Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος και Εικόνας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο της Αθήνας Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος και Εικόνας Σέργιος Θεοδωρίδης Αθήνα, 2003

Ακολουθίες Σημάτων Διακριτού Χρόνου Παραδείγματα Μοναδιαία Βηματική

Παραδείγματα (συνέχεια)

Απλές Ταυτότητες

Απλές Ταυτότητες

Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα (ΓΧΑ – LTI) Σύστημα = Μετασχηματισμός Γραμμικότητα Για πεπερασμένο Ν. Για με προσοχή!!!

Σχέση Εισόδου – Εξόδου ΓΧΑ Συστημάτων Συνέλιξη (Συγκερασμός) (Γραμμικότητα)

Παράδειγμα Η συμπεριφορά του συστήματος αλλάζει ανάλογα με τη χρονική στιγμή διέγερσης του.

Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα (ΓΧΑ) Γενικά: ΓΧΑ: Μετατοπίζοντας τη διέγερση κατά k δείγματα η απόκριση απλά μετατοπίζεται επίσης κατά k δείγματα.

Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα Συνέλιξη

Ιδιότητες Συνέλιξης Αντιμεταθετική Απόδειξη:

Ιδιότητες Συνέλιξης Επιμεριστική Προσεταιριστική

Εφαρμογή Ιδιοτήτων Συνέλιξης Επιμεριστική

Εφαρμογή Ιδιοτήτων Συνέλιξης Προσεταιριστική

Γραφική Εκτέλεση Συνέλιξης

Περισσότερα για τη Συνέλιξη

Η Συνέλιξη Πρακτικά τώρα πριν πιο πριν πιο πιο πριν Δείγματα Εισόδου Επίδραση Συστήματος y(0)=x(0) h(0) y(1)=x(1) h(0) + x(0) h(1) y(2)=x(2) h(0) + x(1) h(1) + x(0) h(2) y(n)=x(n) h(0) + x(n-1) h(1) + x(n-2) h(2) + … + x(0) h(n)

Παράδειγμα Υπολογισμού Συνέλιξης Να υπολογιστεί η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος του οποίου η κρουστική απόκριση ορίζεται ως:

Λύση

Λύση

Λύση

Τελικό Αποτέλεσμα

Μετασχηματισμός Fourier Σημάτων Διακριτού Χρόνου 0 1 2 Ν-1

Λύση

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Ζητούμενο:

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Μετασχηματισμοί Fourier συνεχούς και διακριτού χρόνου Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Άρα: ή: Θέτοντας:

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Θέτοντας: για Όμως ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου:

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Άρα: ή:

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist)

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Αρα για να ΜΗ ΧΑΘΕΙ πληροφορία θα πρέπει: ή ισοδύναμα: Δηλαδή: Κυκλική συχνότητα δειγματοληψία μεγαλύτερη ή ίση του εύρους του φάσματος του αναλογικού σήματος.

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Eάν όχι; Τότε την πατήσαμε!!! Υπάρχει ΕΠΙΚΑΛΥΨΗ και η αρχική μορφή του φάσματος του αναλογικού σήματος ΧΑΝΕΤΑΙ. Το αρχικό φάσμα, άρα και το x(t) ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ να ανακτηθούν. Eάν ναι; Πως γίνεται η ανάκτηση του αρχικού σήματος xa(t) από το x(n);;;

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Να πως γίνεται η ανακατασκευή:

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Άρα: Δηλαδή κατωπερατό φίλτρο!

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Συνεπώς: Η έξοδος του φίλτρου όταν η είσοδος είναι το σήμα, θα είναι:

Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist) Για t ακέραιο πολλαπλάσιο του nT, n=0, ±1, ±2 ktl. MONO MIA Sa(t-nT) ΣΥΝΕΙΣΦΕΡΕΙ με πλάτος x(nT). Για t¹nT, ΣΥΝΕΙΣΦΕΡΟΥΝ ΟΛΕΣ! Τ 2Τ 3Τ 4Τ 5Τ -5Τ -4Τ -3Τ -2Τ -Τ

Παράδειγμα Δειγματοληψίας Η περίοδος δειγματοληψίας είναι Τ=0.1 secs. Με την περίοδο αυτή να γίνει δειγματοληψία στα εξής σήματα: x1(t)=cos(6πt), x2(t)=cos(18πt). Να σχεδιαστούν τα φάσματα των x1(n), x2(n). Υπάρχει επικάλυψη; Θα σχεδιάσουμε τα ως συνάρτηση του Ω. Περίοδος δειγματοληψίας: Λύση

