Ενότητα : Απόκριση Συχνότητας (Frequency Response) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Απόκριση Συχνότητας (Frequency Response) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Παρουσίαση της απόκρισης συχνότητας συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου.

Περιεχόμενα ενότητας Απόκριση συχνότητας: Συστημάτων συνεχούς χρόνου Συστημάτων διακριτού χρόνου Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις για Λύση

Απόκριση συχνότητας συστήματος συνεχούς χρόνου (1)

Απόκριση συχνότητας συστήματος συνεχούς χρόνου (2) Το ω είναι η συχνότητα σε rad δευτερόλεπτο. Το ω μπορεί να εκφραστεί. σαν ω = 2πf Το f είναι η συχνότητα σε κύκλους ανά δευτερόλεπτο -hertz (Hz). Η απόκριση συχνότητας Η(j2πf) συχνά σχεδιάζεται συναρτήσει τον f.

Σχέσεις μεταξύ μαθ/κών μοντέλων

Παράδειγμα

Γραφική απεικόνιση της απόκρισης συχνότητας

Μέτρηση της Η(jω)

Παράδειγμα (1)

Παράδειγμα (2)

Απόκριση συχνότητας συστήματος συνεχούς χρόνου Σε κάθε συχνότητα, η αναλογία του πλάτους της εξόδου προς αυτήν του πλάτους ημιτόνου της εισόδου καθορίζει το πλάτος της απόκρισης συχνότητας. Η γωνία της εξόδου μείον αυτή της εισόδου καθορίζει τη γωνία της απόκρισης συχνότητας.

Παράδειγμα (1)

Παράδειγμα (2)

Διαφορετικοί τρόποι σχεδίασης της απόκρισης συχνότητας

Παράδειγμα – πρώτης τάξης Βαθυπερατό σύστημα (1)

Παράδειγμα – πρώτης τάξης Βαθυπερατό σύστημα (2)

Παράδειγμα – πρώτης τάξης Βαθυπερατό σύστημα (3)

Συμπεράσματα (1) Η απόκριση συχνότητας Είναι η συνάρτηση μεταφοράς αποτιμημένη κατά τον jω άξονα. Έχει μια απλή γεωμετρική ερμηνεία στο επίπεδο s. Περιγράφει το φιλτράρισμα ενός ημιτονικής εισόδου σε ένα LTI σύστημα. Έχει ασύμπτωτες που σχεδιάζονται εύκολα σε διάγραμμα Bode όταν οι πόλοι και τα μηδενικά βρίσκονται στον αρνητικό πραγματικό άξονα.

Συμπεράσματα (2) Η απόκριση συχνότητας μελετά την έξοδο ενός συστήματος, όταν στην είσοδο εφαρμόζεται ένα ημιτονοειδές σήμα με σταθερό πλάτος και συχνότητα. Η απόκριση συχνότητας επιδιώκει να προσδιορίσει την έξοδο όταν όλα τα μεταβατικά φαινόμενα έχουν σβήσει. Όταν στην είσοδο ενός γραμμικού χρονικά αναλλοίωτου συστήματος εφαρμόζεται ένα ημιτονοειδές σήμα συχνότητας ω , τότε το σήμα εξόδου είναι επίσης ημίτονο με συχνότητα ω. Αυτό που μένει να υπολογιστεί είναι το πλάτος της εξόδου και η διαφορά φάσης που τυχόν έχει με την είσοδο.

Προβλήματα Δύο συνηθισμένες κατηγορίες προβλημάτων είναι οι εξής: Δύο συνηθισμένες κατηγορίες προβλημάτων είναι οι εξής: 1. Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς ή η εξίσωση που περιγράφει ένα Γ.Χ.Α. σύστημα. Δίνεται η ακριβής μορφή ενός ημιτονοειδούς σήματος που εφαρμόζεται στην είσοδο και ζητείται να βρεθεί η ακριβής έκφραση της εξόδου. 2. Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς ή η εξίσωση που περιγράφει ένα Γ.Χ.Α. σύστημα. Ζητείται να σχεδιαστεί το διάγραμμα απόκρισης συχνότητας για το πλάτος και την φάση.

