Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης Ομάδα Δ. Λύνοντας Προβλήματα Φυσικής με τον υπολογιστή

f[t_] := 3*t + 5 Plot[f[t], {t, -1,1 },GridLines->Automatic] Η κλίση μιας ευθείας γραμμής δείχνει πόσο απότομη είναι η ευθεία σε σχέση με τον οριζόντιο άξονα Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

Η κλίση της f(t) υπολογίζεται από τη σχέση επιλέγοντας 2 οποιαδήποτε σημεία από τη γραφική παράσταση της ευθείας f(t 2 )=8, t 2 =1, f(t 1 )=5, t 1 =0 Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

Ο υπολογισμός της κλίσης μπορεί να γίνει και από τη σχέση θεωρώντας t 2 =t 1 + Δ t, t=t 1 Ο υπολογισμός της κλίσης με τη Mathematica μπορεί να γίνει θεωρώντας ένα βήμα Δ t και μια συνάρτηση Slope με βάση τον παραπάνω τύπο Δt=0.1; Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

Μπορώ άραγε να χρησιμοποιήσω την ίδια σχέση και σε μια καμπύλη γραμμή ; Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

Plot[f[t], {t, 0, 2*Pi}] Δt=0.1; f[t_]:=Sin[t]; Plot[Slope[t], {t, 0, 2 pi}] Ποια συνάρτηση σας θυμίζει αυτή η καμπύλη ; Η καμπύλη αυτή θυμίζει το Cos(t), όπως αναμένεται αν παραγωγίζαμε την συνάρτηση Sin(t). Υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ της κλίσης καμπύλης συνάρτησης και της παραγώγου της ; Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

Ο κανονικός υπολογισμός της κλίσης γίνεται από την παρακάτω σχέση όπου το Δ t τείνει στο 0 Η κλίση της καμπύλης μιας συνάρτησης ταυτίζεται με την παράγωγο της Η σχέση που χρησιμοποιήσαμε μέχρι τώρα μπορεί να θεωρηθεί μια προσεγγιστική σχέση για τον υπολογισμό της κλίσης, που ανάλογα με την τιμή του Δ t δίνει σωστά ή όχι αποτελέσματα. Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

1. α ). Υπολογίστε την κλίση της καμπύλης g(t)=2t 3 στο σημείο t=1.0 θεωρώντας το Δ t=1.0, 0.5, 0.1, 0.01, β ). Με τη βοήθεια της ListPlot σχεδιάστε το διάγραμμα ( Κλίσης, Δ t) γ ). Τι συμβαίνει στην αριθμητική τιμή της κλίσης καθώς το Δ t γίνεται ολοένα και μικρότερο ; δ ). Δείξτε με την εντολή Show την κλίση σε 2 ακραίες τιμές ( Δ t=10 και Δ t=0.001) σε δύο διαστήματα i). 0<t<10 και ii). 0<t<100. Τι παρατηρείτε από τη σύγκριση των δύο καμπύλων σε κάθε διάγραμμα ; 2. α ). Σχεδιάστε την κλίση της καμπύλης f(t)=3t+4t 5 χρησιμοποιώντας Δ t= 0.1 για τις τιμές 0 < t < 5. β ). Επίσης σχεδιάστε την παράγωγο της παραπάνω συνάρτησης γ ). Με την εντολή Show δείξτε στο ίδιο διάγραμμα τις δύο καμπύλες δ ). Πόσο καλή είναι η συμφωνία μεταξύ κλίσης και παραγώγου ; ε ). Επαναλάβετε την άσκηση 2 για την καμπύλη h(t)=Cos(t) με Δ t=0.05 και 0<t<2 π. 3. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης U[t] := 3t 3 - 9t 2 + 5t -12 στο διάστημα [-2, 2] με τη βοήθεια της παραγώγου της ( Τοπικό ακρότατο  αλλαγή πρόσημου παραγώγου ) Ο έλεγχος αυτός θα γίνει δοκιμάζοντας διάφορες τιμές για την παράμετρο Δ t και βλέποντας την επίδραση στη σχέση και συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με την παράγωγο της συνάρτησης που αποτελεί και τον ακριβή τύπο υπολογισμού της κλίσης Στην άσκηση αυτή καλείστε να διερευνήσετε την ορθότητα της προσεγγιστικής σχέσης για τον υπολογισμό της κλίσης. Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης

Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 10 α : Κλίση καμπύλης Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης Ομάδα Δ. Λύνοντας Προβλήματα Φυσικής με τον υπολογιστή

Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης αποτελεί στην ουσία το εμβαδόν που περικλείεται από την συνάρτηση αυτή, τον άξονα των x και δύο κατακόρυφους άξονες στις θέσεις x= α και x= β. Ένας πρακτικός τρόπος υπολογισμού του εμβαδού αυτού είναι η διαίρεση του διαστήματος [ α, β ] σε μικρά ίσα διαστήματα και στη συνέχεια να θεωρήσουμε το εμβαδόν σαν το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων που σχηματίζονται. Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης

Η ερώτηση που πηγάζει είναι γιατί να προσπαθώ να υπολογίσω αριθμητικά ολοκληρώματα από τη στιγμή που τελικά η Mathematica κάνει όλη τη δουλειά ; Πέρα από τον καθαρά εκπαιδευτικό χαρακτήρα της άσκησης υπάρχουν και προβλήματα όπου δίνονται πειραματικά αποτελέσματα και δεν είναι δυνατή η εύρεση της συνάρτησης f(x), όποτε είμαστε αναγκασμένοι να καταφύγουμε σε αριθμητικές λύσεις. Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης

Και την αριθμητική του προσέγγιση Έχουμε λοιπόν το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x)=x 3 από 0 ως 1 Εύκολα μπορεί να δοκιμάσει κανείς και να δει ότι ανεβάζοντας τον αριθμό των βημάτων Num, η αριθμητική προσέγγιση για το ολοκλήρωμα πλησιάζει την τιμή 0.25, ολοένα και με αργότερο ρυθμό. Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης

Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιήσει και μια διαφορετική προσέγγιση ( μεσαίας τιμής ) με λίγο καλύτερα αποτελέσματα Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης

Τι γίνεται σε περιπτώσεις όπου έχουμε εμβαδόν κάτω από τον άξονα των x; Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης

1. α ). Υπολογίστε με τις δύο προσεγγιστικές μεθόδους το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη f(x)=x 4 από x=1 ως x=4 θέτοντας τον αριθμό των βημάτων Ν =40. β ). Υπολογίστε το αντίστοιχο ολοκλήρωμα. γ ). Ποια από τις δύο προσεγγιστικές μεθόδους δίνει καλύτερο αποτέλεσμα ; 2). α ). Υπολογίστε με τη δεύτερη προσεγγιστική μέθοδο από t=1 ως t=4 ( μεσαίας τιμής ) το εμβαδόν της καμπύλης g(t)=4t 3 για Ν =30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. β ). Σχεδιάστε την αντίστοιχη καμπύλη. γ ). Τι παρατηρείτε ; 3). Το έργο μιας δύναμης δίνεται από το ολοκλήρωμα της δύναμης σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Με τη βοήθεια αυτής της σχέσης να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα έργου - απομάκρυνσης για τις εξής δυνάμεις F=-Kx, F=-1/2 Kx 2, F=KCos(x) για x από -1 μέχρι 1 και Κ =100 και να υπολογίσετε το έργο κάθε δύναμης αλλά και το συνολικό έργο. Πρόβλημα 10 β : Εμβαδόν καμπύλης