הרצאה 11: סמנטיקה ומשפט השלמות

אינטרפרטציה אינטרפטציה M מורכבת מ- 1. קבוצה D≠ ,D - תחום האינטרפטציה. 2. פרושים של פרדיקטים, פונקציות וקבועים ב- D, כלומר, - לכל פרדיקט P מתאים יחס P M ב- D. - לכל סימן פונקציה f מתאימה פונקציה f M : D n → D. - ולכל קבוע aמתאים איבר a M של D. n

השמה השמה v היא פונקציה מקבוצת המשתנים ל- D. נרחיב את v לשמות העצם באופן הבא: 1.אם tהוא משתנה x, אזי v(t) = v(x) 2.אם t הוא קבוע a, אזי v(t) = a M 3.אם t הוא f(t 1,...,t n ), כאשר f הוא סימן הפונקציה ה- n-מקומי, אזי v(t) = f M (v(t 1 ),...,v(t n )).

דוגמה : יהיו t(x) ו - s שמות עצם ( יתכן שב - t(x) מופיעים משתנים נוספים ). תהי v השמש תהי v' השמה המוגדרת ע " י אם y  x v(y), אם y=x v(s),  v'(y) = אזי v(t(s)) = v'(t(x)).

ספיקות תהי Mאינטרפטציה ותהי v השמה. נאמר שהזוג (M,v) מספק נוסחא A, מסומן ע"י M,v╞ A, אם: 1.אם Aהיא נוסחא אטומית,P (t 1,…,t n ) אזי M,v╞ A אם ורק אם (v(t 1 ),…, v(t n ))  P M 2. M,v╞ ~A אם ורק אם M,v ⊭ A 3. M,v╞ A  B אם ורק אםM,v╞ B או M,v ⊭ A 4. M,v╞  xA אם ורק אם לכל השמה v' ששונה מ-v לכל היותר ב-x, M,v'╞A

דוגמה : תהי A(x 1,…,x n ) נוסחה כך ש - כל המשתנים החופשיים שלה הן בין x 1,…,x n ותהינה u ו - v השמות כך שלכל i=1,…,n, u(x i )=v (x i ). אזי A(x 1,…,x n ) M,u ╞ אם ורק אם A(x 1,…,x n ) M,v ╞ ההוכחה היא באינדוקציה על האורך של A(x 1,…,x n ). הבסיס של האינדוקציה הוא מיידי ובצעד האידוקציה נבדוק רק את ה מקרה שבו A(x 1,…,x n ) מן הצורה  B(x,x 1,…,x n ). נניח ש -  B(x,x 1,…,x n ) M,u ╞ ונוכיח ש -  B(x,x 1,…,x n ) M,v ╞. תהי v' השמה ששונה מ- v לכל היותר ב- x ותהי u' השמה כך ש- u'(y) =  v'(y), u(y), אם y=x,x 1,…,x n אחרת אזי u' שונה מ - v' לכל היותר ב - x שגורר את B(x,x 1,…,x n ) M,u' ╞ועל פי הנחת האינדוקציה, B(x,x 1,…,x n ) M,v' ╞.

אמת, שקר וגרירה סמנטית נוסחא Aהיא אמת באינטרפטציה M, מסומן M╞A, אם ורק אם M,v╞A עבור כל השמה v. אינטרפטציה Mהיא מודל לקבוצת נוסחאות Γ, מסומן M╞Γ, אם ורק אם M╞A לכל A  Γ. נוסחא Aהיא שקר באינטרפטציה M אם ורק אם לא קיימת השמה v כך ש- M,v╞A. נאמר שקבוצת נוסחאות Γגוררת סמנטית את נוסחא A, מסומן Γ╞A, אם ורק אם עבור כל אינטרפטציה M מתקיים אם M╞Γ, אזי M╞A.

תכונות של אינטרפרטציות ונאותות 1.M,v╞Ai, לכל 5 האקסיומות.i=1,…,5,Ai (אנו נבדוק את 2. אם M,v╞ A ו- M,v╞ A→B, אזי M,v╞ B. 3. אם M╞ A, אזי  xA M╞. משפט (נאותות) : אם Γ├A, אז.Γ╞ A הוכחה: באמצעות אינדוקציה על אורך הגזירה של A מ- Γ. האקסיומה 4A בשקף הבא.)

נניח ש - M,v╞  xA(x) ויהי t חופשי ל- x ב- A(x). אנו נראה ש-.M,v╞ A(t) תהי w השמה המוגדרת ע " י אם z  x v(z), אם z=x v(t), w(z) =  אזי. M,w╞ A(x) אנו נוכיח באינדוקציה על המורכבות של A ש- M,w╞ A(x) אם ורק אם M,v╞ A(t). הבסיס והמקרים של צעד האינדוקציה שבהם A היא מן הצורות A  B או ~A הם מידיים. נניח ש- A היא מן הצורה  yB(x,y). אזי y לא מופיע ב- t.

