בדיקת תכונות של גרפים במודל מטריצת השכנויות ענב וינרב ינון חביב

דו צדדיות bepartiteness)) בהינתן גרף (E, V)G = נאמר כי G דו צדדי, אם קימת חלוקה של V לשתי קבוצות, כך שלכל קשת בגרף מתקיים שקצה אחד של הקשת נמצא ב -V1 והקצה השני נמצא ב -V2. נסמן ב -N את מספר הקדקודים בגרף.

מה המשמעות של להיות ε-רחוק מדו-צדדיות? שלכל חלוקה של V לשתי קבוצות, V1 ו-V2 ישנן לפחות εN 2 צלעות ב-G ששתי קצותיהן באותה קבוצה. (נקרא לצלעות אלה צלעות פושעות) V1V2

האלגוריתם בהינתן גרף G: 1. בחר m קדקודים באקראי. (m יקבע בהמשך, אך חשוב לציין שתלוי רק ב -ε ) 2. חשב את תת הגרף G' המושרה על G ידי על הקדקודים שנבחרו בשלב בדוק האם G' דו " צ ע " י הרצת BFS. אם G' דו " צ ענה כן, אחרת ענה לא.

הוכחת נכונות הדרישות מהאלגוריתם : אם G הוא דו " צ אזי בהסתברות גבוהה נענה כן. קל לראות שאם G דו"צ אזי גם G' יהיה דו"צ ונענה כן בהסתברות 1 (אם ב-G אין מעגלים א"ז, כמובן שב-G' לא יהיו.) אם G ε-רחוק מלהיות דו"צ אזי בהסתברות גדולה מ-2/3 G' לא יהיה דו"צ. (בהוכחת חלק זה נתרכז)

קצת חשבון אי שוויון מרקוב – הסיכוי ' לברוח ' פי a מהממוצע קטן מ -. Union bound – הסיכוי שאחד מבין n אירועים יתרחש קטן מסכום הסיכויים עבור כל אירוע בנפרד. אי השוויון המפורסם – עבור מתקיים :

ניסיון ראשון עבור חלוקה כלשהי של V, מה ההסתברות שלמרות שישנן εN 2 צלעות פושעות עבור חלוקה זו, אף אחת מצלעות אלה לא תופיע בגרף G'? לאחר שנענה על השאלה הזו נוכל לענות מה ההסתברות שלכל חלוקה של V קיימות צלעות פושעות בגרף G'. (נשאף שהתשובה תהיה ≥ 2/3) הבעיה – מספר החלוקות עצום ועלינו לבחור כמות גדולה של קדקודים ( ).

קווים להוכחה 1. נסתכל על m הקדקודים שבחרנו כעל שתי קבוצות נפרדות : 1. הקבוצה U – בת m1 קדקודים (m1 יקבע בהמשך.) 2. הקבוצה S – בת m2 קדקודים (m2 יקבע בהמשך.) כמובן m1 + m2 = m. m1 << m2

קווים להוכחה 2. נראה שבהסתברות גבוהה (≥ 5/6) הקבוצה U היא קבוצה ' שקשה לרמות ', כלומר מעט בחירות של S יגרמו לנו להאמין ש -G הוא בכל זאת גרף דו " צ. 3. נראה שאם U היא קבוצה שקשה לרמות, אזי בהסתברות גבוהה (≥ 5/6) נבחר S, כך שבכל חלוקה של תמצא צלע פושעת.

קווים להוכחה 4. נסיק כי בהסתברות גבוהה מ - 2/3 הגרף המושרה G' אינו דו " צ.

הגדרה (קדקוד רב-השפעה) קדקוד v הוא קדקוד רב השפעה, אם דרגתו ב-G היא לפחות, אחרת v יקרא חסר-השפעה. אבחנה – צלעות רבות מחברות זוגות קדקודים רבי- השפעה. (מספר הצלעות שאחד מקצותיהן חסר השפעה הוא פחות מרבע ממספר הצלעות הפושעות לחלוקה כלשהי)

הגדרה (קבוצה מכסה) נאמר שקבוצת קדקודים X מכסה קדקוד v אם קיים ל-v לפחות שכן אחד ב-X.

למה ראשונה (בהסתברות גבוהה U היא קבוצה 'טובה') בהסתברות של לפחות 5/6 כל הקדקודים רבי ההשפעה, אולי למעט מהם, מכוסים ע"י U. הערה – במהלך ההוכחה יקבע m1.

