ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Υδροστατική είναι το κεφάλαιο της Υδραυλικής που μελετά τους νόμους που διέπουν τα ρευστά όταν βρίσκονται σε ηρεμία.

2.1 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ή πίεση ενός ρευστού (p), είναι η κάθετη δύναμη που εξασκεί το ρευστό επάνω στη μονάδα επιφανείας των τοιχωμάτων που το περιβάλλει. Δίνεται από τη σχέση:   ή , (2.1) Η υδροστατική πίεση στο όριο οποιουδήποτε όγκου ρευστού είναι πάντοτε κάθετη πάνω στο όριο και έχει κατεύθυνση προς το εσωτερικό του όγκου.

2.2 ΑΡΧΗ ΤΟΥ PASCAL: Η πίεση σε οποιοδήποτε σημείο ενός ρευστού που βρίσκεται σε ηρεμία, είναι ίδια προς όλες τις διευθύνσεις, δηλαδή η πίεση δεν εξαρτάται από τη διεύθυνση μιας επιφάνειας που περνά από το σημείο πάνω στο οποίο ενεργεί.

Απόδειξη: Έστω ένας στοιχειώδης όγκος ρευστού σε ηρεμία σε σχήμα ορθογώνιου τετραέδρου BOAC με πλευρές dx, dy, dz, κατά μήκος των αντίστοιχων ορθογωνικών συντεταγμένων x, y, z. Σχ. 2.1. Αρχή του Pascal

Έστω Px, Py και Pz οι υδροστατικές πιέσεις που ενεργούν επάνω στις επιφάνειες BOC, AOC και BOA αντίστοιχα και Pn η υδροστατική πίεση επάνω στη στοιχειώδη κεκλιμένη επιφάνεια ABC=d. Σχ. 2.1. Αρχή του Pascal

Όλες οι πιέσεις ενεργούν κάθετα προς τις έδρες του τετραέδρου και προς το εσωτερικό του. Η δύναμη της πίεσης ως γνωστό δίνεται από τον τύπο F=PE. Η δύναμη Fn της πίεσης Pn μπορεί να αναλυθεί στις συνιστώσες της ως προς x, y, z ήτοι στις Fnx, Fny, Fnz αντίστοιχα Σχ. 2.1. Αρχή του Pascal

Ως προς τον άξονα των x, η συνθήκη της ισορροπίας των δυνάμεων είναι: Επάνω στη μάζα του τετραέδρου δρα επίσης και η δύναμη του βάρους Β η οποία αναλύεται και αυτή στις δυνάμεις Bx, By, Bz. Ως προς τον άξονα των x, η συνθήκη της ισορροπίας των δυνάμεων είναι: (2.2) ή (2.3) (2.4) (2.5)

Διότι οι γωνίες και είναι ίσες ως έχουσες πλευρές καθέτους. Διότι οι γωνίες και είναι ίσες ως έχουσες πλευρές καθέτους. Αλλά είναι η προβολή της επιφάνειας dE επί του επιπέδου YOZ, δηλαδή είναι η επιφάνεια, διότι ως γνωστό η προβολή ισούται με την προβαλλόμενη επιφάνεια επί το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ προβαλλομένης επιφάνειας και προβολής. Άρα: Σχ. 2.1. Αρχή του Pascal

Το βάρος του τετραέδρου είναι Άρα η εξίσωση (2.5) γίνεται: (2.6) ή (2.7) Αν το τετράεδρο αφεθεί να σμικρυνθεί πάρα πολύ, ο τελευταίος όρος της εξίσωσης (2.7), ο οποίος περιλαμβάνει το διαφορικό dx, θα τείνει προς το μηδέν. Έτσι το όριο , οπότε θα έχουμε: (2.9)

Καθ’ όμοιο τρόπο, με την ισορροπία των δυνάμεων και προς τις διευθύνσεις y και z θα έχουμε: Άρα: (2.10) Δεδομένου ότι οι διαστάσεις του τετραέδρου είναι αυθαίρετες, η κλίση της επιφάνειας dE είναι επίσης αυθαίρετη. Κατά συνέπεια όταν το τετράεδρο σμικρυνθεί ώστε να γίνει σημείο, η πίεση στο σημείο αυτό είναι η ίδια προς όλες της διευθύνσεις. Η εξίσωση (2.10) ισχύει για ρευστά σε ισορροπία, όπως αναφέρθηκε στην αρχή, ή για τα τέλεια ρευστά όταν αυτά βρίσκονται σε κίνηση. Όμως για κινούμενα πραγματικά ή ιξώδη ρευστά, επειδή αναπτύσσονται διατμητικές δυνάμεις λόγω του ιξώδους, οι υδροστατικές πιέσεις δεν έχουν τις παραπάνω ιδιότητες.

2.3. ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΥΨΟΜΕΤΡΟ ΜΕΣΑ ΣΕ ΕΝΑ ΡΕΥΣΤΟ Έστω ο στοιχειώδης κυλινδρικός όγκος του ρευστού με εμβαδό βάσης dE και ύψος dz

Οι δυνάμεις που ενεργούν πάνω στο στοιχειώδη κύλινδρο είναι οι υδροστατικές δυνάμεις και η βαρύτητα εάν θεωρήσουμε ότι η πίεση μεταβάλλεται μόνο ως προς z και το ρευστό είναι εν ηρεμία προκύπτει: (2.10) (2.11) ή (2.12) ή (2.13) ή (2.14)

όπου h είναι η υψομετρική διαφορά μεταξύ z1 και z2 ή (2.15) Οι διαστάσεις της πίεσης είναι ML-1T-2, οπότε ο όρος z λέγεται ύψος θέσεως ή φορτίο θέσεως. Το άθροισμα λέγεται πιεζομετρικό ύψος ή φορτίο.