אנו צריכים להוכיח ש- M,w╞  yB(x,y) אם ורק אם M,v╞  yB(t,y). נניח ש - M,w╞  yB(x,y) ותהי v' השמה ששונה מ- v לכל היותר ב- y ותהי w' השמה כך ש- w'(y) = v'(y), w(y), אם z=y אחרת  אזי, מפני ש - y לא מופיע ב - t, אם z  x v'(z), אם z=x v'(t),  w'(z) = משום ש - M,w╞  yB(x,y), M,w'╞ B(x,y) ועל פי הנחת האינדוקציה, M,v'╞ B(t,y). כלומר, M,v╞  yB(t,y). את הקיון ההפוך מוכיחים בבית.

הגדרה:נוסחה A(x) דומה ל- A(y) אם ורק אם y חופשי ל- x ב- A(x) ו- y אינו מופיע חופשי ב- A(x). למה: אם A(x)דומה ל A(y) -אזי A(y)דומה ל.A(x) - למה:אם A(x) ו- A(y) דומות, אזי  yA(y) ≡  xA(x).├ למה:יהי A פסוק. אם Γ ⊬ ~A אזי Γ  {A} היא עקבית. למה: קבוצת כל הנוסחאות של תחשיב היחסים נתנת למניה.

הגדרה:התורה Γנקראת שלמה אם עבור כל פסוק A, מתקיים או Γ├ A או Γ├ ~A. הגדרה:Γ' נקראת הרחבה של Γ אם כל משפט של Γ הוא גם משפט של Γ'. למה : תהי Γעקבית. אזי קיימת הרחבה שלמה Γ' של Γ שהיא גם כן עקבית. הוכחה: תהי B 1,B 2,… סדרת כל הפסוקים מעל השפה של Γ. אנו נגדיר באינדוקציה סדרת קבוצות של נוסחאות Γ 0, Γ 1,…: Γ 0 = Γ. נניח כי הגדרנו את Γ n. אם Γ n ├ ~B n+1, אזי Γ n+1 = Γ n  {B n+1 }. אחרת Γ n+1 = Γ n. תהי Γ' =  Γ n. אזי Γ' היא הרחבה של Γ.  n=0 /

נוכיח כי Γ' היא עקבית. לשם כך מספיק להוכיח כי כל Γ n היא עקבית. ההוכחה היא באינדוקציה על n. בסיס: n=0. Γ 0 = Γ ו- Γ עקבית ע"פ תנאי הלמה. צעד האינדוקציה: נניח כי Γ n היא עקבית. אם Γ n ├ ~B n+1, אזי Γ n+1 = Γ n  {B n+1 } עקבית על פי אחת מהלמות הקודמות. אם Γ n ├ ~B n+1, אזי Γ n+1 = Γ n היא עקבית על פי הנחת האינדוקציה. נוכיח כי Γ' שלמה: יהי A פסוק. אזי קיים n≥0 כך ש-A הוא B n+1. אם Γ n ├ ~ B n+1, אזי B n+1  Γ n+1. כיוון ש - Γ n+1  Γ', Γ'├ A. אחרת Γ n ⊢ ~B n+1, ובאופן דומה Γ'├ ~A. / /

הגדרה:שמות עצם שאינם מכילים משתנים נקראים סגורים. הגדרה:תהי Γ קבוצת נוסחאות. Γ נקראת E-שלמה אם לכל נוסחא A(x) כך ש- x הוא המשתנה החופשי היחיד של A(x), קיים שם עצם סגור t שעבורו Γ├  x~A(x) →~A(t). למה: לכל תורה עקבית Γ קיימת הרחבה עקבית Γ' כך ש- Γ' היא E- שלמה.

הוכחה: נוסיף לשפה של Γ קבוצה בת מניה של קבועים חדשים, {b 1,b 2,…}. תהי Γ 0 התורה שמורכבת מכל האקסיומות של Γאך מעל השפה החדשה. נראה כי Γ 0 היא עקבית: אם Γ 0 ├ “A  ~A”, אזי בהוכחה של A  ~A מ- Γ 0 נחליף כל b i במשתנה שאינו מופיע בהוכחה. החלפה זו שומרת על האקסיומות הלוגיות ועל כללי ההיסק. לכן נקבל הוכחת הסתירה מ- Γ, בסתירה להנחה כי Γ היא עקבית. לכן Γ 0 עקבית.

יהי F 1 (x i 1 ), F 2 (x i 2 ),…,F k (x i k ),… מספור של כל הנוסחאות מעל השפה של Γ 0 שיש בהן בדיוק משתנה חופשי אחד (המשתנה החופשי ב- F k (x i k ) הוא x i k ). תהי b j 1,b j 2,…,b j k,… סדרת הקבועים החדשים כך ש- b j k לא מופיע באף נוסחה בעלת אינדקס קטן מ- k+1, ו- b i k ≠b i m עבור k≠m. נסמן את הפסוק  x i k ~F k (x i k )→~F k (b j k ) ע"י S k. תהי Γ'=Γ 0  {S 1,S 2,…}. אזי Γ' היא E-שלמה. נשאר להוכיח כי Γ' היא עקבית. לשם כך מספיק להוכיח כי כל Γ n = Γ 0  {S 1,…,S n } היא עקבית. ההוכחה היא באינדוקציה על n: בסיס:n = 0: כבר ראינו כי Γ 0 היא עקבית.

