ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (1): Παράμετροι αξιολόγησης συστημάτων αναμονής –Μέσος ρυθμός απωλειών λ – γ Πιθανότητα απώλειας (blocking probability, loss probability, Grade of Servive – GOS) P{loss} = P{blocking} = (λ-γ)/λ –Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά (stochastic process, time series) –Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} –Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) = Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (2): Παράμετροι συστημάτων αναμονής –n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής –n q (t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή –n s (t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση –n(t) = n q (t) + n s (t) –E{n(t)} = E{n q (t)} + E{n s (t)} –Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s –Μέσες τιμές: Ε(Τ) = E(W) + E(s) –Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (3 ): Κατάταξη ουρών αναμονής A/S/N/K –A : Τύπος διαδικασίας εισόδου πελατών –S : Τύπος τυχαίας μεταβλητής χρόνου εξυπηρέτησης –Ν: Αριθμός εξυπηρετητών –Κ : Χωρητικότητα συστήματος αναμονής Παραδείγματα –Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 1 εξυπηρετητής, αλλά με άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια) –Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές – τηλεφωνητές, μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η εκθετική κατανομή Μια τ.μ. Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: F χ (t) = 1-exp(-λt), f Χ (t) = λ exp(-λt) E(Χ) = 1/λ, var(Χ) = 1/λ 2 Ιδιότητα έλλειψης μνήμης –P[X>t+s/X>t]=P[X>s] Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων –Χ1: με παράμετρο λ1 –Χ2: με παράμετρο λ2 –Χ=min{Χ1,Χ2} είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο (λ1+λ2)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στοχαστικές διαδικασίες Ανεξάρτητες διαδικασίες Στάσιμες διαδικασίες Διαδικασίες Markov P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n,X(t n-1 )=x n-1,…,X(t 1 )=X 1 ]= =P[X(t n+1 )=X n+1 /X(t n )=x n ] Εργοδικότητα Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις

ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η κατανομή Poisson: n αφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα P n (T) = e –λT (λΤ) n / k ! E T (n) = λT Var T (n) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ιδιότητες διαδικασίας Poisson: Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson Διάσπαση διαδικασίας Poisson με πείραμα Bernoulli