Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 4: Συνδεσμικότητα

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Έννοια της συνδεσμικότητας. «Ποσότητα συνδεσμικότητας»

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) Σύνολο αποκοπτουσών κορυφών V’ είναι το σύνολο των κορυφών ώστε ο γράφος G- V’ να μην είναι συνδεδεμένος, χωρίς να υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του V’ με την ίδια ιδιότητα (vertex cut set, vertex separating set) Συνδεσμικότητα κορυφών VC(G) ενός γράφου G είναι το ελάχιστο k=|V’|, ώστε ο γράφος G να έχει ένα σύνολο από k αποκόπτουσες κορυφές (vertex connectivity) Ένας γράφος G λέγεται k-συνδεδεμένος αν VC(G)>=k Θεώρημα: Μια κορυφή δένδρου v είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν d(v)>1

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (3) Πόρισμα: Κάθε μη ασήμαντος απλός συνδεδεμένος γράφος έχει τουλάχιστον 2 κορυφές που δεν είναι αποκόπτουσες Θεώρημα: Μια κορυφή v είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν υπάρχουν 2 κορυφές u και w (u,w<>v), ώστε η v να βρίσκεται σε κάθε μονοπάτι από την u προς την w

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (4) Σύνολο αποκοπτουσών ακμών Ε’ είναι το σύνολο των ακμών ώστε ο γράφος G-E’ να μην είναι συνδεδεμένος, χωρίς να υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του Ε’ με την ίδια ιδιότητα (edge cut set, edge separating set) Συνδεσμικότητα ακμών EC(G) ενός γράφου G είναι το ελάχιστο k=|E’|, ώστε ο γράφος G να έχει ένα σύνολο από k αποκόπτουσες ακμές (edge connectivity) Ένας γράφος G λέγεται k-συνδεδεμένος ως προς τις ακμές αν EC(G)>=k Θεώρημα: Μια ακμή e είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν υπάρχουν 2 κορυφές u και w, τέτοιες ώστε η e να βρίσκεται σε κάθε μονοπάτι από την u προς την w.

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (5) Θεώρημα: Μια ακμή είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν δεν περιέχεται σε κύκλο Θεώρημα Whitney: VC(G)<=EC(G)<=d(G) Πόρισμα: EC(G)<=floor(2m/n) Θεώρημα: Έστω 1 =(n+1-2)/2, τότε ο G είναι l-συνδεδεμένος

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Τεμάχια Γράφου (1) Ένας δισυνδεδεμένος (biconnected) γράφος δεν έχει αποκόπτουσες κορυφές. Ένας τέτοιος γράφος αποτελεί ένα τεμάχιο (block) ή μια δισυνιστώσα (bicomponent). Εσωτερικά ξένα μονοπάτια (internally disjoint paths) είναι δύο μονοπάτια με κοινές τερματικές κορυφές, χωρίς άλλες κοινές κορυφές Θεώρημα Whitney: Ένας γράφος είναι δισυνδεδεμένος αν και μόνον αν 2 οποιεσδήποτε κορυφές του είναι συνδεδεμένες με τουλάχιστον 2 εξωτερικά ξένα μονοπάτια Πόρισμα: Αν ένας γράφος είναι δισυνδεδεμένος, τότε δύο οποιεσδήποτε κορυφές του ανήκουν σε έναν κύκλο

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Τεμάχια Γράφου (2) Πόρισμα: Αν ένας γράφος αποτελείται από ένα τεμάχιο με n>=3, τότε δύο οποιεσδήποτε ακμές του ανήκουν σε έναν κύκλο Θεώρημα Menger: Ο μέγιστος αριθμός εσωτερικά ξένων μονοπατιών από μια κορυφή u σε μια κορυφή v ισούται με τον ελάχιστο αριθμό κορυφών που χωρίζουν τις κορυφές u και v Θεώρημα: Ένας γράφος είναι k-συνδεδεμένος αν και μόνον αν όλα τα ζεύγη κορυφών ενώνονται με τουλάχιστον k εσωτερικά ξένα μονοπάτια

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Τεμάχια Γράφου (3) Θεώρημα: Ο μέγιστος αριθμός εσωτερικά ξένων μονοπατιών από μια κορυφή u σε μια κορυφή v ισούται με τον ελάχιστο αριθμό ακμών που χωρίζουν τις κορυφές u και v Θεώρημα: Ένας γράφος είναι k-συνδεδεμένος ως προς τις ακμές, αν και μόνον αν όλα τα ζεύγη κορυφών ενώνονται με τουλάχιστον k εσωτερικά ξένα μονοπάτια

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (1) Δεν υπάρχει αποτελεσματικός αλγόριθμος για τη διαπίστωση της ισομορφικότητας δύο γράφων Πρώτη λύση (η χειρότερη): Κρατούμε τον ένα γράφο σταθερό και επαναδιατάσσουμε τις κορυφές του άλλου. Εκτελούμε n 2 συγκρίσεις. Άρα η πολυπλοκότητα είναι τάξης Ο(n!n 2 )=O(n n ) Δεύτερη λύση: Αν ο γράφος είναι αποθηκευμένος με πίνακα πρόσπτωσης, τότε αρκεί ο πίνακας του ενός γράφου να μετατραπεί στον πίνακα του άλλου με τη βοήθεια αντιμεταθέσεων γραμμών ή/και στηλών Υπάρχουν αποτελεσματικοί αλγόριθμοι για ειδικές περιπτώσεις γράφων

