Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ

Ο χρυσός αριθμός φ ανιχνεύθηκε για πρώτη φορά από τους αρχαίους Έλληνες οι οποίοι παρατήρησαν ότι όλα πάνω στην γη, από τα φυτά μέχρι το ίδιο το ανθρώπινο σώμα, αναπτύσσονται βάσει μίας αναλογίας. Αυτή η αναλογία είναι ίση με Φ. Είναι μία από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις των μαθηματικών. Την είχε βρει ο Πυθαγόρας - τον 5ο αιώνα π.X. ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ

ΠΩΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟ Φ Παίρνουμε ένα τμήμα ΑΒ και ένα σημείο τομής να το τέμνει ασύμμετρα. Έτσι ώστε να ισχύει η εξής αναλογία: Έστω αν θέσουμε ΑΒ= λ, ΑΓ= χ και ΓΒ= λ-χ. Αντικαθιστούμε και ισχύει:

Η εξίσωση εύρεσης του αριθμού χ είναι: Έτσι με απλά μαθηματικά: Η εξίσωση εύρεσης του αριθμού χ είναι: Άρα η Δ>0 οπότε έχει δύο άνισες λύσεις. Δηλαδή Κάνοντας χιαστί Και πράξεις Λύνουμε την εξίσωση με τη βοήθεια του τύπου της διακρίνουσας: Η θετική ρίζα της διακρίνουσας είναι:

Αφού το φ= = επιλέγουμε φ= τότε: Φ=

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI Ο Ιταλός Leonardo Fibonacci, ανακάλυψε μια ακολουθία στην οποία παρατηρήθηκε ο χρυσός αριθμός. Το μοτίβο της ακολουθίας είναι το εξής: κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των 2 προηγουμένων. Αρχίζοντας λοιπον με 2 άσσους εχουμε: Παρατηρήθηκε ότι στην ακολουθία αυτή η διαίρεση ενός αριθμου με τον προηγούμενο του έδινε ένα κλάσμα κοντά στο φ. Όσο πιο μεγάλοι οι αριθμοί τόσο πιο κοντά στο φ. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ 2 3 5 8 13 21 34 55 1 ΠΗΛΙΚΟ 1,5 1.666 1.6 1.625 1.615 1.619 1.6176 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610

χ/ψ = φ ΧΡΥΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ χ ψ Για να έχει ένα ορθογώνιο χρυσές αναλογίες πρέπει το πηλίκο των πλευρών του να είναι φ. χ χ/ψ = φ ψ

Η ΧΡΥΣΗ ΣΠΕΙΡΑ Με απλές γραμμές παρατηρούμε αναλογίες φ σε αυτήν τη σπείρα Στην φύση παρατηρείται συχνά η χρυσή σπείρα. Στο σχήμα των κυκλώνων του γαλαξία ακόμα και κάποιων οστράκων, παρατηρούνται χρυσά στοιχεία.

Κμ είναι ένα τεταρτοκύκλιο ενός κυκλου με ακτινα ρμ Κ Μ είναι ένα τεταρτοκυκλιο ενός κυκλου με ακτινα ρΜ Με βαση τη χρυση αναλογια ισχυει: Σε μια χρυση σπειρα πρεπει να ισχυει

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ Φ Ο χρυσός αριθμός φ χρησιμοποιείται: Α. στην οδοντιατρική Β. στη Βίβλο του Ισλάμ Γ. στο χρηματιστήριο Δ. στον άνθρωπο Ε. στην αρχιτεκτονική ΣΤ. στην τέχνη Ζ. στην μουσική

Στον άνθρωπο Ακόμη και στο ανθρώπινο σώμα μπορούμε να συναντήσουμε την ακολουθία. Είναι εύκολο από την εικόνα να διακρίνουμε πως το μήκος των κοκάλων στα δάχτυλα μέχρι τη παλάμη μας είναι συνδεδεμένο με την ακολουθία Fibonacci.

Στην αρχαία Αίγυπτο. ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν την χρυσή τομή στο σχεδιασμό της Μεγάλης πυραμίδας τους. ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ

φ/1 και η πυραμίδα έχει ύψος (φ). Ο λόγος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου με το μισό της διάστασης της βάσης είναι 1,61804 το οποίο διαφέρει από φ μόνο κατά μία μονάδα στο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο. Αν αφήσουμε τη διάσταση της βάσης να είναι 2 μονάδες, τότε οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου είναι σε αναλογία φ/1 και η πυραμίδα έχει ύψος (φ).

Στην αρχαία Ελλάδα. ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ

Επίσης την ακολουθία Fibonacci χρησιμοποίησαν οι Ίωνες στον ρυθμό αρχιτεκτονικής τους, σχηματίζοντας σπείρες και στολίζοντας έτσι τα κτήρια τους.

Στον Μεσαίωνα. ΚΑΘΕΔΡΙΚΟΣ ΝΑΟΣ Οι Μεσαιωνικοί οικοδόμοι των εκκλησιών και των καθεδρικών ναών κατασκεύαζαν τα κτίριά τους με τον ίδιο τρόπο όπως και οι Έλληνες. Μια καλή γεωμετρική δομή ήταν ο στόχος τους. Μέσα και έξω, τα κτίριά τους ήταν περίπλοκες κατασκευές με βάση τη χρυσή τομή. ΚΑΘΕΔΡΙΚΟΣ ΝΑΟΣ

Στη σημερινή εποχή. Στο κτίριο των Ηνωμένων Εθνών, η αναλογία του πλάτους του κτιρίου σε σχέση με το ύψος της κάθε δέκα ορόφους είναι χρυσή, φ.

ΠΥΡΓΟΣ ΤΟΥ ΤΟΡΟΝΤΟ

Στην τέχνη Δαβίδ του Μιχαήλ Αγγέλου

Έργο ''Λουόμενοι'‘ του Georges Seurat

Mona Lisa Leonardo Da Vinci

Κλείνουμε τον τομέα της τέχνης με τη φράση του Λούκα Πάτσιολι ότι χωρίς μαθηματικά δεν υπάρχει τέχνη. Λούκα Πάτσιολι

ΤΟ Φ ΣΤΗΝ ΜΟΥΣΙΚΗ Οι μουσικές κλίμακες βασίζονται σε αριθμούς Fibonacci. Σημειώστε επίσης πως η κλίμακα του πληκτρολογίου του πιάνου της ΝΤΟ (βαρύ) έως ΝΤΟ (ψιλό) είναι 13 πλήκτρα σύνολο και έχει 8 άσπρα πλήκτρα και 5 μαύρα, που χωρίζονται σε ομάδες των 3 και  2.