2, …,x n. Σε κάθε δυνατό συμβάν x i αντιστοιχούμε έναν αριθμό p(x i )=P(X=x 1 ), ο οποίος καλείται πιθανότητα του. Οι αριθμοί αυτοί ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις α) p(x i )  o για όλα τα I β)

3 Η κατανομή Κατανομές ή Γενικευμένες Συναρτήσεις είναι οι συναρτήσεις εκείνες που καθιστούν διαφορίσιμες κάποιες συναρτήσεις που παρουσιάζουν μη διαφορισιμότητα σε ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος σημείων του πεδίου ορισμού των. Έχει αποδειχθεί ότι κάθε τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση έχει μια κατανεμημένη παράγωγο. Ένα γνωστό παράδειγμα τέτοιων συναρτήσεων είναι η δέλτα του Dirac.

4 Στη συνέχεια θα περιγραφούν με σύντομο τρόπο κατανομές Τ.Μ., οι οποίες είναι συναρτήσεις που παρουσιάζουν σημεία μη διαφορισιμότητας, αλλά είναι τοπικά ολοκληρώσιμες.

5 Κατανομή πιθανοτήτων Τ.Μ. Καλούμε κατανομή πιθανοτήτων της διακριτής Τ.Μ. Χ, το σύνολο των πιθανοτήτων Ρ[Χ=x i ], που δεν είναι άλλο από το σύνολο των αριθμών {p 1, p 2, p 3, …}. Την απεικόνιση των [x i ] στα p i, καλούμε Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (Σ.Π.Π.) και τη συμβολίζουμε με f x Τέλος, με F x συμβολίζουμε την κατανομή που αντιστοιχεί στα [x i ] τις πιθανότητες Ρ[Χ  x i ] και συχνά στη βιβλιογραφία την απαντούμε και ως Αθροιστική Κατανομή Πιθανοτήτων (Α.Σ.Κ.).

6 Παράδειγμα ΑΣΚ Για δυο διαδοχικές ρίψεις ενός νομίσματος, ο δειγματοχώρος διαμορφώνεται ως εξής Ω={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Έστω για κάθε ω  Ω, Χ(ω) δίνεται με το πλήθος των όψεων «κεφάλι» που έχουν εμφανιστεί, σύμφωνα με τον πίνακα ΩΚΚΚΓΓΚΓΓ Χ(ω)2110 Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P i, i=0,1,2 Η συνάρτηση κατανομής είναι και παριστάνεται P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4 H Α.Σ.Κ. είναι

7 συνέχεια H Α.Σ.Κ. είναι 0 1 2 ∞

8 Παραδείγματα Α.Σ.Κ. 1 ο Παράδειγμα 2 ο Παράδειγμα

9 Συνεχείς Σ.Π.Π. & Α.Σ.Κ.

10 ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Χ μια μονοδιάστατη Τ.Μ. Η Μέση Τιμή της και η μεταβλητότητα της είναι αριθμοί πραγματικοί που συμβολίζονται με Ε[Χ] ή μ χ ή μ και Var[X] ή σ 2 χ ή σ 2 αντίστοιχα και ορίζονται ως εξής: α)Για διακριτή Τ.Μ. με Σ.Π.Π. στα σημεία x 1, x 2,… με Ρ k =P(X=x k ), ορίζουμε Συνεχείς Σ.Π.Π. & Α.Σ.Κ.

11 β)Για μια συνεχή Τ.Μ. με Σ.Π.Π. f X, Συνεχείς Σ.Π.Π. & Α.Σ.Κ.

12 Παράδειγμα: Να κατασκευαστεί πίνακας κερδών και πιθανοτήτων κέρδους για το εξής τυχερό παιγνίδι: Σε 12 ρίψεις ενός ζαριού, επιτυχία θεωρείται η εμφάνιση των αριθμών 1 και 6. Η συμμετοχή του παίκτη κοστίζει 12 €. Σε κάθε επιτυχία ο παίκτης κερδίζει 3 €. Να συμπεράνετε αν το παιχνίδι είναι δίκαιο. Στην περίπτωση όπου συμπεράνετε ότι το παιχνίδι δεν είναι «δίκαιο», να αποφανθείτε αν ευνοεί τον παίκτη ή το καζίνο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ

13 Πίνακας κερδών ΕπιτυχίεςΚέρδη x k 0-12 1-9 2-6 3-3 40 53 66 79 812 915 1018 1121 1224 Κατανομή πιθανότητας xkxk Ρ(Χ= x k ) 00,007707 10,462441 20,127171 30,211952 40,238446 50,190757 60,111275 70,047689 80,014903 90,003312 100,000497 110,000045 120,000002

14 Διαχείριση της κατανομής

15 Η Μαθηματική Προσδοκία (το προσδοκώμενο κέρδος του παίκτη) είναι : Ε[Χ] = -0,0000000000000097528 Δηλαδή είναι ουσιαστικά μηδενικό και μπορούμε να πούμε ότι το παίγνια είναι δίκαιο

16 Μια συσκευή αποτελείται από 1000 εξαρτήματα, που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η πιθανότητα να χαλάσει κάποιο από τα εξαρτήματα αυτά σε χρόνο Τ είναι 0,002. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου σε χρόνο Τ α να χαλάσουν ακριβώς 3 εξαρτήματα. Η πιθανότητα Ρ(Α) να χαλάσει ένα εξάρτημα σε χρόνο Τ είναι Ρ(Α) = 2/1000 Άρα η πιθανότητα Ρ(Β) να χαλάσουν τρία εξαρτήματα σε χρόνο Τ είναι : Ρ(Β) = (1000!/(3!997!))(Ρ(Α)) 3 (1-P(A)) 997 Ρ(Β) = 0,000000008

17 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ: Ένα εργοστάσιο φτιάχνει τηλεοράσεις. Η πιθανότητα του ενδεχομένου η παραγόμενη τηλεόραση να είναι ελαττωματική είναι 0,01. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ανάμεσα σε 200 τηλεοράσεις να υπάρχουν ακριβώς 4 ελαττωματικές. Απάντηση: Για την λύση της άσκησης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της σχέσης Bernoulli που βρίσκεται στο βιβλίο στην σελίδα 64. (1) Όπου για την επίλυση του παίρνουμε τον τύπο: (2) Για την άσκηση θέτουμε: p = Πιθανότητα να υπάρχει ελαττωματική τηλεόραση  1% q = Υπόλοιπο της πιθανότητας, δηλαδή οι μη ελαττωματικές τηλεοράσεις  99% n = Το σύνολο των παραγόμενων τηλεοράσεων  200 κ = Οι ελαττωματικές τηλεοράσεις  4 Χρησιμοποιούμε τον τύπο (2) και παίρνουμε:  200! / [4!/196!] = (197*198*199*200)/(1*2*3*4) (Μετά από απλοποίηση) Το αποτέλεσμα των πράξεων είναι = 64.684.950 Το αποτέλεσμα αυτό το χρησιμοποιούμε στον αρχικό τύπο (1) και παίρνουμε:  f(k) = 64.684.950 x (1/100)4 x (99/100)196 =64.684.950 x 10-8 x 0.13947 = 0.090216 Άρα η πιθανότητα να έχουμε ακριβώς 4 ελαττωματικές τηλεοράσεις σε 200 παραγόμενες είναι περίπου 9%