Κατηγορία 1 (1) Ένα πρόβλημα της κατηγορίας 1 έχει γενικά την εξής μορφή: Στην είσοδο ενός Γ.Χ.Α. συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς Η(s) εφαρμόζεται σήμα x(t) = 5 sin(10t) . Ποια Θα είναι η έξοδος του συστήματος;

Κατηγορία 1 (2)

Παράδειγμα (1)

Παράδειγμα (2)

Κατηγορία 2 Έστω ότι δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς Η(s) ενός συστήματος και ζητούνται τα διαγράμματα Βοde κέρδους και φάσης συναρτήσει της συχνότητας. Το διάγραμμα Bode του κέρδους-συχνότητας απεικονίζει την μεταβολή της ποσότητας 20log│Η(ω)│ (db) συναρτήσει της συχνότητας ω και το διάγραμμα φάσης-συχνότητας την μεταβολή της φάσης /Η(ω) συναρτήσει της συχνότητας ω. Ένα από τα χαρακτηριστικά των διαγραμμάτων Bode είναι το γεγονός ότι με την αξιοποίηση μερικών απλών κανόνων μπορεί κανείς να κατασκευάσει εύκολα την λεγόμενη γραμμική προσέγγιση των διαγραμμάτων.

Διαγράμματα BODE Γενικά Τα διαγράμματα Bode (Bode diagrams – 1938) ή λογαριθμικά διαγράμματα αποτελούνται από δύο καμπύλες:

Διαγράμματα BODE βασικών παραγόντων (1)

Διαγράμματα BODE βασικών παραγόντων (2)

Διαγράμματα BODE βασικών παραγόντων (3)

Διαγράμματα BODE βασικών παραγόντων (4)

Διαγράμματα BODE βασικών παραγόντων (5)

Διαγράμματα BODE βασικών παραγόντων (6)

Διαγράμματα BODE βασικών παραγόντων (7)

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log│Kb│ (1) Tα διαγράμματα πλάτους και φάσης είναι ευθείες. Αν η σταθερά Kb έχει αρνητική τιμή τότε η ευθεία στο διάγραμμα φάσης είναι στις -180ο αλλιώς είναι στις 0o.

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log│Kb│ (2)

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log│1 𝟏 𝒋𝝎 m │ (1) Για κάθε πόλο στο μηδέν η κλίση στο διάγραμμα μέτρου μειώνεται κατά -20db/δεκάδα (δεκαπλασιασμός συχνότητας). Για κάθε πόλο στο μηδέν η φάση μειώνεται κατά -90ο.

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log│1 𝟏 𝒋𝝎 m │ (2)

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log│ 𝟏 𝟏+𝒋 𝝎 𝒑 │ Το διάγραμμα ενός πόλου στη συχνότητα p έχει τη μορφή: Για το διάγραμμα πλάτους έχουμε δύο ασύμπτωτες ευθείες στα 0 db με κλίση 0 και με κλίση -20 db οι οποίες τέμνονται στη συχνότητα ω=p.

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log │1+𝒋 𝝎 𝒛 │ (1) Το διάγραμμα ενός μηδενικού στη συχνότητα z έχει τη μορφή: Για το διάγραμμα πλάτους έχουμε δύο ασύμπτωτες ευθείες στα 0 db με κλίση 0 και με κλίση 20 db οι οποίες τέμνονται στη συχνότητα ω=z.

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log │1+𝒋 𝝎 𝒛 │ (2)

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log │ 𝟏 𝟏+𝒋𝟐𝜻 𝝎 𝝎𝒏 −[ 𝝎 𝝎𝒏 ] 2│(1)

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log │ 𝟏 𝟏+𝒋𝟐𝜻 𝝎 𝝎𝒏 −[ 𝝎 𝝎𝒏 ] 2│(2)

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log│ 𝟏+𝒋𝟐𝜻 𝝎 𝝎𝒏 − 𝝎 𝝎𝒏 2│(1) Το διάγραμμα συζυγών μηδενικών στη συχνότητα ω0= ωn 1−𝜁2 έχει τη μορφή: Για το διάγραμμα πλάτους έχουμε δύο ασύμπτωτες ευθείες στα 0 db με κλίση 0 και με κλίση 40 db οι οποίες τέμνονται στη συχνότητα ω=ωn. Ανάλογα με την τιμή του ζ είναι και η τελική μορφή του διαγράμματος.