Παράδειγμα Δειγματοληψίας -6π 0 6π

Παράδειγμα Δειγματοληψίας -18π -10π 0 10π 18π -38π -18π -10π -2π 0 2π 10π 18π 38π -π/Τ π/Τ

Παράδειγμα Δειγματοληψίας Γενικά: Άρα για να δούμε ποιες συχνότητες θα συνεισφέρουν μεταξύ –π/Τ και π/Τ θα πρέπει να εξετάσουμε το: όπου

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Υπόθεση: Ζητούμενο: Υπάρχει ωs έτσι ώστε το X(e jω) να δειγματοληπτηθεί χωρίς να χάσουμε πληροφορία; Πόσα δείγματα Μ χρειάζονται για την ανάκτηση της πληροφορίας; Όπως και στο πεδίο του χρόνου: Βάλε:

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Τα Ν αυτά δείγματα αρκούν για τον υπολογισμό του X(e jω) για κάθε ω!!!

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Απόδειξη:

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Συνεπώς: Ζεύγος Διακριτού Μετασχηματισμού Fourier (DFT)

Ιδιότητες DFT Γραμμικότητα (προφανής) Συμμετρία. Αν x(n) πραγματική τότε: Re[ X(k) ] = Re[ X(N - k) ] Im[ X(k) ] = - Im[ X(N - k) ] Απόδειξη: Άρα για πραγματικά x(n), X(k) = X*(N-k) Συνεπώς Re[ X(k) ] = Re[ X(N - k) ], Im[ X(k) ] = - Im[ X(N - k) ], | X(k) | = | X(N - k) |

Ιδιότητες DFT (πραγματικό σήμα) 0 1 2 3 4 5 6 7 n 0 1 2 3 4 5 6 7 k

Κυκλική Ολίσθηση Ακολουθίας Η συνήθης ολίσθηση δεν έχει νόημα για ακολουθίες πεπερασμένου εύρους Ορισμός: Για ένα σήμα διακριτού χρόνου ορισμένο στο διάστημα 0 £ n £ N-1 καλούμε κυκλική ολίσθηση του x(n) κατά m δείγματα την ακολουθία: xc,m(n) º x((n-m))N όπου ((n-m))N = (n-m) mod N

Κυκλική Ολίσθηση Ακολουθίας Παράδειγμα (Ν=5, m=2)

Κυκλική Ολίσθηση Ακολουθίας Η κυκλικότητα του πεδίου είναι απόρροια της modulo Ν πράξης. Αντίθετα στην κλασική ολίσθηση το πεδίο είναι «γραμμικό». Σημαντική Ιδιότητα Απόδειξη:

Κυκλική Ολίσθηση Ακολουθίας

Κυκλική Ολίσθηση Ακολουθίας

Κυκλική Συνέλιξη Λύση

Κυκλική Συνέλιξη Κυκλική Συνέλιξη: Αν x1(n), x2(n) ακολουθίες μήκους Ν, 0 £ n £ N-1, ορίζω ως κυκλική συνέλιξη την:

Υπολογισμός Κυκλικής Συνέλιξης

Υπολογισμός Κυκλικής Συνέλιξης

Θεώρημα Parseval

Fast Fourier Transform (FFT) Προτάθηκε από τους Cooley και Tukey το 1965.

Fast Fourier Transform (FFT)

Fast Fourier Transform (FFT) Αλλά ο DFT περιοδικός, με περίοδο ίση με το μήκος της ακολουθίας. Άρα:

Fast Fourier Transform (FFT) Πόσες πράξεις; Ένας DFT μήκους Ν απαιτεί Ο(Ν2) πράξεις Ένας DFT μήκους Ν/2 απαιτεί Ο( (Ν/2)2 ) = Ο(Ν2/4) πράξεις Δύο DFT μήκους Ν/2 απαιτούν O(Ν2/2) πράξεις Άρα το σύνολο μέχρι εδώ είναι O(Ν2/2+Ν) πράξεις

Παράδειγμα για Ν=8

Παράδειγμα για Ν=8

Fast Fourier Transform (FFT) Ενδιαφέρον. Ας συνεχίσουμε:

Παράδειγμα για Ν=8

Συνεπώς και σε αυτή τη φάση μεταχειριζόμαστε το ίδιο w, δηλαδή το: Παράδειγμα για N=8 Άρα: Συνεπώς και σε αυτή τη φάση μεταχειριζόμαστε το ίδιο w, δηλαδή το:

