Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Χρωματισμός Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 1 Εξηγήστε αν οι παρακάτω προτάσεις για έναν γράφο G είναι αληθείς ή ψευδείς δίνοντας είτε μια απόδειξη είτε ένα αντιπαράδειγμα: Αν ένας γράφος G περιέχει περιέχει ως υπογράφο τον πλήρη γράφο Kr τότε χ(G)≥r. Αν χ(G)≥r, τότε ο G περιέχει τον πλήρη γράφο Kr σαν υπογράφο. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 1 (Λύση) Αν ένας γράφος G περιέχει περιέχει ως υπογράφο τον πλήρη γράφο Kr τότε χ(G)≥r. Η πρόταση είναι αληθής διότι ο G περιέχει r γειτονικές κορυφές και συνεπώς χρειάζεται τουλάχιστον r χρώματα προκειμένου να χρωματιστούν οι κορυφές του. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 1 (Λύση) Αν χ(G)≥r, τότε ο G περιέχει τον πλήρη γράφο Kr σαν υπογράφο. Η πρόταση είναι ψευδής. Για παράδειγμα ο κυκλικός γράφος C5 έχει χρωματικό αριθμό 3 αλλά δεν περιέχει τον πλήρη γράφο Κ3 ως υπογράφο του. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 2 Τι συμπεραίνουμε για τους γράφους G για τους οποίους: χ(G) =1 χ(G)=2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 2 (Λύση) Τι συμπεραίνουμε για τους γράφους G για τους οποίους: χ(G) =1, είναι οι κενοί γράφοι Nn , με n κορυφές και 0 ακμές χ(G)=2, είναι οι διμερείς γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 3 Να προσδιοριστεί ο χρωματικός αριθμός για τους παρακάτω γράφους: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 3 (Λύση) χ(G)=1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 3 (Λύση) χ(G)=2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 3 (Λύση) Ο G περιέχει τον K3 άρα χ(G)≥3. Επίσης παρακάτω δείχνεται ένας χρωματισμός του G με 3 χρώματα. Άρα χ(G)≤3. Συνεπώς χ(G)=3. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 4 Για τους παρακάτω γράφους G, υπολογίστε: Τη μικρότερη τιμή του χ(G) βάση της τάξης του μεγαλύτερου πλήρους υπογράφου Τη μεγαλύτερη τιμή του χ(G) βάση του θεωρήματος του Brook Την τελική τιμή του χ(G)=k καθώς και έναν k-χρωματισμό του G ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 4 (Λύση) Επειδή περιέχεται ο πλήρης γράφος K2 ⇒ χ(G)≥2. Από Brook’s ⇒ χ(G) ≤ D=3 (D είναι ο μέγιστος βαθμός των κορυφών του γράφου). Τιμή που προκύπτει από τον παρακάτω χρωματισμό χ(G)=2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 4 (Λύση) Επειδή περιέχεται ο πλήρης γράφος K2 ⇒ χ(G)≥2. Από Brook’s ⇒ χ(G) ≤ D=3. Τιμή που προκύπτει από τον παρακάτω χρωματισμό χ(G)=3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Κορυφών ΑΣΚΗΣΗ 4 (Λύση) Επειδή περιέχεται ο πλήρης γράφος K3 ⇒ χ(G)≥3. Από Brook’s ⇒ χ(G) ≤ D=3. Τιμή που προκύπτει από τον παρακάτω χρωματισμό χ(G)=3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 5 Τι συμπεραίνουμε για τους γράφους G για τους οποίους χ′(G) =1; ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 5 (Λύση) χ′(G) =1, είναι οι γράφοι που αποτελούνται από μια συνιστώσα η οποία είναι μια μόνο ακμή. Όλες οι υπόλοιπες συνιστώσες είναι είτε απλές ακμές είτε απομονωμένες κορυφές. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 6 Υπολογίστε τους χρωματικούς αριθμούς ακμών χ′(G) για τους παρακάτω γράφους: Τον πλήρη γράφο K4 Τον κυκλικό γράφο C6 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 6 (Λύση) χ′(K4 ) =3, Θεώρημα 6.13 χ′(C6) =2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 7 Εξηγήστε αν οι παρακάτω προτάσεις για έναν γράφο G είναι αληθείς ή ψευδείς δίνοντας είτε μια απόδειξη είτε ένα αντιπαράδειγμα: Αν ένας γράφος G περιέχει μια κορυφή βαθμού r, τότε χ′(G)≥r. Αν χ′(G)≥r, τότε ο G περιέχει μια κορυφή βαθμού r. