Γεωδαισία Ενότητα 8 Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ TEI ΑΘΗΝΑΣ

Περιεχόμενα Του Μαθήματος Ορισμός της Γεωδαισίας Συνδέσεις των γεωεπιστημών, Γνωριμία με τον πλανήτη, Ιστορία της Γεωδαισίας, Μονάδες μέτρησης - Διεθνής συνεργασία. Μοντέλα και επιφάνειες αναφοράς Συστήματα αναφοράς χώρου και χρόνου, Συντεταγμένες. Γεωμετρία του ελλειψοειδούς Θεμελιώδη προβλήματα στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς. Συστήματα αναφοράς και Γεωδαιτικό DATUM - ορισμός και υλοποίηση Προβολές , Αλλαγές προβολικών συστημάτων, Μετασχηματισμοί.

Ανάλυση Παρουσίασης Προβολικά συστήματα που χρησιμοποιούνται στην Ελλάδα, Χαρακτηριστικά και διανομή της προβολής Hatt, Χαρακτηριστικά και διανομή της προβολής TM3, Χαρακτηριστικά και διανομή της προβολής UTM, Χαρακτηριστικά και διανομή της προβολής ΤΜ87, Εφαρμογές μετασχηματισμού συντεταγμένων.

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (1 από 17) Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (1 από 17) Α. Πλάγια ισαπέχουσα αζιμουθιακή απεικόνιση Hatt Χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με το παλαιό ελληνικό datum (“παλαιο Bessel”) από την έναρξη των τοπογραφικών εργασιών, Σε σημείο Ο του ελλειψοειδούς εφάπτεται ένα επίπεδο το οποίο αποτελεί την αναπτυκτή επιφάνεια, Όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο αυξάνουν οι παραμορφώσεις λόγω της διαφοράς ελλειψοειδούς και επίπεδης αναπτυκτής επιφάνειας, Είναι κατάλληλη για μικρές αποστάσεις από το κέντρο: εφαρμόστηκε με διανομές φύλλων για όλη την Ελλάδα.

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (2 από 17) Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (2 από 17) Α. Πλάγια ισαπέχουσα αζιμουθιακή απεικόνιση Hatt Δεν βρέθηκε αντίστοιχη εικόνα με άδεια

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (3 από 17) Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (3 από 17) Ευθείες σχέσεις απεικόνισης Hatt ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΕ ΑΚΤΙΝΙΑ!!! 𝑥= 𝑁 𝑜 cos 𝜑 𝜊 Δλ− Μ 𝜊 sin 𝜑 ΔλΔ𝜑 − Μ 𝜊 cos 𝜑 𝜊 6 2+9 𝜂 𝜊 2 𝑡 𝜊 2 ΔλΔ 𝜑 2 − Ν 𝜊 cos 𝜑 𝜊 𝑠𝑖𝑛 2 𝜑 𝜊 6 Δ 𝜆 3 − Ν 𝜊 sin 𝜑 𝜊 6 1−2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜑 𝜊 Δ 𝜆 3 Δφ+… 𝜂 𝜊 2 = 𝑒′ 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝜊 𝑡 𝑜 = tan 𝜑 𝜊 Δλ=λ− 𝜆 𝜊 Δφ=φ− 𝜑 𝜊

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (4 από 17) Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (4 από 17) Ευθείες σχέσεις απεικόνισης Hatt ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΕ ΑΚΤΙΝΙΑ!!! 𝑦= 𝑀 𝑜 Δφ+ Ν 𝜊 cos 𝜑 𝑜 sin 𝜑 𝜊 2 Δ 𝜆 2 + 3 Μ 𝜊 𝜂 𝜊 2 𝑡 𝜊 sin 𝜑 𝜊 2 Ν 𝜊 Δ 𝜑 2 + Μ 𝜊 (1−4 𝑠𝑖𝑛 2 𝜑 𝜊 + 𝜂 𝜊 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝜊 6 ΔφΔ 𝜆 2 + Μ 𝜊 ( 𝑒 ′ 2 −2 𝜂 𝜊 2 𝑡 𝜊 2 ) 2 Δ 𝜑 3 + Ν 𝜊 sin 𝜑 𝜊 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝜊 (1−2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜑 𝜊 ) 2 Δ 𝜆 4 − Ν 𝜊 sin 𝜑 𝜊 cos 𝜑 𝜊 3 Δ 𝜑 2 Δ 𝜆 2 +… 𝜂 𝜊 2 = 𝑒′ 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝜊 𝑡 𝑜 = tan 𝜑 𝜊 Δλ=λ− 𝜆 𝜊 Δφ=φ− 𝜑 𝜊