Παράδειγμα για Ν=8

Fast Fourier Transform (FFT) Γενικά: Αριθμός πράξεων

Παράδειγμα για Ν=8

Fast Fourier Transform (FFT) x0=x(000) 000=0 x0 x1=x(001) 100=4 x4 x2=x(010) 010=2 x2 x3=x(011) 110=6 x6 x4=x(100) 001=1 x1 x5=x(101) 101=5 x5 x6=x(110) 011=3 x3 x7=x(111) 111=7 x7 Bit Reversal

Σχήματα Υλοποίησης Ψηφιακών Φίλτρων

Άμεσο Σχήμα Τύπου Ι

Άμεσο Σχήμα Τύπου ΙΙ

Άμεσο Σχήμα Τύπου ΙΙ

Άμεσο Σχήμα Τύπου ΙΙ

Σχήμα Σειριακής Υλοποίησης Υπολόγισε ρίζες P(z) Υπολόγισε ρίζες Q(z) Συνδύασε ανά δύο (μία) Κάθε ένα από τα Hi(z) με άμεσο ΙΙ

Σχήμα Σειριακής υλοποίησης

Σχήμα Παράλληλης Υλοποίησης Ανάπτυξε σε απλά κλάσματα Συνδύασε πόλους ανά δύο

Σχήμα Παράλληλης Υλοποίησης

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Αν η κρουστική απόκριση ικανοποιεί τη συνθήκη συμμετρίας h(n)=h(N-1-n) τότε το φίλτρο έχει γραμμική φάση. Απόδειξη: (Ν άρτιο)

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Ν άρτιο: Ν περιττό:

Σχεδιασμός FIR φίλτρων Άρα η φάση γραμμική! Υπάρχει λόγος για φάση ΓΡΑΜΜΙΚΗ; ΝΑΙ!

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Να το γιατί: Έστω σύστημα με γραμμική φάση, Είσοδος, (Δηλαδή δύο ημίτονα) Έξοδος, Δηλαδή: α) | Η | επιδρά στο πλάτος β) φάση επιδρά στην καθυστέρηση Υπενθύμιση:

Σχεδιασμός FIR φίλτρων Η γραμμική μεταβολής της φάσης προκαλεί χρονική υστέρηση αλλά διατηρεί την μορφή του σήματος.

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Άρα: Στην περίπτωση γραμμικής φάσης όλες οι συνιστώσες καθυστερούν το ίδιο άρα δεν αλλοιώνεται η μορφή του σήματος. Δηλαδή στη μη γραμμική φάση τι γίνεται; Γίνεται της … αλλοίωσης!!!

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Για παράδειγμα: τότε: Άρα στην έξοδο το πρώτο ημίτονο μετακινείται κατά aω1 δείγματα και το δεύτερο κατά aω2 δείγματα.

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Το ίδιο φασματικό περιεχόμενο από άποψη ενεργειακή (πλάτος), αλλά το σήμα εξόδου έχει διαφορετική μορφή. Το μάτι είναι ευαίσθητο στη φάση ενώ το αυτί όχι.

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Η συνθήκη h(n)=h(N-1-n) είναι και αναγκαία για να έχουμε σύστημα αιτιατό με γραμμική φάση. Άρα υπάρχουν ΜΟΝΟ FIR φίλτρα τα οποία είναι αιτιατά και έχουν γραμμική φάση.

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Τι θα θέλαμε; όπου hd(n) IIR! ασταθές!

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Χρειάζεται αποφασιστικότητα: ή με ακολουθία παραθύρου

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Πόσο κοστίζει όμως;

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Άλλες λύσεις Παράθυρα:

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 20 log10 ( |W( e j ω)| / |W( e j 0)| ) Τετραγωνικό Bartlett - Hanning - Hamming

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Να σχεδιαστεί κατωπερατό ψηφιακό φίλτρο με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Υπάρχει δηλαδή η απαίτηση για γραμμική φάση

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Ο στόχος Τα βήματα για την προσέγγιση του στόχου: Επιλέγω το Ν Τότε α=(Ν-1)/2 Επιλέγω το παράθυρο Ο καημός μου: Για καλή προσέγγιση απαιτείται μεγάλο Ν αλλά τότε προκύπτει μεγάλη καθυστέρηση στην έξοδο

Σχεδιασμός FIR Φίλτρων Για ωc=0.3π, Ν=21 (δηλ. α=10) Παράδειγμα

Σχεδιασμός FIR φίλτρων -100 -80 -60 -40 -20 |H(e jω)| dB N=21 - Με τετραγωνικό - Με Hamming -100 -80 -60 -40 -20 |H(e jω)| dB Τετραγωνικό - Ν=11 - Ν=21 - Ν=41

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων Απόκριση συχνοτήτων Γενικά ξέρουμε ότι: Για Ν=2:

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων Γραφήματα σε γραμμική κλίμακα

