ΚΑΖΑΝΤΖΙΔΟΥ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ WIENER – HOPF ΔΕΙΚΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΖΑΝΤΖΙΔΟΥ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΒΑΡΔΟΥΛΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ - ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007

(Ι) (ΙΙ) (ΙΙΙ) (ΙV) (V) Βασικές έννοιες Smith - McMillan μορφή Θεώρημα Rosenbrock Τοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας Feedback / output - injection ισοδυναμία Wiener – Hopf παραγοντοποίηση και αντίστοιχοι δείκτες , τοπικοί Wiener – Hopf δείκτες Αλγόριθμοι υπολογισμού Wiener – Hopf δεικτών και των πινάκων της παραγοντοποίησης Σχέση των Wiener – Hopf δεικτών παραγοντοποίησης με τους βαθμούς των αναλλοίωτων παραγόντων πολυωνυμικού τετραγωνικού πίνακα (Smith-McMillan μορφή , πεπερασμένη και άπειρη) Εφαρμογές στην θεωρία ελέγχου Feedback / output - injection ισοδυναμία Δείκτες ελεγξιμότητας Δείκτες παρατηρησιμότητας

(I) ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

SMITH - McMILLAN ΜΟΡΦΗ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ   SMITH - McMILLAN ΜΟΡΦΗ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΘΕΩΡΗΜΑ [Rosenbrock , 1970] Έστω (Α,Β) ελέγξιμο ζεύγος . Υπάρχει πίνακας τέτοιος ώστε ο πίνακας να έχει τα πολυώνυμα ως αναλλοίωτους παράγοντες αν και μόνο αν όπου οι δείκτες ελεγξιμότητας του (Α,Β) .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω (Α,Β) ελέγξιμο ζεύγος με δείκτες ελεγξιμότητας Έστω (Α,Β) ελέγξιμο ζεύγος με δείκτες ελεγξιμότητας . Υπάρχει πίνακας : ο sIn-(Α+ΒF) να έχει τα πολυώνυμα ως αναλλοίωτους παράγοντες αν και μόνο αν :   Άρα ο sIn-(Α+ΒF) θα έχει αναλλοίωτους παράγοντες , ενώ οι βαθμοί των μπορούν να πάρουν τις εξής τιμές : 1 2 5 4 3

ΤΟΠΙΚΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤΟΠΙΚΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑΣ Έστω (Α,Β) ελέγξιμο ζεύγος : όπου π(s) κανονικό ανάγωγο πολυώνυμο , ΜΚΔ (π(s),β(s)) = 1 , . Έστω μη αρνητικοί ακέραιοι . Οι αριθμοί αυτοί καλούνται τοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας του (Α,Β) ως προς το πολυώνυμο π(s) αν :  το ζεύγος (Α,Β) είναι όμοιο με το , όπου ελέγξιμα ζεύγη οι αναλλοίωτοι παράγοντες του είναι δυνάμεις του π(s). οι αναλλοίωτοι παράγοντες του είναι πρώτοι προς το πολυώνυμο π(s) . (iv) οι αριθμοί είναι οι δείκτες ελεγξιμότητας του ζεύγους (Α1,Β1) .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιμο και είναι όμοιο με το όπου Έστω Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιμο και είναι όμοιο με το όπου Ο πίνακας sI2-Α1 έχει αναλλοίωτους παράγοντες τα πολυώνυμα α1(s)=1 , α2(s)=(s-1)2 που είναι δυνάμεις του π(s) , ενώ ο sI2-Α2 έχει αναλλοίωτο παράγοντα α(s)= s+1 που είναι πρώτος προς το π(s) . Οι τοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας του ( Α , Β ) είναι οι δείκτες ελεγξιμότητας του ( Α1 , Β1 ) που είναι k1 = k2 = 1 .

FEEDBACK / OUTPUT – INJECTION ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ Έστω . Το ζεύγος (Α,Β) είναι feedback ισοδύναμο ( feedback equivalent ) με το ζεύγος αν υπάρχουν non - singular πίνακες : Έστω . Το ζεύγος (Α,C) είναι output-injection ισοδύναμο με το ζεύγος αν υπάρχουν non - singular πίνακες : Οι δείκτες ελεγξιμότητας / παρατηρησιμότητας του (Α,Β) / (Α,C) αποτελούν ένα πλήρες σύνολο αναλλοιώτων για την feedback / output - injection ισοδυναμία .