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (5 από 17) Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (5 από 17) Ευθείες σχέσεις απεικόνισης Hatt ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΕ ΑΚΤΙΝΙΑ!!! 𝜑− 𝜑 𝜊 = 𝑦 𝑀 𝑜 − 𝑡 𝑜 2 𝑀 𝑜 𝑁 𝑜 𝑥 2 − 𝜂 𝜊 2 𝑡 𝜊 2 𝑀 𝑜 𝑁 𝑜 𝑦 2 − 1+3 𝑡 𝜊 2 − 𝑒 ′ 2 +10 𝜂 𝜊 2 𝑡 𝜊 2 6 𝑀 𝑜 𝑁 𝑜 2 𝑥 2 𝑦− 𝑒 ′ 2 −2 𝜂 𝜊 2 𝑡 𝜊 2 2 𝑀 𝑜 2 𝑁 𝑜 𝑦 3 + 𝑡 𝑜 1+3 𝑡 𝜊 2 24 𝑀 𝑜 2 𝑁 𝑜 2 𝑥 4 − 𝑡 𝑜 2+3 𝑡 𝜊 2 6 𝑀 𝑜 2 𝑁 𝑜 2 𝑥 2 𝑦 2 +… 𝜂 𝜊 2 = 𝑒′ 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝜊 𝑡 𝑜 = tan 𝜑 𝜊 Δλ=λ− 𝜆 𝜊 Δφ=φ− 𝜑 𝜊

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (6 από 17) Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (6 από 17) Ευθείες σχέσεις απεικόνισης Hatt ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΕ ΑΚΤΙΝΙΑ!!! 𝜆− 𝜆 𝜊 = 1 Ν 𝜊 cos 𝜑 𝜊 𝑥+ 𝑡 𝑜 𝑁 𝑜 2 cos 𝜑 𝜊 𝑥𝑦+ 1+3 𝑡 𝜊 2 + 𝜂 𝜊 2 3 𝑁 𝑜 3 cos 𝜑 𝜊 𝑥 𝑦 2 − 𝑡 𝜊 2 3 𝑁 𝑜 3 cos 𝜑 𝜊 𝑥 3 + 𝑡 𝑜 2+3 𝑡 𝜊 2 3 𝑁 𝑜 4 cos 𝜑 𝜊 𝑥 𝑦 3 − 𝑡 𝑜 1+3 𝑡 𝜊 2 3 𝑁 𝑜 4 cos 𝜑 𝜊 𝑥 3 𝑦+… 𝜂 𝜊 2 = 𝑒′ 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝜊 𝑡 𝑜 = tan 𝜑 𝜊 Δλ=λ− 𝜆 𝜊 Δφ=φ− 𝜑 𝜊

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (7 από 17) Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (7 από 17) Το πρόβλημα της αλλαγής φύλλου χάρτη στη Hatt Δίνονται οι συντεταγμένες ενός σημείου (x, y) ως προς το κέντρο Ο και ζητούνται οι νέες συντεταγμένες (x', y') ως προς το νέο κέντρο Ο‘. Υπολογισμός Δφ, Δλ με τις αντίστροφες σχέσεις, Υπολογίζονται οι γεωδαιτικές φ=Δφ+φ0 και λ=Δλ+λ0, Υπολογίζονται οι νέες διαφορές ως προς το νέο κέντρο Δφ' = φ - φ0' και Δλ' = λ - λ0‘, Υπολογίζονται οι νέες (x', y') με τις ευθείες εξισώσεις απεικόνισης.

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (8 από 17) Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (8 από 17) Εγκάρσια Μερκατορική Απεικόνιση “Usgs map traverse mercator”,  by Peter Mercator available under public domain

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (9 από 17) Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (9 από 17) Εγκάρσια Μερκατορική Απεικόνιση (ΤΜ) Μέγιστος κύκλος επαφής: κεντρικός μεσημβρινός. Όσο μεγαλώνει η απόσταση από τον κεντρικό μεσημβρινό τόσο το ελλειψοειδές θα απέχει από τον κύλινδρο και οι παραμορφώσεις θα αυξάνονται. Για τον περιορισμό των παραμορφώσεων: εύρος ζώνης (6°, 3°, 2°). Για την ομαλότερη κατανομή των παραμορφώσεων εντός του εύρους ζώνης εισάγεται μια τεχνητή παραμόρφωση στον κεντρικό μεσημβρινό (m0=0.9999 ή m0=0.9996), Για την αποφυγή αρνητικών τιμών εισάγεται μια σταθερή θετική ποσότητα κατά τον άξονα των τετμημένων (Ε0 = 500000 ή 200000).