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 7 (Λύση) Αν ένας γράφος G περιέχει μια κορυφή βαθμού r, τότε χ′(G)≥r. Η πρόταση είναι αληθής διότι ο G περιέχει r ακμές που προσπίπτουν στην ίδια κορυφή. Αυτές απαιτούν r χρώματα για το χρωματισμό τους. Άρα χ′(G)≥r. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 7 (Λύση) Αν χ′(G)≥r, τότε ο G περιέχει μια κορυφή βαθμού r. Η πρόταση είναι ψευδής. Για παράδειγμα ο C5 έχει χρωματικό αριθμό ακμών 3 αλλά δεν περιέχει κάποια κορυφή βαθμού 3. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 8 Για κάθε έναν από τους παρακάτω απλούς γράφους να υπολογιστούν: τα πάνω και τα κάτω όρια του χρωματικού καταλόγου χ′(G) σύμφωνα με το Θεώρημα του Vizing, η πραγματική τιμή χ′(G) και ένας χρωματισμός ακμών με χ′(G) χρώματα. Ο κυκλικός γράφος C7 Ο πλήρης γράφος K6 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 8 (Λύση) a) 2 ≤ χ′(G) ≤ 3. Πραγματική τιμή χ′(G) = 3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 8 (Λύση) b) 5 ≤ χ′(G) ≤ 6. Πραγματική τιμή χ′(G) = 5 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 9 Για κάθε έναν από τους παρακάτω πολυ-γράφους να υπολογιστούν: τα πάνω και τα κάτω όρια του χρωματικού καταλόγου χ′(G) σύμφωνα με το Θεώρημα του Vizing (extended version) τα πάνω και τα κάτω όρια του χρωματικού καταλόγου χ′(G) σύμφωνα με το Θεώρημα του Shannon η πραγματική τιμή χ′(G) και ένας χρωματισμός ακμών με χ′(G) χρώματα. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 9 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 9 (Λύση) a) 4 ≤ χ′(G) ≤ 6 (Vizing) 4 ≤ χ′(G) ≤ 6 (Shannon) Πραγματική τιμή χ′(G) = 5 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 9 (Λύση) b) 5 ≤ χ′(G) ≤ 8 (Vizing) 5 ≤ χ′(G) ≤ 7 (Shannon) Πραγματική τιμή χ′(G) = 5 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 10 31 ομάδες παίρνουν μέρος σε έναν διαγωνισμό στον οποίο κάθε ομάδα πρέπει να παίξει ακριβώς έναν αγώνα με κάθε μια από τις υπόλοιπες 30 ομάδες. Αν καμιά ομάδα δεν μπορεί να παίξει πάνω από έναν αγώνα την μέρα, πόσες ημέρες χρειάζονται για να διεξαχθούν οι αγώνες; ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών ΑΣΚΗΣΗ 10 (Λύση) Η λύση είναι ο χρωματικός αριθμός των ακμών του πλήρους γράφου K31. Έχουμε χ′(K31)=31 από Θεώρημα 6.13. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ταιριάσματα ΑΣΚΗΣΗ 11 Πέντε (5) φοιτητές a,…,e πρόκειται να εξεταστούν από πέντε καθηγητές A,…,E. Ο καθηγητής A θα εξετάσει τους φοιτητές b και d. Ο καθηγητής B θα εξετάσει τους φοιτητές a, b και e. Ο καθηγητής C θα εξετάσει τους φοιτητές b, c και e. Ο καθηγητής D θα εξετάσει τους φοιτητές a και c. Ο καθηγητής E θα εξετάσει τους φοιτητές b, d και e. Αν κάθε εξέταση διαρκεί ίδιο χρόνο να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός των εξεταστικών περιόδων που απαιτούνται καθώς και ένα κατάλληλο χρονοδιάγραμμα. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ταιριάσματα ΑΣΚΗΣΗ 11 (Λύση) Επειδή ο αντίστοιχος διμερής γράφος που αναπαριστά το πρόβλημα έχει μέγιστο βαθμό κορυφών 4, από το θεώρημα του Konig έχουμε ότι χ′(G)=4. Συνεπώς ο ελάχιστος αριθμός ταιριασμάτων (σύνολα ακμών με ίδιο χρώμα) είναι 4, άρα χρειάζονται 4 εξεταστικές περίοδοι. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ταιριάσματα ΑΣΚΗΣΗ 11 (Λύση) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ταιριάσματα ΑΣΚΗΣΗ 11 (Λύση) Ένα κατάλληλο χρονοδιάγραμμα είναι το παρακάτω: Καθηγητής A B C D E 1η εξεταστική b a c − e 2η εξεταστική d 3η εξεταστική 4η εξεταστική ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων