ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος Πέμπτη, 25 Ιουνίου η Εβδομάδα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων (Π.Σ.) (Finite Elements Method – F.E.M.) ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ – ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ Με χρήση φυσικών συντεταγμένων

Γ. ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ – ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Το βασικό εργαλείο λειτουργίας των μεθόδων των Πεπερασμένων Στοιχείων (Π.Σ.) αποτελεί το θεώρημα «ισοδυναμίας» κατά το οποίο η λύση της διαφορικής εξίσωσης: που πληροί τις συνοριακές συνθήκες: με και n x, n y τα διευθύνοντα συνημίτονα της καθέτου προς το σύνορο με κατεύθυνση προς τα έξω, είναι εκείνη που καθιστά το συναρτησιακό: ακρότατο, υπό τη συνοδεύουσα βασική συνθήκη (2). Το αποτέλεσμα είναι ότι η η μέθοδος των Π.Σ. να συστηματοποιεί τη διαδικασία υπολογισμού της συναρτήσεως που καθιστά ακρότατο το συναρτησιακό (4), που το θέτει στη μορφή:

οπότε, εύκολα αποδεικνύεται ότι το ακρότατο επιτυγχάνεται στη λύση του γραμμικού συστήματος: και η όλη προσπάθεια της μεθόδου είναι με χρήση πινάκωυν, υπολογιστικών κυττάρων, να τυποποιεί τον τρόπο σύνθεσης των πινάκων,που συναποτελούν τον πίνακα των συντελεστών Α, καθώς και του σταθερού διανύσματος όπως επίσης και τον καθορισμό του βελτίστου τρόπου ευρέσεως της λύσεως του (5). Παράδειγμα : Πιο συγκεκριμένα, όμως, θα ανατρέξουμε στο παράδειγμα που δόθηκε στην εισαγωγή του μαθήματος, δηλαδή στην αριθμητική επίλυση του Δ.Σ.: και θα θεωρήσουμε ως πάχη διαμέρισης h=1/4, όπως επίσης και γραμμική προσέγγιση σε κάθε ένα στοιχείο, σ (i ),i=1,2,3 και 4, που δημιουργούνται. Έτσι, βάσει του (4), θα σχηματίσουμε το συναρτησιακό:

που λόγω της διαμέρισης που υποθέσαμε θα αναλυθεί στην : για τα 4 στοιχεία που προκύπτουν σ (1), σ (2), σ (3), και σ (4). Εξάλλου, τα κομβικά σημεία του πεδίου ορισμού με τις αντίστοιχες τιμές της συναρτήσεως λύσεως που αναζητούμε θα είναι τα u 0, u 1, u 2, u 3 και u 4, εκ των οποίων τα u 0 και u 4 είναι συνοριακά με, γνωστές τιμές, που δίδονται στην (6). Επίσης, η συναρτησιακή μορφή,της γραμμικής προσέγγισης, που υποθέσαμε θα δίδεται, ως γνωστόν στο στοιχείο (i,j) από την: με τις βασικές συναρτήσεις N i και N j να δίδονται από τις: και να ικανοποιούν το δ του Kronecker N i (x j ) = N j (x i ) = δ ij,οπότε η (8)γράφεται:

Για την διευκόλυνση του υπολογισμού των ολοκληρωμάτων της (7) εισάγουμε φυσικές συντεταγμένες (αδιάστατες) λ 1 και λ 2, τις: όπου L το μήκος των στοιχείων και S η απόσταση του x από τον αρχικό κόμβο i. Λόγω της (8), η (6.1) γράφεται για κάθε στοιχείο σ: και ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων διευκολύνεται εάν γίνει χρήση της(9.1): Τέλος, από την (7), λόγω της (6), είναι προφανές ότι ο υπολογισμός των εμφανιζομένων ολοκληρωμάτων από τους οποίους θα εξαχθεί η μορφή του συστήματος (5) είναι τα:

που εάν αξιοποιηθεί από την Ανάλυση ο ακόλουθος κανόνας ολοκλήρωσης: (με Γ(x) τη γνωστή συνάρτηση Γάμμα), που για τις φυσικές συντεταγμένες (10), η (13) γίνεται: Έτσι, από την (6) είναι σαφές ότι τα αναγκαία ολοκληρώματα για το πρόβλημα (5), θα είναι τα ακόλουθα: που για τη συνάρτηση (11) και για το γενικό στοιχείο σ (i) γράφονται διαδοχικά συναρτήσει των κομβικών τιμών της προσεγγιστικής συνάρτισης u :

Έτσι, τελικά, για το παράδειγμά μας, από την (6) θα έχουμε: ενώ από τις (15) θα έχουμε ως συμβολή του σ (i) στοιχείου στο γραμμικό σύστημα την (για L=1/4): Έτσι, από την (16) που στην ουσία αποτελεί το υπολογιστικό κύτταρο του στοιχείου, μπορούμε να συνθέσουμε την συναρτησιακή σχέση, που είναι: που γράφεται στην μορφή της βασικής σχέσεως (4.1):

Αλλά, γνωρίζουμε ότι το ακρότατο της συνάρτησης Ι (λόγω της (5)) θα ικανοποιεί το σύστημα οπότε, από τη (17) λαμβάνουμε τελικά το:

Στο (18) πρέπει να ενσωματώσουμε τις συνοριακές συνθήκες (6), που σημαίνει να απαλείψουμε τις αντίστοιχες εξισώσεις (την πρώτη και την τελευταία) μαζί και τις αντίστοιχες στήλες, αφού λάβουμε υπόψη την (6), οπότε έχουμε το τριδιαγώνιο σύστημα: η λύση του οποίου μας δίδει τις τιμές: Από τα παραπάνω είναι σαφής η πορεία βάσει της οποίας η λύση ενός διαφορικού συστήματος μετατρέπεται με τη βοήθεια του βασικού θεωρήματος ισοδυναμίας σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης ενός κατάλληλου συναρτησιακού, που στη συνέχεια ανάγεται σε επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων με αγνώστους τις τιμές της λύσεως του διαφορικού συστήματος στα κομβικά σημεία, που είναι οι κορυφές των στοιχείων (Elements), στα οποία έχει διαμεριστεί το πεδίο ορισμού του διαφορικού συστήματος.

Τέλος, η παραγωγή του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων που προαναφέρθηκε, απαιτεί συστηματική διεργασία των διαφόρων μαθηματικών εκφράσεων που εμπλέκονται για τις διάφορες περιπτώσεις προσεγγιζόντων συναρτήσεων, από την οποία θα προσδιοριστούν οι μερικοί βασικοί πίνακες των στοιχείων- υπολογιστικά κύτταρα, που θα αποτελέσουν τα δομικά υλικά με την βοήθεια των οποίων θα κτισθεί ο πίνακας των αγνώστων και το σταθερό διάνυσμα του τελικού συστήματος, που στο προηγούμενο παράδειγμα ήταν οι εκφράσεις (15) των βασικών ολοκληρωμάτων με τις οποίες κτίσθηκε η έκφραση (17) του βασικού συναρτησιακού Ι. Κοντολογίς, πέντε (5) είναι τα βασικά βήματα εφαρμογής των Π.Σ., τα: 1. Διαμέριση του πεδίου ορισμού σε στοιχεία με συγκεκριμένη αρίθμηση των σχετικών κόμβων (όπου ζητείται η τιμή της λύσεως). 2. Καθορισμός της προσεγγίζουσας συνάρτησης, που ορίζει και την τάξη της προσέγγισης (γραμμική, κλπ.) και έκφραση των παραμέτρων της συναρτήσει των κομβικών τιμών της λύσεως. Κάθε στοιχείο έχει και τη δική του συγκεκριμένη μορφή της προσεγγίζουσας συνάρτησης. 3. Ανάπτυξη του αλγεβρικού συστήματος που θα προκύψει. 4. Επίλυση του συστήματος 5. Υπολογισμός διαφόρων στοιχείων της λύσεως που ενδιαφέρουν.