צעד האינדוקציה: יהי n≥1. נניח כי Γ n-1 היא עקבית, אך Γ n היא בעלת סתירה. אזי, Γ n ├ ~S n, כלומר Γ n-1,S n ├ ~S n. לכן על פי משפט הדדוקציה, → ~S n Γ n-1 ├ S n, שגורר Γ n-1 ├ ~S n. ע"פ ההגדרה של S n, Γ n-1 ├  x i n ~F n (x i n ) ו- Γ n-1 ├ F n (b j n ). משום ש- b i n לא מופיע באף S i, i<n, Γ n-1 ├ F n (x), כאשר x הוא משתנה שלא מופיע בהוכחה של F n (b j n ) מ- Γ n-1. ע"י GEN,Γ n-1 ├  xF n (x). כיוון ש-F n (x) ו- F n (x i n ) דומות, על פי הלמה שראינו קודם, Γ n-1 ├  x i n F n (x i n ), וזאת בסתירה לכך ש - Γ n-1 ├  x i n ~F n (x i ). לכן Γ n עקבית.

למה :תהי Γ עקבית, שלמה ו-E-שלמה. אזי ל- Γ יש מודל M כך ש- D M היא קבוצת כל שמות עצם הסגורים של (השפה של) Γ. הוכחה:תהי D M קבוצת כל שמות העצם הסגורים של Γ. נפרש קבועים, פונקציות ופרדיקטים באופן הבא: - עבור קבוע a: a M =a - עבור סימן הפונקציה f ושמות עצם סגורים t 1,…,t n : f M (t 1,…,t n )= f (t 1,…,t n ) - עבור סימן היחסP, P M ={(t 1,…,t n ) | Γ├ P(t 1,…,t n )}

משפט (השלמות): לכל פסוק A, Γ├ A אם ורק אם M╞ A. טענה : M,v╞ A(x) אם ורק אם M,v╞ A(v(x)). ההוכחה היא באינדוקציה על המורכבות של A. מסקנה : אם x הוא המשתנה החופשי היחיד של הנוסחה A, אזי M╞  xA(x) אם ורק אם קיים שם עצם סגור t כך ש-.M╞ A(t) הוכחה: אינדוקציה על המורכבות שלA. בסיס: A היא נוסחא אטומית P. הטענה נובעת מן ההגדרה של P M.

צעד האינדוקציה (לפי מקרים של צורת A): תהי A בצורה ~B. אזי M╞ A אם ורק אם M ⊭ B, זאת אם ורק אם (ע"פ הנחת האינדוקציה ) Γ ⊬ B, וזאת אם ורק אם (כי Γ שלמה) Γ├A. תהי A בצורה B→C. משום ש- A הוא פסוק, B ו- C גם כן פסוקים. M╞ A אם ורק אם M╞ C או M ⊭ B, שמתקיים אם ורק אם (ע"פ הנחת האינדוקציה) Γ├ C או Γ├ B, זאת אם ורק אם Γ├ C או Γ├ ~B (כי Γ שלמה), ששקול ל- Γ├ A. תהי A בצורה  xB. אם B הוא פסוק, אזי הטענה נובעת מהנחת אינדוקציה. אחרת x הוא המשתנה החופשי היחיד של B. M╞  xB(x) אם ורק אם קיים שם עצם סגור t כך ש- M╞ B(t), וזה אם ורק אם (ע"פ הנחת האינדוקציה) Γ├ B(t) אם ורק אם Γ├  xB(x) ( כי Γ היא E-שלמה). /

טענה:לכל תורה עקבית יש מודל בן מניה. שלמות הוכחה:תהי Γעקבית. קודם נרחיב את Γ לתורה Γ' שהיא E-שלמה ואח"כ נרחיב את Γ' לתורה שלמה ועקבית Γ''. עכשיו נשתמש בלמה עבור Γ''. הוכחה: אפשר להניח כי Aהוא פסוק. אם Γ├ A, אזי ל - Γ  {~A} יש מודל. כלומר, Γ ⊭ A ( סתירה). הוכחה: אם ל- Γיש מודל, אזי Γ עקבית, והמסקנה נובעת מן הטענה לעיל. מסקנה: אם ל- Γ יש מודל, אזי ל- Γ יש מודל בן מניה. מסקנה (ממשפט השלמות ומשפט הנאותות):Γ╞ A אם ורק אם Γ├ A. מסקנה (משפט השלמות): אם Γ╞ A, אזי Γ├ A. /