תחשיב הפסוקים חלק ו'

פירוש נסמן ע"י P את הקבוצה של כל הפסוקים האטומיים: P = {p1,p2,…}. פירוש V הוא קבוצה חלקית של P: VP. הערה: השמה של ערכי אמת F ו- T היא הפונקציה האופיינית של פירוש, כלומר, השמה v : P  {F,T} מתאימה לפירוש V = { p  P : v(p) = T}ולהפך.

יחס ספיקות נגדיר יחס ╞ (יחס ספיקות) בין פירושים לבין נוסחאות בנויות היטב. ההגדרה של ספיקות נוסחה ע"י פירוש V, מסומן,V╞  היא באינדוקציה על מספר הקשרים הלוגיים שמופיעים ב- : 1. אם  היא פסוק אטומי p, אזי V╞  אם ורק אם pV. 2. V╞ ~ אם ורק אם V╞ . 3. V╞  אם ורק אם V╞  או V╞ . במילים אחרות, V╞  אם ורק אם הערך של  תחת ההשמה שמתאימה לפירוש V הוא T. / /

יחס ספיקות נוסחה  נקראת ספיקה אם קיים פירוש V כך ש- V╞  במילים אחרות, נוסחא  ספיקה אם ורק אם היא איננה סתירה, ותקפה אם ורק אם היא טאוטולוגיה.

יחס ספיקות יהי V פירוש ותהי  קבוצה של נוסחאות בנויות היטב. נאמר ש- V מספק את , ונסמן V╞  אם ורק אם עבור כל  מתקיים V╞ . משפט: אם  עקבית, אזי  ספיקה.

/ / למה: אם Γ├ ~A, אזי Γ {A} גם כן עקבית. הוכחה: נניח בשלילה ש- Γ {A} אינה עקבית. אזי Γ {A} ├ ~A ועל פי משפט הדדוקציה, Γ├ A  ~A. משום ש- A  ~A שקול ל- ~A, זו סתירה עם ההנחה Γ├ ~A. / /

למה: אם Γ עקבית מקסימלית, אזי AΓ אם ורק אם Γ├ A. הוכחה: הקיוון "רק אם" הוא מיידי. נניח ש- Γ├ A ונניח בשלילה ש- AΓ. אזיΓ {A} עקבית ו- ΓΓ {A} בסתירה עם מקסימליות של Γ.

למה : תהי Γעקבית. אזי קיימת Γ' עקבית ומקסימלית (ביחס ל- ) כך ש- Γ  Γ'. הוכחה: תהי B1,B2,… סדרת כל הנוסחאות. אנו נגדיר באינדוקציה סדרת קבוצות של נוסחאות Γ0,Γ1,…: Γ0= Γ. נניח כי הגדרנו את Γn. אם Γn├ ~Bn+1, אזי Γn+1=Γn {Bn+1}. אחרת Γn+1= Γn {~Bn+1}. תהי Γ' =  Γn . אזי, Γ'  Γ. /  n=0

נוכיח כי Γ' היא עקבית. לשם כך מספיק להוכיח כי כל Γn היא עקבית נוכיח כי Γ' היא עקבית. לשם כך מספיק להוכיח כי כל Γn היא עקבית. ההוכחה היא באינדוקציה על n. בסיס: n = 0. אזי Γ0 = Γ ו- Γ עקבית ע"פ תנאי הלמה. צעד האינדוקציה: נניח כי Γn היא עקבית. אם Γn├ ~Bn+1, אזי Γn+1=Γn {Bn+1} עקבית על פי הלמה הקודמת. אם Γn├ ~Bn+1, אזי Γn+1= Γn {~Bn+1} היא עקבית על פי הנחת האינדוקציה (מדוע?). /

נוכיח כי Γ' מקסימלית. לשם כך נניח בשלילה שקיימת נוסחה AΓ' כך שקבוצת נוסחאות Γ'{A} עקבית. אזי קיים n≥0 כך ש-A הוא Bn+1. אם Γn├ ~Bn+1, אזי Bn+1Γn+1. כיוון ש- Γn+1  Γ', A ‘‘=’’ Bn+1 Γn+1, הגענו לסתירה עם AΓ' . אחרת Γn├ ~Bn+1, בסתירה עם העקביות של Γ'{A}. הערה: על פי הבניה של Γ', עבור כל נוסחה A מתקיים: Γ'├ A או Γ'├ ~A . /

הוכחת המשפט תהי  קבוצה עקבית מקסימלית שמכילה את . נגדיר פרוש V כקבוצה של כל הפסוקים האטומיים ששייכים ל- '. נוכיח באינדוקציה על האורך של נוסחה A ש- V╞ A אם ורק אם A. בסיס: A הוא נוסחה אטומית p. הטענה נובעת מן ההגדרה של V.

/ / / / צעד האינדוקציה (לפי מקרים של צורת A): תהי A בצורה ~B. אזי V╞ A אם ורק אם V╞ B, זאת אם ורק אם (ע"פ הנחת האינדוקציה) Γ'├ B, וזאת אם ורק אם Γ'├A (כי Γ' עקבית מקסימלית). תהי A בצורה B → C. אזי V╞ A אם ורק אם V╞ C או V╞ B, שמתקיים אם ורק אם (ע"פ הנחת האינדוקציה) Γ'├ C או Γ'├ B, וזאת אם ורק אם Γ'├ C או Γ'├ ~B (כי Γ' עקבית מקסימלית), ששקול ל- Γ'├ A. / / / /

גרירה סמנטית תהי  קבוצת נוסחאות בנויות היטב ותהי A נוסחה בנויה היטב. נאמר ש-  גוררת סמנטית את A, ונסמן: ╞ A אם ורק אם כל פירוש שמספק את  גם מספק את A. משפט (נאותות מורחבת) אם ├ A, אזי ╞ A. משפט (שלמות מורחבת) אם ╞ A אזי ├ A.

הוכחת משפט השלמות נניח ש- ╞ A ונניח בסתירה ש- ├ A. אזי {~A} עקבית ולכן היא ספיקה. יהי V פירוש שמספק את {~A}. אזי V╞  ו- V╞ ~A, בסתירה עם ╞ A. /