(II) WIENER – HOPF ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ

δεξιοί Δεξιά Wiener - Hopf Αριστερή Wiener - Hopf Έστω . Δεξιά Wiener - Hopf παραγοντοποίηση του Τ(s) unimodular biproper δεξιοί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης Αριστερή Wiener - Hopf παραγοντοποίηση του Τ(s) biproper unimodular αριστεροί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης ( left Wiener - Hopf factorization indices )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο πίνακας . Έστω ο πίνακας .   Αριστεροί Wiener-Hopf δείκτες παραγοντοποίησης : k1 = -1 , k2 = 1 Δεξιοί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης : l1 = -1 , l2 = 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

ΤΟΠΙΚΟΙ WIENER – HOPF ΔΕΙΚΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Έστω non - singular και κανονικό ανάγωγο πολυώνυμο . Έστω τέτοιοι ώστε :   (i) P(s) = A(s)B(s) (ii) οι αναλλοίωτοι παράγοντες του Α(s) είναι δυνάμεις του πολυωνύμου π(s) . (iii) οι αναλλοίωτοι παράγοντες του Β(s) είναι πρώτοι προς το πολυώνυμο π(s) . τότε οι Wiener – Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του Α(s) καλούνται τοπικοί Wiener-Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του Ρ(s) ως προς το πολυώνυμο π(s) .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο πολυωνυμικός πίνακας Έστω ο πολυωνυμικός πίνακας   Άρα , οι τοπικοί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του Ρ(s) ως προς το ανάγωγο πολυώνυμο π(s) = s+1 είναι οι Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του Α(s) , που είναι οι k1 = 1, k2 = 2 . Επομένως , οι τοπικοί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του πίνακα Ρ(s) ως προς το πολυώνυμο π(s) = s +1 είναι οι κ1 = 1 , κ2 = 2 .

(III) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

1. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΕΡΗΣ WIENER - HOPF ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Έστω .   Βήμα 1 : Μετατρέπουμε τον πίνακα Τ(s) σε column proper με βαθμούς στηλών ki , i = 1,..., r , r = min{m,n} σε αύξουσα διάταξη . Οι k1,..., kr είναι οι αριστεροί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του Τ(s) . Αυτό γίνεται με πολλαπλασιασμό του από δεξιά με κατάλληλο unimodular πίνακα V(s) . Βήμα 2 : Αν m = n T(s) = Bl(s)Dl(s)Ul(s), όπου

Βήμα 3 : αλλιώς , αν m < n T(s) = Bl(s)Dl(s)Ul(s) , όπου Βήμα 4 : αλλιώς Βήμα 5 : Προσθέτουμε m-n στήλες στον έτσι ώστε να γίνει mxm non-singular unimodular .   Βήμα 6 : T(s) = Bl(s)Dl(s)Ul(s) , όπου

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Τ(s) = k1 = 2 , k2 = 4 , αφού ο Τ(s) είναι column proper . ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τη δεξιά Wiener-Hopf παραγοντοποίηση και τους αντίστοιχους δείκτες παίρνουμε τον ανάστροφο του Τ(s) και εφαρμόζουμε τον ίδιο αλγόριθμο .

d(s) : ελάχιστος κοινός παρονομαστής των στοιχείων του Τ(s) 2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΕΡΗΣ WIENER - HOPF ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ ΡΗΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ   Βήμα 1 : , d(s) : ελάχιστος κοινός παρονομαστής των στοιχείων του Τ(s) Βήμα 2 : d(s) = sdδ(s) , d = deg(d(s)) , δ(s) πολυώνυμο Βήμα 3 : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 1 για τον Ν(s) Αριστεροί W-H δ.π. του Ν(s) κ1,...,κr , r = min{m,n} Βήμα 4 : Αριστεροί W-H δ.π. του Τ(s) k1 = κ1-d,..., kr = κr-d

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω k1 = -1 , k2 = 1

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ 3. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΠΙΚΩΝ WIENER – HOPF ΔΕΙΚΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ   ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Έστω . Βήμα 1 : Υπολογίζουμε τη Smith κανονική μορφή του Ρ(s) Βήμα 2 : Αναλύουμε τον Ρ(s) στο γινόμενο Ρ(s) = Α(s) Β(s), όπου Βήμα 3 : Υπολογίζουμε τους Wiener–Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του πίνακα Α(s) . Οι τοπικοί Wiener–Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του P(s) ως προς το π(s) είναι οι W-H δ.π. του πίνακα Α(s) .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο πολυωνυμικός πίνακας Smith κανονική μορφή του Ρ(s) : Έστω ο πολυωνυμικός πίνακας Smith κανονική μορφή του Ρ(s) : Άρα , οι τοπικοί W-H δ.π. του Ρ(s) ως προς το ανάγωγο πολυώνυμο π(s) = s+1 είναι οι W - H δ. π. του Α(s) , που είναι οι k1 = 1, k2 = 2 . Επομένως , οι τοπικοί Wiener - Hopf δείκτες παραγοντοποίησης του πίνακα Ρ(s) ως προς το π(s) = s +1 είναι οι κ1 = 1 , κ2 = 2 .