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων Κλίμακα σε dB Γιατί; ή

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων

Παραδείγματα Απλών FIR Φίλτρων Μερικές ενδεικτικές τιμές

Απόκριση Συχνοτήτων ΓΧΑ Συστημάτων Πόλοι-Μηδενικά-Φυσική Σημασία

Απόκριση Συχνοτήτων ΓΧΑ Συστημάτων Πόλοι-Μηδενικά-Φυσική Σημασία

Απόκριση Συχνοτήτων ΓΧΑ Συστημάτων Πόλοι-Μηδενικά-Φυσική Σημασία Άρα Δηλαδή η απόκριση συχνοτήτων καθορίζεται πλήρως από τους πόλους και τα μηδενικά!

Γεωμετρική Ερμηνεία

Γεωμετρική Ερμηνεία Άρα: και

Πρώτο Παράδειγμα

Πρώτο Παράδειγμα | H(ω) / H(0) | Φάση (Ακτίνια) -π π 0.5 1 -π π -20 π 0.5 1 | H(ω) / H(0) | -π π -20 -15 -10 -5 20 log10 ( | H(ω) / H(0) | ) -π π -1 -0.5 0.5 1 Φάση (Ακτίνια)

Δεύτερο Παράδειγμα

Φάση απόκρισης συχνοτήτων r=0.7 Δεύτερο Παράδειγμα -π π -15 -10 -5 5 20 log10 | H(e j ω) | Μέτρο απόκρισης συχνοτήτων r=0.7 - θ=0 - θ=π/2 - θ=π -π π -1 -0.5 0.5 1 θ(ω) Φάση απόκρισης συχνοτήτων r=0.7 - θ=0 - θ=π/2 - θ=π

Δεύτερο Παράδειγμα - r=0.8 - r=0.95 - r=0.8 - r=0.95 -π π -25 -20 -15 -10 -5 5 Μέτρο απόκρισης συχνοτήτων θ=0 20 log10 | H(e j ω) | - r=0.8 - r=0.95 -π π -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 Φάση απόκρισης συχνοτήτων θ=0 θ(ω) - r=0.8 - r=0.95

Σχεδιασμός IIR Φίλτρων Σκεπτικό Επιλέγω μία συνάρτηση Ηα(s) που να προσεγγίζει το γράφημα ιδανικού κατωπερατού φίλτρου. Για παράδειγμα: Μια τέτοια συνάρτηση θα αντιστοιχεί σε ένα κατωπερατό αναλογικό φίλτρο Ηα(s) Υπάρχει τώρα τρόπος να βρω ένα αντίστοιχο ψηφιακό μέσα από ένα μετασχηματισμό Ναι, υπάρχει!

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης Φιλοσοφία μεθόδου Επιλέγω την κρουστική απόκριση του ψηφιακού φίλτρου να είναι η δειγματοληψία της απόκρισης του αναλογικού Υπόθεση: Το Ηα(s) έχει ΑΠΛΟΥΣ πόλους.

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης Άρα:

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης Δηλαδή για τους ΑΠΛΟΥΣ πόλους ΜΟΝΟ! ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ για τα μηδενικά ή τους σύνθετους πόλους!

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης Γιατί;

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης Παρατηρήσεις Πόλοι στο αριστερό ημιεπίπεδο μετασχηματίζονται σε πόλους εντός του μοναδιαίου κύκλου. Άρα διατηρείται η ευστάθεια Υπάρχει πρόβλημα επικάλυψης

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης Διορθώνεται η επικάλυψη με το Τ; Δυστυχώς όχι! Το Τ δεν παίζει ρόλο. Περίεργο και όμως αληθινό! Ο λόγος; Ο σχεδιασμός βασίζεται στη συχνότητα ωc αποκοπής του ψηφιακού φίλτρου. Αυτή επιβάλλεται από τις προδιαγραφές. Για παράδειγμα:

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης Η σχέση αναλογικής συχνότητας Ω και ψηφιακής συχνότητας ω είναι από το θεώρημα του Nyquist: Χοντρικά: Το ποσοστό επικάλυψης είναι το ίδιο

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης (παράδειγμα)

Μέθοδος Αμετάβλητης Κρουστικής Απόκρισης (παράδειγμα) -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 dB

Διγραμμικός Μετασχηματισμός

Διγραμμικός Μετασχηματισμός

Διγραμμικός Μετασχηματισμός

Διγραμμικός Μετασχηματισμός

Διγραμμικός Μετασχηματισμός ωc ωa | H(e jω) | π ω

Διγραμμικός Μετασχηματισμός (παράδειγμα)