המשך ההוכחה - אסטרטגיה משלב זה ואילך נניח כי U היא קבוצה טובה, כלומר ש-U מכסה את כל הקדקודים רבי ההשפעה, אולי למעט מהם. נחלק את קדקודי הגרף לשתי קבוצות: בקבוצה C יהיו כל הקדקודים שמכוסים ע"י U. בקבוצה R יהיו הקדקודים שלא מכוסים ע"י U. נשים לב שקדקודי U מחולקים בין C ו-R גם הם, אולם הם מהווים חלק זניח מ-N.

בניית חלוקת עזר עתה נסתכל על חלוקה כלשהי של U, לשתי קבוצות U1, ו-U2. נחלק את שאר קדקודי הגרף בהתאם לחלוקת U. כלומר, C תחולק כך: כל קדקוד שמכוסה ע"י U1 יהיה בקבוצה C2, וכל השאר (המחוברים בהכרח ל- U2), יהיו ב-C1. את קדקודי R נחלק באופן שרירותי ל-R1 ו-R2, אם אילוץ יחיד שקדקודי יהיו ב-R1, וקדקודי יהיו ב-R2.

U1U2 R2 C1C2 R1

הרעיון העיקרי אם נכשלנו – הגרלנו גרף G' דו " צ על - אף ש -G ε-רחוק מדו-צדדיות כלומר יש חלוקה של ש'עובדת עלינו', כלומר אין עבורה צלעות פושעות בגרף G'. חלוקה זאת מתבטאת בחלוקה של U. נראה שאם U 'טובה', ההסתברות עבור חלוקה כלשהי (U1,U2) לקחת חלק בחלוקה 'רמאית' נמוך מאד, כלומר בהסתברות גבוהה מאוד בחירת S תיצור גרף לא דו"צ.

הרעיון העיקרי ההסתברות שחלוקה נתונה של U תכשיל אותי תהיה כה נמוכה, עד כדי שההסתברות שחלוקה כלשהי תכשיל אותי תהיה קטנה מ - 1/6. המעבר מהסתברות על חלוקה נתונה להסתברות לחלוקה כלשהי יעשה ע " י union bound.

תכונות חלוקת העזר נסתכל על החלוקה של V. מאחר וכל חלוקות V הן є-רעות, גם חלוקה זו. נתעניין היכן נמצאות εN 2 הצלעות הפושעות של חלוקה זו.

היכן הצלעות הפושעות ? לפי הלמה הראשונה ב-R ישנם קדקודים רבי השפעה לכל היותר. לפיכך הם נוגעים ב- צלעות פושעות לכל היותר. בנוסף עשויים להיות עד N קדקודים חסרי השפעה ב-R, שיכולים יחדיו לגעת ב- צלעות פושעות לכל היותר גם הם. לפיכך לפחות צלעות פושעות עוברות בין שני קדקודי C1 או בין שני קדקודי C2.

לקראת הלמה השנייה ( מוטיבציה ) מטרתנו להראות כי אם ניקח דגימה נוספת של קדקודים S, אזי בהסתברות גבוהה מאוד היא תכיל זוג קדקודים ובינהם צלע פושעת ביחס ל-C1 או ביחס ל-C2. נראה כי אם S אכן מכילה צלע כזו, אזי הגרף G' אינו דו"צ. נסיק כי החלוקה (U1,U2) של U תחשוף את היעדר דו הצדדיות של G בהסתברות גבוהה מאוד

למה שנייה ( קשה לרמות קבוצה טובה ) תהי (U1, U2) חלוקה של U, ונניח U מכסה את כל הקדקודים רבי ההשפעה, אולי למעט מהם. תהי S קבוצה בת m2 קדקודים. אזי בהסתברות של לפחות נבחר S כך שבכל חלוקה של S ל-(S1, S2) תהיה בגרף G' צלע פושעת ביחס לחלוקה.

הערות ללמה השנייה במהלך ההוכחה ייקבע m2. כרגע לא ברורה הדרישה להסתברות זה יובהר בהמשך.

סיום ההוכחה עתה כיצד נסיק כי בהסתברות גבוהה תת הגרף G'המושרה ע"י הוא אינו דו”צ? עבור חלוקה מסויימת של U הראינו שהסיכוי לבחור S כך שתת הגרף G' יהיה דו"צ קטן מ-. לכן הסיכוי כי לחלוקה כלשהי של U נבחר את S כך שתת הגרף G' יהיה דו"צ, קטן מהסכום הסיכויים על כל החלוקות האפשריות כלומר קטן מ-

סיום ההוכחה לפיכך הסיכוי כי G' אינו דו"צ גדול מ- סוף הוכחת הנכונות !