Διάγραμμα Bode συναρτήσεων της μορφής 20log│ 𝟏+𝒋𝟐𝜻 𝝎 𝝎𝒏 − 𝝎 𝝎𝒏 2│(2)

Παράδειγμα (1) Bode diagram της G(jω) = 1/jω (b) Bode diagram της G(jω) = jω.

Παράδειγμα (2) Bode plots για a. G(s) = s; b. G(s) = 1/s; c. G(s) = (s + a); d. G(s) = 1/(s + a)

Παράδειγμα (3)

Παράδειγμα (4) Έστω σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Να σχεδιαστούν τα διαγράμματα Bode του κέρδους και της φάσης ως προς τη συχνότητα.

Λύση (1)

Λύση (2)

Παράδειγμα (5)

Σχεδίαση διαγραμμάτων Bode στο Matlab (1) %*****Numerator & Denominator of H(s) >>num = [0 0 25];den = [1 4 25]; %*****Use ‘bode’ function >>bode(num,den) %*****Add title of plot >>title(‘Bode plot of H(s)’)

Σχεδίαση διαγραμμάτων Bode στο Matlab (2)

Απόκριση συχνότητας συστημάτων διακριτού χρόνου

Τύποι φίλτρων (1)

Τύποι φίλτρων (2)

Τύποι φίλτρων (3)

Τύποι φίλτρων (4)

Παράδειγμα Να υπολογιστεί και σχεδιαστεί (πλάτος και φάση) η απόκριση συχνότητας συστήματος που περιγράφεται από την Ε.Δ: Y[k+1] – o.8y[k] = x[k+1]

Λύση (1) Υποθέτοντας μηδενικές Α.Σ παίρνουμε τον z- transform της Ε.Δ. Οπότε

Λύση (2) Η απόλυτη τιμή (πλάτος ) είναι

Λύση (3)

Επίδραση πόλων/μηδενικών

Σύστημα πρώτης τάξης (a=0.9)

Σύστημα πρώτης τάξης (a=0.5)

Σύστημα πρώτης τάξης (a=0.1)

Σύστημα πρώτης τάξης (a=-0.1)

Σύστημα πρώτης τάξης (a=-0.5)

Σύστημα πρώτης τάξης (a=-0.9)

Σύστημα δεύτερης τάξης (0.3, 0.8)

Σύστημα δεύτερης τάξης (-0.8, 0.8)

Συζυγείς μιγαδικοί πόλοι

Higher-Order Frequency Responses

Υπολογισμός της απόκρισης συχνότητας διακριτού χρόνου στο MATLAB num = [1 0]; den = [1 –0.5]; ww = -pi:0.01:pi; [H] = freqz(num,den,ww); figure; plot(ww,abs(H));

Απόκριση συχνότητας συστημάτων διακριτού χρόνου

Παράδειγμα

Λύση (1)

Λύση (2)

Λύση (3)

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ Απόκριση συχνότητας

Άσκηση 1

Λύση Άσκησης 1 (1)

Λύση Άσκησης 1 (2)

Λύση Άσκησης 1 (3)

Λύση Άσκησης 1 (4)

Άσκηση 2

Λύση Άσκησης 2 (1)

Λύση Άσκησης 2 (2)

Λύση Άσκησης 2 (3)

Λύση Άσκησης 2 (4)

Λύση Άσκησης 2 (5)

Άσκηση 3 +

Λύση Άσκησης 3 (1) +

Λύση Άσκησης 3 (2)

Λύση Άσκησης 3 (3)

Άσκηση 4

Λύση Άσκησης 4 (1)

Λύση Άσκησης 4 (2)

Λύση Άσκησης 4 (3)

Λύση Άσκησης 4 (4)

Άσκηση 5

Λύση Άσκησης 5 (1)

Λύση Άσκησης 5 (2)

Λύση Άσκησης 5 (3)

Λύση Άσκησης 5 (4)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ασκήσεις 1 και 2

Άσκηση 3

Άσκηση 4

Τέλος Ενότητας