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (10 από 17)  

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (11 από 17) Τ 1 = 𝑚 𝑜 S 𝜑 , Τ 2 = sin 𝜑 cos 𝜑 2 , Τ 3 = sin 𝜑 𝑐𝑜𝑠 3 𝜑 24 (5− 𝑡 2 +9 𝜂 2 +4 𝜂 4 ), Τ 4 = sin 𝜑 𝑐𝑜𝑠 5 𝜑 720 (61−58 𝑡 2 + 𝑡 4 +270 𝜂 2 −330 𝑡 2 𝜂 2 +445 𝜂 4 +324 𝜂 6 −680 𝑡 2 𝜂 4 +88 𝜂 8 −660 𝑡 2 𝜂 6 −192 𝑡 2 𝜂 8 ) Τ 5 = sin 𝜑 𝑐𝑜𝑠 7 𝜑 40320 (1385−3111 𝑡 2 +543 𝑡 4 − 𝑡 6 ) 𝑇 6 = cos 𝜑 , Τ 7 = 𝑐𝑜𝑠 3 𝜑 6 (1− 𝑡 2 + 𝜂 2 ), Τ 8 = 𝑐𝑜𝑠 5 𝜑 120 5−18 𝑡 2 + 𝑡 4 +14 𝜂 2 −58 𝑡 2 𝜂 2 +13 𝜂 4 +4 𝜂 6 −64 𝑡 2 𝜂 4 −24 𝑡 2 𝜂 6 5−18 𝑡 2 + 𝑡 4 +14 𝜂 2 −58 𝑡 2 𝜂 2 +13 𝜂 4 +4 𝜂 6 −64 𝑡 2 𝜂 4 −24 𝑡 2 𝜂 6 Τ 9 = 𝑐𝑜𝑠 7 𝜑 5040 (61−479 𝑡 2 +179 𝑡 4 − 𝑡 6 )

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (12 από 17) Αντίστροφες εξισώσεις απεικόνισης ΤΜ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΕ ΑΚΤΙΝΙΑ!! Δίνονται οι προβολικές συντεταγμένες και ζητούνται οι γεωδαιτικές. 𝜑=𝜑΄− Τ 10 𝜀 ′ 2 + Τ 11 𝜀 ′ 4 − Τ 12 𝜀 ′ 6 + Τ 13 𝜀′ 8 𝜆= 𝜆 𝜊 + Τ 14 𝑄− 𝑇 15 𝑄 3 + 𝑇 16 𝑄 5 − 𝑇 17 𝑄 7 𝑡 ′ = tan 𝜑′ 𝜂′ 2 = 𝑒′ 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑′ 𝑄= 𝜀′ 𝑚 𝑜 𝑁′

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (13 από 17)  

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (14 από 17) Αντίστροφες εξισώσεις απεικόνισης ΤΜ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΕ ΑΚΤΙΝΙΑ!! Δίνονται οι προβολικές συντεταγμένες και ζητούνται οι γεωδαιτικές, 𝜑= 𝜑 ′ − Τ 10 𝜀 ′ 2 + Τ 11 𝜀 ′ 4 − Τ 12 𝜀 ′ 6 + Τ 13 𝜀′ 8 𝜆= 𝜆 𝜊 + Τ 14 𝑄− 𝑇 15 𝑄 3 + 𝑇 16 𝑄 5 − 𝑇 17 𝑄 7 Ο υπολογισμός του φ' πραγματοποιείται με επαναληπτική διαδικασία από τις αντίστροφες σχέσεις υπολογισμού του πλάτους σημείου με γνωστό μήκος τόξου από τον παράλληλο αφετηρίας φ0 𝑆′ 𝜑 = 𝑁 𝑚 𝑜

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (15 από 17) Η απεικόνιση UTM Αποτελεί παραλλαγή της ΤΜ με παγκόσμια εφαρμογή. 𝑚 𝑜 =0.9996 𝜀 𝜊 =500000𝑚 𝜑 𝜊 = 0 𝜊 Ν 𝜊 =0𝑚 Ευρος ζώνης 6°. Στην Ελλάδα η προβολή εφαρμόστηκε με το datum ED50 (ελλειψοειδές Hayford). Για την Ελλάδα κεντρικοί μεσημβρινοί λ0= 21° και 27°. Χάρτες ΓΥΣ 1:50000.

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (16 από 17) Η απεικόνιση TM3 Αποτελεί παραλλαγή της ΤΜ. 𝑚 𝑜 =0.9996 𝜀 𝜊 =200000𝑚 𝜑 𝜊 = 34 𝜊 Ν 𝜊 =0𝑚 Ευρος ζώνης 3°. Στην Ελλάδα η προβολή εφαρμόστηκε με το Παλιό Ελληνικό datum (ελλειψοειδές Bessel, λο στο Αστεροσκοπείο Αθηνών). Για την Ελλάδα κεντρικοί μεσημβρινοί λ0= -3°, 0° και +3°. Χάρτες ΕΠΑ (Επιχείρηση Πολεοδομικής Ανασυγκρότησης).

