Εισαγωγή Αλέξανδρος Νανόπουλος Θεωρία Γραφημάτων Εισαγωγή Αλέξανδρος Νανόπουλος

Οι γέφυρες του Königsburg Σημερινό Kalingrad (στη Βαλτική μεταξύ Λιθουανίας και Πολωνίας)

Βολτάροντας…

Λύση: Leonhard Euler (1707-1783) Μεγάλος μαθηματικός σε όλα τα πεδία 73 τόμοι δημοσιεύσεων

Το γράφημα κορυφή ακμή

Μη κατευθυνόμενο γράφημα 2 3 1 4

Περίπατος και Μονοπάτι 3 V2 V3 1 2 3 V1 1 V6 4 4 V4 V5 1 Περίπατος: ακολουθία συνδεδέμενων κορυφών Μονοπάτι: περίπατος χωρίς επανάληψη κορυφών

Λύση Euler Συνθήκη για να υπάρχει μονοπάτι που περνά από όλες τις κορυφές Μονοκοντυλιές

Εφαρμογές γραφημάτων Εφαρμογή Κορυφές Ακμές Ροή Communications Telephones exchanges, computers, satellites Cables, fiber optics, microwave relays Voice, video, packets Circuits Gates, registers, processors Wires Current Mechanical Joints Rods, beams, springs Heat, energy Hydraulic Reservoirs, pumping stations, lakes Pipelines Fluid, oil Financial Stocks, currency Transactions Money Transportation Airports, rail yards, street intersections Highways, railbeds, airway routes Freight, vehicles, passengers

Κατευθυνόμενο γράφημα 2 3 1 4

Συνδεσμικότητα Μπορώ να πετάξω από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρία; Υπάρχει μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β στο δίκτυο της;

Λειτουργία δικτύων Βλάβη Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον; A B C D A B C D Βλάβη Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον;

Ζυγισμένο γράφημα 2 2 2 1.2 0.5 4 6 3 3 1 0.2 1 9 2.1 8 4 4

Συντομότερη διαδρομή Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρία; Ποιο μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β έχει το μικρότερο βάρος;

Routing in Internet (TCP/IP) V1 1 4 3 6 2 5 V2 V3 V7 V6 V5 V4 D3=2 D2=1 D7=3 D6=6 D5=7

Γρίφος ΔΕΗ ΟΤΕ ΕΥΑΘ Σύνδεσε όλα τα σπίτια χωρίς να διασταυρωθούν οι συνδέσεις

Προσπαθήστε… Σπίτι 2 με ΟΤΕ;

Επιπεδικότητα Μπορεί ένα γράφημα να σχεδιαστεί ώστε να μην υπάρχουν τεμνόμενες ακμές;

Ωκεανία Ποιο δίκτυο διαδρομών είναι το ασφαλέστερο; (κίνδυνος από μεγάλες διαδρομές στη θάλασσα)

Δένδρα Ελάχιστης Σύνδεσης 1 2 3 4 5 A B C D E F G 10 6 7 12 9

Λύση 1 2 A B C D E F

Σκάκι (πρόβλημα κυριαρχίας) Πως μπορώ να τοποθετήσω 5 βασίλισσες, χωρίς να απειλούνται;

Χάρτες (χρωματισμός) Πως μπορώ να χρωματίσω κάθε χώρα (νομό) ώστε γειτονική νομοί να μην έχουν ίδιο χρώμα; Πόσα χρώματα χρειάζονται στο ελάχιστο;

Link Analysis Ποιοι κόμβοι είναι κεντρικοί;

Κοινωνικά δίκτυα