סיבוכיות האלגוריתם נבדוק סיבוכיות דגימה וסיבוכיות זמן ריצה. ראשית נחשב את m: סיבוכיות הדגימה ריבועית ב -m ולכן היא

סיבוכיות האלגוריתם סיבוכיות זמן הריצה לינארית בסיבוכיות הדגימה ולכן היא בניתוח מעט יותר עדין ניתן להגיע ל -

למה ראשונה (בהסתברות גבוהה U היא קבוצה 'טובה') בהסתברות של לפחות 5/6 כל הקדקודים רבי ההשפעה, אולי למעט מהם, מכוסים ע"י U. הערה – במהלך ההוכחה יקבע m1.

הוכחת הלמה הראשונה מה ההסתברות שקדקוד רב השפעה כלשהו v אינו מכוסה ע " י U? ההסתברות של קדקוד יחיד ב-U לא להיות שכן של v היא ≤. לפיכך ההסתברות שכל m1 הקדקודים של U לא יהיו שכנים של v היא.

הוכחת הלמה הראשונה אנו מעונינים שהסיכוי ש'תקלה' שכזו תקרה לקדקודי U עבור יותר מ- קדקודים רבי השפעה תהיה קטנה מ-1/6. ככל שנבחר יותר קדקודים ל-U הסיכוי לא לכסות קדקוד רב השפעה יורד, אולם גם ביצועי האלגוריתם הופכים פחות מרשימים. מהו המספר המועט ביותר של קדקודים שיבטיחו לנו הסתברות של פחות מ-1/6?

הוכחת הלמה הראשונה אם בממוצע מספר הקדקודים שלא נכסה יהווה 1/6 מ- אזי לפי אי-שוויון מרקוב, ההסתברות לא לכסות פי 6 קדקודים מהממוצע קטן מ-1/6. כלומר עלינו לקבוע את m1 כך שבממוצע לא נכסה קדקודים, כלומר שהסיכוי לא לכסות קדקוד רב השפעה יחיד הוא (ε/24). לפיכך יש לפתור את המשוואה

הוכחת הלמה הראשונה אי השוויון נכון עבור. כלומר. סוף הוכחת הלמה הראשונה

למה שנייה ( קשה לרמות קבוצה טובה ) תהי (U1, U2) חלוקה של U, ונניח U מכסה את כל הקדקודים רבי ההשפעה, אולי למעט מהם. תהי S קבוצה בת m2 קדקודים. אזי בהסתברות של לפחות נבחר S כך שבכל חלוקה של S ל-(S1, S2) תהיה בגרף G' צלע פושעת ביחס לחלוקה.

הערות ללמה השנייה במהלך ההוכחה ייקבע m2. הדרישה להסתברות נובעת משימוש ב-union bound על כל החלוקות האפשריות של U.

היכן הצלעות הפושעות ? לפי הלמה הראשונה ב-R ישנם קדקודים רבי השפעה לכל היותר. לפיכך הם נוגעים ב- צלעות פושעות לכל היותר. בנוסף עשויים להיות עד N קדקודים חסרי השפעה ב-R, שיכולים יחדיו לגעת ב- צלעות פושעות לכל היותר גם הם. לפיכך לפחות צלעות פושעות עוברות בין שני קדקודי C1 או בין שני קדקודי C2.

הוכחת הלמה השנייה נסתכל על S כעל קבוצה של m2/2 זוגות של קדקודים. בין כל זוג קדקודים כאלה ייתכן כי עוברת צלע של G. נראה כי בהסתברות אחד מ-m2/2 הזוגות הוא צלע פושעת ביחס לקבוצה C1 או לקבוצה C2. (כמובן תוך בחירה נכונה של m2)

הוכחת הלמה השנייה מה ההסתברות שבין זוג קדקודים אקראי עוברת צלע פושעת ביחס לקבוצה C1 או לקבוצה C2?. אם כן, מה הסיכוי שכל m2/2 זוגות הקדקודים מ-S הן אינן צלעות פושעות?. אנו זקוקים ל-m2 גדול דייה כך בהסתברות קטנה מ- יתקיים שכל זוגות הקדקודים של S אינן פושעות. כלומר גדול די כך ש-.

הוכחת הלמה השנייה עבור, נקבל שאי השוויון מתקיים. כלומר. עתה נראה כי אם צלע (u, v) פושעת ביחס לקבוצות C1 או C2, אזי היא פושעת ביחס לחלוקה.

הוכחת הלמה השנייה תהי (S1, S2) חלוקה של S. תהי (u,v) צלע פושעת ביחס ל-C1 או ביחס ל-C2. אזי בה"כ ו-, אחרת סיימנו. מאחר ו-(u, v) פושעת אזי בה"כ. לפיכך v ששייך ל-S2 מחובר לקדקוד מ-U2. זוהי צלע פושעת ביחס לחלוקה. מ.ש.ל. (למה שנייה)