Διγραμμικός Μετασχηματισμός (παράδειγμα) -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 dB

Διγραμμικός Μετασχηματισμός – Αμετάβλητη Κρουστική Απόκριση (παράδειγμα) -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 dB

Παράδειγμα Σχεδιασμού Ψηφιακού Κατωπερατού Φίλτρου Butterworth Σχεδιασμός: Από τον ορισμό του dB προκύπτει: Επίσης:

Παράδειγμα Σχεδιασμού Κατωπερατού Ψηφιακού Φίλτρου Butterworth Αμετάβλητη Κρουστική Απόκριση Επιλέγω Ηα(s) Butterworth Χαρακτηριστικές συχνότητες: Δηλαδή:

Παράδειγμα Σχεδιασμού Κατωπερατού Ψηφιακού Φίλτρου Butterworth

Παράδειγμα Σχεδιασμού Κατωπερατού Ψηφιακού Φίλτρου Butterworth

Παράδειγμα Σχεδιασμού Κατωπερατού Ψηφιακού Φίλτρου Butterworth

Παράδειγμα Σχεδιασμού Κατωπερατού Ψηφιακού Φίλτρου Butterworth

Παράδειγμα Σχεδιασμού Κατωπερατού Ψηφιακού Φίλτρου Butterworth Παράλληλο. Θα μπορούσε σειριακό

Παράδειγμα Σχεδιασμού Κατωπερατού Ψηφιακού Φίλτρου Butterworth

Παράδειγμα Σχεδιασμού Κατωπερατού Ψηφιακού Φίλτρου Butterworth Διγραμμικός μετασχηματισμός Η υπόλοιπη διαδικασία παραμένει αμετάβλητη.

Παράδειγμα Σχεδιασμού Κατωπερατού Ψηφιακού Φίλτρου Butterworth 0.2π 0.4π 0.6π 0.8π -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 π 20 log10 | H(e j ω) |

Μετασχηματισμοί Φίλτρων: Κατωπερατό σε Κατωπερατό Μετασχηματισμοί Φίλτρων: Κατωπερατό σε Κατωπερατό Άρα:

Μετασχηματισμοί Φίλτρων: Κατωπερατό σε Ζωνοπερατό (Δευτεροβάθμια)

Μετασχηματισμοί Φίλτρων: Κατωπερατό σε Zωνοπερατό Απαιτώ:

Μετασχηματισμοί Φίλτρων: Κατωπερατό σε Ζωνοπερατό Άρα ο μετασχηματισμός: πλήρως ορισμένος

Σχεδιασμός Ζωνοπερατού (μεθοδολογία) Βήμα 1 Υπολόγισε αντίστοιχες αναλογικές συχνότητες

Σχεδιασμός Ζωνοπερατού (μεθοδολογία) Βήμα 2 Δύο είδη χαρακτηριστικών συχνοτήτων Εμπλοκή; Βήμα 3 ΟΧΙ, απόφαση: Υπολόγισε άλλα Ωa που να μας κάνουν. Ναι, αλλά πως;;;

Σχεδιασμός Ζωνοπερατού (μεθοδολογία) Βήμα 4 Να έτσι Ωραίο αλλά απομένει το Ωα του αντίστοιχου κατωπερατού Βήμα 5

Σχεδιασμός Ζωνοπερατού (μεθοδολογία) Βήμα 6 Κάτι για πιο χαζούς

Σχεδιασμός Ζωνοπερατού (μεθοδολογία) Βήμα 7 Με ίδιο τρόπο Βήμα 8 Επιτέλους να τελειώνουμε

Σχεδιασμός Ζωνοπερατού (μεθοδολογία) Βήμα 8 (συνέχεια)

Μετατροπή Αναλογικών Σημάτων σε Ψηφιακά – A/D Conversion Βήματα Δειγματοληψία (Sampling) Κβάντωση (Quantization) Κωδικοποίηση (Coding)

Δειγματοληψία

Sample and Hold Βασική ιδέα

Sample and Hold Με τη διαδικασία sample and hold εξασφαλίζεται χρόνος για την μετατροπή σε ψηφιακό σήμα

Κβάντιση Μη αντιστρέψιμη διαδικασία Το Δ μπορεί να μην είναι ίδιο για όλα τα διαστήματα

Λάθος Κβάντισης Τότε:

Kωδικοποίηση Παράδειγμα

Κωδικοποίηση Η εξίσωση χρησιμοποιείται για να καθορίσει την ακρίβεια του A/D στην πράξη, για ιδανικά S/H κυκλώματα. Για κάθε επιπλέον bit 6dB επιπλέον.