(IV) ΣΧΕΣΗ ΜΕ SMITH – McMILLAN ΜΟΡΦΗ

ΘΕΩΡΗΜΑ [Amparan et al. , 2004 (II)] Έστω ακέραιοι και , i = 1,...,m ανάγωγες ρητές συναρτήσεις , όπου εi(s) , ψi(s) , i = 1,..., m κανονικά και ξένα μεταξύ τους πολυώνυμα τέτοια ώστε εi(s)|εi+1(s),ψi+1(s)|ψi(s) , i = 1,...,m-1.Τότε υπάρχει non-singular με W-H δ.π. k1,...,km , αναλλοίωτους παράγοντες στο άπειρο και αναλλοίωτες ρητές συναρτήσεις τα , i = 1,...,m αν και μόνο αν

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο ρητός πίνακας   Άρα ισχύει

ΘΕΩΡΗΜΑ [Amparan et al. , 2006] Έστω κανονικό ανάγωγο πολυώνυμο . Έστω μη αρνητικοί ακέραιοι και κανονικά πολυώνυμα με ΜΚΔ(π(s),βi(s)) = 1 για i = 1,...,m τέτοια ώστε εi(s)|εi+1(s), i=1,…,m-1 . Αν υπάρχει πίνακας με W-H δ.π. k1,...,km , αναλλοίωτους παράγοντες ε1(s),...,εm(s) και τοπικούς W - H δ.π. c1,...,cm ως προς το πολυώνυμο π(s) , τότε ισχύουν οι εξής συνθήκες :

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ε1(s) = π(s)1β1(s) = (s+1)1 , ε2(s) = π(s)2β2(s) = (s+1)2(s3+3s-0.5) deg β1(s) = 0 , deg β2(s) = 3 , Τοπικοί W-H δ.π. του P(s) ως προς το π(s) = s + 1 : c1= 1 , c2 = 2 W-H δ.π. του P(s) : k1 = 2 , k2 = 4 Ισχύουν τα εξής :

(V) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ [Zaballa , 1997] Έστω ελέγξιμα ζεύγη / παρατηρήσιμα ζεύγη και αναπαραστάσεις μέσω πολυωνυμικών πινάκων των (Α1,Β1) , (Α2,Β2) / (Α1,C1) , (Α2,C2) αντίστοιχα . Τότε τα ζεύγη (Α1 , Β1) - (Α2 , Β2) / (Α1 , C1) - (Α2 , C2) είναι feedback / output - injection ισοδύναμα αν και μόνο αν υπάρχουν πίνακες biproper και unimodular , τέτοιοι ώστε P1(s) = B(s)P2(s)U(s) / P1(s) = U(s)P2(s)B(s)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ελέγξιμα ζεύγη ελέγξιμα ζεύγη όπου Άρα , τα ζεύγη (Α1,Β1), (Α2,Β2) είναι feedback ισοδύναμα .

Έστω (Α,Β) ελέγξιμο / (Α,C) παρατηρήσιμο ζεύγος και (sIn - A)-1B = N(s)P(s)-1 / C(sIn - A)-1 = P(s)-1N(s) , όπου οι P(s) , N(s) είναι δεξιά / αριστερά πρώτοι . Τότε οι δείκτες ελεγξιμότητας / παρατηρησιμότητας του (Α,Β) / (Α,C) είναι ίσοι με τους αριστερούς / δεξιούς W-H δ.π. του P(s) . Έστω (Α,Β) ελέγξιμο ζεύγος , η αναπαράσταση μέσω πολυωνυμικού πίνακα του (Α,Β) και κανονικό ανάγωγο πολυώνυμο. Τότε οι τοπικοί δείκτες ελεγξιμότητας του (Α,Β) ως προς το π(s) είναι οι τοπικοί W - H δ.π. του P(s) ως προς το π(s) .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω οι πίνακες Έστω οι πίνακες   O πίνακας ελεγξιμότητας έχει πλήρη τάξη (Α,Β) ελέγξιμο . P(s) column proper , άρα k1 = 1 , k2 = 2 Δείκτες ελεγξιμότητας : k1 = 1 , k2 = 2

O πίνακας παρατηρησιμότητας έχει πλήρη τάξη (Α,C) παρατηρήσιμο . P(s) row proper , άρα l1 = 1 , l2 = 2 Δείκτες παρατηρησιμότητας : l1 = 1 , l2 = 2

O P(s) έχει Smith κανονική μορφή : Θεωρούμε π(s) = s-1 . Ο πίνακας P(s) γράφεται ως : Ο Α(s) έχει W-H δ.π. k1 = 0 , k2 = 1 , δηλαδή κ1 = 0 , κ2 = 1 είναι οι τοπικοί W - H δ.π. του P(s) ως προς π(s) = s -1 , που είναι ίσοι με τους τοπικούς δείκτες ελεγξιμότητας του (Α,Β) .