ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ (ορισμός, ιδιότητες, μετασχηματισμός fourier σημάτων ισχύος, θεώρημα δειγματοληψίας) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ (ορισμός, ιδιότητες)

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Τα περισσότερα σήματα που είναι χρήσιμα στην πράξη μπορούν να αναπτυχθούν σε μια σειρά άπειρων όρων ημιτονοειδών σημάτων:

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Για τα εκθετικά σήματα ισχύει: Το εσωτερικό γινόμενο των σημάτων eimωt, eilωt, είναι 0 για m διάφορο του l άρα τα σήματα είναι ορθογώνια και σχηματίζουν ένα σύνολο ορθογώνιων σημάτων. Το Πλεονέκτημα χρήσης τους είναι η άμεση σύνδεσή τους με τη έννοια της συχνότητας

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Το περιοδικό σήμα x(t) μπορεί να περιγραφεί από την περίοδό του Το ή τη συχνότητά του fo και από τους (μιγαδικούς εν γένει )συντελεστές cm, δηλαδή περιγράφεται έτσι στο πεδίο της συχνότητας. Επίσης μειώνεται η πολυπλοκότητα της περιγραφής. Οι συντελεστές cm υπολογίζονται:

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Περιορισμοί: Σήματα που δεν είναι ολοκληρώσιμα κατά απόλυτη τιμή και ή δεν περιέχουν περιορισμένο αριθμό ασυνεχειών ή μεγίστων και ελαχίστων σε μια περίοδο δεν μπορούν να αναπτυχθούν σε σειρές Fourier.

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ανάπτυγμα συνημιτόνου

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Μιγαδική μορφή

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Οι συντελεστές cm είναι μιγαδικοί Το άθροισμα επεκτείνεται από το μείον άπειρο έως το άπειρο Για πραγματικά σήματα c-m=cm* Γενικά το σύνολο τιμών του cm ή τα ζεύγη (Αm, Φm) καλείται φάσμα του x(t) Το σύνολο των |cm| είναι γνωστό ώς φάσμα πλάτους του σήματος ενώ το σύνολο των τιμών Φm είναι το φάσμα φάσης. Στην περίπτωση χάραξης του ζευγαριού (|cm|, Φm) ως συνάρτηση το m, προκύπτει Το διπλευρικό φάσμα. Στην περίπτωση χάραξης του ζευγαριού (Αm, Φm) ως συνάρτηση το m, προκύπτει το μονοπλευρικό φάσμα.

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Για Τ-> άπειρο γίνεται απεριοδικός

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Στην πράξη χρεισιμοποιούμε συνήθως πεπερασμένο αριθμό όρων ημιτονοειδών Έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η διαφορά των ενεργειών του σήματος των πεπερασμένων όρων και του σήματος με τους άπειρους όρους.

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παραδείγματα: Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier: Του ορθογώνιου παλμού πλάτους 1 και διάρκειας 2Τ1 Του τριγωνικού παλμού πλάτους 1 και διάρκειας 2d Του εκθετικού σήματος e-atu(t)

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ορθογώνιος παλμός πλατους 1 και διάρκειας 2Τ1

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER b. Τριγωνικός παλμός πλάτους 1 και διάρκειας 2d

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER c. To εκθετικό σήμα e-atu(t), a πραγματικός

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Να υπολογιστεί το σήμα x(t) του οποίου ο μετασχηματισμός Fourier έίναι ένας oρθογώνιος παλμός έυρους 2W και πλάτους 1.

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα Να βρεθεί ο μετ/σμός Fourier του σήματος z(t)=m(t)cos(ωt)

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Περιορισμοί: Για να μετασχηματίζεται ένα σήμα κατά Fourier πρέπει να είναι απολύτως ολοκληρώσιμο, δηλ: Μια πιο ασθενής συνθήκη είναι να είναι σήμα ενέργειας, δηλ: Όμως πολλά σήματα με μεγάλο ενδιαφέρον είναι σήματα ισχύος: cos(ωt), sin(ωt), u(t) Κλπ.

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Σήματα Ισχύος Συνήθως εισάγουμε έναν παράγοντα σύγκλισης, ο οποίος πολλαπλασιάζεται με το σήμα μας ώστε το γινόμενο να είναι ολοκληρώσιμο και υπολογίζεται ο μετ/μος Fourier του γινομένου.

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Nα βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(t)=c για κάθε t

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Nα βρεθεί ο μετ/μός Fourier του cos(ωot)

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Nα βρεθεί ο μετ/μός Fourier του sin(ωot)

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ιδανική δειγματοληψία

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Για να μην υπάρχει Επικάλυψη πρέπει

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aliasing Δεν είναι δυνατή Η απομόνωση του Σήματος-παραμόρφωση

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Συνεχής συνάρτηση του Ω Και εν γένει μιγαδική Χ(Ω)=|Χ(Ω)|eiφ(Ω)

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Απόδειξη

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Τ=ΝΤs

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΜΦ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΔΜΦ

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Πολυπλοκότητα Ν2 FFT (N είναι δύναμη του 2 άρα έχουμε Νlog2N)

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER