Percolation Theory «Θεωρίες και μέθοδοι διαφυγής» Υπεύθυνος καθηγητής: Π. Πίσσης Λιανού Μαρία – Σοφία 8ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ - 2008

Διαφυγή (percolation) είναι μια φυσική διαδικασία που περιγράφει τη μετάβαση ενός συστήματος από μια κατάσταση σε μια άλλη. Στις περισσότερες περιπτώσεις προσομοιώνεται με την εμφάνιση ενός απειρου συσσωματώματος (cluster), που ανταποκρίνεται σε σημαντικές αλλαγές των φυσικών ιδιοτήτων ενός συστήματος.

Εισαγωγή Αρχικό πρόβλημα: Broadbent και Hammersley (1957) Μεγάλη πέτρα με πόρους, βυθισμένη στο νερό. Συσχετιζόμενα προβλήματα Απόσταση δένδρων σε ένα δάσος για αποφυγή πυρκαγιάς. Μεταδοτικότητα γρίπης για τη δημιουργία πανδημίας.

Το κάθε σημείο (site) του πλέγματος μπορεί να είναι κατειλημμένο με πιθανότητα p και μη κατειλημμένο με πιθανότητα 1-p. Η πιθανότητα p ένα σημείο να είναι κατειλημμένο είναι ανεξάρτητη από αυτή των γειτόνων του.

bethe πλέγμα (Z = 3) κυψελοειδές πλέγμα (Z = 3) τετραγωνικό πλέγμα (Z = 4) Kagome πλέγμα (Z = 4) τριγωνικό πλέγμα (Z = 6)

Η συνδεσιμότητα καθορίζεται για τα τετράγωνα με κοινές πλευρές Bond Percolation Πέρασμα μέσω των παρακείμενων δεσμών Site Percolation Η συνδεσιμότητα καθορίζεται για τα τετράγωνα με κοινές πλευρές

Υποκρίσιμη p < pc Κρίσιμη p = pc Υπερκρίσιμη p > pc

Σε δύο διαστάσεις Σε τρεις διαστάσεις * ακριβές αποτέλεσμα

Ορισμένες σημαντικές ποσότητες που προσδιορίζουν τις τοπολογικές ιδιότητες. Percolation probability P(p) Accessible fraction XA(p) Backbone fraction XB(p) Correlation length ξp(p) Average number of cluster of size s (per lattice site) ns(p) Effective electrical conductivity ge Effective elastic moduli G Correctivity function ή pair connectivity g(r)

Η εξάρτηση των παραπάνω ποσοτήτων, σε ένα απλό τετραγωνικό πλέγμα.

Σε μια διάσταση Μοναδική λύση εύκολο να προσδιοριστεί. Η πιθανότητα κάποιο σημείο να ανήκει σε κάποιο cluster (nss), ισούται με αυτή του να είναι κατειλημμένο (p).

Σε περισσότερες από μια διαστάσεις Θα μπορούσαμε να πούμε πως για s σημεία σε d-διαστάσεις έχουμε nd = dps(1-p)(2d-2)s+2 λάθος Για s σημεία και περίμετρο t, gst το πλήθος των δυνατών διαμορφώσεων έχουμε την διπλανή σχέση. Δυσκολία: Πρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα για όλες τις πιθανές περιμέτρους Ds(p): perimeter polynomials

Bethe πλέγμα Μοναδική λύση Έχουμε (z-1)p νέα μονοπάτια για να συνεχίσουμε την πορεία μας. Για p > 1/(z-1) η πιθανότητα ύπαρξης συνεχούς μονοπατιού, τείνει στο μηδέν. Σε κάθε σημείο, έχουμε ότι:

Εφαρμογές Παρέχει ένα πολύ απλό πρότυπο για τυχαία μέσα που εντούτοις διατηρεί αρκετό ρεαλισμό ώστε να κάνει τις προβλέψεις του σχετικές με τις εφαρμογές. Μας λέει πότε ένα σύστημα είναι μακροσκοπικά ανοιχτό να μας δώσει ένα φαινόμενο. Είναι ένα έδαφος δοκιμής για τη μελέτη των πιο περίπλοκων κρίσιμων φαινομένων και μια μεγάλη πηγή διαίσθησης.

Χαρακτηρισμός πορώδων μέσων Μορφολογία: γεωμετρικές και τοπολογικές ιδιότητες Mercury posometry: διάσημη μέχρι τις μέρες μας τεχνική μέτρησης της κατανομής του μεγέθους των πόρων. Χρησιμοποιείται συνήθως για πόρους 3nm – 10nm Adsorption-desorption isotherm data: παρόμοια με την meracury posometry. Κάνει χρήση υγρού αζώτου. Για την τοπολογική περιγραφή, ορίζουμε τον Z ως το πλήθος των “pore throats” που είναι συνδεδεμένοι στο “pore body” ενός μέσου.

Ενεργός διατομή τριών σταδίων του μοντέλου σταθεροποίησης κόκκων του ψαμμίτη. Στα συστήματα αυτά έχουμε: (a) φ = 0,364 (b) φ = 0,2 (c) φ = 0,030

Ροή μονής φάσης και φαινόμενα μεταφοράς σε πορώδη μέσα EMA (Effective-medium approximation): μια μέθοδος για να προσδιορίζουμε τις ενεργές τιμές των ιδιοτήτων ενός διαταραγμένου μέσου, στο οποίο το μέσο έχει αντικατασταθεί με ένα υποθετικό ομοιόμορφο μέσο, με άγνωστες ιδιότητες. PSRG (Position-space renormalization group methods): μια μέθοδος για ένα τυχαίο δικτυακό μοντέλο πόρων. Critical path method: Οι αγωγιμότητες που είναι μικρότερες από το gc μπορούν να τεθούν ως μηδέν και η μεταφορά σε ένα διαταραγμένο μέσο με μια ευρεία διανομή αγωγιμότητας περιορίζεται σε ένα πρόβλημα διαφυγής με threshold value ίση με gc

Μοντέλα θράυσης και αστοχίας σε ετερογενή πετρώματα (κατανόηση σεισμικών φαινομένων) Υδροδυναμική διασπορά και ενδοεδαφική ροή νερού στα πετρώματα Ροές δύο όψεων σε πορώδη υλικά Κλασματική διάχυση και κινητική αντιδράσεων Δομικές, μηχανικές και ρεολογικές ιδιότητες των διακλαδωμένων πολυμερών και πηκτών (gels) Μορφολογικές ιδιότητες και ιδιότητες μεταφοράς των σύνθετων υλικών

Αγωγιμότητα με άλματα (hopping) σε ημιαγωγούς Διαφυγή στα βιολογικά συστήματα Μοντέλο διαφυγής των γαλαξιακών δομών Πολυσυνθετική διαφυγή Υαλώδης μετάβαση Η συμπεριφορά του υπέρψυχρου νερού Δυναμική διαφυγή

Βιβλιογραφία Introduction To Percolation Theory by Dietrich Stauffer, Ammon Aharony Applications Of Percolation Theory by M Sahini http://en.wikipedia.org/