Η εξίσωση (2.15) δείχνει ότι: Η ένταση της υδροστατικής πίεσης μέσα σε ένα ομογενές υγρό μεταβάλλεται γραμμικά κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Η διαφορά Δp της υδροστατικής πίεσης μεταξύ δυο σημείων P1 και P2 ισούται με το βάρος μιας στήλης υγρού, η οποία έχει ύψος την υψομετρική διαφορά μεταξύ των δύο σημείων και εμβαδόν βάσης ίσο προς την μονάδα. Η (2.15) . Εάν η P2= Pα = ατμοσφαιρική πίεση (όταν το σημείο 2 βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού), τότε: (2.16) και η P1 είναι η απόλυτη ή πραγματική πίεση επάνω σε ένα σημείο του υγρού.

Από την εξίσωση (2.16) προκύπτει: (2.17) Εάν τεθεί (2.18) Η εξίσωση (2.18) δίνει τη σχετική πίεση ή πίεση οργάνου επάνω σε ένα σημείο που βρίσκεται μέσα σε ομογενές υγρό σταθερού ειδικού βάρους. Εάν τότε η p είναι θετική Εάν τότε η p είναι αρνητική

Φυσική ατμόσφαιρα: είναι η τιμή της ατμοσφαιρικής πίεσης στην επιφάνεια της θάλασσας στους 0οC. Η τιμή αυτή είναι Τεχνική ατμόσφαιρα: Η τιμή της φυσικής ατμόσφαιρας στην πράξη, η οποία λαμβάνεται χονδρικά

Ύψος ατμοσφαιρικής πίεσης: Εξαρτάται από το εδικό βάρος του υγρού με το οποίο την μετράμε. Για το νερό Για τον υδράργυρο Η ατμοσφαιρική πίεση μετράται με τα βαρόμετρα.

2.4. ΜΕΤΡΗΣΗ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ ΜΑΝΟΜΕΤΡΑ Η υδροστατική πίεση μετράται με τα μανόμετρα. Τα μανόμετρα ανάλογα με το σχήμα τους, το χρησιμοποιούμενο υγρό και τον τρόπο λειτουργίας τους διακρίνονται σε πιεζόμετρα, διαφορικά μανόμετρα και μικρομανόμετρα. α) Πιεζόμετρα: Είναι απλά ανοικτά μανόμετρα. Διακρίνονται σε: α’ τύπου πιεζόμετρα. Το υγρό του σωλήνα η δοχείου ανέρχεται μέσα στο σωλήνα του πιεζομέτρου έως ότου αποκατασταθεί ισορροπία.

Στο σημείο Α η ένταση της πιέσεως είναι: (απόλυτη πίεση στο Α) (2.19) (2.20) ύψος στήλης υγρού (2.21) Μεταξύ του μηνίσκου και του οριζόντιου επιπέδου που περνάει το Α. Τα πιεζόμετρα τύπου α χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση μικρών θετικών πιέσεων.

Στο επίπεδο 1-1 η ισορροπία των πιέσεων είναι: β’ τύπου πιεζόμετρα. Σε περίπτωση αρνητικών πιέσεων στο σημείο Α ο μηνίσκος βρίσκεται κάτω από το οριζόντιο επίπεδο που περνάει από το Α. Στο επίπεδο 1-1 η ισορροπία των πιέσεων είναι: (απόλυτη πίεση στο Α) (2.22) (2.23) Χρησιμοποιούνται για μικρές αρνητικές ή θετικές πιέσεις 1 1

γ’ τύπου πιεζόμετρα . Μετρούν μεγαλύτερες αρνητικές ή θετικές πιέσεις. Τα πιεζόμετρα αυτά έχουν ένα βαρύτερο υγρό εντός του λυγισμένου σωλήνα, μεγαλύτερης ειδικής πυκνότητας δ , και δεν πρέπει να αναμειγνύεται με το υγρό ή αέριο του δοχείου. Στο επίπεδο 1-1 η ισορροπία των πιέσεων είναι: (απόλυτη πίεση στο Α) (2.24) (2.25) (σχετική πίεση στο Α) (2.26) Χρησιμοποιούνται για μικρές αρνητικές ή θετικές πιέσεις 1 1

Διαιρώ με το ειδικό βάρος του νερού: Στο επίπεδο 1-1 η ισορροπία των πιέσεων είναι: (2.27) Εάν το υγρό στο Α είναι νερό τότε το δ=1 και η (2.27) γίνεται Εάν το ρευστό στο Α είναι αέριο τότε η δ1 είναι πολύ μικρή και ο όρος δ1 h1 θεωρείται αμελητέος. 1 1

Στο μανόμετρο σχ. 2.6.1 στο επίπεδο 1-1 ισχύει (2.28) β) Διαφορικά μανόμετρα (σχ. 2.6) Είναι κλειστά μανόμετρα. Προσδιορίζουν την διαφορά των εντάσεων πιέσεων μεταξύ δυο σημείων Α και Β, όταν οι πραγματικές πιέσεις στα Α και Β δεν είναι γνωστές. Στο μανόμετρο σχ. 2.6.1 στο επίπεδο 1-1 ισχύει (2.28) (2.29) 1 1

Στο μανόμετρο σχ. 2.6.2 στο επίπεδο 1-1 ισχύει (2.30) (2.31)

γ) Μικρομανόμετρα. Χρησιμοποιούνται για τον πολύ ακριβή προσδιορισμό πολύ μικρών ή πολύ μεγάλων εντάσεων πιέσεως μεταξύ δύο σημείων.