Προβολικά Συστήματα Στην Ελλάδα (17 από 17) Η απεικόνιση TM87 Αποτελεί παραλλαγή της ΤΜ. 𝑚 𝑜 =0.9996 𝜀 𝜊 =500000𝑚 𝜑 𝜊 = 0 𝜊 Ν 𝜊 =0𝑚 Μίας ζώνης. Στην Ελλάδα η προβολή εφαρμόζεται από το 1990 με το Νεό Ελληνικό datum ΕΓΣΑ87 (ελλειψοειδές GRS80). Ένας κεντρικός μεσημβρινός λ0= 24°. Χάρτες κτηματολογίου, επίσημη προβολή για την Ελλάδα.

Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων (1 από 5) Στις πρακτικές εφαρμογές παρουσιάζεται συχνά το πρόβλημα του μετασχηματισμού συντεταγμένων από ένα προβολικό σύστημα σε ένα άλλο. Αξιοποίηση παλαιότερων μετρήσεων στο πλαίσιο νέων μελετών, Συνδέσεις δικτύων που επιλύθηκαν σε διαφορετικές χρονικές περιόδους, Παλιό ρυμοτομικό που πρέπει να ενταχθεί σε χάρτη νέας αποτύπωσης. Μετασχηματισμός: απαίτηση μεταφοράς σε κοινό σύστημα για κοινή αντιμετώπιση προβλημάτων.

Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων (2 από 5) Διαδικασία: Προσεγγιστικός μετασχηματισμός βάσει της γνώσης μας για τη διαφορά των δύο συστημάτων αναφοράς, (ΔΧ, ΔΥ, ΔΖ, εx, εy, εz) Εφαρμογή μετασχηματισμού ομοιότητας σε κοινά σημεία και στα δύο συστήματα για τον υπολογισμό των τοπικών παραμέτρων μετασχηματισμού, Εφαρμογή των παραμέτρων μετασχηματισμού στα υπόλοιπα σημεία που ενδιαφέρουν.

Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων (3 από 5) Έστω προβολή P1, στο datum D1 και P2 στο datum D2 Προσεγγιστικός μετασχηματισμός : α) (x, y)P1 (φ, λ)D1: εξισώσεις απεικόνισης β) (φ, λ)D1 και το hP1 (=H+N ή =0) (X, Y, Z)D1 (Χ, Υ, Ζ)D2 γ) (Χ, Υ, Ζ)D1 (ΔΧ, ΔΥ, ΔΖ) δ) (Χ, Υ, Ζ)D2 (φ, λ)D2 ε) (φ, λ)D2 (x, y)P2: εξισώσεις απεικόνισης

Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων (4 από 5) Τελικός μετασχηματισμός α) Εφαρμογή του μοντέλου του μετασχηματισμού στα κοινά σημεία, β) Υπολογισμός των παραμέτρων μετασχηματισμού, Εφαρμογή στα μη κοινά σημεία.

Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων (5 από 5) Πολυώνυμα ΓΥΣ-ΟΚΧΕ Μετασχηματισμός από HATT και παλιό Ελληνικό datum σε ΤΜ87 και ΕΓΣΑ87. Ακρίβεια 10 - 15 cm. 𝜀= Α 𝜊 + Α 1 𝑥+ 𝐴 2 𝑦+ 𝐴 3 𝑥 2 + 𝐴 4 𝑦 2 + 𝐴 5 𝑥𝑦 𝑁= 𝐵 𝑜 + 𝐵 1 𝑥+ 𝐵 2 𝑦+ 𝐵 3 𝑥 2 + 𝐵 4 𝑦 2 + 𝐵 5 𝑥𝑦

Μεταθέσεις Γεωδαιτικών Datum ΔX(m) ΔY(m) ΔZ(m) Ακρίβεια (m) Παλιό ελληνικό datum (ΕΓΣΑ 87) 656.110 298.590 250.800 ±5 Παλιό ελληνικό datum (ED 50) 518.000 454.000 661.000 ED 50 (ΕΓΣΑ87) 138.110 -115.410 -410.200 Παλιό ελληνικό datum (WGS84/ITRF) 456.387 372.620 596.818 ΕΓΣΑ87 (WGS84/ITRF) -199.723 74.030 246.018 ±1 ED 50 (WGS84/ITRF) -61.613 -81.380 -164.182

Περίληψη – Συμπεράσματα Προβολικά συστήματα στην Ελλάδα Μετασχηματισμοί συντεταγμένων, Πρακτικές εφαρμογές μετασχηματισμών συντεταγμένων.

Τέλος Ενότητας