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (2) Τεχνάσματα για την εύκολη διαπίστωση αν δύο γράφοι δεν είναι ισομορφικοί: 1.Ίδια τάξη 2.Ίδιο μέγεθος 3.Ίδια ακολουθία βαθμών 4.Ίδιος αριθμός συνιστωσών 5.Για κάθε συνιστώσα του (4) απαντώνται θετικά οι πρώτες τρεις ερωτήσεις; 6.Έχουν οι δύο γράφοι το ίδιο χρωματικό πολυώνυμο; Για n<8, αν όλες οι ερωτήσεις απαντηθούν θετικά, τότε οι γράφοι είναι ισομορφικοί

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (3)

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (4) Δύο γράφοι είναι 1-ισομορφικοί αν καθίστανται ισομορφικοί μετά την επανειλλημένη διάσπαση των αποκοπτουσών κορυφών. Αν ο γράφος αποτελείται από ένα τεμάχιο, τότε η έννοια της 1-ισομορφικότητας ταυτίζεται με την έννοια της ισομορφικότητας Θεώρημα: Αν δύο γράφοι είναι ισομορφικοί, τότε ισούνται η σειρά και η μηδενικότητά τους Δύο γράφοι έχουν αντιστοιχία κύκλων, αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ακμών και κύκλων Θεώρημα: Δύο 1-ισομορφικοί γράφοι έχουν αντιστοιχία κύκλων

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (5) Δύο γράφοι είναι 2-ισομορφικοί αν καθίστανται ισομορφικοί μετά την επανειλημμένη εφαρμογή των πράξεων –Διασπώντας τις αποκόπτουσες ακμές, ή/και –Επανασυνδέοντας τους υπογράφους αλλάζοντας τα σημεία σύνδεσης Δύο ισομορφικοί γράφοι είναι 1-ισομορφικοί, δύο 1-ισομορφικοί γράφοι είναι 2-ισομορφικοί. Το αντίθετο δεν ισχύει

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ισομορφισμός (5) Θεώρημα: Δύο γράφοι είναι 2-ισομορφικοί αν και μόνον αν έχουν αντιστοιχία κύκλων

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (1) Bfs-Moore-1959-χρήση ουράς Dfs-Hopcroft-Tarjan-1973-χρήση στοίβας Χρησιμοποιούνται για επίσκεψη κόμβων, εύρεση συνιστωσών, εύρεση αποστάσεων Παράδειγμα εύρεσης αποκοπτουσών κορυφών (σημείων άρθρωσης) με dfs. Στα αντίστοιχα δένδρα διακρίνουμε τις δενδρικές ακμές και τις οπίσθιες ακμές. Απαιτείται ο υπολογισμός των dfi(v) και l(v) για κάθε v. Για τον κόμβο v, το l(v) είναι το ελάχιστο των τριών ποσοτήτων: –dfi(v) –l(s), όπου το s γιός του v –dfi(w), όπου w είναι κορυφή με οπίσθια ακμή (w,v)

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι (2) Μια κορυφή v είναι αποκόπτουσα ακμή αν: –Είναι ρίζα δένδρου και έχει περισσότερο από 1 παιδιά –Δεν είναι ρίζα δένδρου, αλλά έχει dfi(v)<=l(s), όπου s γιός του v dfi l115111

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (1) Το πρόβλημα του συνδέσμου είναι το γνωστό πρόβλημα της εύρεσης των ελάχιστων ζευγνυόντων δένδρων. Ένα ελάχιστο ζευγνύον δένδρο έχει συνδεσμικότητα κορυφών/ακμών ίση με 1. Το γενικευμένο πρόβλημα του συνδέσμου είναι «να βρεθεί ο υπογράφος δοθέντος γράφου ελάχιστου βάρος, ώστε η συνδεσμικότητα να ισούται με 1». Αν l=1, τότε τα προβλήματα ταυτίζονται

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (2) Θα θεωρηθεί η περίπτωση μη ζυγισμένου γράφου. Σκοπός είναι η εύρεση του πλήρους υπογράφου H 1,n με τον ελάχιστο αριθμό ακμών και κορυφές αριθμημένες από 0 ως n-1. Ο αλγοριθμος έχει τρεις περιπτώσεις: –l άρτιο (l=2r). Δύο κορυφές i και j είναι γειτονικές, αν i-r<=j<=i+r –l περιττό (l=2r+1), n άρτιο. Κατασκευάζεται ο γράφος H 2r,n (εφαρμόζεται η προηγούμενη σχέση), ενώ επίσης δύο κορυφές i και i+n/2 ενώνονται για 1<=i<=n/2 –l περιττό (l=2r+1), n περιττό. Κατασκευάζεται ο γράφος H 2r,n, ενώ επίσης ενώνεται η κορυφή 0 με τις (n-1)/2 και (n+1)/2 και η κορυφή l με την κορυφή i+(n+1)/2 για 1<=i<=(n-1)/2

Συνδεσμικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Γενικευμένο Πρόβλημα Συνδέσμου (3) Θεώρημα: Ο γράφος Η 1,n είναι l-συνδεδεμένος Θεώρημα: Ο ελάχιστος αριθμός ακμών του γράφου Η 1,n είναι ceil(ln/2) H 4,8 H 5,8 H 5,9